О ГЛАДКОЙ И НИГДЕ НЕ РАВНОЙ НУЛЮ ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕШЕНИЯ СТОХАСТИЧЕСКОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ НА МНОГООБРАЗИИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 517.958

doi:10.21685/2072-3040-2021-1-1

О гладкой и нигде не равной нулю плотности распределения решения стохастического дифференциального уравнения на многообразии

О. О. Желтикова

Военно-воздушная академия имени профессора Н. Е. Жуковского и Ю. А. Гагарина, Воронеж, Россия ksu_ola@mail.ru

Аннотация. Актуальность и цели. Производные в среднем были введены Э. Нельсоном и со временем они стали изучаться как отдельный класс стохастических дифференциальных уравнений. В данной работе применяется аппарат производных в среднем для нахождения условий, при которых плотности вероятности решения стохастического дифференциального уравнения на односвязном многообразии

С ~ -гладкие и нигде не равны нулю. Используется так называемое соглашение Эйнштейна о суммировании, т.е. символом обозначается и i -я частная производная

дх1

в карте, и i -й вектор базиса в касательном пространстве. Материалы и методы. В исследовании используются методы стохастического анализа на многообразиях. Результаты. Найдены достаточные условия, при которых плотность распределения решения стохастического дифференциального уравнения на односвязном многообразии является С-гладкой функцией, нигде не равной нулю. Выводы. Полученные результаты могут быть использованы для исследования вопросов существования решений стохастических дифференциальных уравнений и включений на многообразиях.

Ключевые слова: производные в среднем, односвязные многообразия, плотность распределения, стохастические дифференциальные уравнения на многообразиях

Финансирование: исследование поддержано грантом РФФИ 18-01-00048. Для цитирования: Желтикова О. О. О гладкой и нигде не равной нулю плотности распределения решения стохастического дифференциального уравнения на многообразии // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2021. № 1. С. 3-9. doi:10.21685/2072-3040-2021-1-1

On a smooth and nowhere equal to zero distribution density of a stochastic differential equation's solution on manifold

O.O. Zheltikova

Air Force Academy named after professor N.Ye. Zhukovsky and Yu.A. Gagarin, Voronezh, Russia

ksu_ola@mail.ru

© Желтикова О. О., 2021. Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License / This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.

Abstract. Background. E. Nelson [1-3] introduced derivatives on the average in the works and over time, they began to be studied as a separate class of stochastic differential equations. In the work presented in this paper, the machinery of mean derivatives is applied to finding conditions, under which the probability density functions of solutions of stochastic

differential equation on simply connected manifold are С ™ -smooth and nowhere equal to zero. In the paper, Einstein's summation convention with respect to shared upper and lower

indices is used. The symbol denotes both the partial derivative in the chart, and the

dxi

vector of basis in the tangent space. Materials and methods. The study uses methods of stochastic analysis on manifolds. Results. The sufficient conditions are obtained, under which the probability density function of the solution of stochastic differential equation on simply

connected manifold are С™ -smooth and nowhere equal to zero. Conclusions. Obtained results can be used for investigation of solution existence for stochastic differential equations and inclusions on manifolds.

Keywords: Mean derivatives, density of distribution, simply connected manifolds, stochastic differential equations on manifolds

Acknowledgments: the research is supported by the RFBR grant 18-01-00048.

For citation: Zheltikova О.О. On a smooth and nowhere equal to zero distribution density of a stochastic differential equation's solution on manifold. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2021;1:3-9. (In Russ.). doi:10.21685/ 2072-3040-2021-1-1

Введение

Производные в среднем впервые появились в 60-х гг. XX в. Они были введены Э. Нельсоном [1-3], который использовал их в построенной им стохастической механике - аналоге квантовой механики. В работах [4, 5] С. В. Азариной и Ю. Е. Гликлихом была построена производная в среднем второго порядка, связанная с коэффициентом диффузии - квадратичная производная в среднем. После этого стало возможным поставить задачу о нахождении случайного процесса по его производным в среднем, ведь производная в среднем первого порядка описывает снос стохастического процесса, а квадратичная, как говорилось ранее, связана с коэффициентом диффузии. В работах [6, 7] введены определения производных в среднем и квадратичной производной на многообразиях. В дальнейшем в работах Ю. Е. Гликлиха с соавторами исследовались вопросы существования решений стохастических дифференциальных уравнений, записанных в терминах производных в среднем.

1. Производные в среднем на многообразии

Пусть M — гладкое односвязное многообразие размерности n. Рассмотрим вероятностное пространство (Q, F, P). Каждый стохастический процесс £(t) (см., например [1]), заданный на отрезке tе [0,Г] с М со значениями

в M, определяет три семейства о -подалгебр о -алгебры F : «прошлое» P^, порожденное прообразами борелевских множеств на M при всех отображениях £(s): Q^M для 0 < s < t; «будущее» F^ , порожденное аналогичным об-

%

разом для t < s < l; «настоящее» Nf , порожденное самим отображением £(t). Будем считать, что данные семейства являются полными, т.е. содержат

все множества меры нуль. Пусть Е^ - условное математическое ожидание

относительно а -подалгебры .

Возьмем нормальную карту ит связности Н в определенной точке т е М . Тогда для любой точки т из карты ит можно найти регрессии:

Y 0(t, т)

Y0(t, т')

Um

= lim E

= lim E

At

%(t + At) -%(t) At

%(t) - %(t -At)

At

U„

Um

%(t) = m'

%(t) = m'

Построим векторное поле У ^,•), которое каждой точке т е М ставит

в соответствие вектор Y 0(t, т)

Um

в Um . Тогда, по построению, Y является

измеримым сечением касательного расслоения ТМ, т.е. векторным полем. Определение 1. Случайные векторы

DH %(t) = Y 0(t ,%(t)) и

Н о

О* ) = У, (V, )) называются производной в среднем справа и, соответственно, слева процесса ^) на М в момент времени t относительно связности Н. ) = v^(t,l¡(t)) и ) = и)) называются соответственно текущей и осмотической скоростями процесса £,(•), где

v^(t,4(t)) = 2(у0(t)) + У*0«))) и и)) = 1 (у v)) - У*0«,4(t))).

Показано, что текущая и осмотическая скорости не зависят от выбора связности.

Определение 2. Предел

D2l(t) = lim E\ At ^0

% ( A%(t) ®A£(t)

At

где знаком ® обозначено тензорное произведение в модельном пространстве, содержащем карту, называется квадратической производной в среднем процесса ф) на М в момент времени t.

Показано, что квадратическая производная в среднем не зависит от выбора связности и что для диффузионного процесса квадратическая производная существует и совпадает с коэффициентом диффузии. Также отметим, что поле квадратических производных на М является (2,0) -тензорным полем неотрицательно определенных матриц.

2. Уравнения Ито на многообразиях

Пусть а^, т) является измеримым по Борелю векторным полем на многообразии М, а А^, т) — измеримым по Борелю полем линейных операто-

Um At^0

ров А^, т): Мк ^ ТтМ для достаточно больших к и t е [0,Т]. Рассмотрим экспоненциальное отображение связности Н. Пусть w(t) — винеровский процесс на Мк . Следуя [8], назовем пару (а, А) векторным полем Ито на М. Это название вызвано тем, что при замене локальных координат в М векторное поле (а, А) изменяется как касательный вектор.

Определение 3. Стохастическим дифференциалом

а(^ т)Л + А^, т)^^),

образованным векторным полем Ито (а, А) в точке т е М, назовем класс случайных процессов в ТтМ , который состоит из всех решений следующего дифференциального уравнения:

X(5) = |а(т, х)ёт +1 А(т, х)ём>(х), t t

где а(t, х) — векторное поле на ТтМ ; А^, х) — поле линейных операторов из Мк в ТтМ, причем они липшецевы, обращаются в ноль вне некоторой окрестности нуля в ТтМ . При этом а^, 0) = а^, т), А(}, 0) = А^, т) .

Определение 4. Процесс ^(t) удовлетворяет уравнению Ито в форме Белопольской - Далецкого

йгф) = ехр^(Г) (a(t, 4(t ))Л + A(t, & )), (1)

если для любой точки ) существует окрестность в М такая, что процесс + 5), 5 > 0 , почти наверняка совпадает с некоторым процессом из класса

ехр^(г) ())Л + А( ))

до того, как выйдет их указанной выше окрестности процесса ).

Решение уравнения (1) в смысле определения 4 мы называем диффузионным процессом на М.

3. Основные результаты

Рассмотрим диффузионный процесс 2(0 на М, удовлетворяющий уравнению (1). Обозначим матрицы его поля квадратических производных символом (а' (х)). Всюду ниже мы предполагаем, что это поле С-гладко и

состоит из положительно определенных (т.е. невырожденных) матриц. Векторное поле осмотических скоростей процесса ф) обозначим через и ^, х).

Мы предполагаем, что оно также С-гладко.

Пусть р^, х) — плотность вероятностного распределения случайного элемента ) относительно меры Лебега X на М X М . Это означает, что для каждого [0,Т] с М и любой функции / :[0, Т] XМ ^ М , которая является ограниченной и непрерывной, выполняется соотношение

T T ( \

JE(f(t,m)dt =J Jf(t,^(t))dP dt = J f(t,x)p(t,x)dk.

J [0,T]xM

Q

Теорема 1. Пусть 2() — диффузионный процесс с осмотической скоростью и ^, х), коэффициентами диффузии (а7') и плотностью р. Тогда при условии, что р гладко и нигде не равно нулю,

u(t, x) =

i— (a1J (t,x)p(t, x)) _

1 dxJ д

(i)

2 р(t, х) дх1 Данное утверждение следует из [9, Теорема 1.1] или из [10, формула

(2.8)].

Теорема 2. Пусть диффузионный процесс 2,(0 на односвязном многообразии М корректно определен на отрезке [0,Т] и плотность р0 начального

значения 2,0 является С-гладкой и нигде не равной нулю. Пусть также осмотическая скорость и ^, х) является С-гладкой, а квадратическая производная в среднем а(^ х) является С-гладкой и положительно определенной (т.е. невырожденной) при всех t и х. Тогда плотность р(^ х) является

« , -гладкой и нигде не равной нулю при всех t и х.

Доказательство. Введем р^)(х) = 1п p(t, х) (следовательно р^, х)=вР(')(х)). Тогда формула (1) преобразуется к виду

u (x, t) =

da1J (t, x) Э dx1 dxJ

+ a1J (t, x)dp

(2)

где ё - внешний дифференциал.

Так как поле матриц а7' ^, х) гладко и не вырождено, существует гладкое поле обратных матриц (а7у х)). Применив данное поле матриц к выражению (2), получим

dp(t, x) = 2u( x, t) -

da1J (t, x) Э dx1 dxJ

Обозначим через А1 7-ю координату вектора в правой части последнего равенства, а через (йр^)) ' - '-ю координату 1-формы ф(Г) (полный дифференциал Р(Г) по пространственным переменным). Тогда ёр' = (а7у(^х))А7, и, таким образом, ф(Г) известно. Подчеркнем, что ёр^) задано для любого фиксированного t и ар(г) гладко по t по построению.

Восстановим p(t) из dp^t) с точностью до аддитивной константы. Для этого зафиксируем некоторое значение p(t) в некоторой точке х 0. Для любого х е M построим значение p(t) (х) при любом фиксированном t следующим образом. Пусть o(s) — кривая, соединяющая х 0 и х. Зададим значение

p(t)(х) = Jdp(t) . Возьмем другую кривую oj(s), соединяющую х 0 и х, изме-o

ним ориентацию на oj и рассмотрим объединение a и oj как одномерное подмногообразие в M. Так как M односвязно, указанная петля стягивается по M в точку, т.е. является границей Э0 некоторого 2-мерного подмногообразия 0 в M (можно взять любое такое подмногообразие). Тогда по теореме Стокса

J dp(t) = JJddp(t) . Поскольку d2 = 0, J dp(t) = 0, то значение p(t)(х) не за-Э0 0 Э0

висит от выбора кривой a . По построению р = ep положительно при всех (t, х). Поскольку p определено с точностью до аддитивных констант, р определено с точностью до мультипликативных констант. Следовательно, среди функций p(t, х), построенных таким образом, при каждом фиксированном t существует такая функция, что J р^ = 1, т.е. эта функция является

M

плотностью распределения на M. Тот факт, что построенная плотность вероятности С -гладкая, следует из построения. Теорема доказана.

Заключение

В статье получены условия существования С-гладкой и нигде не равной нулю при всех t и х плотности распределения решения стохастического дифференциального уравнения p(t, х) на односвязном многообразии, что в дальнейшем может быть использовано для доказательства существования сильных решений стохастических дифференциальных уравнений с осмотическими скоростями на многообразиях.

Список литературы

1. Nelson E. Derivation of the Schrodinger equation from Newtonian mechanics // Phys. Reviews. 1966. Vol. 150, № 4. P. 1079-1085.

2. Nelson E. Dynamical theory of Brownian motion. Princeton : Princeton University Press, 1967. 142 p.

3. Nelson E. Quantum fluctuations. Princeton : Princeton University Press, 1985. 147 p.

4. Азарина С. В., Гликлих Ю. Е. Дифференциальные уравнения и включения с производными в среднем справа в К.n // Вестник Воронежского государственного университета. Сер.: Физика. Математика. 2006. № 2. С. 138-146.

5. Azarina S. V., Gliklikh Yu. E. Differential Inclusions with Mean Derivatives // Dynamic Systems and Applications. 2007. Vol. 16, № 1. P. 49-72.

6. Гликлих Ю. Е. Глобальный и стохастический анализ в задачах математической физики. М. : Комкнига, 2005. 414 с.

7. Azarina S. V., Gliklikh Yu. E. On differential equations and inclusions with mean derivatives on a compact manifold // Discussiones Mathematicae. Differential Inclusions, Control and Optimization. 2007. Vol. 27, № 2. P. 385-397.

8. Далецкий Ю. Л., Белопольская Я. И. Стохастические уравнения и дифференциальная геометрия. Киев : Выщ. шк., 1989. 295 с.

9. Cresson J., Darses S. Stochastic embedding of dinamical systems // Journal of Mathematical Phisics. 2007. Vol. 48. P. 072703-1-072303-54.

10. Haussmann U. G., Pardoux E. Time reversal diffusions // The Annals of Probability. 1986. Vol. 14, № 4. P. 1188-1206.

References

1. Nelson E. Derivation of the Schrodinger equation from Newtonian mechanics. Phys. Reviews. 1966;150(4):1079-1085.

2. Nelson E. Dynamical theory of Brownian motion. Princeton: Princeton University Press, 1967:142.

3. Nelson E. Quantum fluctuations. Princeton: Princeton University Press, 1985:147.

4. Azarina S.V., Gliklikh Yu.E. Differential equations and inclusions with derivatives in

the mean on the right in 1n. Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo universiteta. Ser.: Fizika. Matematika = Bulletin of Voronezh State University. Series: Physics. Mathematics. 2006;2:138-146. (In Russ.)

5. Azarina S.V., Gliklikh Yu.E. Differential Inclusions with Mean Derivatives. Dynamic Systems and Applications. 2007;16(1):49-72.

6. Gliklikh Yu.E. Global'nyy i stokhasticheskiy analiz v zadachakh matematicheskoy fiziki = Global and stochastic analysis in problems of mathematical physics. Moscow: Komkniga, 2005:414. (In Russ.)

7. Azarina S.V., Gliklikh Yu.E. On differential equations and inclusions with mean derivatives on a compact manifold. Discussiones Mathematicae. Differential Inclusions, Control and Optimization. 2007;27(2):385-397.

8. Daletskiy Yu.L., Belopol'skaya Ya.I. Stokhasticheskie uravneniya i differentsial'naya geometriya = Stochastic equations and differential geometry. Kiev: Vyshch. shk., 1989;295. (In Russ.)

9. Cresson J., Darses S. Stochastic embedding of dinamical systems. Journal of Mathematical Phisics. 2007;48:072703-1-072303-54.

10. Haussmann U.G., Pardoux E. Time reversal diffusions. The Annals of Probability. 1986;14(4): 1188-1206.

Информация об авторах / Information about the authors

Ольга Олеговна Желтикова кандидат физико-математических наук, доцент кафедры 206 математики, Военный учебно-научный центр военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия имени профессора Н. Е. Жуковского и Ю. А. Гагарина» (Россия, г. Воронеж, ул. Старых Большевиков, 54А)

E-mail: ksu_ola@mail.ru

Ol'ga O. Zheltikova

Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor of the sub-department 206 of mathematics, Military Educational and Scientific Center of the Air Force "Air Force Academy named after professor N. Ye. Zhukovsky and Yu. A. Gagarin" (54A Starykh Bolshevikov street, Voronezh, Russia)

Поступила в редакцию / Received 31.08.2020

Поступила после рецензирования и доработки / Revised 17.09.2020 Принята к публикации / Accepted 15.12.2020