CC BY
1
УДК 556
DOI: 10.24412/2071-6168-2024-3-63-64
О ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ ДИСПЕРСИИ НЕЙТРАЛЬНОЙ ПРИМЕСИ В ФИЛЬТРАЦИОННОМ ТЕЧЕНИИ ЛИНЕЙНОГО ВИХРЯ
А.К. Горбунов, А.К. Куликов, Н.А. Силаева, А.Ю. Логинова, Е.А. Серикова
Рассматривается один из видов массопереноса вещества - гидродинамическая дисперсия в поле фильтрации линейного вихря. Изучение указанного явления проводится на основе решения модельных краевых задач математической функции. Получить из общего уравнения гидродинамической дисперсии его частные случаи, относящиеся к однородным нестационарным моделям переноса нейтральной примеси потенциальными течениями линейного вихря. Явление гидродинамической дисперсии - это сложный вид массопереноса, зависящий от многих факторов. Выяснение роли того или иного фактора в формировании результирующего распределения концентрации является одной из задач практических приложений. Модель фильтрационного течения в виде линейного вихря широко применяется в технологической практике, например, в гидрогеологии при изучении вымывания солей в основаниях гидротехнических сооружений.
Ключевые слова: массоперенос, гидродинамическая дисперсия, краевые задачи.
Явление гидродинамической дисперсии - сложный процесс движения нейтральной примеси в потоке жидкости через пористую среду, представляющий собой макроскопическое смешивание индикаторной жидкости в пористом пространстве, занятом фильтрационным течением. Когда индикатор попадает в пористую среду с движущейся жидкостью, происходит сглаживание первоначально существующей между нами границы раздела и возникает нестационарное распределение концентраций вещества индикатора. Исследование таких полей концентрации нейтральных примесей представляет интерес для различных областей технической практики, таких как гидрогеология, геохимия, горное дело, мелиорация, экология и другие [1],[2],[3]. В общем случае распределение концентрации примеси зависит от многих физико-химических, гидродинамических, геометрических факторов и частных видов массопереноса - молекулярной диффузии, конвекции, рассеяния частиц на неоднородностях среды, адсорбции и некоторых других. Поэтому существующие модели гидродинамической дисперсии получены на основе допущений, учитывающих доминирующую роль того или иного фактора или вида переноса.
Ниже приводится дифференциальное уравнение, получены несколькими способами [4],[5],[6] и имеют
вид:
dt dXi( lJ dxj ldXi (1)
В этом уравнении: С - относительная концентрация вещества, xt - декартовы координаты, Vt - средние составляющие скорости потока, t - время, Dy - коэффициент гидродинамической дисперсии. Коэффициент гидродинамической дисперсии является сложной функцией чисел Рехае и Рейнольдса, тензора направлений среды, коэффициента молекулярной диффузии и скорости фильтрации [1], [2]. Поэтому при решении прикладных задач аналитическими методами из уравнения (1) получают частные случаи, относящиеся к более упрощенным зависимостям коэффициента гидродинамической дисперсии от указанных факторов и для фильтрационных потоков специального вида.
В настоящей работе рассматриваются некоторые модели гидродинамической дисперсии в поле фильтрации линейного вихря. Если воспользоваться цилиндрической системой координат (г, Q, z) в которой линиями тока потенциального вихря являются окружности и расположить ее так, чтобы одна из главных ортогональных осей тензора Dij была направлена по вектору средней скорости, то уравнение (1) может быть представлено в виде:
£ = + + + + + (2)
Знаки минус и плюс перед первой производной по угловой координате выбирается в соответствие с направлением скорости течения вдоль или против направления азимутальной линии тока. При выводе уравнения (2) предполагалось линейная зависимость коэффициента гидродинамической дисперсии от скорости фильтрации [1],[2] в виде D1:2 = D0 + ai:2 V, D0 - коэффициент молекулярной диффузии, ai:2 - коэффициенты продольной и поперечной дисперсионностей среды, V = г, г - приведенная интенсивность вихря, и не учитывалась адсорбция, т.е. ионный обмен между веществом примеси спикером сферы.
Уравнение (2) записано в виде удобном для иллюстрации смысла входящих в него слагаемых и получения из него уравнений, соответствующих различным моделям массопереноса вещества примеси в рассматриваемом фильтрационном точении. Так последнее слагаемое в этом уравнении ответственно за конвективный перенос вещества. Выражения в круглых скобках учитывают совместный вклад в результирующее распределение концентрации молекулярной диффузии и механической дисперсии, причем неравенство aV << D0 соответствует доминирующей роли механизма молекулярной диффузии, а при aV » D0 преобладает механическая дисперсия. Отдельные рассмотрения этих случаев объясняется двумя причинами: во-первых, имеющиеся экспериментальные исследования указывают на то, что весь диапазон изменения скоростей фильтрации можно разбить на характерные интервалы в зависимости от числа Рейнольдса [1] и критерия Пекле [2], и, во-вторых это может значительно упростить вид дифференциальных уравнений, соответствующих упрощенным моделям рассматриваемого явления.
Ниже приведены некоторых моделей нестационарной одномерной дисперсии, соответствующие им дифференциальные уравнения и их общие интегралы в виде комбинаций известных специальных функций математической физики.
Если учитывать оба механизма переноса молекулярную диффузию и механическую дисперсию, то из уравнения (2) можно построить следующее дифференциальное уравнение:
— = — [(1 + Яр) -1 , (3)
дт р dpl^ dpi ' v '
в котором <& = , р = , т = - безразмерные параметры, пространственная координата и время. Разделяя переменные будем искать решение уравнения (3) в виде:
С(р, т) = R(p)e-A2\ (4)
причем R(p) удовлетворяет уравнению:
(1 + Яр) g + + *2pR =0, (5)
которое путем заменых х = 1 + &р приводится к виду:
XS + тх + £ (*- 1)R =0 (6)
Полученные уравнения являются частным случаем обобщенного дифференциального уравнения гипергеометрического типа [7]
и + и' + и = 0, (7)
где a(z) и S(z) - полиномы не выше второй степени; t(z) - полиномы не выше первой степени.
В уравнении (6) р(х) = х, р(х) = — (х2 — х), г(х) = 1. В теории специальных функций [8] доказывается, что с помощью замены и = (p(z)y уравнения (7) приводится к более простому виду путем специального подбора функции (p(z):
p(z)y" + T(z)y' + цу = 0, (8)
а его решениями являются функции ... типа.
В случае а1 « frr, т.е. в области фильтрации с ... точениями, уравнение (3) принимает вид:
дс д2с , 1 дс -вт L
Т = ТТ + -т, т = —t (9)
дт dp2 р др а2
Применяя метод разделения переменных получим:
С(т, р)= R(p)e-À2r, (10)
а R(p) удовлетворяет уравнению:
+ -— + *2R = 0, (11)
dp2 р dp
Независимыми решениями, которые являются цилиндрические функции Бесселя и Неймана нулевого индекса, т.е.:
R(p) = AiJ0(Xp) + A2N0(Ap), (12)
А1 и A2 - производные постоянные коэффициенты. Тогда общее решение уравнения (9)
С(т, р) = [AiJ0(Xp)+ A2N0(Ap)]e-À2* (13)
Для более быстрых течений массопереноса вещества индикатора осуществляется в основном за счет механической дисперсии, а1 » и описывается дифференциальным уравнением:
ЗС ^, г = -Г- (14)
Разделяя переменные получим:
Произведя замену
дт р dp2 a^t
Ор.т) = R(fi)e-*\ (15)
+ X2pR =0 (16)
dp2
R(p) = prn(p) (17)
для определения функции и(р) получим уравнение:
р2и -ри' + (л2х3 -1)и = 0, (18)
решениями которого являются функции Бесселя с индексом V = +1; т.е.
и(р) = Аф_ (2¿P3/2) + BJi &Р3) (19)
Поэтому
С(р,т) = \AJi(z) + B1J1(z)] p1/2e-A2j,z = -Xp3/2 (20)
3 3 J 3
Рассмотрим далее случай области фильтрации, границы которой расположены близко друг к другу. В
этом случае можно предложить усреднить скорость течения, т.е. принять V(r) = —. Тогда , из уравнения (2) полумер
чим уравнение:
— = а2с +1— (21)
дт = др2 рдр' ( )
в котором т = —2?, Dcp = — + Дифференциальное уравнение (21) по форме совпадают с уравнением (9), а значит,
а1 гср
его общее решение имеет вид (13).
Так как свойства функций Бесселя изучены достаточно подробно, то для рассмотренных выше дифференциальных уравнений можно решать классические краевые задачи математической функции. Получим решение краевой задачи с однородными граничными условиями первого типа для уравнений (9) и (14).
Случай а1 >> &г. Постановка задачи: Найти решение уравнения (9) в области р1 < р < р2, т > 0 удовлетворяющее краевым условиям:
С(ръ т)=0, (22)
С(Р2, т) = О, (23)
и начальному условию:
С(р,0)= f(p) (24)
Частными решениями, удовлетворяющими граничным условиям (22), (23) являются функции:
Сп(т, р) — An[B11J0(Änp) + N0(Ànp)]e_ÀnT,
В„ — -
Npi^nPi)
N0{Xnp2)
(25)
(26)
1о(^пРг) ¡о&пРгУ
а Хп - положительные корни характеристического уравнения
1о(ЛпР1)ио(ЛпР1) -1о(ЛпР2)ио(ЛпР1) = 0 (27)
Коэффициенты Ап найдем из разложения функции ^р) в ряд по собственным функциям г0(Лпр) уравнения (11), ортогональных с весом р на отрезке [р1,р2],
го &пР) = Вп]о апР) + N0 (КР), (28)
квадрат нормы, которых [9]
\ШКР)\\2 = $рр1 РЯККР^Р = + ^(х)}^
Учитывая граничные условия (22), (23) из которых следует, что ^х-^ = и(х2~) = 0 после достаточно громоздких преобразований с использованием рекуррентных соотношений для бесселевых функций получим:
, х — Хр
(29)
Тогда
\Х2 = 2 ]20(Х1)-]20(Х2) \Х! п2Х2 ]20(хг)]20(х2)
= РЯо(*ПР)ГШР
п = \ \ Ко(Лпр) \ \2
Таким образом, решение краевой задачи (9), (22)-(24) имеет вид:
С(т, р) = £™=1АМАпр)е-^ Случай 2 а1 » <&г. Решение краевой задачи (14), (22)-(24):
С(т, р)= Е^=1Апг1(г)е-Лп-,
3 ^ ^
г±(г) = \bJISZ) + /р,г = \KP~3,Вп =
h (22)
_ 3
h(z2)'
- положительные корни характеристического уравнения
J__(Zl )Ji_(Z2) -h.(Zl)J_i(Z2) — 0, Z — ~AP2,
Zl (z)
p\ii(zi )_P2JÎ(Z2)
2K2A
(P_P2)2]l(P_)]l(P2)
A~ —
fp_2 pZ_(z)f(p)dp
\\z_(z)\\
(30)
(31)
(32)
(33)
(34)
(35)
(36)
(37)
Выражение (36) получено из известного
^pz^Âpbzia^dp—I
9] соотношения для квадрат нормы цилиндрических функций
(38)
Переходя к пределу при ^ ^ Л, раскрывая неопределенность и используя краевые условия (22),(23) полу-
я2
Z* (z)
— — lim -
гЛ-ßP2 )
,dzl(>2)
ар
dzi(z) az_(z)
P2
Л-^ да др \Р1
Пользуясь рекуррентными формулами для цилиндрических функций найдем
дг
(39)
■ — - Р2
да 3^ dz .. _
т= hp2
др
BJ_2_(z) —]2_(z) , (40)
: 3 3 :
BJ_2_(z) —J2_(z)\ (41)
- 3 3 J
Подставляя производную (40) и (41) в выражение (39) получим квадрат нормы функций Z_(z) в виде (36).
3
Полученные результаты легко могут быть обобщены на случай краевых задач для указанных дифференциальных уравнений с граничными условиями второго и третьего типов, а также со смешанными краевыми условиями. Процедура нормировки собственных функций соответствующих дифференциальных операторов рассмотрена в работе авторов [10] для случая нестационарной однородной механической дисперсии нейтральной примеси в поле фильтрации линейного источника. Известно также, то решение задачи с однородными граничными условиями являются базовыми при рассмотрении краевых задач с неоднородными условиями на границах области.
С нашей точки зрения сравнение распределений концентрации в рассмотренных моделях дисперсии, рассчитанные при определенных заданных параметрах коэффициентов диффузии, дисперсионностей и интервала изменения скорости фильтрационного течения может оказаться полезным при выборе математической модели для решения прикладных задач теория массопереноса растворимых примесей в фильтрационных течениях рассмотренного типа.
X
п
2
Список литературы
1.Бэр Я., Заславски Д., Ирмей С. Физико-математические основы фильтрации воды. М., Мир, 1971, 451с.
2.Васильев С.В., Веригин Н.Н., Саркисян В.С., Шержуков Б.С. Гидродинамические и физико-химические свойства горных пород. Н.: Недра,1977. 271с.
3.Шестаков В.М. Динамика подземных вод. М.: МГУ, Москва, 1979. 368 с.
4.Bear J., Bachmat Y., A unified approach to transport phenomena in porous media. Haifa, Technion, Israel Institute of Technology, 75p. (Underground strage and mixging of water, Progress report №3, Hydraulic Lab. P.N. 1/65) 1965.
5.De Josselin de Jong G., Bossen M.J., Discussion of paper by J.H. Bear. On the tensor form of dispersion in porous media. J. Geophys. Res., 66, №10. P. 3623-3624.
6. Николаевский В.Н. Конвективная диффузия в пористых средах. Изв. АН СССР, ОТН, ПММ, 1959, XXIII, в.в. C. 1042-1050.
7.Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976, 576 с.
8.Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики. М.: Наука, 1978, 320 с.
9.Арсенин В.Я. Математическая физика. Основные уравнения и специальные функции. М.: Наука, 1966,
368 с.
10. Куликов А.Н., Горбунов А.К., Овчеренко И.Н., Родин В.С., Кузнецова А.А. О нормировке собственных функций уравнения радиальной механической дисперсии // Электронный журнал: Наука, техникаи образование. 2017. 32(12). С. 213-218.
11. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. 639 с.
Горбунов Александр Константинович, д-р физ.-мат. наук, профессор, gorbunov.ak@bmstu. ru, Россия, Калуга, Калужский Филиал Московского Государственного Технического Университета им. Н.Э. Баумана,
Куликов Анатолий Николаевич, канд. физ.-мат. наук, доцент, [email protected], Россия, Калуга, Калужский государственный университет им. К.Э. Циолковского,
Силаева Наталья Альбертовна, старший преподаватель, [email protected], Россия, Калуга, Калужский Филиал Московского Государственного Технического Университета им. Н.Э. Баумана,
Логинова Алла Юрьевна, канд. техн. наук, доцент, [email protected], Россия, Калуга, Калужский Филиал Московского Государственного Технического Университета им. Н.Э. Баумана,
Серикова Екатерина Алексеевна, студент, katerina.popugaeva. 10@yandex. ru, Россия, Калуга, Калужский Филиал Московского Государственного Технического Университета им. Н.Э. Баумана
ON HYDRODYNAMIC DISPERSION OF NEUTRAL IMPURITY IN THE FILTRATION FLOW OF A LINEAR VORTEX A.K. Gorbunov, A.K. Kulikov, N.A. Silaeva, A.Yu. Loginova, E.A. Serikova
Formulation of the problem. One of the types of mass transfer of matter is considered - hydrodynamic dispersion in the filtration field of a linear vortex. The study of this phenomenon is carried out on the basis of solving model boundary value problems of a mathematical function. Target. To obtain from the general equation of hydrodynamic dispersion its special cases related to homogeneous non-stationary models of the transfer of neutral impurities by potential flows of a linear vortex. The phenomenon of hydrodynamic dispersion is a complex type of mass transfer that depends on many factors. Determining the role of one or another factor in the formation of the resulting concentration distribution is one of the tasks of practical applications. The model offiltration flow in the form of a linear vortex is widely used in technological practice, for example, in hydrogeology when studying the leaching of salts in the foundations of hydraulic structures.
Key words: mass transfer, hydrodynamic dispersion, boundary value problems.
Gorbunov Alexander Konstantinovich, doctor of physical and mathematical sciences, professor, gorbunov. ak@bmstu. ru, Russia, Kaluga, Kaluga Branch of the Bauman Moscow State Technical University,
Kulikov Anatoly Nikolaevich, candidate of physical and mathematical sciences, docent, [email protected], Russia, Kaluga, Kaluga State University named after K.E. Tsiolkovsky,
Silaeva Natalya Albertovna, senior lecturer, silaeva@bmstu. ru, Russia, Kaluga,, Kaluga Branch of the Bauman Moscow State Technical University,
Loginova Alla Yurievna, candidate of technical sciences, docent, alla. loginova@bmstu. ru, Russia, Kaluga, Kaluga Branch of the Bauman Moscow State Technical University,
Serikova Ekaterina Alekseevna, student, katerina. popugaeva. 10@yandex. ru, Russia, Kaluga Kaluga Branch of the Bauman Moscow State Technical University
