О гипотезе Якобиана Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 14 Выпуск 3 (2013)

УДК 512.714

О ГИПОТЕЗЕ ЯКОБИАНА

С. А. Пихтильков (г. Оренбург)

Семидесятипятилетию А. Л. Шмелькина посвящается

Аннотация

В работе получен условный результат имеющий отношение к гипотезе Якобиана (см. [1], [2], [3]).

Ключевые слова: Якобиан полиномиального отображения, гипотеза Якобиана, нильпотентное линейное преобразование.

ON THE JACOBIAN CONJECTURE

S. A. Pikhtilkov (Orenburg)

Abstract

The conditional result concerning to Jacobian conjecture is obtained in the article (see [1], [2], [3]).

Keywords: Jacobian of polynomial transformation, Jacobian conjecture, nilpotent linear transformation.

Гипотеза Якобиана восходит к 1939 году [1], [2], [3]. Она была включена в число проблем С. Смейла под номером 16. Дадим формулировку С. Смейла.

Предположим, что f : Cn ^ Cn полиномиальное отображение, производная которого в каждой точке невырождена. Является ли f биективным?

Известно, что гипотезу Якобиана достаточно решить для n равного двум и многочленов степени не выше 150 [1].

Пусть f : Cn ^ Cn - полиномиальное отображение. Можно считать, что f = (fi,---,fn), где fi,...,fn G C[xi,...,Xn] - многочлены.

Пусть J(f) - матрица Якоби

J (f ) =

dfi dfi

dxi *** dxn

dfn dfn

dxi *** dxn

Условие невырожденности отображения f в каждой точке эквивалентно равенству \.](f)| = 1 (якобиан должен быть равен ненулевой константе, на которую можно поделить fl).

Было показано [2, теорема 1.4], что достаточно доказать инъективность отображения f. Тогда сюръективность также имеет место.

В [2, теорема 1.7] также показано, что гипотезу Якобиана достаточно доказать для всех отображений вида

/=|*.+ I >:— I *»+ І УащХі

(^ \ \

а1-Х^ /у аУ^

\ \7=1 )

для всех п.

Скажем, что (хх, ■■.,хи) £ Си точка инъективности отображения /, если для всех (ух, ...,уи) £ Си таких, что (ух, ...,уи) = (хх, ...,хи) выполенено /(х1, ...,хи) =

/(у1, ■■■, уи)-

Скажем, что в точке (хх, ■■■,хи) £ Си нарушается инъективность отображения /, если существует точка (ух, ■■■,уи) £ Си такая, что (ух, ■■■,уи) = (хх, ■■■,хи)

и /(х1,...,хи) = /(у1,...,уи).

Отметим, что из соображений инъективности в окрестности множество точек, в которых нарушается инъективность отображения / является открытым. Сначала докажем следующий условный результат.

Теорема 1. Пусть некоторая точка Си является точкой инъективности отображения / вида (1) и \.](/)| = 1 для всех точек Си. Тогда отображение / - инъективно.

Для доказательства теоремы нам потребуется следующие леммы.

Лемма 1. Пусть / отображение вида (1), удовлетворяющее гипотезе якобиана. Тогда существуют такое положительное £ £ Е, что производная / по любому направлению в точке Ь £ Си имеет норму большую £.

Доказательство. г-ая строка матрицы Якоби отображения / в точке (Ьх, ■■.,Ьи) состоит из элементов

(У \ 2 / У \ 2 / У \

У у аіі Ьк 1 }•••} 3аі,і-1 £<*М ’ 1 + 3аг^^ аі-М

(у \ 2 /у \ 2

^ ^ аііЬі I }•••} 3аіу І ^ ^ аііЬі І •

дf

Пусть и = (п\, •••,иУ),и £ СУ - единичный вектор. Рассмотрим ——

ди

х=Ь

Тогда i-ый элемент вектора v равен Ui + 3{йци1 + ... +

ашиа)

{tt Oik

Из невырожденности матрицы Якоби отображения f следует, что норма вектора v положительна для каждого направления и.

Обозначим через е(Ь) минимум нормы вектора v по всем направлениям и, |и| = 1. Существование такого минимума и его отличие от нуля следует из компактности (n — 1)-мерной сферы в Cn.

Пусть y = inf bee« е(Ь).

Предположим, что y = 0. Тогда существуют такие последовательности Ьп и un, предел нормы производной f по направлению ип в точке Ьп равен нулю.

Выбирая сходящуюся подпоследовательность, можно считать, что

lim ик = v.

к^ж

1. Предположим, что последовательность Ьк - ограничена.

Выбирая сходящуюся подпоследовательность, можно считать, что

lim Ьк = Ь.

к—уос

Тогда в силу непрерывности

df

lim

к^ж дик

x=bk

df

ди

x=b

что невозможно.

2. Предположим, что последовательность bk - неограничена. Выбирая сходящуюся подпоследовательность, можно считать, что

lim bk = ж, lim = d.

k^<X k^<X \bk |

Выберем i такое, что координата vi отлична от нуля.

Рассмотрим два случая.

а) Предположим, что ai\v\ + ... + ainvn = 0 или ai\b\ + ... + ainbn = 0. Тогда из формулы (2) следует

lim

к^ж

df

дик x=bk

> vi

0

что невозможно в силу предположения Y = 0.

б) Предположим, что ai\vx + ... + ainvn = 0 и а^Ьх + ... + о,,пЬп = 0.

Тогда из формулы (2) следует

lim

к—уоо

df

дик x=bk

ОС,

что невозможно в силу предположения Y = 0.

Полученные противоречия показывают, что y > 0. В качестве е можно взять любое положительное действительное число меньшее Y.

Обозначим через B(Ь, г) шар в Cn с центром b радиуса г.

Лемма 2. Пусть е такое как в лемме 1, 8 - положительное действительное. Тогда B(f (x),8) С f (B(x,8/e).

Лемма 2 непосредственно следует из леммы 1. Отображение f обратимо в каждой малой окрестности любой точки.

Следовательно, для любого отрезка L длины l, соединяющего две точки в Cn существует гладкая кривая S, отображающаяся с помощью f на L длины не больше l/е.

Следствие 1. Отображение f вида ( 1), удовлетворяющее гипотезе якобиана, является сюръективным.

Доказательство теоремы 1. Обозначим через a точку инъективности отображения f.

Предположим, что отображение f не является инъективным.

Тогда существует точка z G Cn в которой нарушается инъективность. Соединим точку a с точкой z непрерывной кривой

x : [0,1] ^ Cn,x(0) = a,x(1) = z.

Рассмотрим множество E С [0,1] чисел t таких, что в точке x(t) нарушается инъективность.

Пусть c = inf E. Точка b = x(c) является точкой инъективности, в любой окрестности которой есть точка с нарушением инъективности.

Покажем, что для отображения f вида (1) это невозможно.

Рассмотрим последовательность точек неинъективности Ьк таких, что

If (Ьк ) - f (Ь)| <1.

1) Предположим, что последовательность Ьк - ограничена.

Выбирая сходящуюся подпоследовательность, можно считать, что

lim Ьк = d.

а) Пусть й = Ь. Получаем противоречие с инъективность отображения / в окрестности.

б) Пусть й = Ь.

Из соображений непрерывности получаем равенство /(Ь) = / (й). Оно противоречит предположению о том, что Ь является точкой инъективности отображения /.

2) Предположим, что последовательность Ьк - неограничена, £ - такое как в лемме (2).

Выберем к такое, что \Ьк\ > \Ь\ + ^.

Рассмотрим шар Е(Ьк, -¡^).

Согласно лемме (2), существует точка Ь' £ Е(Ьк, 1) такая, что /(Ь) = /(Ь').

Справедливы неравенства

Получили противоречие с предположением, что Ь является точкой инъек-тивности.

Полезно обсудить теорему 1 в связи с действительной проблемой Якобиана, которая была решена отрицательно С. Пинчуком [4] для размерности 2.

Основываясь на примере С. Пинчука Е.М. Хубберс [5] построил контрпример для действительных отображений вида (1) в размерности 2033!!.

Результаты теоремы 1 справедливы и для действительного отображения вида (1), удовлетворяющего гипотезе якобиана, но если ни одна точка не является точкой инъективности такого отображения, то теорема не работает.

Тоерема 1 сводит доказательство проблемы Якобиана к системе алгебраических уравнений вида

Если система (3) имеет единственное нулевое решение при условии что якобиан отображения / вида (1) равен 1, то гипотеза Якобиана справедлива.

Приведем формулировку еще одного результата достаточного для справедливости гипотезы Якобиана.

Гипотеза о нильпотЕнтном отображении. Пусть А - квадратная

\Ь' — Ьк \ < \Ь'\ = \Ьк — (Ьк — Ь')\ > \Ьк \ — \Ьк — Ь'\ > \Ь\ + ~ — \Ь\^

(3)

\

матрица порядка п,

^ 'l2j=l а13хз^ а11 ■■■ ^^^=1 а13хз^ а1п

\ ( '^/¿=1 а'ПЗ х3

^ ап1 ■■■ ^'^llj=1 ап]хз^ апп у

3п,А (х1, ■■■, хп)

матрица нильпотентная при всех комплексных значениях переменных х1,

■■■,Хп.

Тогда

Х\-1пАхк1 ,■■■,хкп) = 0

к=1

к

при всех комплексных значениях переменных хк.

Для формулировки и доказательства второго условного результата нам потребуется понятие голоморфной функции и теорема единственности.

Функция дифференцируемая в смысле Сп в каждой точке некоторой окрестности точки г0 £ Сп называется голоморфной в точке г0. Функция, голоморфная в каждой точке некоторого открытого множества О С Сп, называется голоморфной на множестве О [6].

Теорема (единственности [6], [7, стлтья ’’единственности свойства“]) Если голоморфная в области О функция f (г) обращается в нуль в некоторой точке г0 области О С Сп вместе со всеми частными производными

дк а

—т----г-------, к = к1 + к2 + ■■■ + кп, кз = 0,1, 2, ■■■,! = 1, ■■■,п,

дгк дгк2 ■■■дгП 2 п 3 ’ ’ ’

то f (г) = 0 в О.

Все многочлены из С[х1, ■■■,хп] являются голоморфными на всем Сп. Справедливость теоремы единственности для многочленов можно проверить непосредственно вычисляя частные производные.

Теорема 2. Если гипотеза о нильпотентном отображении справедлива, то система (3) такая, что определитель матрицы Якоби отображения (1) равен 1, имеет единственное нулевое решение.

Доказательство. Пусть Н(хь ■■■,хп) =

(п \ 3 / п \ '

а13х3^ ,■■■, ^ап3х3^

полиномиальное отображение.

Легко проверить, что 3(Н) = ЗЗп,а(х1, ■■■,хп).

Согласно [1], матрица 3(Н) нильпотентна при всех комплексных значениях переменных х1, ■■■, хп.

Рассмотрим полиномиальное отображение Hn(xi, ...,xn). Выполнено равенство Hn (0) = 0.

Согласно гипотезе о нильпотентном отображении, матрица Якоби J(Hn) отображения Hn равна нулю для всех комплексных значений переменных xi,...

. . . , xn.

Следует учесть, что при дифференцировании сложной функции матрица Якоби вычисляется в разных точках. Например,

J (H 2)X = J (h )\XJ (H )\н{х).

Из теоремы единственности вытекает равенство Hn(xi,..., xn) = (0,..., 0) для всех значений переменных x\,...,xn.

Систему (3) можно переписать в виде H(xi, ...,xn) = -(x\, ...,xn). Последовательно применяя отображение H получим

(0,..., 0) = H(xi, ...,xn) = (-1)n(xi, ...,xn).

Мы доказали, что система (3) имеет единственное нулевое решение. Полученный условный результат может быть полезен при построении контрпримера к гипотезе Якобиана. Гипотеза о нильпотентном отображении накладывает некоторые требования на матрицу A. Имеет смысл строить контрпример в виде отображения (1) только, если матрица A не удовлетворяет гипотезе о нильпотентном отображении.

Согласно результату Е.М. Хубберса [8], матрица A для такого контрпримера должна иметь порядок не меньше 8.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Bass H., Connell E. H., Wright D. The Jacobian Conjecture: reduction of degree and formal expansion of the inverse // Bull. Amer. Math. Soc. 1982. Vol. 7, № 2. С. 287—330.

2. Van den Essen A. Polynomial automorphisms and the jacobian cojecture // Progress in Mathematics. Basel: Birkhauser Verlag. 2000. Vol. 190.

3. Артамонов В. А. О решенных и открытых проблемах в теории многочленов // Соросовский образовательный журнал. 2001. Т. 7, №3. С. 110—113.

4. Pinchuk S. A counterexample to real Jacobian Conjecture // Mathzeitschrift. 1994. Vol. 217. P. 1—4.

5. Van den Essen A. To believe or not to believe: the Jacobian Conjecture // Rend. Sem. Mat. Univ. Pol. Torino. 1997. Vol. 55, №4. P. 283—290.

6. ШабатБ.В. Введение в комплексный анализ. Ч. 2. М.: Наука, 1976. 400 с.

7. Математическая энциклопедия / ред. И. М. Виноградов. М.: Сов. энциклопедия, 1977-1985. Т. 2: Д-Коо., 1979. 1103 с.

8. Hubbers E.-M. G. M. The Jacobian Conjecture: cubic homogeneous maps in dimension four // Masters Thesis. University of Nijmengen. Toernooiveld. The Nitherlands, 1994.

Оренбургский государственный университет Поступило 30.09.2013