CC BY
4
6
Г.А. Банару
1. Степанов Н. В. Геометрия дифференциальных уравнений // Проблемы геометрии / ВИНИТИ. М., 1981. Т.12. С.127-165.
2. Банару Г.А. Обыкновенные дифференциальные уравнения 3-го порядка с 6-мерной и 7-мерной группами точечных симметрий // Вестн. МГУ. Сер.1. Мат. Мех. 1994. С.31-36.
3. Banaru G.A. Third-order ordinary differential equations and g4,2-connection // Webs & Quasigroups. Tver, 1995. P.84-88.
G.A. B a n a r u
ON THE CONDITION IMPOSED ON EQUATION y'"=f(x.y,y',y"),
PERMITTING CONNECTION WITH 5-DIMENTIONAL FUNDAMENTAL
GROUP
Necessary condition is found, that ordinary differential equation of 3-nd order should admit addition to itself connection with 5-dimensional fundamental group.
УДК 514.763.8
М.Б. Б а н а р у
(Смоленский гуманитарный университет)
О 6-МЕРНЫХ ЭРМИТОВЫХ ПОДМНОГООБРАЗИЯХ
АЛГЕБРЫ КЭЛИ
Одним из наиболее красивых и содержательных примеров эрмитовых многообразий являются 6-мерные ориентируемые подмногообразия алгебры октав. Приводится ряд результатов о свойствах таких многообразий.
Напомним, что эрмитовым называется многообразие М2п, наделенное почти
и и т с» и , .
комплексной структурой J и римановои метрикой §=<.,.> при выполнении условий:
<ЖДУ>=<Х,У> , Х,У е ®(М); [Х,У]+1[Ж,У]+.1[Х,1У]-[Ж,1У]=0 1. Как известно, тензором Риччи пс риманова многообразия называется тензор, компоненты которого связаны с компонентами тензора римановой кривизны (тензора Римана-Кристофеля) следующим образом [1]:
™су = К¡¡к .
Этот тензор симметричен; значение соответствующей квадратичной формы на векторе Х, Х е®(М) называется кривизной Риччи и обозначается 8(Х).Таким образом,
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ МНОГООБРАЗИЙ ФИГУР
7
S(X)=ric1J X1 Х, ||Х|| = 1.
Воспользуемся значениями спектра тензора римановой кривизны 6-мерных эрмитовых подмногообразий алгебры октав [2]
Блсё ^ аЬсС = R аЬсС =0, R аЬСС = - У Та0 ТЬС , (1)
ф
где Т у -компоненты конфигурационного тензора (или, иначе, тензора эйлеровой кривизны ). Здесь a,b,c,d=1,2,3; a = a + 3; ф = 7,8 .
Вычислим спектр тензора Риччи для 6-мерного эрмитова подмногообразия алгебры Кэли. С учетом (1) получаем:
ricab = R abc + R abc = R nabc + R cabc =0,
ric ab = R abc + R abc = R nabc + R cabc = R cabc = R accb = - У Tä6Tcb ;
ф
ric Л = Rcfi + RV = R. , + R ,, = R~ , = - У T5T£;
ab abc abc nabc cabc nabc ¿—i nb ac'
ф
ric.Л = Rc, + Rc= R„Л + R ^ =0.
ab abc abc nabc cabc
Ввиду вещественности тензора Риччи,
ricab= rT5 ab , ric ab = ri^ab . Следовательно, спектр тензора Риччи определяется так:
ricab=0, ric ab =- У T§cTbc . (2)
Ф
Тогда кривизна Риччи эрмитова подмногообразия алгебры октав вычисляется следующим образом :
S(X)= -2 У TJTbc XbXa= -2 У (T?exa)(Tbqcxb) =
bc X Xa -2 У\ 1äc'xa n 1 bc'
ф ф
2
< 0.
=-2У (TabXb)(TabXb )=-2У
ф ф,3
TjXb
Теорема 1. 6-мерное эрмитово подмногообразие алгебры Кэли имеет неположительную кривизну Риччи, причем эта кривизна обращается в нуль в геодезических точках и только в них.
Следствие. 6-мерное эрмитово подмногообразие алгебры Кэли является Риччи-плоским тогда и только тогда, когда оно - область на келеровой плоскости.
Вычислим скалярную кривизну 6-мерного эрмитова подмногообразия алгебры октав . С учетом (2) получаем:
2
< 0.
1 ab
К=пс | = -2 У
ф
Как видно, скалярная кривизна 6-мерных эрмитовых подмногообразий алгебры Кэли также неположительна и обращается в нуль исключительно в геодезиче-
8
М.Б. Банару
ских точках. В этом смысле скалярная кривизна 'повторяет' и кривизну Риччи, и
голоморфную бисекционную кривизну [3] таких многообразий.
Если же рассматриваемое многообразие является многообразием постоянной
скалярной кривизны (К= const), то мы получаем, что
2
=const,
T ф
1 ab
I
ф
и следовательно, справедлива
Теорема 2. 6-мерное эрмитово подмногообразие алгебры Кэли является многообразием постоянной скалярной кривизны в том и только том случае, когда конфигурационный тензор имеет постоянную длину.
Отметим, что обе теоремы обобщают известные результаты В.Ф. Кириченко [4], полученные для 6-мерных келеровых подмногообразий алгебры октав.
Библиографический список
1. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. М.: Наука, 1981.
2. Банару М.Б. О паракелеровости 6-мерных эрмитовых подмногообразий алгебры Кэли // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1994. Вып. 25. С.15-18.
3. Банару М.Б. О голоморфной бисекционной кривизне 6-мерных эрмитовых подмногообразий алгебры Кэли // Там же. 1997. Вып. 28. С. 7-9.
4. Кириченко В.Ф. Классификация келеровых структур, индуцированных 3-векторными произведениями на 6-мерных подмногообразиях алгебры Кэли // Изв. вузов. Мат. 1980. №8. С.32-38.
M.B. B a n a r u
ON 6-DIMENSIONAL HERMITEAN SUBMANIFOLDS OF CAYLEY ALGEBRA
One of most beautiful and substantial examples hermitean manifolds is 6-dimen-sional submanifolds of oktave algebra. Some results about properties such manifolds are adduced.
УДК 514.75
О.О. Б е л о в а
(Калининградский государственный университет )
СВЯЗНОСТЬ В РАССЛОЕНИИ, АССОЦИИРОВАННОМ С МНОГООБРАЗИЕМ ГРАССМАНА
