CC BY
52
------------------------------------------------------- © А.Ю. Бауков, 2009
УДК 534.232 А.Ю. Бауков
О ФИЗИКЕ ПРОЦЕССОВ ИЗГИБНЫХ КОЛЕБАНИЙ ПЛАСТИН ПРИ УДАРНОМ ВОЗДЕЙСТВИИ РАЗЛИЧНОЙ ДЛИТЕЛЬНОСТИ
Приведены результаты практической реализации виброакустического метода контроля многослойных объектов
Ключевые слова: колебания многослойных конструкций, виброакустический метод, амплитудная спектральная плотность.
Семинар № 2
A. Y. Baukov
THE PHYSICS OF DIAMETRICAL MODES DURING THE IMPACT ACTION OF DIFFERENT DURATION.
The results of the study on vibroacoustic method of controlling the multi-layered objects are given.
Key words: vibrations of multi-layered constructions, vibroacoustic method, amplitude spectral density.
ТЪ предыдущих работах [1, 2] были проведены расчеты спектров откликов тонких пластин на ударное воздействие различной длительности. Данные расчеты были выполнены по широко известной методике [3], при использовании которой задается комплексная частотная характеристика объекта (в данном случае основной изгибной моды пластины) K (р) и спектр ударного импульса ST (р). В этом случае искомый
спектр отклика основной моды на ударное воздействие определяется
S(Р) = K(Р) ■ Sт (Р). (1)
В результате таких расчетов, выполненных при различной длительности Т ударного импульса, задаваемого в виде одного полупериода косинусоиды, полу-
чено, что форма спектра результирующего сигнала весьма сильно зависит от длительности ударного импульса т . Так при относительно малой длительности спектр виброакустического импульса своей формой очень похож на форму частотной характеристики пластины на ее отдельной изгибной моде и представляет собой ярко выраженную одногорб-ную кривую, максимум которой приблизительно соответствует собственной частоте изгибных колебаний пластины на этой моде. В случае увеличения длительности т в спектре отклика начинают появляться дополнительные максимумы, причем при некоторых значениях т амплитуда этих максимумов бывает сравнимой с основным максимумом, соответствующим собственной частоте колебаний пластины.
При практической реализации виб-роакустического метода контроля многослойных объектов указанное явление не только приводит к созданию значительных помех при интерпретации результатов контроля, но и зачастую может инициировать ложные выводы о наличии дефектов в исследуемых конструкциях
Для исключения таких ошибок необходимо выбирать соответствующие значения длительности ударного импульса т , что возможно в случае правильного
объяснения природы изгибных колебаний пластин при ударном воздействии на них.
Известно, что каждую из собственных изгибных мод тонкой пластины (включая и основную моду с собственной частотой а 0) можно заменить эквивалентной колебательной системой с одной степенью свободы с соответствующими эквивалентными параметрами M *, R *, C * [5]. В работе [6] показано, что при действии на колебательную систему с одной степенью свободы короткого прямоугольного импульса с амплитудой Е0 и длительностью т, спектральная плотность которого соответствует непрерывному спектру с постоянной амплитудой I
т
Sт (а) = | Е0 e-]ШЧг = Е0т = I, (2)
0
отклик такой системы в виде зависимости ее смещения от времени t имеет вид:
£ =
А 1 + 84®'
M
е — cos(а*t + р), (3)
где р = arctg — ; а =^0 - Я2 ; — ао
- временной коэффициент затухания.
С другой стороны, Фурье-составляющие спектра импульса, содержащиеся в узком элементарном диапазоне частот dа, возбуждают каждую форму собственных колебаний системы так, как если бы на нее действовала
внешняя сила Ее ]мёа [6]. В связи с
этим воздействие на осциллятор коротким ударным импульсом равноценно равномерному гармоническому возбуждению его в пределах всего частотного диапазона, соответствующего спектру короткого импульса. А так как отклик
осциллятора имеет резонансный характер, на систему эффективно будут воздействовать лишь те спектральные составляющие, частоты которых расположены вблизи резонансной частоты системы (д*{), а остальная часть спектра будет подавлена [5]. Таким образом в спектре виброакустического отклика на основной гармонике пластины будет четко проявляться резонансный максимум.
Амплитудная спектральная плотность, например прямоугольного импульса с амплитудой и длительностью т записывается следующим образом [3]:
т
2
, I = ^Пт.
(4)
2
Амплитудная спектральная плотность прямоугольного импульса постоянна на низких частотах и с увеличением частоты уменьшается при увеличении длительности импульса т , когда она приближается к половине периода спектральной составляющей Т или превышает его:
ат ж ж Т
----> — или т > — = —. (5)
2 2 а 2
Качественно аналогичный вывод
можно сделать и для импульсов другой формы, ограниченных временем т , в частности для отрезка косинусоиды (рис. 1):
т
сова —
2
і-|2
2.
(6)
г
2
2
Т /1 тах Л /о ¿2 ЛТ7 Г Т0 ¿Т № рис.
0.1 7.2 10 0.028 336 348 0.034 0.0029 0.97 -
0.01 74 100 0.26 310 350 0.113 0.0028 0.72 -
0.005 169 200 0.0153 360 348 0.035 0.0029 0.42 2
0.00288 - 347.2 - 334.4 347.7 0.038 0.00288 0 3
0.001 - 1000 - 344 346 0.0058 0.00289 -1.89 4
0.0001 - 10000 - 347.4 347.7 0.00086 0.0029 -28 5
При увеличении длительности импульса т основной лепесток его спектра, в котором заключено до 90% энергии импульса, начинает сужаться, что равнозначно перемещению первого нуля спектральной плотности импульса вдоль оси частот влево. Вследствие этого при относительно большой величине т , частота первого нуля спектра импульса становится значительно меньше собственной а)
частоты изгибной моды пластины ©Г, в
1
0.75
вит! %■— | 0.5
025
0
б)
(/)
0.75
0.5
025
/ (Г )
1 V )
1 .5
4.5
\
> > \ с/
^ и і і )
\
результате чего в пределах диапазона резонансных частот эквивалентного осциллятора (в пределах максимума частотной характеристики К (/)) доля общей энергии импульса является незначительной и при определенных реальных величинах эквивалентных потерь на данной моде ¿э спектральные составляющие отклика могут иметь значительно меньшую амплитуду, чем в случае короткого импульса. Кроме того локальный спектральный максимум может перемещаться по оси частот и совпадать с частотой ближайшего локального максимума спектра импульса.
В то же время в низкочастотном диапазоне основной лепесток спектральной плотности ударного импульса, спектральная амплитуда внутри которого во много раз превышает амплитуду высокочастотной области спектра,
6
2
Рис. 1. Единичный синусоидальный импульс (а) и модуль его спектра (б)
0
1
0
1
3
4
а)
1
0.75 |ЗД| 0.5 0.25 0
0
375
б
750
f
1125
1500
6-10
|N(f)4-10 '
2-10
0 125 250 375 500 625 750 875 1000
f
Рис. 2. Модули спектральной плотности ударного импульса при Т = 0.005 с (а) и виброакустического отклика пластины (б)
1
0.75 |S(f)| 0.5 0.25 0
375
750
1125
1500
б)
| N( f) 2-10 6
0 125 250 375 500 625 750 875 1000
f
Рис. 3. Модули спектральной плотности ударного импульса при Т = 0.00288 с (а) и виброакустического отклика пластины (б)
будет на левой ветви области амплитудно-частот-ной характеристики основной моды пластины (ее частотной характеристики) проявляться в виде одного (или нескольких) амплитудного максимума, спектра результирующего сигнал, частота которого ниже собственной частоты основной моды пластины. Причем при очень большой относительной длительности ударного импульса возможны эффекты сложной интерференции спектров (р) и частотной характеристики пластины.
При этом можно предположить, что частота низкочастотного дополнительного максимума спектральной плотности отклика пластины на ударное воздействие с относительно большой длительностью Т будет располагаться в районе частот наибольшего спада спектральных амплитуд импульса возбуждения (частоты
- 1
сре3а) Jmax * - . Мини-
Т
мальным значением длительности ударного импульса Tmn, при котором на спектрограмме будет наблюдаться превалирующий спектральный выброс, соответствующий собственной частоте J основной моды пластины, можно считать 1
Tmin T0
Jo
7
8-10
0
-6
4-10
3 -10
1 -10
0
а)
1
0.75 |S(f)| 0.5 0.25
500
1000
1 500
2000
2500
б)
|N(f)| 5-10 '
вовала / — 339 Гц. Результаты таких расчетов представлены в таблице, а примеры наиболее типичных спектров с разными значениями т - на рис. 2 - рис. 5.
Из таблицы и рисунков видно, что при длительности ударного импульса т , при которой в спектрограмме отклика возникают дополнительные максимумы с частотой / , относительная разность
/шах /1
с частотой
спек-
500
f
^ =■
1 f
J max
наибольшего спада тральных амплитуд составляет не более 30%. Кроме Рис. 4. Модули спектральной плотности ударного импуль- того, ПраКтИЧесКое отсутст-са при Т = 0.001с (а) и виброакустического отклика пла- вие в сПеКтре ВИброаКустИ-стины (б) ческого отклика дополни-
тельных максимумов наблюдается при длительности ударного Для проверки данных положений были импульса Т , равной или превышающей проведены расчеты модуля спектральной период собственных колебаний основ-плотности виброакустического отклика ной изгибной моды пластины прямоугольной плиты толщиной
И — 0.2м с размерами сторон а —1.5 м; Ь — 1м при действии на нее ударной силы с единичной амплитудой и длительностью ударного импульса Тг — 0.1; 0.01; 0.005; 0,00288; 0,001; 0,0001 с.
1
Т0 =----------. При этом, чем сильнее данное
0
*
, тем меньшая относительная разность частоты максимума спектра отклика / и собственной час-
Указанные расчеты выполнялись для тоты основной моды пластины f0 .
импульса в виде отрезка косинусоиды на основании выражений (1) и (6). В
каждом случае измерялись частоты ярко
Аналогичные расчеты были выполнены для основных мод изгибных колебаний пластин с более высокими значе-
выраженных спектральных выбросов и
^ ^ ^ ниями собственных колебаний /п (для
их значения сравнивались с частотой 0
наибольшего спада спектральных амплитуд импульса / и с собственной частотой пластины / , которая соответст-
более тонких пластин с меньшими поперечными размерами а и Ь),
0
0
-5
1 -10
7 5-10
а)
0.75
|S(f)| 0.5
0.25
б)
IN (f) I
8750
1.75 10 f
2.6310
,4
3.5-10
1000
f
а также для более высоких изгибн^1Х мод /12 — 651 Гц и /21 —1048 Гц для рассмотренной выше пластины. Результаты таких расчетов показали, что и в этих случаях имеют место отмеченные выше закономерности. При этом чем выше собственная частота колебаний пластины, тем меньше должна быть длительность ударного импульса, при которой регистрируемая сейсмограмма виб-роакустического отклика пластины имеет оптимальные характеристики с точки зрения повышения надежности виброакустической диагностики многослойных
Рис. 5. Модули спектральной плотности ударного импульса при Т — 0.0001с (а) и виброакустического отклика строительных объектов пластины (б)
1
0
0
-5
1 -10
-6
7.5-10
-6
5-10
-6
2.5-10
0
0
1250
500
1750
1. Бауков А.Ю., Павлов С.В., Гуляева Н.А. Оптимизация ударной системы при виб-роакустическом контроле многослойных конструкций подземных сооружений городского строительства. Доклад на научном симпозиуме «Неделя горняка - 2006» // Программа научного симпозиума. - М.: МГГУ, 2006.
2. Бауков А.Ю., Павлов С.В. Компьютерное моделирование процессов изгибных колебаний упругих пластин применительно к оптимизации виброакустического метода контро-
---------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
ля // Горный информационно-аналитический бюллетень - МГГУ, 2005, №6.
3. Бауков Ю.Н., Бауков А.Ю. Виброаку-стический метод контроля в горном деле и строительстве. Учебное пособие. - М.: МГГУ, 2006.
4. Харкевич А.А. Спектры и анализ. - М: ГИТТЛ, 1957.
5. Скучик Е. Простые и сложные колебательные системы. - М.: Мир, 1971.
6. СкучикЕ. Основы акустики. Т.1. - М.: «Мир», 1976. ЕШ
— Коротко об авторе
Бауков Ю.Н. - доцент кафедры ФТКП факультета ФТ, Московский государственный горный университет, Moscow state mining university, Russia, [email protected]
