CC BY
11
УДК 531.51
ГРАВИТАЦИЯ ПО ТЕОРИИ ИСТОЧНИКОВ
А. И. Никишов
Метрика сферически симметричного шара идеальной несжимаемой жидкости рассматривается в С2 приближении с помощью уравнений теории источников. Использование интегральных уравнений этой теории дает, наружное решение, содержащее информацию об источнике и его радиусе Ь в членах, пропорциональных С2.
Ключевые слова: метрика, С2 приближение, теория источников.
Используя теорию источников, находится метрика гравитирующего шара радиуса Ь несжимаемой жидкости. Неожиданно оказывается, что в наружном решении имеется член, зависящий от радиуса шара, тогда как согласно теореме Биркгоффа наружное решение ничего не знает о свойствах источника.
Внутреннее решение. Используются следующие обозначения:
gik = Vik + hk + hk + ■■■, -Gn, Vik = diag(-1,1,1,1), dxa = h
i
Ц* = ЦП - 2^Цп) г, к = 0,1, 2, 3, Цп) = Щ - С, а, в = 1, 2, 3. (1) В первом приближении теории возмущений в калибровке Гильберта Ь^фа = 0 имеем
Ц£(т\ г) = —2ф(т', т)6гк, Цк = -4ф(т', т)60г$0к, т'С /г2 \ ,4
Ф(т,г) = ^[ь2 -^, т = зпь3(2)
Здесь ^ - плотность жидкости. Для функции (т', г) в этой калибровке имеем дифференциальное уравнение
У2Ц(2)(т',г) = -16пС(Тгк1) + 1гк). (3)
Это дифференциальная форма уравнения (17.6) в Гл. 3, §17 в [2], см. также [1]. Здесь Т^ - тензор материи, ¿гк - тензор, обусловленный 3-гравитонным взаимодействием.
ФИАН, 119991 Россия, Москва, Ленинский пр-т, 53; e-mail: nikishov@td.lpi.ru.
В этой статье мы примем, что tik дается общей теорией относительности, см. Гл. 7, § 6 в [3].
В функциях, пропорциональных G2, таких как h(2)(m/,r), к(2>(ш1,т) и т.д. m! указывает только на то, что эти функции получены непосредственно из уравнений теории возмущений. В членах, пропорциональных G2, в рассматриваемом приближении не имеет значения стоит ли в них m! или одетая масса m = m/(1 + 3mG/b). Для области внутри шара имеем [1]
3 ^ . , m2G2 / 21т2\ м) 0 , m2G2 {3r2 \
T00)+100=Гзб -15т2
00 " 00 ~ 8nGb4 b2
г / 4r2 \ 2xaxe
T (1) + t = m2G ±ав + tae = 8nGb4
<Ы -9 + -ггт -
(5)
,ав 1 " 1 ь2; ь2
Покажем теперь, что Л^2 определяется дифференциальным уравнением (3) с точностью до аддитивной константы с0. Из (3) и (5) видно, что общий вид решения (3) должен иметь вид полинома четвертой степени по г, так как источник (5) - полином второй степени, а оператор V2 понижает степень на 2. Итак
2
7 (2) / , Ч /mG\ I f т2 тЛ хахв ,
h(fc)(m , т) = ( ¿«в ( С0 + С2 + c4 ) + + c6
Подставляя эту форму в (3) с учётом соотношений
(6)
W = (n2 + п)тП-2, У2(тпх„ хв) = 2тп6ав + n(n + 5)тп ха Хв, (7)
найдем
23
Сб =7, С4 = - 7, 3С2 + С5 = 9. (8)
Теперь вспомним, что наше решение должно удовлетворять условию Гильберта:
га/3 ]
(2)
[haв)],a = 0. Учитывая соотношения
(г2),в = 2хв, (г4),в = 4г2Хв, (ХаХв) ,а = 4ж,з, (г2ЖаЖз) ,а = 6г2Ж^, (9)
18
найдём из условия Гильберта, что с2 + 2с5 = 0. Отсюда, с помощью (8), получим с2 = —,
5
9
с5 = —. Таким образом, только с0 осталось неопределённым. Его можно определить 5
из условия непрерывности с внешним решением.
С другой стороны, используя интегральное уравнение теории источников, см. [1] и Гл. 3 §17 в [2]
Ц(2)(т', г) = 16пС / ¿4х'£+(х - х')[Тгк1)(х') + 1гк(х')]
(10)
найдем
-(2), - т2С2
Ц«/з(т',г)
Ь2
18 г2 3 г4\ 9 хахв 2 г2хахв
¿«в ( -5 + —- - I - -
5 Ь2 7 Ь4 / 5 Ь2 + 7~ Ь4
Ц3(т,г), (11) (12)
т2С2 /51 г2 3 г4
---12--1---
Ь2 V 2 Ь2 + 2 Ь4
Цоо(т',г)
Ь" \ 2 Ь" 2 Ь* /
Выражение (11) остается справедливым и при замене т' ^ т, так как /^(т', г) = 0 в (2) при а, в = 1, 2, 3, см. текст ниже формулы (16). Из (11) имеем
т', г)
т2С2 Ь2
т, г) =
2 4'
гг -15 + 9 - б?
(11а)
Далее, по решениям Ц^Дт^г) надо найти /^(т^г):
^П^) - 2ЧгкЦ(2) = ^ - ^ = -Ц(2). (I3)
Используя (11а) и (12), получим из второго уравнения в (13)
-(2)/ . ч т2С2 / 81 г2 5 г4 \
Из первого уравнения в (13), в котором г, к заменено на а, в, найдем
(2) т
Щ(т',г)
2С2
Ь2
л (61_69 г! + 23 гЛ _9 ХаХв + 2 г2хах
4 10 Ь2 + 28 Ь4 / 5 Ь2 + 7
Ь4
Аналогично из (13) при г = к = 0 получим
Кроме решений /^»(т^г), нам нужны решения /^(т, г). Последние решения получаются из первых прибавлением к ним членов, пропорциональных С2, из /^(т^г),
тС гк
в которых т' заменено на т ( 1 - 1, т - одетая масса, см. [1] или ф. (4.34) в [4].
Таким образом
(2) т2С2 21 3 г2 1 г2
Цоо(т'г) = ^НТ - 2Ь2 + 4Ь2 .
(2)
(14)
(15)
(16)
/(1)(т',г)
т'С / г2\ т т2С2 / г
—'М 3 - Ь^) = Ц(1)(т,г) + -Ь^М 3Ь2 - 9
. , тС\
т = т ( 1 — 3—-— I
Аналогично из (2)
Л00)(т',г) = —4ф(т',г) = ^ю(т,г) + (бТ— — 18
(2а)
(2Ь)
Уравнения в (13) остаются справедливыми и при замене т' ^ т. Поэтому из второго уравнения в (13) с учётом (11а) и формулы (12а) (смотри её ниже формулы (19)) найдём
Л(2)(т, г)
т2С2
ь2
45
5 г4
___115____
2 + Ь2 2 Ь4
а из первого уравнения в (13) с учётом (11) и (17) получим
От,г)
т
!С2
ь2
«в
25 39 г2
+
23 г4
4 10 Ь2 28 Ь4
Хв 2 г Хв
5 Ь2
+ -
7 Ь4
Точно также с учётом (12а) и (17) найдём
^2С2 ( 15
,(2Ь , т
Л0о)(т,г)
Аналогично из (12) и (2Ь) получим
Ь2
3 г2 1 г2
---1----1---
4 2 Ь2 4 Ь2
15 г2 3 г
Л0°)(т,г) Ь2 \ 2 "Ь2 '2 Ь4
(17)
(18)
(19)
(12а)
Заметим, что ^^(т, г) отличается от гармонической (т, г) или изотропной
^^^(т, г) только на калибровочные члены, см. подробнее в [1]. Уравнение (19) спра-
ведливо во всех этих системах.
(2)
Наружное решение. С помощью (5) из (10) найдём вклад в Л(в(т',г) от г' < Ь
1бпС
^3х'
т'<Ь<Т
4п |х — х' |
^ + ¿«в ) = (тС)2
14 5,
— —__!_ Ь
3 гЬ 5 7
ХаХв 5ав 3г3
(20)
Здесь использованы ф. (А4), (А5) и (А16) в [1]. С помощью формулы (см., напр., уравнение (70) в [5])
= (тС)2
145ав 28ХаХв
(2)
найдём вклад в Л,(/)(т', г) от области Ь < г'
1бпС
^3х'
1
Ь<т' ,г
4п |Х — Х'|
трлав (х') = (тС)2
14 5ав 3 гЬ
7ХаХв 28 / ХаХв 5,
+ ¥Ь
5ав 3г3
(21)
(22)
2
1
4
6
г
г
4
5
г
г
Здесь использованы ф. (А18) и (А15) в [1]. Сумма двух вкладов (20) и (22) даёт
Щ(т',г) = (шС)2
xfi 192 / Х/З -7~ + b
3r3
(23)
Напомним, что Л^т^г) = ^^(та, г) поскольку Л^т^г) = 0, см. вторую формулу в (2). Полезно заметить, что в (23) область Ь < г/ даёт существенно больше, чем г/ < Ь. Из первого уравнения в (13) и соотношения
h(2W,r) = (mG)2 f12+ = -h(m',r) yro r2 у
(24)
найдём
hi2J(m',r)= m2G2
65,
ав
rb
+
55,
«в
7х«хЛ 192^ / xaxe 5
+
35
3r3
(25)
Выражение для г) получается отсюда опусканием члена —^,
взаимно уничтожается членом из Л-О^т^г):
Л«/3(т,г) = Л«/з(т,г) - т G —Г
потому что он
Om,r) = 5«в
2mG
Таким образом
ha/?(m, r) = m2G2
55,
7хахв
+64b Í3 Х-Хз
35 V r5 r3
(26)
(25a)
Легко проверить, что внутреннее решение (18) непрерывно сшивается с наружным (25а):
ha¿(m,r)
r^b
mG
1115 _ 53 ХдХр 35 Óal3 - 35 b2
hi2/e(m,r)
b^r
(27)
Заметим, что линейное приближение (2) справедливо в гармонической, изотропной и рассматриваемой нами системах координат. Нашу систему, даваемую в G2 приближении ф. (18) (г < Ь) и (25а) (г > Ь), будем называть предпочтительной, так как она не содержит вклада от калибровочных степеней свободы.
Установим теперь связь координатного радиуса жидкости а в стандартной системе с радиусом Ь в предпочтительной системе. Наблюдаемый (инвариантный) радиус жидкости даётся выражением
mG 3 m2G2
aobs = a H-----H —-;
3 10 а
(28) 21
2
4
5
r
r
r
2
4
r
r
2
см. ф. (2.16) в [4] в С2 приближении. Найдём эту величину в предпочтительной системе. В силу сферической симметрии не имеет значения по какому направлению измерять радиус. Выберем ось 1 за это направление. Тогда
dl
1 + h11) + hi2!
1/2
dr =
1,1 h(1) + 1 h(2) 1 h(1)2 1 + 2 h11 + 2 h11 - 8 h11
Используя (2) и (18), найдём
4
97 m2G2 70 ~b
bobs = «obs = dl = b + 3 mG +
dr.
(29)
(29a)
Из (28) и (29а) имеем
а = b + mG +
38 m2G2
(30)
35 b
Интересно установить вне материи связь радиуса rsi в стандартной системе с радиусом т в предпочтительной системе. Для этого найдём сначала выражение для измеримого радиуса robs в стандартной системе
r r
robs = aobs + /dl = aobs + J dr(g;:r)1/2 = «obs + т - a + mG ln « + m2G2 ^2« - . (31)
a a
Здесь везде r = rsi, д^Г = (1 + 2Ф)-1 = 1 - 2Ф + (2Ф)2, Ф = -mG/r. В предпочтительной
системе получим для этой величины
^ ,'4 п Л ^^ 4 3 32 b
robs =r + mG( 4 + ln b + m2G4 5b + 2r - 35
(32)
Приравнивая (31) и (32), получим связь г с г5*. Её можно упростить, заметив что с точностью до членов порядка тб имеем а = Ь+тб, см. (30). Тогда с этой же точностью г5* = г + тС. Поэтому
гг 1 1 ^
(33)
rsi r /11
ln — = ln - + mG (---
a b V r b
Таким образом получим
„si
r + mG + m2G2 ( 2 - 32 4
(34)
г 35 г2
Используя эту связь, я не смог получить предпочтительную систему из стандартной.
Если наружное решение Л-О^т, г) удовлетворяет условию Гильберта, тогда для движения нерелятивистской частицы важно только то, что Л-О^т^г) = —2т2С2/г2. Дру-
(2)
гими словами, члены Л,(в(т, г) (а, в = 1, 2, 3) существенны только при движении релятивистской частицы, когда ■/с порядка единицы.
b
Заметим, что по римановой геометрии измеримая длина окружности радиуса г даётся выражением
Lobs(r) = 2п
r + mG + m2G2 ( 2 - 32
35 r2
(35)
Из этого соотношения в принципе можно определить радиус шара материи b. Функция Lobs(r) определяется из измерений. В общей теории относительности по измерениям вне материи нельзя определить этот радиус по теореме Биркгофа (Birkhoff), см. §32.2 в [5]. Наше рассмотрение показывает, что в G2 приближении помимо решения Шварцшильда есть еще метрика предпочтительной системы, которая также удовлетворяет гравитационному уравнению.
Покажем как получается (35). Исходим из соотношения
d/2 = gaß= [¿aß + h^ß + h^ß + ... ]dxadxg. (36)
На окружности
ж1 = r cos ж2 = r sin ж3 = 0, dxadxg = (r^)2 (37)
члены, пропорциональные xaxg в gag, не дают вклада в d/. Тогда, см. (26) и (25а)
d/2 = (rd^)2
2mG 2^2 / 5 64 b
i + — + m^í -J- 35 гз
Отсюда с рассматриваемой точностью имеем
d/ = rd^ ''
■ — 2^,2 , 2 32 b ^ —+ m2G^ -2 - 35 гз
(38)
(39)
Интегрирование по ^ даёт (35).
Другой в принципе возможный способ проверки теории состоит в том, чтобы из следующей итерации получить г). В этом приближении источники уже будут
зависеть от радиуса Ь. Теперь в соотношении |д00| = ^о/^ функция слева известна из теории, а справа - из измерений гравитационного сдвига частоты света.
Интересно отметить, что из дифференциального уравнения теории источников естественно получается решение (25а), в котором надо положить Ь = 0. Оно также формируется только источниками и, таким образом, удовлетворяет условию Гильберта. Оно получалось мною раньше, см. ф. (73) в [6] или ф. (28) в [7]. Чтобы такое решение было непрерывным с внутренним решением, в уравнении (18) надо сделать калибровочное преобразование. Тогда внутреннее решение уже не будет удовлетворять условию
Гильберта. На этом основании и у внешнего решения меньше шансов соответствовать действительности.
В заключение замечу, что качественная зависимость наружной метрики от радиуса шара Ь сохранится и в том случае, если трехгравитонную вершину общей относительности модифицировать в соответствии с требованием теоретико-полевого подхода [7].
ЛИТЕРАТУРА
[1] A. I. Nikishov, arXiv: 1605.06305 v.I [physics gen -ph] 16 May 2016.
[2] J. Schwinger, Particles, sources and fields (Addison-Wesley, 1970).
[3] S. Weinberg, Gravitation and Cosmology (John Wiley, New York, 1972).
[4] M. J. Duff, Phys. Rev. D 7, 2317 (1973).
[5] C. W. Misner, K. S. Thorn, J. A. Wheeler, Gravitation (San Francisco, 1973).
[6] A. I. Nikishov, ЭЧАЯ 32(1), 5 (2001).
[7] А. И. Никишов, ЭЧАЯ 37(5), 1466 (2006).
Поступила в редакцию 6 декабря 2016 г.
