CC BY
12
УДК 531.51
О ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКОЙ ГРАВИТАЦИИ
А. И. Никишов
С помощью теории источников я рассматриваю следствия использования теоретико-полевой 3-гравитонной вершины вместо соответствующей вершины общей относительности. В качестве примера я изучаю низшие нелинейные члены внешней метрики сферически-симметричного тела. Рассмотрение наводит на мысль о том, что метрику не следует получать из решения гравитационного уравнения. Кроме того, создаётся впечатление, что, начиная с нелинейных членов, концепция пробной частицы применима только в нерелятивистском пределе.
Ключевые слова: феноменологическая гравитация, С2-приближение, теория источников.
Используются следующие обозначения
9и = + + К+ ■ ■ ■ , « Оп, К = Ккк, дк
К,г = ^ , = ^(-1, 1, 1, 1). (1)
(2)
В этой статье изучается в основном К^' и верхний индекс (2) как правило опускается, чтобы не загромождать обозначение.
В феноменологическом подходе к гравитации нужны тензор энергии-импульса гравитационного поля, входящий в 3-гравитационную вершину, и тензор энергии-импульса взаимодействия гравитона с материей. Тензор энергии-импульса гравитационного поля получается из должным образом выбранного лагранжиана по известным рецептам. Что же касается тензора энергии-импульса взаимодействия гравитона с материей, то здесь приходится гадать. По этой причине я, имея в виду будущие модификации и уточнения, рассматриваю все возможные строительные блоки:
Т *к = пзкКаМ2 *к = *кав"; Г *к = пзкк,ркра,а ; т *к = *к,ркр;
ФИАН, 119991 Россия, Москва, Ленинский пр-т, 53; e-mail: nikishov@lpi.ru.
Т ^ = Л^'; Т ^ = Л'а'вЛ^; Т ^ = Л'а'вЛ^в; Т ^ = ^(Л^ + Л^')Л,а;
Т ^ = Л''''7Л,,; Т0 ^ = ^Л^,Л'' + Л'",Л''); Т1 ^ = Л''Л''; 5 ^ = ЛЛаЛа,'ст; Т3 ^ = -^Л^ Лав'' + Л^ Лав''); Т4 ^ = Л^; Т5 ^ = + Л^' )Ла,'ст;
Т6 '' = п^ Ла%; Л, = , (2)
и
= ч* Л; ''' = ^ Л; ^ = г/' л"'3 Лав; = ч® Ла"',„ 'м; ^ = ^а^ Лав; = /Л; ■ = Л-, Л; ^ = + Л<- )Л;
Т = Л/4'авЛав; Т = 1(Л/а'4в + Л4а'/в)Лав; Т = Лав/'Лав; Т = Л'4;
т = Л'4Лав 'ав; П = 2(Л/аЛа' + Л'4аЛа'); Т = 2(Л/,'а,Ла' + Л4,'а,Ла');
Т = ^Л*^,Ла' + Л^,Ла'); Т = 2(Ла,'/,Ла' + Л^',Ла'). (3)
В уравнениях (2) и (3) латинские и греческие индексы пробегают значения от 0 до 3.
3-гравитонная вершина представляется диаграммами двух типов: диаграмма а описывает взаимодействие пробной частицы с тензором энергии-импульса гравитационного поля, образованного двумя гравитонами тяжёлого источника. Две диаграммы Ь (дающие одинаковый результат) описывают взаимодействие гравитона тяжёлого источника с тензором энергии-импульса гравитационного поля, образованного другим гравитоном тяжёлого источника и гравитоном пробной частицы.
В статье [1] я привожу аргументы в пользу выбора гравитационного тензора энергии-импульса в виде
32пС
Т'' +1Т'' + ТТ'' + 2 Т0Т1'' + 2 Т2'' - 2 Т3'' -2 2
- 2 Т4'' + 2 Т5 Т6 ^ + Т * - 2 Т '' + 2 Т т'к + 2 т'' - 2 Т *
+
+1 (т^ Лга' + Т ^) (4)
и здесь я его использую. Члены тензора энергии-импульса взаимодействия гравитона с материей (последние члены в (4)) я выбираю так, чтобы уравнения движения пробной частицы, следующие из сохранения полного тензора энергии-импульса, были такими
же, как в общей относительности. Для начала я выбираю тензор энергии-импульса материи в виде тензора энергии-импульса точечных частиц
Тг- = V тапгп- — хаШ), и- = *=-, ¿в2 = —¿т2,с = 1. (5)
■<-—' гИ пт
Полный тензор энергии-импульса даётся суммой выражений (4) и (5). Из (4) для медленных частиц имеем
¿00 = 2Т00 ф + ^ (Уф)2. (6)
Здесь
ф = —О Е^^Г. (7)
а 1Г — Га1
Заметим, что для получения правильной прецессии перигелия планеты нужно [3] ^00) = — 2ф2, где ф - потенциал Солнца.
Вычисления показывают, что только последний член в (4) (т.е. член с фактором 1/2 перед ним) даёт вклад в Л00. Для медленных частиц это первый член в правой части (6). Он даёт в два раза больше, чем нужно, как будет видно ниже. Однако такого же типа член содержится ив (5). Для медленных частиц из него поступает —Т00ф. Вместе с первым членом в правой части (6) это даёт нужное Т00ф. Так это и должно быть, чтобы (4) и (5) давали правильный ньютоновский предел для гравитационной энергии (вместе с последним членом в правой части (6), (ср. с Задачей 6 §106 в [2], смотри также [5]).
Кстати, из того факта, что плотность энергии гравитационного поля положительна (смотри последний член в правой части (6)), можно ожидать, что притяжение двух компактных тел (таких как нейтронные звёзды) слабее ньютоновского, так как заметная часть их энергии находится вне разделяющего их расстояния. Другими словами, массы в формуле — От\т2/т - это массы вместе с их гравитационной энергией.
Швингер показал, что наличие ньютоновского взаимодействия Солнце-планета
ОМт
тф =--приводит к поправке к потенциалу Солнца ф ^ ф(1 + 1 /2ф):
г
/■ ¿3х' 1 ^ 1 ^ 1 О2м 2 т 1 (2
О2М2т -——г|У— ■ V—-- =-— = -ф2т, (8)
у 4п |х'|1 |Х'| |Х — x| 2г2 2
смотри Гл. 2, §4, ур.(4.53) в [2]. Это уравнение - пример диаграммы типа Ь. Здесь существенно, что пробная частица нерелятивистская. Таким образом, непосредственное использование 3-гравитонной вершины не сводит движение релятивистской пробной частицы к движению во внешнем поле. Если же 3-гравитонная вершина используется
как часть лагранжиана в вариационном принципе, то такое сведение осуществляется. Это эквивалентно тому, что от диаграмм типа Ь переходим к диаграммам а, смотри (А25) в Приложении.
Возвращаясь к Солнцу и планете, имеем для вклада Солнца в Т00 из (5)
= М Л + — №), ат V г
(9)
потому что ат2 = —д00а^2, д00 = — 1 + Л0о , где Л00) порождено пробной частицей (планетой в нашем случае). Если же пробная частица релятивистская, уравнение (9) не имеет места, потому что в нём не учтено запаздывание. Аналогично (9) для планеты
,(1)
имеем
т—о(х — я(£)) = т 1 +--о(х — ж(£)).
аТ г
(10)
Переходя от плотности энергии к энергии (то есть, интегрируя по пространству), видим, что из суммы (9) и (10) поступает член 2СМт/г, а из 2Т00ф в (6) - член —4СМт/г. Их сумма даёт — 2СМт/г, что в два раза больше величины, фигурирующей в (8). Следовательно теперь ф ^ ф(1 + ф) и Л00 = —2ф2.
Интересно отметить, что в этом подходе (в отличие от общей относительности) пробная частица даёт вклад в тензор энергии-импульса тяжёлой частицы, а он даёт вклад в Л020) также посредством диаграммы Ь.
Используя линеаризованное уравнение Эйнштейна, член в (4) с фактором 1/2 перед ним можно записать в виде
1(Т"гаЛ ' + т'"Л ') = 1
2 Л" +' Л" )=32пС
2 Т-'' — 2 т'' — 2 П'' + 2 5°'' — 2 т'' + 2 Т ''
(2)
С помощью табл. 2 в Приложении найдём, что Л00) здесь и в общей относительности одинаковы, но здесь
(11)
Л
(2)
ав
2п2 I п^ав »^а^в 192
М2С2 ( - 7
35
В
ав
В _ ь / ^ав хахв
в 3г3 г5
(12)
а рамках общей относительности в согласии с [4] найдём
Лаг = М2с2 ( 5% — 7^ — — В,
ав г2 г4 35
ав
(13)
Как упомянуто выше, я предполагаю, что тензор энергии-импульса материи - это тензор энергии-импульса точечных частиц, а хотелось бы учесть и радиус тяжёлого тела. Я не уверен как это сделать. (Это обстоятельство не затрагивает Л00).) По этой причине
4
г
г
МО
я и не пытаюсь учесть гравитационный дефект масс в членах, пропорциональных-
г
МО5аР б ф
и-. Всё же кажется маловероятным, чтобы этот дефект оказался одинаковым в
г
упомянутых членах и таким же, как в общей относительности.
Таким образом показано, что подход, основанный на теории источников, открывает новые возможности в изучении гравитации.
Приложение
Гравитационные потенциалы ф шара материи радиуса Ь и их производные. г < Ь:
м л МО (г2 \ , МО МО 3М
ф(х) = ^л\¥ — у , фа(х) = Ха, ф,ав = 8<*в, » = 4ПЬ3,
М2О2 2 М2О2 ( 3г2
(Уф)2 = ^^ ^ = 8^ (3 — Ж
Лк = —28гкф = — 8* — з) . (А1)
Здесь ^ - плотность материи, р(г) - давление на радиусе г. г > Ь:
МО МОха М2О2 1
ф(х) =--—, ф,а = , (Уф)2 , ф,ав = —МО(1/г )ав
= МО— 3хг?) , Л(1) = — 28гкф =2-М°81к, У2(1/г ) = — 4п8(х). (А2)
Чтобы иметь возможность проводить вычисления при разных 3-гравитонных вершинах сначала вычисляются вклады в к— от каждого т кр/32пО,в = 1, 2, ••• Затем для каждой специфической вершины берутся вклады от каждого в с весом а3. Для двух случаев (общей относительности и рассматриваемого здесь подхода) эти а3 приведены в табл. 1 в [1]. Теперь в качестве примера покажем как вычисляется вклад в к.
(2) —
3
для в = 3 в случае диаграммы Ь. Итак, вклад от т кр = Цкрк,пкпт,т в к —(Ь|х) даётся выражением
2 / д°-РдХ,п— Х'] Кптт(х')шРккр(х'). (А3)
Здесь пропагатор
Огз1т(х — х/) = Р-тВ+{х — x/), Р-т = п-т + ад- — щVlm), р— = — щ. (А4) [' 11
сИ/б+ш — х/,г — г/) = —^—^, я+(х — х,т) = я+(х — х, ь|).
] 4п |х/ — х|
в виде
Используя эти соотношения, ^ п = — т^ и выражения для ф,а, ф в (А1), запишем (А3)
д с д с а3 ж' 1
4%'^ / — ж/)ф'„(ж/)ф(ж/) = 4%-^ — ф'П(ж/)ф(ж/). (А5)
Напомним, что в этой статье рассматривается только случай внешней метрики, т.е. г > Ь.
Для вычисления вклада от г' < Ь нужны соотношения
д С а3ж' 1 . / г/2 \ 16 ,, ^ , / б?» жаЖй\ . . .
' "а — 3 = с ^ Вав, Вав = МБ?! — "ОТ , (А6)
4п |" — Ь2 ) 5 ■ 7 ар' ав \3г3 г5
г'<6
смотри выражения для ф,а и ф в (А1). Для а = в правая часть (А6) равна нулю. Выражение (А6) следует из соотношений
/* 0/ Ж 1 ! Ь а /* 0/ Ж 1 ! г Ь "а / ^^ а \ Бав
I ^ _ о , / , I I"
7 4п |" — ж'1 а 15 г3' ] 4п |" — ж'1 а Ь2 21 г3' \г3/ ,в г3 г5
г' <6 г'<6
33
Для обратного порядка Л в Т'Р имеем Т'Р гет = П'рЛ?»,»Л,а. Вместо (А3) получим
д \ г а3ж' 1 / /ч,/ /ч 1 о, I = 7 = о
(-/ £=°2мм цв! =3. (А7)
г' <6
1 3 3
Итак, вклад от г' < Ь для среднего 1 + т^ будет
3 - - 1 0, « = 3 = 0,
"И (Ь1") = С М 32
Л'' ^ М2Чв?:/а, в =1,2,3. (А8)
Далее рассмотрим вклад от г/ > Ь. В этом случае правая часть (А5) имеет вид
„ ^^ ,2 д г а3ж' 1 /1 \ 1 , д ,
4пг7- С2 М2— -———- -. (А9)
/ч джа У 4п |" — г7 г' 1 ;
6<г' '
В соотношении
д г а3ж' 1 /1 \ 1 б?» ж?"»
У 1П |" — г^у г7 = — 2Т2 + + ав ( 0)
6<г'
положим в = а и найдём
5 г а3"' 1 /1 \ 1 1
джа / 4п I"—Ж'! V г'/ г' 2г2
I I \ / ,а
6<г'
(А11)
з 3
Для г' > Ь вклад от ткр в Н^ (г' > Ь, Ь\х) равен
С2Ы2 I Г2 ,г 3 0' (Д!2)
^ ^У,а,в = 1, 2, 3.
Далее ткр гет = ЩрНаввН,а приводит к вкладу в Нц (Ь\х)
д \ Г ($3х' 1
( д \ [ (3х' 1 , . .. ..
8Р-ав V-дХХв) ] ~4П \хГ¥\Ф«(Х)Ф(Х)
т'>Ъ
2
у2Л/Г2 { г2 ,г = 3 = 0,
V - 8^ - 8Вав, а, в =1, 2, 3.
= 02М2{2^_ ^„ (А13)
г
Полусумма (А12) и (А13) равна
Д ,г = 3 = 0, -4^ - 4Ва13„ а, в = 1, 2, 3.
Нг] (г' > Ь, Ь\х) = С2М2 , _ г2 „ ' _ (А14)
Действуя аналогично, получим табл. 1.
Таблица 1 Члены, определяющие Н^, в зависимости от в при разных г'
в 1 хахв Г-4 Вав г'
1 0 0 0 32 35 г' < Ь
1 1 1 -4 -4 г' > Ь
2 0 0 0 0 г' < Ь
2 4 0 0 0 г' > Ь
3 0 0 0 32 35 г' < Ь
3 2 8 -4 -4 г' > Ь
4 0 0 0 0 г' < Ь
4 4 -4 0 0 г' > Ь
5 0 0 0 0 г' < Ь
5 2 0 0 0 г' > Ь
Таблица 1 (продолжение)
6 0 0 0 16 35 г' <0
6 1/2 1/2 -2 -2 г' >0
7 0 0 0 0 г' <0
7 1 -1 0 0 г' >0
8 0 0 0 16 35 г' <0
8 1 0 -2 -2 г' >0
9 0 0 0 0 г' <0
9 4 -2 0 0 г' >0
10 0 0 0 16 35 г' <0
10 1 0 -2 -2 г' >0
11 0 0 0 0 г' <0
11 2 -2 0 0 г' >0
12 0 0 0 32 35 г' <0
12 2 1 -4 -4 г' >0
13 0 0 0 16 35 г' <0
13 1/2 1/2 -2 -2 г' >0
14 0 0 0 16 35 г' <0
14 1/2 1/2 -2 -2 г' >0
15 0 0 0 16 35 г' <0
15 1/2 1/2 -2 -2 г' >0
16 0 0 0 32 35 г' <0
16 1 1 -4 -4 г' >0
о г. 1 ^ав
Заметим, что диаграмма 0 не приводит к членам, пропорциональным —- и ——.
го го
Строка в = 1, г' < 0 в табл. 1 означает
1 0 г = у = 0,
§Вав., г = а,у = в, а, в = 1, 2, 3.
^ (г' < 0, Ь|х) = С2М: ^ 32 Строка в = 1, г' >0 даёт
1 . „ „ I Г2, г = У = 0,
^ - 4^ - 4Вав., г = а,У = в, а,в = 1, 2, 3
Ьц (г' >Ь,Ь|*) = С2М^ ^ .ах
и аналогично для других s, Baß = b ( 3е — •
s
Вклады в hj (a|x), s = 1, 2, • • • ,q от диаграмм a получаются из формулы
s 1 f s
hj (a|x) = - d4x'D+(x — x') T ij(x'). (A15)
2
Здесь T ij =t ij — 1 щ t• В нашем случае Tij даны в (9) в [1] и T ij таковы: 1 1 2 1 3 1 4 7 16 2 9 12 w \2
T ij = 4 T ij = 2 T ij = 4 T ij =T ij =T ij = —4nij(Уф) , T ij = 2 T ij = 8№j— nij)(уф) ,
5 6 8 10 11 13 14 15 „
T ij = 4 T ij = 2 T ij = 2 T ij = T ij = 4 T ij = 4 t ij = 4 t ij = 16ф^фа- — 8%- (Уф) (A16)
и
a b T ■■ = 2 T ■■ = ij ij c -2 T ■■ 2 ij d —T ■ ■ = ij e = 4 T •• = 4 ij P = 4 T ij = — 16nij фф,аа;
g T ■ ■ — ij = i 2 T ■■ = 2 ij = l ~T ■ ■ = ij = m -2 t ■■ - 2 ij = 8фф,aa(6ij — nij);
1 f 2 T ij h j T ij 2 T ij 1 k 2 T ij n =T ij o = 2 T ij q = 2 T ij = 8фф,ij — 4nij фф,аа
(A17)
Из (A15), где интегрирование ведётся по области с материей (r' < b), и из (A16)
получим
1 1 2 1 3 1 4
hij (r' < b, a|x) = - hij (r' < b, a|x) = - hij (r' < b, a|x) = - hij (r' < b, a|x)
7 16 I 2— i = j = 0
=hij (r' < b, a|x) =hij (r' < b, a|x) = G2M2 { .5 br' J ' (A18)
j ( , | ) ij ( , | ) | —2^, a,ß = 1,2,3. ( )
5 6 8 10
hij (r' < b, a|x) = 4 hij (r' < b, a|x) = 2 hij (r' < b, a|x) = 2 hij (r' < b, a|x) =
11 13 14 15
=hij (r' < b, a|x) = 4 hij (r' < b, a|x) = 4 hij (r' < b, a|x) = 4 hij (r' < b, a|x) =
ij | ij | ij | ij
4 br, i j 0 4 __8
G2M 2{ л& 5 (A19)
^ — 5^ — 35Baß, a,ß 2, 3. ( )
9 12
I i = j = 0
hi, (r' < b, a|x) = 2 hi, (r' < b, ab) = G2M2 ^ 5 br' J ' (A20)
j j | 0, a,ß = 1, 2, 3.
Аналогично интегрируя в (A15) по области r' > b, получим
1 1 2 1 3
hij (r' > b, a|x) = - hij (r' > b, a|x) = - hij (r' > b, a|x)
1 J , , . , , J
4
- hij (r' > b, a|x) =hij (r' > b,a|x)
16 1 21 - 4, г = у = 0,
-2%^ + ¿-2е, а, в = 1, 2, 3.
^ (г' >0,а|х) = С2М2^ ^-С ' - (А21)
5 6 8 10
Л, (г' > 0, а|х) = 4 Л, (г' > 0, а|х) = 2 Л, (г' > 0, а|х) = 2 Л, (г' > 0, а|х) =
11 13 14 15
(г' > 0, а|х) = 4 Л, (г' > 0, а|х) = 4 Л, (г' > 0, а|х) = 4 Л, (г' > 0, а|х) =
4тт- - 2-2, г = у = 0,
4 ¿ав
С2М21 ь- -2' " ^ (А22)
^ -4¿^ + 2^ + |Вав, а, в =1, 2, 3. ( )
9 12 I 81 _ 4 А. г = У = 0
Л», (г' > 0, а|х) = 2 Л»,- (г' > 0, а|х) = С2М^ ь- -2, У , (А23)
' ' ' 0, а, в = 1,2,3.
Далее обозначим
8 8 8
Лг, (а + 20|х) =Лг, (а|х) + 2 Л», (0|х),
\ I ^уу | «лу у I у| у I I ¿г,
8 ^ 8 8 8 8
Лг, (а|х) =Лг, (г < 0,а|х)+ Л», (г > 0,а|х), Л», (0|х) (г < 0,0|х)+ Л», (г > 0,0|х).
Результаты вычислений Л», (а + 20|х) для в =1, 3. • • • , 16 даны в табл. 2. Строка с в = 1 в табл. 2 означает
1 I 12 ± + X г = У = 0
(а + 2ВД = ^ - +3^ - == = в, а,в =1,2,3.
^ -Г ^^ - ^ ^ ч 12 ¿ав охав 8^27
8
Что касается Л», (а + 20|х), в = а, 0. • • • д, то их можно выразить через в = 1, 2. • • • д:
а 4 Ь 3 с
Л», (а + 20|х) = -2 Л», (а + 20|х), Л», (а + 20|х) = -2 Л», (а + 20|х), Л», (а + 20|х) =
3 11 й 2 9
= - [Л», (а + 20|х)+ Л(а + 2&|ж)], Л», (а + 20|х) = - [Л», (а + 20|х)+ Л», (а + 2&|ж)],
е 18 / 3 11
Л», (а+20|х) = -[Л», (а+20|х)+ Л», (а+2&|ж)], Л», (а+20|х) = - [Л», (а+20|х)+ Л(а+2&|ж)],
д 2 9 Л, 18
Л», (а+20|х) = - [Л», (а+20|х)+ Л», (а+2&|ж)], Л», (а+20|х) = - [Л», (а+20|х)+ Л», (а+2&|ж)],
» 5 12 , 13 15
Л», (а+20|х) = - [Л», (а+20|х)+ Л(а+2&|ж)], Л», (а+20|х) = -[Л(а+20|х)+ Л(а+2&|ж)],
к 5 12 I 9
Л», (а + 2&|ж) = - [Л», (а + 20|х)+ Л(а + 20|х)], Л», (а + 2&|ж) = -2 Л», (а + 20|х),
т 12 п 8 10
Л», (а + 2&|ж) = -2 Л(а + 20|х), Л», (а + 2&|ж) = - [Л», (а + 20|х)+ Л(а + 2&|ж)],
о 6 13 р 7
Л», (а + 2&|ж) = - [Л», (а + 20|х)+ Л(а + 2&|ж)], Л», (а + 20|х) = -2 Л», (а + 2&|ж),
Я 6 13
Л», (а + 20|х) = -[Л», (а + 20|х)+ Л(а + 2&|ж)]. (А24)
Таблица 2
8
Нц (а + 2Ь|х)
5 1 гЬ 1 ¿ав гЬ ¿ав хах в г4 Вав
1 12 5 1 12 5 3 -8 8-27 35
2 48 5 4 48 5 4 0 0
3 24 5 2 24 5 2 -8 8-27 35
4 48 5 4 48 5 -4 0 0
5 24 5 2 8 5 0 2 16-3 35
6 6 5 1 2 2 5 1 7 2 32-3 35
7 12 5 1 12 5 -1 0 0
8 12 5 1 4 5 0 - 3 12 5
9 48 5 4 0 -4 0 0
10 12 5 1 4 5 0 -3 12 5
11 24 5 2 8 5 -4 2 48 35
12 24 5 2 0 2 -8 8-27 35
13 6 5 1 2 2 5 1 7 2 32-3 35
14 6 5 1 2 2 5 1 7 2 32-3 35
15 6 5 1 2 2 5 1 7 2 32-3 35
16 12 5 1 12 5 3 - 8 8-27 35
Намёк на то, почему эти соотношения имеют место, даётся в формуле (25) в [1]. Наконец вклады от диаграмм Ь можно свести к вкладам от диаграмм а, см. ур. (33)
в[1]:
1 8 Н 2 9 д
Нц (Ь|х) = -[Нц (а|х) + Нц (а|х)], Нгц (Ь|х) = -[Нц (а|х) + Нц (а|х)],
1 з _ , 11 , , , ь , , , I 2[......
Нц (Ь|х) = — [Нц (а|х) + Нц (а|х) + Нц (а|х) + Нц (а|х)],
4 4 а 5 12 г
Нц (Ь|х) = -[Нгц (а|х) + Нц (а|х)], Нц (Ь|х) = -[Нц (а|х) + Нц (а|х)],
6 13 д 7 7 р
Нц (Ь|х) = -[Нц (а|х) + Нц (а|х)], Нц (Ь|х) = -[Нц (а|х) + Нц (а|х)],
8 1 1 10 е п
Н. (Ь|х) = - ^ (а|х)+ Н гц (а|х)+ Н. (а|х)+ Н. (а|х)],
9 1 г2 9 4 I 2
10 1 8 16 2
Нц (Ь|х) = — [Нгц (а|х)+ Нц (а|х)+ Нц (а|х)+ Нц (а|х)],
Нц (Ь|х) = --[Нгц (а|х)+ Нц (а|х)+ Нц (а|х)+ Нц (а|х)],
11 3 c 12 1 5 12 k
hij (Ф) = -(a|x)+ (a|x)], hij (b|x) = -(a|x)+ hij (a|x)+ (a|x)+
m 13 1 6 15 j o
+ hij(a|x)], hij(b|x) = -2[hij (a|x)+ hij (a|x)+ hij (a|x)+ hij Ж],
14 r15 q 15 1 r13 / i Ч 14 j / 1 ч o
2
1
h ij (b|x) = -[ h ij (a|x)+ hij (a|x)], h ij (b|x) = — [ h ij (a|x)+ j ij (a|x)+ hij (a|x)+ hij (a|x)],
16 10 h
hij (b|x) = -[hij (a|x)+ hij (a|x)]. (A25)
ЛИТЕРАТУРА
[1] А. И. Никишов, ЭЧАЯ 37, 776 (2006).
[2] Julian Schwinger, Particle, Sources, and Fields (Addison-Wesley Publishing Company, 1970).
[3] H. Dehnen, H. Honl, K. Westpfahl, Ann. der Phys. 6(7-8), 370 (1960).
[4] А. И. Никишов, Краткие сообщения по физике ФИАН 44(10), 17 (2017).
[5] А. И. Никишов, ЭЧАЯ 32(1), 5 (2001); http://www1.jinr.ru/Archive/Pepan/v-32-1/1.htm.
Поступила в редакцию 10 июля 2018 г.
