О форме замкнутой полости, в которой существуют однородные вихревые движения идеальной несжимаемой жидкости Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 531.38; 532.5

О форме замкнутой полости, в которой существуют однородные вихревые движения идеальной несжимаемой жидкости

С. Н. Судаков

Институт прикладной математики и механики НАН Украины ул. Розы Люксембург, 74, Донецк, Украина, 83114 висІакоуСїіатт. ас. (іопеі вк. иа

Получено 03 октября 2009 г.

В работе С. В. Жака [1] рассмотрен вопрос об отыскании форм полостей вращения, в которых может существовать однородное вихревое движение идеальной несжимаемой жидкости. В настоящей работе эта задача решается без предположения, что граница полости есть поверхность вращения.

Ключевые слова: однородное вихревое движение, идеальная несжимаемая жидкость, полость, теоремы Гельмгольца о вихрях

S. N. Sudakov

On the form of a closed cavity in which there exist homogeneous vortex motions of an ideal incompressible fluid

The paper of S. V. Jaques [lj is concerned with the problem of finding forms of rotation cavities in which there can exist a homogeneous vortex motion of an ideal incompressible fluid. This paper solves this problem without the assumption that the boundary of the cavity is the rotation surface.

Keywords: the homogeneous vortex flows, incompressible inviscid fluid, cavity, the theorems of Helmholtz

Mathematical Subject Classifications: 76M23

Постановка задачи

Рассмотрим случай неподвижной полости. Пусть Ожіж2жз — неподвижная прямоугольная декартова система координат. Движение жидкости в полости описывается уравнениями

|^ + = (1)

(1іл^ = 0 (2)

с граничными условиями V ■ V |^ = 0 гДе Б — граница пол ости, V — вектор нормали к

границе. При однородном вихревом движении жидкости вектор вихря ГІ = Ігоі V не зависит

от координат Жі,Ж2,Жз. Векторное поле V можно найти по его вихрю и расхождению [4]:

V = П х х — V р, (3)

где х = (жі,ж2,Жз), р — гармоническая функция с граничным условием

І4=(Пхх)-ІЛ (4)

Уравнения Гельмгольца, описывающие изменение вектора вихря, имеют вид [4]

§ = <п'у>у-

Используя (4) и учитывая, что П те зависит от координат жі,ж2,жз, перепишем уравнения Гельмгольца в виде

= і = 1,2,3, (5)

аж*

где Пі, П2, Пз — компоненты вектора П.

При однородном вихревом движении П*, і = 1, 2, 3, те зависят от координат жі,ж2, жз. Тогда для существования в полости однородного вихревого движения необходимо и достаточно, чтобы правые части выражений (5) не зависели от жі, ж2, жз, если р — гармоническая функция с граничным условием (4).

Таким образом, надо найти границу Б замкнутой полости, для которой правые части выражений (5) не зависят от жі, ж2, жз.

Решение задачи

Граничные условия (4) можно записать так:

дір д V

= (ж2^з — жз^2)Пі + (жз^і — жі ^з)П2 + (ж^2 — ж2^і )Пз.

5

Следуя работе [2], функцию р представим в виде

з

Р = ^ Р*П*, (6)

где p*, i = 1, 2, 3, — гармонические функции с граничными условиями

dp1

= Ж2^3 - Жз^2 (123). (7)

Обозначим правые части уравнений (5) через Х*(П), г = 1, 2, 3. Используя (6), получаем

3

Хг(^) = ' У)^'%, * = 1,2,3. (8)

* *=1

Функции х*(П), г = 1, 2, 3, однородны относительно П1, П2, П3:

3

Х*(П)=£ *П*Пк, г = 1,2,3. (9)

*,к=1

Если х*(П), г = 1, 2, 3, те зависят от Ж1, Ж2, Ж3 при любых П из множества |П - П0| < 6, где £ И По, соответственно, некоторое положительное ЧИСЛО И вектор, ТО А*к не зависят ОТ Ж1,Ж2,Ж3- Вычисляя ОТ (8) вторые производные ПО П1, П2, П3 И учитывая, ЧТО А*к =

1 д2Х1

i, j, k = 1, 2, 3, находим

... У.. =4. j = 1,2,3,

dXidX j

d 2 p

2 dП

d2(flj

Oxidxj

dxj

2=2А^-Агя, i,j = 1,2,3, (10)

^ (&£ + дхг) “ 2^'’ i, j, k, - 1,2,3.

Левые части этих равенств не зависят от П1, П2, П3, а правые — от ж1,ж2 , ж3. Поэтому Ак*, г, ^’, к = 1, 2, 3, постоянны. Выражения для функций р*, найденные из (10), имеют вид

р* — 2 ^ у (2^»-/ )'):j ^ -г'1'т:):п ^ ' hjхj А,. (11)

j=i j=i

i = 1,2,3, i = m = n = i,

где £j + £j = —2Akj, i = j = k = i, a kj и A* — произвольные постоянные.

Из (6) и (11) следует, что функция p — многочлен второй степени относительно

xi, x2, x3

Подставив (11) в уравнение Лапласа, получим три соотношения для коэффициентов:

A1i + A1 + A2 = 0, 2A42 — A11 + A22 + A3 = 0, (12)

2A43 — A11 + А3з + A4 = 0

где A1 = 2A22 — A2^ A2 = 2A13 — A3^ A3 = 2A23 — A33> A4 = 2A23 — A3)2 •

Таким образом, если x* (fi), i = 1, 2, 3, не зависят от X1, X2, X3 при люб ом fi из множества |fi — fio| < 5, где 5 и По, соответственно, некоторое положительное действительное

число и вектор, то существуют гармонические многочлены р*, і = 1, 2, 3, вида (11), удовлетворяющие граничным условиям (7). Из выражения (8) следует, что существование таких многочленов р*, і = 1, 2, 3, является достаточным условием независимости правых частей

(5) от х при любых значениях П.

Систему (5), описывающую изменение вихря П(і), после учета выражений (9) запишем

так:

3

й* = ^ А*кППк, і = 1,2,3. (13)

І,к=1

Лемма 1. Если П = 0, то векторы П и П не могут быть коллинеарными.

Доказательство. Предположим обратное. Пусть в некоторый момент времени £і выполнено неравенство П = 0 и П коллинеарен П. Не умаляя общности, будем считать, что при і = ^ направление оси Ож1 совпадает с направлением вектора П. Тогда в момент ^1 векторы П и П примут в ид П = (Пі, 0, 0), П = (П і, 0, 0), а система уравнений (13) будет выглядеть так:

П1 = -2А11П2, 0 = -2А?1 Пі, 0 = -2А31П?.

По предположению, П1 = 0 •П1 = 0. Поэтому А^ = 0 А21 = А11 = 0 и система (13) при

начальных данных П|^=^ = (П1, 0, 0) имеет единственное решение

П0

Пі = -------^—г---------------, П2 = Пз = 0.

1 + 2П°А}1(£ — £і)

Покажем,что это решение противоречит теоремам Гельмгольца о сохранении интенсивности вихревых трубок [3]. Для этого спроектируем объем, занимаемый полостью, на плоскость,

П

от времени. Рассмотрим любую вихревую трубку, имеющую в начальный момент времени конечную площадь ортогонального сечения. Так как выбранная вихревая трубка находится внутри полости, то площадь ее ортогонального сечения не превышает площади проекции объема полости.

По теореме Гельмгольца, должна сохраняться интенсивность вихревой трубки (произведение площади ортогонального сечения трубки на длину вектора вихря). Так как величина вихря с течением времени убывает и стремится к нулю, то площадь ортогонального сечения трубки должна возрастать и стремиться к бесконечности, т. е. должна превзойти величину площади проекции объема полости. Полученное противоречие доказывает справедливость леммы.

П

П = 0.

Доказательство. Разложим 17 та составляющие, одна из которых, Пр, параллельна П, а другая, Пг, ортогональна П. Возьмем единичную сферу и из ее центра проведем луч,

П

Пт вектор а П. Из (13) следует, что П является непрерывной функцией вектора П. Тогда ортогональная составляющая Пт вектор а П также будет непрерывной функцией вектора П.

П

на сфере непрерывное касательное векторное поле Пт (П). Это поле при некотором П = П0 должно иметь нулевую точку [5]. По лемме 1, Пт = 0, если П = 0. Поэтому ТІ = 0, если П = П0

Не умаляя общности рассуждений, будем считать, что направление оси Ожі совпадает с направлением вектора По- Тогда при П = (П1; 0.0) го уравнения (13) получим 2А11П2 = 0,

і = 1, 2, 3, откуда А11 = 0.

Соотношения (12) примут вид

Аі + А2 = 0, 2АІ2 + А22 + Аз = 0, 2А|з + А33 + А4 = 0. (14)

Выражения (11) запишутся так:

з

(рі = | Ахх\ - |Ахх\ - єіж2ж3 + ^ кцХ3 + Аі,

і=і

3

р>2 = А\2х\ + ^А\2х\ + ^А3Жд + А22Ж1Ж2 - £2Ж1Ж3 + А22Ж2Ж3 + ^2 ^2jXj + А2,

^=1

3

Рз = ^зж1 + |^4Ж2 + |^1зж3 - £зЖ1Ж2 + А33Ж1Ж3 + ^1зж2Жз + ^ к^Хз + Аз-

^=1

Подставив выражения для р, г = 1,2,3, в (7), получим соотношения, которые должны выполняться на границе полости:

ки^1 + [А1Ж2 + (1 - £1 )жз + ^12]^2 + [-(1 + £1 )Ж2 - А1Ж3 + &13]^3 = 0,

[2А12Ж1 + А22ж2 — (1 + £2)ж3 + к21 ]^1 + ( А22ж* + к22 1 ^2 +

г=1 '

+ [(1 — £2 )ж1 + А3>2 ж2 + А3Ж3 + к23]^3 = 0, (15)

2

[2 Al3 Ж1 + (І — є3 )ж2 + Аіі3ж3 + k31 ]v1 + [—(І + Є3 )ж1 + А4ж2 + А32ж3 + k32]v2 +

+ ^А3зж* + k33^ v3

Покажем, что кц = 0. Действительно, если П = (1, 0, 0), то движение частиц жидкости будет описываться следующей системой уравнений:

Ж 1 = kii, Ж2 = А1Ж2 + (1 - £2)ж3 + ki2, Ж3 = -(1 + £1)^2 - AiЖ3 + ki3,

где xi, Ж2, Ж3 — координаты рассматриваемой частицы.

Первое уравнение интегрируется независимо от двух других, и его решение имеет вид Ж! = kiit + ж0, где ж0 — координата ж1 рассматриваемой частицы жидкости при t = 0. Если полость замкнута, то Ж1 должна быть ограниченной, что возможно только при kii = 0.

Лемма 3. Если граница полости не имеет двумерных участков, на которых Vi = V2 = 0, то всякая линия пересечения ее с плоскостью xi = const будет описываться уравнением

(1 + £i)ж2 + (1 - £i)ж2 + 2 А1Ж2Ж3 - 2 ki3Ж2 + 2 ki2Ж3 = Z, (16)

где Z _ параметр, принимающий определенное значение на каждой линии пересечения.

Доказательство. Придавая параметру Z допустимые значения, покроем плоскость Ж1 = const семейств ом D, линии которого описываются уравнением (16). Вектор нормали К ЛИНИЯМ ЭТОГО семейства П, лежащий В ПЛОСКОСТИ Ж1 = const, имеет компоненты

П1 = 0, П2 = (1 + £i)Ж2 + А1Ж3 - ki3, П3 = (1 - £1 )Ж3 + А1Ж2 + ki2.

Линию пересечения плоскости ж1 = const с границей полости обозначим через I, а касательный к ней вектор — через т. Компоненты вектора т найдем из первого выражения (15):

Т1 = 0, Т2 = AiЖ2 + (1 - £1 )Ж3 + ki2, Т3 = -(1 + £1 )Ж2 - А1Ж3 + ki3.

В каждой точке линии I векторы п и т связаны соотношением п ■ т = 0. Следовательно, /принадлежит семейству D или является его огибающей. Однако семейство D огибающей не имеет, и линия I будет описываться уравнением (16). Лемма доказана.

Предположим, что условия леммы 3 выполнены. В случае замкнутой полости уравнения (16) описывают семейство эллипсов. Не умаляя общности, будем считать, что ось Ож1 проходит через их центры, а Ож2 и ОЖ3 совпадают с главными направлениями. Тогда А1 = ki2 = ki3 = 0 и (16) примет вид (1 + £1)ж2 + (1 - £1)ж2 = (.

Границу полости зададим соотношениями

ж2 = a(ж1)cos а, ж3 = ba^^sin а, (17)

где b = \J(1 —|— бг 1)/(1 — £i), а(х\) — кусочно-гладкая неотрицательная функция, в общем случае многозначная, 0 ^ а ^ 2п. Компоненты вектора нормали имеют вид

v1 = -6а(ж1)а/ (ж1), v2 = ba^^cos а, v3 = а(ж1 )sin а,

где а/(ж1) — производная от а(ж1).

Подставив выражения для v1,v2 , v3 в две последние формулы (15), получим

B sin2 а = B0 + B1 sin а + B2 cos а + B3 sin 2а,

(18)

C cos2 а = C0 + C1 sin а + C2 cos а + C3 sin 2а,

где

B = b(A22 - А3)а(ж1), Bo = b[A22а(ж1) - (2А!2Ж1 + k2i)a/(Ж1)],

Bi = b2(1 + £2)а(ж1 )а/(ж1) + (1 - £2)ж1 + k23,

B2 = b[-Al22a{xi)a'{xi) + A22 Ж1 + fc22], B3 = ^A\2{b2 + l)a(xi),

C = b(A33 - A^a^i), Co = b[A3зa(жl) - (2A^Ж1 + k3i)а/(ж1)],

Ci = -A!3 Ь2а(ж1)а/ (Ж1) + A!3 Ж1 + k33,

C2 = -b[(1 - £3)а(ж1)а/(Ж1) + (1 + £3)ж1 + k32],

С,з = |А23(62 + 1)а(Ж1).

Равенства (18) должны выполняться тождественно при всех допустимых значениях Ж1 и а. Для этого необходимо и достаточно, чтобы функция а(ж1) была решением системы уравнений

B (ж1,а) = 0, C (ж1,а) = 0, Bi(ж1 ,a) = 0, Ci(ж1,a)=0, i = 0,1,2,3,

которые в развернутом виде ВЬ1ГЛЯдЯТ так:

АІ^жі) = 0, А§з а(жі) = 0,

Ь(А22 - Аз)а(жі) = 0, 6(А3з - А4)а(жі) = 0,

А||а(жі) - (2А^жі + к2і)а'(жі) = 0,

Ь2(1 + Є2)а(жі)а'(жі) + (1 - Є2)жі + к2з = 0, -А2|а(жі )а'(жі) + А^жі + кц = 0, А|за(жі) - (2А^жі + кзі)а'(жі) = 0,

-А3з 62а(жі)а/ (жі) + 4з жі + кзз = 0,

-(1 - єз)а(жі)а/(жі) - (1 + Єз)жі + кз2 = 0.

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

Лемма 4. Чтобы уравнения (19)—(26) были совместны и имели решение, не равное тождественно нулю, необходимо и достаточно выполнения условий

Доказательство. Покажем, что 1 + £2 = 0, 1 — £3 = 0. Действительно, если 1 + £2 =

= 0, то для тождественного выполнения (22) необходимо равенство 1 — £2 = 0. Полученное противоречие доказывает справедливость утверждения. Используя (26), докажем второе неравенство.

Подставив выражение для а(ж1)а; (Ж1), найденное из (26), в (23), получим тождество 2А22 Ж1 — А22 кз2 + £22(1 — £з) = 0, ДЛЯ выполнения которого необходимо А22 = ^22 = 0. Аналогично, используя (22) и (25), докажем, что А33 = к33 = 0.

Равенства (19) и (20) дают А|2 = А33 = А^ — А3 = А^ — А4 = 0. Складывая А^ —

— А3 = 0 и А^ — А4 = 0 соответственно со вторым и третьим выражениями (14), находим

А12 + А22 = А13 + А33 = 0

Необходимость условий 1) доказана. При выполнении этих условий равенства (19), (20), (23), (25) справедливы для любой функции а(ж1).

Из уравнения (22) следует

где к1 = (1 — £2)/(1 + £2), к2 = —2к23/(1 + £2), в _ произвольная постоянная.

Подставляя (27) в (26), (21), (24) и учитывая А^ = — А2^ А^ = — А33, получаем

1) 1 + Є2 = 0, 1 - Єз = 0, А22 = А2з = 0, Аіі = кіі = Аіі + А*і = °,

62а2(жі) = -кіжі - к2жі + в,

(27)

3Аі2(1 - Є2)жі + [4к2з Аі2 + к2і (1 - Є2)]жі - Аі2в(1 + Є2) + к2ік2з = 0;

3Аіз(1 - Є2)жі + [4к2зАіз + кзі(1 - Є2)]жі - Аізв(1 + Є2) + кзік2з = 0-

Тождественное выполнение этих равенств, являющееся необходимым и достаточным условием совместности уравнений (21), (22), (24), (26), возможно при 62а2(ж1) ф 0 в том и только том случае, если

Ь2 (1 + £2 )(1+ £3) = (1 — £2)(1 — £3 ), Ь2к32 (1 + £2) = —£23(1 — £3),

АЬ = &21 = А13 = £31 = 0.

Лемма доказана.

Функция а(ж1) может быть многозначной, но точек ветвления не имеет. Действительно, каждая ветвь этой функции описывается уравнением (27). Параметры 6, К1, К2 выражаются через £*, г = 1, 2, 3, и £23 и одинаковы для всех ветвей. Если а(ж1) имеет точку ветвления, то выходящие из нее ветви будут иметь одинаковые значения параметра в и сольются.

Из соотношений (17) следует 62ж2 + ж^ = 62а2 (ж1). Подставляя сюда (27), находим уравнение границы полости

2 2 2 2

где

(ж1 + ^)2/61 + ж2/б2 + жд = в1 ,

й=Т^, Ъ\ = \+^, Ь1 = \(31=(3- ^

1 с-’ 1 — 1 с-’ 2 — 1 I с- > У1 — У . 2'

1 — £2 1 — £2 1 + £1 1 — £22

Постоянные 61,62 выражаются через коэффициенты многочленов р* единственным обра-в1

полости, приходим к выводу, что искомая граница либо эллипсоид, либо состоит из двух подобных соосных концентрических эллипсоидов.

Замечание 1. При решении задачи предполагалось, что искомая поверхность не имеет двумерных участков, на которых = v3 = 0. Это условие будет выполнено, если такие участки отсутствуют на части поверхности, заключенной между плоскостями х\ = На и х\ = Нь, где На и Нь — некоторые отличные друг от друга действительные числа.

Действительно, пусть на поверхности £ существуют двумерные участки Б*, г = 1,2,..., на которых v2 = V3 = 0. На каждом таком участке Х1 = Н*, оде Н*, г = 1, 2,..., — постоянные. Для части поверхности, заключенной между плоскостями х1 = На и х1 = Нь, справедлива лемма 3. Тогда будут справедливы доказанные в лемме 4 соотношения 1 + е2 = 01 — £3 = 0 А22 = Аз3 = 0. Применяя их к двум последним выражениям (15) и учитывая, что на Б*, г = 1, 2,..., выполняются равенства v2 = v3 = 0 и х2 = К*, получаем

[2А12Нг + к21 — (1 + &2)х3 ]V1

[2А13Н* + к31 + (1 — &3)х2 ]v1

= 0,

= 0.

Я*

Так как v1 = 0 на Б*, 2А12Н* + к21 и 2А];3Н* + к31 — константы, то 1 + е2 = 0 и 1 — е3 = 0, что противоречит неравенствам 1 + е2 = 0 и 1 — е3 = 0. Полученное противоречие доказывает справедливость утверждения.

Замечание 2. Полученный в работе результат можно распространить на случай оболочки, имеющей только одну неподвижную точку. Справедлива следующая теорема.

Теорема. Если твердое тело с одной неподвижной точкой имеет замкнутую полость, целиком заполненную идеальной несжимаемой жидкостью, совершающей однородное вихревое движение, причем вектор П и вектор угловой скорости оболочки и могут принимать любые значения из множеств \П — По| < б1 и \ш — и01 < б2; где П0 и и0 —

некоторые векторы, а 5\ и £2 _ произвольные малые положительные числа, то граница полости является эллипсоидом или состоит из двух подобных соосных концентрических эллипсоидов.

Для доказательства можно использовать приведенные выше рассуждения, изменив их следующим образом. Учитывая, что полость подвижна, выражения (4), (6), (8) заменим следующими:

д 3 — = (П X х)г/ - (ш X х)у, (Р = (Рг (Пг — ил),

5 *=1

3

Х*(П, ш) = -7^- ^^(П • ~ и)]), г = 1,2,3.

* *=1

Вводя вектор £ = (£1, £2, • • •, £б), ВД6 £* = П*, £*+3 = ш*, * = 1, 2, 3, представим х* так:

*«> = - <*»>• * =1ал (28)

*=1

Функции х* однородны относительно £1, £2, • • •, £в:

3

х*(£)=Е *£*£к, * = 1,2,3,

*,к=1

где — константы.

Вычисляя от формул (28) вторые производные по £1, £2, £3 и используя равенства А*^ =

1 О2

= - 1 , приходим К уравнениям (10), ИЗ которых следует, ЧТО Рг, I = 1,2,3, имеют

2 °Е,к

вид (11).

Таким образом, если векторы П и ш удовлетворяют уеловиям |П — По | < £1, |ш —

— шо| < £2, то необходимым и достаточным условием независимости правых частей уравнений (5) от х будет существование гармонических многочленов р*, * = 1, 2, 3, вида (11), удовлетворяющих граничным условиям (7). Из (28) видно, что существование таких многочленов р*, * = 1, 2, 3, обеспечивает независимость правых частей уравнений (5) от х при любых значениях Пи ш.

Положив ш = 0, сведем доказательство к случаю неподвижной полости.

Список литературы

111 Жак С. В. О возможности квазитвердого вращения жидкости // ПММ, 1957, т. 21, вып. 4, с. 569-570.

[2] Жуковский Н. Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные однородною капельною жидкостью // Собр. соч. М.-Д.: Гостехиздат, 1948. Т. 1, с. 31-170.

[3] Жуковский Н.Е. Теоретическая механика. М.-Л.: Гостехиздат, 1950. 811 с.

[4] Кочин Н.Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика: Ч. 1. М.: Физматгиз, 1963. 584 с.

[5] Спеньер Э. Алгебраическая топология. М.: Мир, 1971. 680 с.

[6] Stekloff W. Sur le mouvement d’un corps solide ayant une cavite de forme ellipsoi'dale remplie par un liquide incompressible et sur les variations des latitudes // Ann. Fac. Sci. Toulouse, Ser. 3, no. 1, 1909, pp. 145-256.