CC BY
16
УДК 514.76
М. Б. Банару
Смоленский государственный университет mihail.banaru@yahoo.com
О локально симметрических 6-мерных эрмитовых подмногообразиях алгебры Кэли
Выведены структурные уравнения локально симметрических эрмитовых 6-мерных подмногообразий типа Риччи алгебры октав. Получена формула для вычисления их бисекци-онной голоморфной кривизны.
Ключевые слова: алгебра октав, эрмитово многообразие, локально симметрическое пространство.
1. Как известно [1], почти эрмитовой (almost Hermitian, AH-) структурой на четномерном многообразии M2п называется пара {/, g = ^-,-)}, где J — почти комплексная структура,
g = — риманова метрика на этом многообразии. При этом
J и g = , ^ должны быть согласованы условием
/X, Л) = (X, Y), X,Y eK(M2n).
Здесь K(M ) — модуль гладких (класса C ) векторных
полей на многообразии M2п . Многообразие с фиксированной на нем почти эрмитовой структурой называется почти эрмитовым (AH-) многообразием. Почти эрмитово многообразие называется эрмитовым, если индуцируемая на нем почти эрмитова структура интегрируема [1].
© Банару М. Б., 2016
Пусть О = Я8 — алгебра Кэли. Установлено [2], что в ней определены два неизоморфных 3-векторных произведения:
, У,7) = -x(72) + (Х7)2 + (у,2)Х -(2,Х)У;
р2 (x, у , г) = -(хУ)г +( х, у)2+(у , г)х - (2, х)у .
Здесь X ,У, 2 е О; (•, •) — скалярное произведение в О ,
X ^ X — оператор сопряжения в О . При этом любое другое 3-векторное произведение в алгебре октав изоморфно одному из вышеуказанных. Пусть М6 с О — 6-мерное ориентируемое подмногообразие алгебры Кэли. Тогда на нем индуцируется почти эрмитова структура /а,g =(•,•)}, определяемая в
каждой точке р е М6 соотношением /а (X) = Ра (X, е1, е2), а = 1,2, где {, е2} — произвольный ортонормированный базис нормального к М6 подпространства в точке р, X е Тр (М6) [2]. Напомним, что точка р е М6 называется общей, если е0 г Тр (М6), где е0 — единица алгебры Кэли. Подмногообразия, состоящие только из общих точек, называются подмногообразиями общего типа [2].
Все рассматриваемые далее подмногообразия М6 с О подразумеваются подмногообразиями общего типа. Шестимерные подмногообразия алгебры Кэли являются источником интересных и содержательных примеров почти эрмитовых структур. Отметим, что обзор [3] об эрмитовой геометрии 6-мерных подмногообразий алгебры октав содержит множество результатов, полученных в этой области за последние 30 лет.
2. Особую роль в эрмитовой геометрии 6-мерных многообразий играют локально симметрические подмногообразия алгебры октав. Их изучению посвящено несколько интересных работ, самая значительная из которых, на наш взгляд, принадлежит В. Ф. Кириченко [4]. В ней введены в рассмотрение и
исследованы 6-мерные типа Риччи эрмитовы подмногообразия алгебры Кэли. Приведем их определение. Для этого напомним, что точка р е М6 называется специальной, если
Тр(М6) е Цео)1,
где Ь(еО)1 — ортогональное дополнение единицы алгебры октав. В противном случае точка р называется простой. Ясно,
что совокупность всех простых точек М6 представляет собой открытое подмногообразие МО еМ6, на котором канонически индуцируется распределение 2, порожденное ортогональными проекциями вектора ео на касательное пространство Тр(М6), р е М®. Такое распределение 2, а также одномерное пространство 2р е Тр (М6), р е Мназывают исключительными [4].
Определение [4; 5]. Эрмитово подмногообразие М6 е О называют подмногообразием типа Риччи, если кривизна Рич-
чи в каждой точке р е Мо6 в направлении исключительного
пространства 2р принимает минимальное значение.
В [4] получена полная классификация локально-симметрических эрмитовых подмногообразий М6 е О типа Риччи: эрмитово локально симметрическое подмногообразие М6 е О типа Риччи локально голоморфно изометрично либо С3, либо произведению келеровых С2 и СН1, «скрученному» вдоль СН1 (здесь через С" обозначено п -мерное комплексное евклидово пространство, через СН1 — комплексное гиперболическое пространство).
Кроме того, в [4] доказано, что матрица (ОаЬ) при соответствующем выборе репера для такого подмногообразия алгебры октав имеет вид:
сd11 о о^ 0 0 0 0 0 0
причем для случая произведения С2 и СН1 имеет место
бп ф о.
Воспользуемся структурными уравнениями почти эрмитовой структуры на 6-мерном подмногообразии алгебры октав [2; 6]:
7 а а Ь 1 аЬН тл с 1 аИ\Ь тл с]
а® =®ь а® +—¡=8 а® +~1=8 ®ь а®;
V 2 V 2
т Ь 1 тлкс Ь 1 тлк Ь с /1 \
ааа = -®а А®Ь £аЬ*П ®с А® + ^8аИ[ЬВ с]® А® ; (1)
(
dœab = oac лoС ~
OahD Dg +V Tр T
°bgDh[kD j] + 2-i1a[k1J
Л
cok л С,
где {o } — компоненты формы смещения; {o^} — компоненты формы римановой связности. Условимся, что здесь и далее р = 7, 8 ; a, b, c, d, g, h = 1, 2, 3; a = a + 3; k, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Как
а ^ 123 abc abc
и в [6], oa =o . При этом sabc = sabc, s = s123 — компоненту ?ah
ты тензора Кронекера порядка три; ôbg = ob og -ogob ;
Dhc = Dc, D = Dc, Dhc = D
DCj= +T8 + Щ, D-. = +T.8- /T7,
Ч/ ч/ 4/ c j c j c j
где {Т^} — компоненты конфигурационного тензора (в терминологии Грея), или второй основной формы погружения подмногообразия М6 [6].
Поскольку почти эрмитово подмногообразие М6 е О является эрмитовым тогда и только тогда [7], когда О- = = 0,
то уравнения (1) для 6-мерного эрмитова подмногообразия алгебры Кэли примут вид
1 а а Ъ 1 аЪЪ -т^ с
аа = аЪ л® +—-¡=8 Окса лаЪ; \2
а®а =~®а ЛаЪ £аЪкО>гСас ла ; (2)
1а а с
ааЪ = ас лаЪ -
(1 ^
V
— Яа1,П Г>£с т^ТУ 2°Ъеими + 1 а С1 Ъа
а
а>с л а .
Принимая во внимание упомянутый выше результат из [4] о матрице (ОаЪ), мы можем переписать первую группу уравнений (2) следующим образом:
ёа1 = а® л а1; ёа1 = -а} л а1;
-¡а а в 1 1ав ^ 1 аа = а^лан+—=е О11а ла^;
\2
л в 1 7->11 в
ёаа = -аа л ав + 81аРВ а1 л® .
Согласно определению [8], бисекционная голоморфная кривизна в направлении бивектора X л У задается соотношением
Б8х лу = Й(Х, /Х,У, Л), (3)
где IX = У = 1.
Также воспользуемся формулой для вычисления скалярной кривизны [8]:
К = пс ^ .
В итоге из формулы (3) получаются следующие значения для бисекционной голоморфной кривизны и скалярной кривизны локально-симметрических эрмитовых подмногообразий
М6 с О типа Риччи:
ВБХлТ =-4Х|ТХт12; К = -2Х
Р р
2
(4)
Таким образом, доказана
Теорема. Бисекционная голоморфная кривизна и скалярная кривизна локально-симметрических эрмитовых подмногообразий М6 с О типа Риччи вычисляются по формулам (4).
Очевидно, что эти кривизны неположительны, причем их обращение в нуль будет означать равенство нулю всех компонент \грр | конфигурационного тензора в соответствующих точках.
Список литературы
1. Кириченко В. Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях. Одесса, 2013.
2. Кириченко В. Ф. Классификация келеровых структур, индуцированных 3-векторными произведениями на 6-мерных подмногообразиях алгебры Кэли // Изв. вузов. Математика. 1980. № 8. С. 32—38.
3. Банару М. Б. Геометрия 6-мерных почти эрмитовых подмногообразий алгебры октав // Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. 2014. Т. 126. С. 10—61.
4. Кириченко В. Ф. Эрмитова геометрия 6-мерных симметрических подмногообразий алгебры Кэли // Вестник Московского ун-та. Сер.: Математика. Механика. 1994. № 3. С. 6—13.
5. Банару М. Б., Кириченко В. Ф. Эрмитова геометрия 6-мерных подмногообразий алгебры Кэли // Успехи математических наук. 1994. № 1. С. 205—206.
6. Банару М. Б. Эрмитова геометрия 6-мерных подмногообразий алебры Кэли // Математический сборник. 2002. Т. 193, № 5. С. 3—16.
7. Banaru M. On the Gray — Hervella classes of AH-structures on six-dimensional submanifolds of Cayley algebra // Annuaire de l'universite de Sofia «St. Kl. Ohridski». Math. 2004. Т. 95. P. 125—131.
8. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии : в 2 т. М., 1981.
M. Banaru
On locally symmetric 6-dimensional Hermitian submanifolds of Cayley algebra
The structural equations of locally symmetric six-dimensional Hermitian submanifolds of Ricci type of octave algebra are obtained. A formula for the bisectional holomorphic curvature of such submanifolds is also given.
УДК 514.75
К. В. Башашина
Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград baschaschina@mail.ru
Редукция тензора аффинной кривизны к тензору кривизны фундаментально-групповой связности на поверхности аффинного пространства
В многомерном аффинном пространстве задана аффинная связность с помощью форм связности. Показано, что эта связность задается тензором неканонической аффинной связности, который определяет ее тензоры кривизны и кручения. В аффинном пространстве задана т-мерная поверхность, рассматриваемая как да-параметрическое семейство, описанное касательной плоскостью. В главном расслоении, ассоциированном с поверхностью, задана фундаментально-групповая связность способом Лаптева — Лумисте.
© Башашина К. В., 2016
