КУСТИКА
ШЗШУ
Электронный журнал «Техническая акустика» http://www. ejta. org
2018, 5
С. С. Воронков
Псковский государственный университет
Россия, 180000, г. Псков, пл. Ленина, 2, e-mail: voronkovss@yandex.ru
О генерации волн Толмина-Шлихтинга в пограничном слое вязкого теплопроводного газа
Получена 26.11.2018, опубликована 18.12.2018
Показано, что закон возникновения турбулентности в вязком теплопроводном газе описывает один из механизмов генерации волн Толмина-Шлихтинга в пограничном слое на передней кромке пластины. Отмечается, что найденное аналитическое выражение для пульсаций давления на передней кромке пластины качественно верно описывает зависимость интенсивности возмущений от средней скорости набегающего потока и частоты возмущений, установленную экспериментально в работах Качанова, Козлова и Левченко.
Ключевые слова: волны Толмина-Шлихтинга, закон возникновения турбулентности, вязкий теплопроводный газ.
ВВЕДЕНИЕ
В работах Качанова, Козлова и Левченко [1] установлена важная роль передней кромки пластины в формировании вихревых волн пограничного слоя — волн Толмина-Шлихтинга (рис. 1).
Рис. 1. Схема основных стадий процесса перехода в пограничном слое. Рисунок из
работы [1]
Передняя кромка пластины является типичной локальной неоднородностью, где претерпевают достаточно резкие изменения поле возмущений и средний поток. Но до конца не ясен механизм усиления поля возмущений на передней кромке пластины и генерации волн Толмина-Шлихтинга.
Рассмотрим механизм усиления поля возмущений на передней кромке пластины и генерации волн Толмина-Шлихтинга, привлекая закон возникновения турбулентности, полученный в работе [2].
Нелинейная область
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Приведем полученный в работе [2] закон возникновения турбулентности в виде
йр = а]йр + (у • (а^£гайр - ^айр)+ (к - 1)ф(1)
где а!! — адиабатное и изоэнтропное значение скорости звука; р, р — давление и плотность газа; Ф — функция, учитывающая диссипацию энергии и теплообмен
^ 5
Ф = —
дл
дл
д
+ —
хдТ
ду I ду
д + —
Эг
хдг:
дг
+
+ ц
(ди > 2 (ду ) 2 (дм) 2 (ду ди 2
— + - + — + — + — +
\дл у у 1дг у удл ду У
+
^дм дгЛ
ди дм
\ 2
21 ди ду дм
+ — + — + — — — + — + —
У ду дг) \дг дл у 3 ^ дл ду дг
Т — температура газа; V — вектор скорости газа с проекциями и, V, м на оси декартовой системы координат л, у, г соответственно; X — коэффициент теплопроводности; ц — коэффициент динамической вязкости; I — время; к — показатель адиабаты.
Из закона возникновения турбулентности (1) следует, что в вязком теплопроводном
газе при возникновении градиентов скорости потока
ди ди ду ду
на передней кромке
дл ду дл ду
пластины вследствие прилипания потока на стенке пластины (и = 0, у = 0), будут возникать возмущения давления ёр в плоскости лу, которые генерируют вихревые волны.
В работе [1] приведены результаты экспериментов по генерации волн Толмина-Шлихтинга на плоской пластине. В поток, набегающий на пластину, вводились колебания малой амплитуды с помощью вибрирующей ленты. В приведенных экспериментах установлено, что величина скачка амплитуды возмущений т.е. отношение среднеквадратичных интенсивностей продольной компоненты пульсаций и' в районе передней кромки и в набегающем потоке, характеризующая мощность генератора волн Толмина-Шлихтинга, сильно зависит от частот трансформирующего возмущения и от скорости потока (рис. 2, 3). Из рис. 2, 3 следует обратно пропорциональная зависимость интенсивности возмущения от частоты и прямо пропорциональная от скорости потока.
Покажем, что установленные в работе [1] закономерности генерации волн Толмина-Шлихтинга на передней кромке пластины вытекают из закона возникновения турбулентности (1). Закон возникновения турбулентности (1) в правой части включает два члена. Первый член является линейным и описывает акустические соотношения между плотностью и давлением газа. Второй член является нелинейным и учитывает диссипацию энергии и теплообмен в вязком теплопроводном газе. Рассмотрим изменение давления вблизи передней кромки пластины при л«0, обусловленное
2
2
нелинейным членом в законе (1), когда пограничный слой только начинает формироваться. При этом допустим, что:
- разностью конвективных производных плотности и давления, как величинами второго порядка малости, можно пренебречь;
- температурные поля еще не сформировались и ими можно пренебречь;
- составляющие скорости v, w только начинают формироваться и их производными также можно пренебречь.
ды ды
Вблизи передней кромки пластины формируются градиенты скорости —, —.
дх ду
Вследствие прилипания потока на стенке пластины (ы = 0 ) градиент скорости ы вдоль
оси y будет значительно выше градиента вдоль оси х. Поэтому можно пренебречь — в
дх
ды тэ П\
сравнении с — . В результате из (1) получим
ду
dp = ^(к -if—1 dt. (2)
1дУ )
Представим скорость как сумму скорости среднего потока и пульсационной составляющей, изменяющейся по гармоническому закону
ы = ыш + ы = ыш + ы'т cos cot, (3)
где ыш — скорость набегающего потока: ы'т — амплитуда пульсационной составляющей скорости; ш — круговая частота; t — время.
Рис. 2. Скачок интенсивности возмущений на передней кромке пластины; а — изменение амплитуды возмущений различных частот с координатой (х — координата вдоль пластины, х>0 — над пластиной: х<0 — перед пластиной); б — зависимость скачка интенсивности возмущений от частоты. Рисунок из работы [1]
Рис. 3. Зависимость скачка интенсивности возмущения на передней кромке пластины
от скорости потока. Рисунок из работы [1]
Подставим выражение скорости (3) в (2) и проинтегрируем по времени. В результате получим
Ар = ^(к -1)
г и I ~дит ди' 1 . 1 (ди II V 1 (ди'Л 21
ду
Аt + М + -
ду ду ш 2
ду
АХ + -4
ду
ш
(4)
Учитывая, что в проведенных экспериментах [1] амплитуды возмущений скорости не превышали значений
А = < 0,25%,
(5)
пренебрежем в выражении (4) величинами второго порядка малости — члены третий и четвертый в квадратных скобках.
Скорость в пограничном слое меняется от значения во внешнем потоке до нуля на стенке пластины. Для оценки заменим производные скорости их средними значениями
ди»„ ^.дик-ик ,6)
ду ~ 8 ' ду ~ 8 ' ()
где 8 — толщина пограничного слоя. Подставляя выражения (6) в (4), получим
Ар = д(к -1)
и | , и и' 2
I а + -этшt
, 8 ) 82 ш
(7)
Полученное выражение описывает пульсации давления, возникающие на передней кромке пластины, под действием которых происходит генерация волн Толмина-Шлихтинга.
и
го
Анализ полученного выражения (7) позволяет отметить следующее:
- пульсации давления на передней кромке пластины будут возникать и при отсутствии возмущений скорости и'т — 0, то есть процесс изначально является неустановившимся;
- при наличии в набегающем потоке возмущений скорости и', изменяющихся по гармоническому закону, на передней кромке пластины будет возникать составляющая пульсации давления, пропорциональная средней скорости потока и^ и обратно пропорциональная круговой частоте с; эта составляющая пульсации давления будет порождать на передней кромке пластины пульсации скорости потока, зафиксированные экспериментально в работе [1] и приведенные на рис. 2, 3.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
1. Найденное аналитическое выражение для пульсаций давления на передней кромке пластины показывает, что при наличии в набегающем потоке возмущений скорости и , изменяющихся по гармоническому закону, на передней кромке пластины будет возникать составляющая пульсации давления, пропорциональная средней скорости потока и^ и обратно пропорциональная круговой частоте с .
2. Полученное выражение качественно верно описывает зависимость интенсивности возмущений от средней скорости набегающего потока и частоты возмущений, установленную экспериментально в работах Качанова, Козлова и Левченко при генерации волн Толмина-Шлихтинга в пограничном слое.
ЛИТЕРАТУРА
1. Качанов Ю. С., Козлов В. В., Левченко В. Я. Возникновение турбулентности в пограничном слое. - Новосибирск: Наука, 1982. - 151 с.
2. Воронков С. С. О законе возникновения турбулентности в вязком теплопроводном газе. Электронный журнал «Техническая акустика», http://www.ejta.org, 2016, 6.