О функции Грина аналога третьей краевой задачи для полигармонического уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 11. № 3 (2019). С. 79-88.

УДК 517.956

О ФУНКЦИИ ГРИНА АНАЛОГА ТРЕТЬЕЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОЛИГАРМОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

Б.Х. ТУРМЕТОВ

Аннотация. Предлагается метод построения функций Грина некоторых краевых задач для полигармонического уравнения в многомерном единичном шаре. Рассматриваемые задачи являются аналогами третьей краевой задачи для неоднородного полигармонического уравнения. Для исследования разрешимости этих задач сначала в классе гладких в шаре функций приводятся свойства некоторых интегро-дифференциальных операторов. Затем, используя свойства этих операторов, рассматриваемые задачи сводятся к эквивалентной задаче Дирихле со специальной правой частью. Далее, используя известные утверждения относительно задачи Дирихле, для основных задач доказаны теоремы о существования и единственности решения. Получены также интегральные представления решений этих задач через решения задачи Дирихле. Используя явный вид функции Грина, найдено интегральное представление задачи Дирихле со специальной правой частью. Полученное интегральное представление в дальнейшем используется для построения функции Грина аналогов третьей краевой задачи. Далее, приводится методика построения функции Грина основных задач. Для построения функции Грина этих задач изучены дифференциальные свойства фундаментального решения полигармонического оператора. Полученные свойства фундаментального решения применены для исследования свойств функции Грина задачи Дирихле. Построены представления функции Грина аналогов третьей краевой задачи. При нахождении функции Грина этой задачи существенно используется явный вид функции Грина задачи Дирихле для полигармонического уравнения. А именно, функция Грина этих задач представлена в виде суммы функция Грина задачи Дирихле и некоторого интегрального члена. Полученные представления функции Грина согласуются с результатами, полученными ранее для уравнения Лапласа.

Ключевые слова: полигармоническое уравнение, краевая задача, задача Дирихле, аналог третьей краевой задачи, функция Грина, интегральное представление.

Mathematics Subjects Classifications: 35J40, 31В30

1. Введение

Пусть П = {х £ Rra : |ж| < 1} - n-мерный единичный шар, п > 2, дП = {х £ Rra : |ж| = 1} -единичная сфера, и — вектор внешней нормали к дП.

Задача Дирихле для неоднородного полигармонического уравнения

(—A)mv(x) = F(х), х £ П, ^ = 0, ж £ дП, к = 0,1,... ,т — 1,т > 1 (1)

OV к

П

Если функция F(ж) гладкая, то решение задачи (1) существует, единственно и представляется с помощью функции Грина в виде:

В.Кн. Turmetov, Green function for analogue of Robin problem for polyharmonic equation.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта МОП PK (грант №АР05131268).

Поступила Ц июля 2018 г.

ь{х) = J Св,т{х,у)Г{у)йу. (2)

п

Явный вид функции Грина задачи Дирихле построен различными способами в работах [1]-[5]. Например, в работе [1] показано, что функция Св,т{х,у) имеет вид

д(х,у)

Си,т (х,у) = Кт,п\х - у\2т-п I Ц2 - 1)т-Ч1-п(И, (3)

1

где

\х — у\

xlyl-W\

к 1

1 т.л

4т-1((т — 1)\)2neJ ' Г(1 + '

Для коэффициента Ктп легко получить следующее представление (например, см, [6])

' 4т-1((т — 1)\)2шп

где шп = 2т1п/2/Г(п/2) — площадь единичной сферы,

В случае т = 1, т.е. для уравнения Пуассона наряду с задачей Дирихле, классической и хорошо исследованной является задача Робена (третья краевая задача):

ои(х)

—Аи(х) = f (х), х е Q, + аи(х) = 0, х е dQ,

где 0 < а — действительное число.

Явный вид функции Грина этой задачи построен в работах [7]-[9].

п

Пусть г = \х\, г— = Y1 Рассмотрим операторы

Г» = ^ + ^ = ^ + a)k = ^ 2

к

Свойства и применение операторов типа Г^ в классе гармонических функций были изучены в работах [10, 11], В настоящей работе мы исследуем метод построения функции Грина следующего аналога третьей краевой задачи

(—А)ти(х) = f (х), X е Q, Г{(кк)[и](х) = 0, X ед Q, к =1,2,..., т. (5)

Решением данной задачи назовем функцию и(х) е С2m(Q) П Cm(Q), удовлетворяющую условиям задачи (5) в классическом смысле,

2. Вспомогательные утверждения

В данном пункте мы приведем некоторые свойства решения задачи Дирихле (1), изложим метод сведения задачи (5) к вспомогательной задаче Дирихле и докажем утверждение о существовании и единственности решения этой задачи. Рассмотрим оператор

1

Г-1[м](ж) = J sa-1u(sx)ds. о

Справедливо следующее утверждение ([10],[12]):

Лемма 1. Если а > 0 и(х)- гладкая функция в области П , то для всех х £ П справедливы, равенства

г« [Г-1М](х) = Г-1 [Г«[и]](х) = и(х).

(6)

Лемма 2. Пусть /(х) £ Сл+1(П), 0 < Л < 1. Тогда, решение задачи, (5) существует, единственно и представляется, в виде

и(х) = ва у(вх)йз = Г- М(х)

(7)

( х) -

Р(х) = ( г——+ 2т + а ) /(х). и( х) -

ции оператор Га и обозначим Га[и](х) = у(х). Находим условия, которым удовлетворяет ( х).

.7 = 1

г- = 5>^ А (5>^^ = (гд + ^ Аи(х) = Г2 [Au](х),

то

д

(-А)ть(х) = ( г— + а + 2т ) (-А)ти(х) = Г2т+а[/](х) = Р(х).

Далее, для всех х £ дП имеем

0 = (гдГ+а)и(х) (

дП

= (гдг + аХх)

v(х)\дn, 0= (гддги(х) + ™ (х)\ш.

дП

дП

д г ^

дП

Следовательно,

Далее,

'и(х)\эп = 0, г

д ( х)

д

д ( х)

дП

д

дП

( гдг+а) ^х)

дП

(г-д^ + а) и(х)

0.

дП

С другой стороны,

(г-г + ^ У(х)

дП

д2 д = ( г2дг2 + (2а + 1)г-г + а2 ) у(х)

2)

д2у(х) д 2

+ (2 а + 1)

дП

д ( х) д

+ а2ь(х)

дП

дП

д2 ( х) д 2

дП

дП

1

0

Тогда

д2у(х)

д и2

0.

да

Аналогичным образом можно показать, что для любого к = 3, 4,... ,т — 1 выполняются равенства

дкь(х)

дик

0.

да

Следовательно, для функции у(х) = Га[и](ж) получаем задачу Дирихле (1) с функцией Р(х) = Г2т+а[$](х). Если функция ¡(х) Е СЛ+1(П), то Р(х) Е СЛ(0).; и решение задачи (1) существует, единственно и представляется в виде (2), Далее, из равенства (6) находим

1

о

т.е. справедливо представление (7),

Пусть теперь наоборот функция у(х) является решением задачи (1) с функцией Р(х) = Г2т+а[$](х). Покажем, что функция и(х) = Г-1^]^) удовлетворяет всем условиям задачи (5), Действительно, так как

( — А)тГ-1[у](х)= I 8а+2т-1Р(8Х)й8 = Г-12т[Р](х)

^ (х) = Г2т+а[Л(х),

то в силу равенства (6) получаем

( — А)ти(х) = ( — А)тГ~а 1[у](х) = Г-1+а[Г2т+а[Жх) = / (х). 1

Далее, в интеграле [ в а-1ь ( 5 х)с1в сделаем замену переменных в г = £, Тогда и(х) предо

ставляется в виде

х

и(х) = г~а (&)<%, в=—.

J N

Отсюда

Га[и](ж)\

дП

(гЖ- + а) и(х)

дп

—аг-а £а-1у (£ в)йз + ь(х) + аг-а £а-1у (^в

Г=1

Г{2) [и](х)

дп

+ а)у(х)

дь (х)

дп

д

и(х)\дп = 0,

+ ^ (ж)\дП =

дп

1

Далее, так как для любых к = 3, 4,... ,т выполняются равенства (например, см, [13]

( г-г+а)и(х)

к-1

дП

(г-г + а) У(х)

дП

к-1

к-1 { д\3 т.с1-1ак-1-\г-) у(х)

дП Э=°

í=0

дгу (х)

дП

где ^ — некоторые постоянные, то граничные условия задачи (5) также выполняются, □

Лемма 3. Пусть функция Р(х) имеет вид Р(х) = (г^ + а + 2т) ¡(х). Тогда решение задали, Дирихле (1) представляется, в виде.

ь(х) = J ^2т + а — п — р—р ) Си,т(х, у)/(у)(1у.

П

)

(8)

Доказательство. Рассмотрим функцию

д

GD,m(х, у)Уз f(y)dy, 2 = 1, 2

п.

Используя методику работы (см, [14],стр.59, формула (32)), интегрируем по частям

при этом учитывая свойство функции Грина Св,т(х,

\Ы=1

=0

д

j У]Св,т(х-, у) !(У)(1У =у УуСв,т(х-, у)!(у)с08( ЩУ] —

П 3 дП

д

] —У' [УjGD'm(х, у) ?(у)с1у п 3

Здесь и^у^ — угол между иу и у^. Тогда

(1 + GD'm(х, у)^(у)(1у-

/д Г п Л д

GD,m(х, У)Р—рР)1 (У)(1У = у GD,ш(х, У) УЭ 5(У)(1У п п з=1 3

д

^ —у - [yiGD'm(х, у)^(у)лу

П з=1

Следовательно, верно равенство

(п+р!)

п + р ^ ) GD,m ( х, ) ( ) .

GD,m(х, у) (^2т + а + р--^ /(у)(Ну =

^22т + а — п — р—р^ GD,m(х, у)}(у)¿у.

Равенство (8) доказано, □

Следствие 1. Пусть ¡(х) £ СЛ+1(П). Тогда, решение задачи, (5) существует, единственно и представляется, в виде

и( х)

"^а + 2т — п — р—р^ GD,m

( х, )

( ) .

(9)

0

1

3. Построение функции Грина

В этом пункте мы построим функцию Грина основной задачи. Пусть рдр = Уцдд~.

р .=1 У-

Сначала приведем некоторые вспомогательные утверждения

Лемма 4. Для функции д(х, у) = 1 х\у\ —-

\х-

>т-1 -2-П!

| х

\х — у\2т-п(д2(х, у) — 1)т-1д2-п(х, у) Доказательство. Так как

справедливо следующее равенство (1 — \х\2)т-1(1 — \у\2)т-1

-\У\ — |-|

п 2

(10)

Ау\ — |-г

— \х — у\2 = (1 — \х\2) (1 — \у\2)

то из представления функции д(х, у) следует

к — У\2т-п{д2(х, у) — 1)т-1д2-п(х, у) = \х — у\

-п (1 — Ют-1(1 — \у\2 )

2 т п

2 т- 1

X

\х — у\

п 2

\Х — у\2т-2

2 т- 1 2 т- 1

■X

(1 — и2Г-1 (1 — \у\2)'

п- 2 п- 2

х\у \ \-\ х\у \ \-\

□

Лемма 5. Справедливы следующие равенства

— +

др ¿8

д (1 др ¿8

{% + \8Х — У\2т-п = (2т — П)\8Х — у\2т-п, {Р~др + 8g(sX, У) = 9(вХ, У)

8 2\х\2\у\2 — 1

ЩУ\ —

(П) (12)

Доказательство. Последовательно применяя операторы рддр,ж к функции ^х—у\2 имеем

{% + 81) \8Х — у\2т-п = (2т — п)\8х — У\2(т-1)-п (\У\2 — У)) +

+ (2т — п)\вх — у\2(т-1)-п (52\;г|2 — в(х, у)) =

(2т — п)\з х — у\2т-п.

(2т — п)\зх — у\2т-п\У1—<Х, У) + 2 — °(х, У)

Равенство (11) доказано. Далее,

\ вх — у \ 2

{% + 81) 9(8Х, У) = \8Х — У Г1 '{% + 81)

8Х\У\ -

+

+

8Х\У\ -

+ * 1) с^ — у\-1^ = \8х — у\-1 ■2

5 \ж|2\у\2 — в(х, у)

ЩУ\ —

8Х\У\ -

л.

\у\

\эх — у\ (\у\2 — s(x, у) + \82у\2 — s(x, у))

2

1 ,2¿2[\х\2\У\2 — в(х, У)

8х\у\ — Ы

5х1 у\ — Ы

«х1 У\ — щ

х — у\

282\х|2\у\2 — 2з(х, у)

X

«х1 у\ — щ

1

х — у\ \зх — у\

2| х 2| |2 — 1

X

= 9(вх, у)

$х\У\ — Щ

2

Равенство (12) также доказано.

Лемма 6. Справедливо следующее равенство

А

др ¿8

□

д

( р—р + GD,m(sх, у) = (2т — п)GD,m(sх, у) —

п

5 х\у \ ¿1

— Кт,п(1 — з2\х| 2Г-1(1 — \у\2Г-11 *2\х| ^

где Кт п определяется равенством (4).

Доказательство. Используя представление функции GD,m(х, у), имеем

д{зх,у)

р—^П,т(8х, у) = Кт>п i (I2 — 1)т-Н1-пМр— \зх — у\2т-п +

1

(13)

д

+ Кт,п\8 х — у\2т-п(д2 — 1)т-1д1-пр -рд (з х, у)

Аналогично,

д{зх,у)

^ Г1 ( \ ьг ( (->22 1\т-1+1-п

х, У) = Кт,п

аз

(I2 — 1)"1-Ч1-п(И 8 4-\8х — у\2т-п +

ав

&

+ Кт,п\з х — у\2т-п(д2 — 1)т-1д1-па-д(з х, у)

Отсюда

9(эх,у)

«2 — ^"^(р—р — у\2"+

[ д

+Кт>п\з х — у\2т-п(д2 — 1)т-1 д1-Ч р— + з —\ д(8 х, у).

а & др ¿8

Далее, используя равенства (11),(12) и (10), окончательно получаем

/ а (I \

удр + вЦ) GD>m(sх, у) = Кт,п(2т — п)\зх — у\2т-п

а(зх,у)

{12 — 1)т-111-п<И+

+ Кт,п\8х — у\2т-п(д2 — 1)т-1д1-пд(ах, у)

2| х 2| |2 — 1

$х\У\ — -щ

2

2

(2m - n)GD,m(sх, у) - Km,n(1 - в2\х|2)m-1(1 - \y\2)m-11 ^^*

*х\у\ - щ

□

Приведем основное утверждение относительно функции Грина задачи (5),

Теорема 1. Пусть а > 0, 0 <А< 1 и ¡(х) Е СЛ+1(П). Тогда решение задачи, (5) можно представить в виде

и(х) = Ga(х, y)f(y)dy,

(14)

где функция Грина, Са(х, у) имеет вид

Ga(x, у) = GD,m(x, у) +

+ Km,n(1 -\у\2) s

-1 r„a-1 (1 - S2lxlT-1(1 - 321х12Ы2)

щу\ - щ

ds. (15)

Доказательство. Если ¡(х) Е СЛ+1(П), то в силу утверждения Леммы 2 решение задачи (5) существует, единственно и представляется в виде (7), где у(х)— решение задачи Дирихле (1) с функцией Р(х) = (гд + 2т + а) ¡(х). Далее, в силу утверждения Следствия 1 решение задачи (5) можно представить в виде (9), т.е.

и( х)

д

Обозначим

s a [a + 2m -n - p—)GD,m(s х, y)

( ) .

1 д a + 2m - n - p—

V dPJ

0

Исследуем функцию

(a + 2m -n - рд^ GD,m(s х, y). В силу равенства (13) получаем

GD,m(Sх, у) = ^s-- +

+ Km,n(i - \у\2)

Ga(х, У) = J sa ^ a + 2m -n -pd^)GD,m(s х, y)ds. 0

^a + 2m -n - p ^^ GD,m (s х, y) = ( S-- + a ) GD,m(s х, y) +

dp,

(16)

1 (1 - 821х12)т-1(1 - 82\х\2\у\2)

щу\ - щ

С другой стороны, 1

sa 1 M -— + aj GD,m(s х, y)ds = Î — [s aGD,m(S х, y)] -S = G D,m^, У).

Отсюда для функции Са(х, у) получаем равенство (15), а для решение задачи (5) представление (14), □

n

1

1

n

1

п

s х\у \ \у\

Следствие 2. Если т = 1 , то функция Грина задачи Робена для уравнения Пуассона представляется, в виде

1

Са(х, у) = Свл(х, у) + — [ 8а-11 - ^^¿з.

0

Данное представление в случае п = 2 получено в работе [7], а в случае п > 2 в работе [8], Теперь приведем некоторое обобщение задачи (5), Пусть а^,] = 1, 2,... ,т положительные действительные числа. Введем обозначения

Г(1) = Г • Г Г О 1

Г а1,а2,...,ае = Г аг Г а2 . . . Г ае , 1 ^ 1.

4-V-'

I

Аналогичным образом можно исследовать следующую задачу

(-А)ти(х) = /(х), х Е П, Га%2_ак М(х) = 0, х € дП, к = 1,2,...,т. (17) Приведем без доказательства основное утверждение относительно задачи (17),

Теорема 2. Пусть а^ > 0, у = 1, 2,... ,т, 0 < Л < 1 и ¡(х) Е СЛ+1(П). Тогда решение задачи (17) существует,единственно и его можно представить в виде

и(х)= Саг(х, y)f(y)dy,

где функция Грина, Gai (х, у) имеет вид

Gai (х, у)

GD,m(x, у) + Кт,п(1 - \у\ )

2\т—1

sai-i(i 2\x\T-1(i-| ;2\х\2\у\2)ds.

sx\y\ - м

i

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. F. Gazzola, H.-Ch. Grunau, S. Guido Polyharmonic Boundary Value Problems. Berlin : SpringerVerlag. 2010. 429 p.

2. T.S. Kal'menov, D. Suragan On a new method for constructing the green function of the Dirichlet problem for the polyharmonic equation // Differential Equations. V. 48, No. 3. 2012. P. 441-445.

3. T. Kal'menov, B. Koshanov, M. Nemchenko Green function representation for the Dirichlet problem of the polyharmonic equation in a sphere //Complex Variables and Elliptic Equations. V. 53(2). 2008. P. 177-183.

4. Карачик В.В. Функция Грина задачи Дирихле для полигармонического уравнения при полиномиальных данных // Известия Саратовского университета. Нов. сер. Серия Математика. Механика. Информатика. Т. 14, вып. 4. 2014. С. 550-558.

5. A. Kumar, R. Prakash Dirichlet problem for inhomogeneous polyharmonic equation // Complex Variables and Elliptic Equations. An International Journal. V. 53, Issue 7. 2008 . P. 643-651.

6. Турметов Б.Х. О разрешимости одной краевой задачи для, неоднородного полигармонического уравнения с граничным оператором дробного порядка, // Уфимский математический журнал. Т. 8,№ 3. 2016. С. 160-175.

7. М.А. Sadvbekov, В.Т. Torebek, B.Kh. Turmetov On an explicit form of the Green function of the Robin problem for the Laplace operator in a circle // Adv. Pure Appl. Math. V. 6, No. 3. 2015. P. 163-172.

8. Карачик В.В., Турметов Б.Х.О функции Грина, третьей краевой задачи для, уравнения Пуассона/ / Математические труды. Т. 28, № 1. 2018. С. 17-34.

9. Торебек Б.Т. Функция Грина третьей краевой задачи в шаре // Математический журнал. Т. 15, № 1. 2015. С. 89-100.

10. Баврин И.И. Операторы для гармонических функций и их приложения // Дифференциальные уравнения. Т. 21, № 1, 1985. С. 9-15.

11. Баврин И.И. Интегро-дифференциальные операторы, для гармонических функций в выпуклых областях и их приложения // Дифференциальные уравнения. Т. 24, № 9, 1988. С. 1629-1631.

12. B.Kh. Turmetov, R.R. Ashurov On solvability of the Neumann boundary value problem for a non-homogeneous polyharmonic equation in a ball // Boundary value problems. V. 2013, No.162. 2013. P. 1-15.

13. A.E. Bekaeva, V.V. Karachik, B.Kh. Turmetov Solvability of some boundary-value problems for polyharmonic equation with Hadamard-Marchaud boundary operator // Russian Mathematics. V. 58, Issue 7, 2014. P. 11-24.

14. Бицадзе А.В. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1982. 336 с.

Батирхан Худайбергенович Турметов,

Международный казахеко-турецкий универетитет им. А. Яеави, ул. Б. Саттарханова, 29, 161200, г. Туркестан, Казахстан. E-mail: turmetovbh@mail.ru