CC BY
27
УДК 531.51
ВЕЙНБЕРГОВСКИЙ ПСЕВДОТЕНЗОР ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА ПОЛЯ ШВАРЦШИЛЬДА
А. И. Никишов
Получен псевдотензор энергии-импульса Вейнберга для метрики Шварцшильда в гармонической системе коордп нат. На горизонте событий этот псевдотензор имеет неинтегрируемые особенности. По этой причине полна энергия коллапсара не представима в виде интеграла от плотности энергии по объему системы.
В общей теории относительности нет тензора энергии-импульса гравитационною поля, но имеется бесконечное число псевдотензоров [1, 2]. Эту необычную ситуацию призвана объяснить концепция нелокализуемости гравитационного поля. Однако такая концепция представляется излишней, если строить теорию гравитации полевыми методами, не требуя общей ковариантности, или принять существование привилегированно!' системы отсчета. В общей относительности для изолированной системы привилегированной системой естественно считать гармоническую [3].
Псевдотензор Вейнберга (далее приставка псевдо опущена) выделен тем, что именно он является источником гравитационного поля [4]. Поэтому представляет интерес вычи слить его для решения Шварцшильда в гармонической системе, переходящей в систему Минковского вдали от гравитирующего тела. Ввиду свойств пространства-времени под горизонтом событий и поменявшейся там роли временной и радиальной координат [5| следует ожидать, что представление полной энергии коллапсара в виде интеграла от плотности энергии по объему окажется невозможным. Вычисления подтверждают это: тензор энергии-импульса имеет неинтегрируемые особенности на горизонте событий.
Мы используем в основном обозначения Вейнберга, но в отличие от него обозначаем гармонические координаты хг-, г = |х| маленькими буквами. Индексы у ^
поднимаются и опускаются с помощью т/, а индексы у общековариантных тензоров, таких как поднимаются и опускаются с помощью д. Латинские индексы пробегают значения 1, 2, 3.
9ци = Г]^ + 77Д1/ = сИад(-1,1,1,1), ф = -——, (1)
йт2 = —д^Ах^Ах" -
1 + ^ _ (1 _
1
Ф ф2 (Х^Х)2
(2)
1 -ф ' ч" 1 + 0 Приведем теперь уравнения (7.6.3) и (7.6.4) из [4]. Точные уравнения Эйнштейна запи саны там в виде
- = -8тгС[Т,к +
где
1
а Я^ - линейная по И, часть Я^к:
Я
- - ЯЩ + ^ЯМ
(3)
(4)
к
1 Л
Г1цМ
+
!1К.,\
] » =
0
ах"
Л.
(5)
Уравнение (3) имеет форму, присущую волновому уравнению для спина 2. Источник' . является Т^ + Следовательно, (т.е. тензор энергии-импульса гравитациони го поля) также является источником поля. На уравнение (3) можно смотреть как на следствие итерационного решения уравнений Эйнштейна. В линейном приближена генерируется материальным тензором. Вставляя это решение линеа] . зованного уравнения в (4) и удерживая квадратичные по /г^ члены, получим . [См ф. (7.6.14) в [4], в которой явно не отмечено, что фигурирующие там - это Полученное по этой формуле для ньютоновского центра приведено в [6]. Оно совп;> дает с формулами (11), (13), найденными ниже разложением точных выражений Дал* согласно волновому уравнению генерирует /г^ и т.д. Сумма по всем приближение дает точно удовлетворяющее уравнениям Эйнштейна.
Далее вплоть до формулы (14) предполагается, что в рассматриваемой области н< материи. Тогда тензор энергии-импульса имеет вид
\п„вР> - М, = М1)А = - /с, л = л}.
(6)
Из (1-2) и (5-6) находим
Л = 2ф2 - 40 - 4 +
+
1-0 1 + ф
' ЛА = ^
+
[(1-0)3 (1 + 0)
+ 1
ф2 — ф3 Ж,Ж
= (1 _ ^ + 2 , х--15--
-
2х ^ х ^ ос ^ х ^
-1202 + 150- 8 +
3
+
+
1 + 0 (1.+ 0)2 (1 + 0)
+
(4ф2 - Ъф) + - ф') +
-ф2 + 2ф - 2 +
1 +
+
+ хкх36и + Х{Хк8ц + х^х\8{к + х{х18]к\ ^2ф2 - Зф + 2 - ~ ^ + фу ) '
С помощью этих выражений получим
дЙ> =
((1) ад / 2 _ 1 _\___1___I_ 2 ^ ,
ы г4 \ 9 фу 1 -ф (1-<А)2 (1-Ф)3;
8и Л 3 1 1
+ 4 2- ——7 + „ , +
1 + ф (1 + ФУ 1 -ф (1 -ф)2)'
(1) _ 1 / 2 4 8 4 8
(1-фу + (1-фу~ТТф +
Ък1 =
8тгС
ХкХ1 I г. ,2 1
Г
—2ф + 2-
1 1
+ ^-г +
1 2
(9)
1 + 0 + 1-ф (1- (1-^)3,
1111 2 + ^-г +
+
1 + ф (1 + фУ ' 1-ф ' (1-фу (1 -ф)\
Для ф « 1 имеем
Аналогично найдем
ик\ф
Ф2
«1
8тг С
76,-*; 14х,х*
1
'-оо
8тг02 + <£ +
3 ____, зсм2
¿оо|<к<1 —
¿УФУ
(10)
(п)
(12)
(13)
8тгСч 8тг г4
Проверим, что законы сохранения = 0 выполнены. Поскольку ¿¿о = 0, нужно убе диться, что ¿т\п = 0. Непосредственное вычисление дает
1
Х{
-4 - 4ф2 +
+
ьги,п 2
4 2
2 10
+
1+> (1 + 0)2 (1 + ф)3 1-ф (1 -ФУ (1 -ФУ (1 -ф)\
что и требовалось показать. Введя тензор
Я
ри А _
1
к"т)рХ - - + А^'т/"* + - Л^'1
(14)
обладающий свойством фриХ = — (^ирх, имеем соотношение (см. гл. 7, §6 в [4])
С= Я{1)1/Х - = -8тг(15)
В силу этого свойства для гладкого тензора (¿риХ интеграл по пространству от плотности энергии (гравитационного поля и материи) можно выразить через интеграл по удаленной поверхности от потока (см. [4])
1100 1 / » 7 \ хг
Я1 = ~~ ^ы) = Ц 2 - Ф -
2 г2 \ 1 +
га,- - компоненты внешней нормали к поверхности. Однако, если имеется горизонт событий, то из (10) и (12) видно, что при ф = — 1 (т.е. при г = (?М в гармонической системе координат) тензор tl¿к имеет неинтегрируемые особенности. Это делает невозможным применение теоремы Гаусса в области, содержащей особенности. Однако легко найти энергию вне сферы радиуса г\ = СМ( 1 + 6):
ДР° = ~ [2 -ф2-
2 С V 1 +
Для 0 < 8 « 1 получим
(П)
АР0 = -М
(М)- <'3,
Интересно сравнить (18) с результатом Денена [7]. В стандартных координатах Швар-цшильда (г' = г + СМ) он нашел для своего тензора энергии-импульса
Д Р°=-вмЧ-, — - ,,. = М I 1 - * I . (19)
Это выражение расходится корневым образом при г\ —> г5.
Интересно, что в боксе 23.1 в [1] приведены аргументы в пользу того, что в сферически симметричном случае можно придать локальный смысл гравитационной плотносч и энергии. Согласно этим аргументам гравитационная энергия вне сферы, занятой материей, должна равняться нулю. В ньютоновском приближении такой учет гравитационной энергии соответствует учету притяжения между различными частями материи.
Не видно, как это можно примирить с (18) или (19) и с представлением о том, что нелинейные поправки к гравитационному полю генерируются гравитационным тензором энергии-импульса. По поводу неоднозначности тензоров энергии-импульса можно заметить следующее: если какой-либо тензор правильно описывает взаимодействие с гравитонами, то его естественно считать правильным.
Хотя сингулярность на горизонте считают фиктивной (со времен Леметра, см. бокс 31.1 в [1]) с этим трудно примириться. Физически она проявляется в невозможности космонавту, пересекшему ее, вернуться обратно, в неограниченном росте ускорения свободно падающей частицы (в статической системе) при приближении к горизонту, в отсутствие статической системы за горизонтом и в других необычных вещах.
Консервативная точка зрения на рассмотренные особенности состоит в том, что это есть намек на то, что в режиме сильного поля теория гравитации в будущем претерпит изменения и радикальных модификаций топологии пространства-времени не потребуется.
Автор благодарит В. И. Ритуса за полезные обсуждения и конструктивные замечания.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Misner С. W., Т hörne К. S., Wheeler J. A. Gravitation, San Francisco, 1973.
[2] G о 1 d b e r g J. N. Phys. Rev., Ill, 315 (1958).
[3] F о с k V. The of Theory of Space-Time and Gravitation (2nd revised edition, Pergamon Press, New York, 1964).
[4] W e i n b e r g S. Gravitation and Cosmology, New York, 1972.
[5] H о в и к о в И. Д., Фролов В. П. Физика черных дыр. М., Наука, 1986.
[6] N i k i s h о v А. I. ЙЕР-ТН/9903034.
[7] Dehnen Н. Zeitschr. Phys., 179, 76 (1964).
Поступила в редакцию 9 декабря 1999 г.
