О факторизации Винера-Хопфа функционально-коммутативных матрицфункций Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

УДК 517.53

0 ФАКТОРИЗАЦИИ ВИНЕРА-ХОПФА ФУНКЦИОНАЛЬНО-КОММУТАТИВНЫХ МАТРИЦ-ФУНКЦИЙ

В.М. Адуков1

Для функционально-коммутативных матриц-функций специального вида предложен алгоритм явного решения задачи факторизации Винера-Хопфа. Используются элементарные факты теории представлений конечных групп. Симметрия факторизуемой матрицы-функции позволяет диаго-нализовать ее с помощью постоянного линейного преобразования. Тем самым задача приводится к скалярному случаю.

Ключевые слова: факторизация Винера-Хопфа, частные индексы, конечные группы.

1. Введение

Пусть Г - замкнутый гладкий жорданов контур, ограничивающий область D+. Дополнение

D+ U Г в С = CU обозначим D_, считаем, что 0 е D+ . Пусть A(t) - непрерывная и обратимая на контуре Г матрица-функция порядка 5 . Правой факторизацией Винера-Хопфа A(t) называется ее представление в виде

A(t) = A_ (t)d(t) A+ (t), t еГ. (1)

Здесь A± (t) - непрерывные на Г матрицы-функции, аналитически продолжимые в D± и обратимые там, a d (t) = diag [tp,..., tPs ], где p1,...,ps - целые числа, которые называются правыми частными индексами A(t). Можно считать, что р1 <... < ps. Частные индексы - важные целочисленные инварианты матрицы-функции A(t). В скалярном случае (s = 1) задача факторизации может быть решена явно [1].

Задача факторизации Винера-Хопфа (краевая задача Римана) - одна из самых востребованных задач комплексного анализа. Она находит многочисленные приложения в топологии, теории операторов, теории аппроксимаций Паде, дифференциальных уравнениях, механике сплошной среды.

Особенно важна для приложений матричная краевая задача Римана, однако именно в этом случае имеются значительные трудности. Вызваны они отсутствием для матриц-функций общего вида явных формул для факторизационных множителей и частных индексов. Поэтому в настоящее время главной проблемой в теории факторизации является проблема отыскания классов матриц-функций, для которых задача может быть решена явно.

Один из таких классов был рассмотрен в работах [2-5]. Он состоит из достаточно часто встречающихся в приложениях мероморфных матриц-функций. Для данных матриц-функций один из факторизационных множителей является рациональным, то есть определяется конечным числом параметров. Это позволило получить явное решение задачи для мероморфных либо ку-сочно-мероморфных матриц-функций средствами линейной алгебры.

Если матрица-функция обладает определенной симметрией (например, является циркулянт -ной матрицей-функцией), то естественно ожидать, что использование теоретико-групповых методов позволит понизить размерность s задачи. В этой работе мы рассмотрим только случай, когда A(t) можно рассматривать как функцию на контуре Г со значениями в групповой алгебре C[G] конечной абелевой группы или в центре Z(C[G]) групповой алгебры конечной неабелевой группы G . Симметрия данной задачи факторизации такова, что она может быть сведена к одномерному случаю.

1 Адуков Виктор Михайлович - профессор, доктор физико-математических наук, кафедра математического анализа, ЮжноУральский государственный университет.

E-mail: [email protected]

Поскольку значения А(У) лежат в коммутативной матричной алгебре, то А(У) является функционально-коммутативной матрицей. Это - первый класс матриц-функций, для которого краевую задачу Римана удалось решить в явной форме [6]. Для рассматриваемого в работе специального класса функционально-коммутативных матриц-функций предлагаемое решение задачи факторизации значительно проще - оно требует только знания характеров неприводимых комплексных представлений группы.

2. Основные результаты

1. Пусть О - конечная группа порядка О = п , е - единица О , С[О] - групповая алгебра, то

есть линейное пространство формальных линейных комбинаций ^ а(g)g элементов группы О

gеG

с коэффициентами а(g) из С . Группа О вкладывается в С[О] отождествлением элемента g с линейной комбинацией 1 • g . Тогда О - базис линейного пространства С[О]. Групповая операция на О задает умножение базисных элементов, тем самым на С[О] определяется структура алгебры над полем С . Можно также рассматривать С[О] как алгебру функций а(g) со сверткой в качестве умножения.

Пусть К1 = {е},К2,...,К5 - сопряженные классы О, = |Ку| - порядок сопряженного клас-

са Ку, g1,...,gs - произвольные фиксированные представители сопряженных классов. Центр Z(СО]) групповой алгебры состоит из центральных функций на О , то есть функций а(g), постоянных на сопряженных классах.

Элементы Су = ^ g, у = 1,...,5 образуют базис коммутативной алгебры Z(С[О]). Поэтому

g^KJ

С <С, = £ Сс

к=1

где Су - структурные константы алгебры Z(С[^]).

Пусть А - оператор умножения на элемент а = ^ а^і є Z(С[^]), аі = а(яД действующий

і=1

в линейном пространстве Z(С[^]). Найдем его матрицу А в базисе С^...,С5. Так как

аС} = = ІасС,

і=1

і,к=1

то элемент Ау матрицы А оператора находится по формуле Ау = ^ а ск и потому

=1

А =

(2)

V ;=1 1 к, У=1

В частности, если группа О - абелева, то 5 = п , Z(С[О]) = С[О], и матрица оператора А умножения на а = а(g)g е С[О] в базисе {gl = е,g2,_,gn} имеет вид

gеG

(3)

Эта матрица получена из первого столбца с помощью группы перестановок, изоморфной О .

'а( Ы а( §1§ 21) • ' а(ЙЯп1) "

А = а( Я 2) а(Я2^21) • ' а(Я2ё~п)

Vа(ёп ) а(ЯпЯ21) • ' а(%пЯ~п),

Например, если О есть циклическая группа порядка п с образующей а, то, выбрав базис

[ п—11

{ е,а,...,а } , получим циркулянтную матрицу.

Групповую алгебру С[О] (алгебру 2(С[О])) мы можем отождествить с алгеброй матриц вида (3) (вида (2)). Эти матричные представления алгебр С[О], 2(С[О]) соответствуют регулярному представлению группы О.

Пусть ^ - произвольная алгебра с единицей I над полем С . Тензорное произведение

^ ® С[О] мы отождествляем с алгеброй матриц вида (3) с элементами а(я у) є ^ . Соответствен-

но, ^ ® 2(С[О]) рассматривается как алгебра матриц вида (2) с аі є ^. Обозначим 15 диагональную матрицу порядка 5 с элементами I на диагонали.

Теорема 1. Пусть ,Х5 - характеры неприводимых комплексных представлений груп-

пы О и п1,...,п5 - степени соответствующих представлений. Обозначим

( (Я1) 1 Я 2) 1 - КХ\(Я,) 1 ^

КХ2( Я1) 1 И2%2( Я 2) 1 - К%2( ёп ) 1

Тогда Т - обратимая матрица,

hlXs (gl)I h2Xs (g2)I - hsXs (gs )I

T-1 = 4=

yfn

Xi( gl)I X2(gl)I Xl( g2)I X2( g 2)I

v Xl( gs )I X2( gs )I

и любая матрица A є ^ ® Z(C[O]) представляется в виде.

Xs (gl)I Xs ( g 2)I

Xs (gs )I

где

Л = diag[Лl,^,Дs], &j = — X a(g)Xj(g), J = 1,—,s .

"j gєO

Доказательство. Найдем элементы матрицы FF-1:

1^, , ,—^„ 1

(^-1) = i£hkXi g)X ig )i =^ £ xШ] (g)/ = |0’ г * J = Syl. (4)

V !‘J IGI gto I0, ‘ * J

Здесь мы воспользовались первым соотношением ортогональности для характеров (см. [7, гл.3, § 4, Теорема 2]) и тем, что характеры являются центральными функциями на группе G . Соотношения (4) означают, что ТТ-1 = Is.

Найдем элементы матрицы TAT-1, воспользовавшись формулой (2) и определением матриц Т, Т-1:

[TAT-1= 1 £ ^Аи(^-1)j =1 £ hkamckmlXl(gk)XJ(g).

iJ

ij n

l ,j =1

Известно (см. [S, §109, формула (8)]), что характеры удовлетворяют следующему соотноше-

нию:

Z vmxt gj ) = Х( gm )X( gl) .

j=1

По терминологии Ван дер Вардена, это - второе соотношение между характерами. Применив его, получаем

((•^-1 ).. = - Z am Xj (gl) — Х( gm Ш gl) = ]tam— Х( gm )~!^hlX( gl )Xj (^).

l,m=1

l =1

Наконец, еще раз воспользовавшись первым соотношением ортогональности (4), приходим к результату:

3 5

(-1 ) =3 X ОАХ ().

' !чп

Поскольку характеры - центральные функции, то суммирование в правой части этой формулы мы можем распространить на все элементы группы О. Таким образом, окончательно (РЛР_1) — 3УЛ и ТАР-1 — Л . Теорема доказана. ▲

\ /у

В случае, когда А е ^ ® С[О], О - конечная абелева группа, в формулировке Теоремы 1 нужно положить Н1 =... = = п1 = ... = п5 = 1 и 5 =| О |.

Ясно, что матрица А обратима тогда и только тогда, когда Л,---,Л - обратимые элементы алгебры %.

2. Применим доказанную теорему к задаче факторизации (1). Пусть % - распадающаяся алгебра непрерывных на контуре Г функций, допускающих факторизацию Винера-Хопфа. Например, можно взять в качестве ^ алгебру Винера Ж(Т) на единичной окружности Т или алгебру Н(Г) гельдеровских на Г функций (см. [1]).

Элемент а(g) является теперь функцией аё (?) е ЭД., ? еГ . Матрица-функция А(?) обратима

тогда и только тогда, когда функции Л(?) = — ^ а,,(?)х,(g), У = 1,—,5 отличны от нуля на Г.

3 у. & 3

ПУ gеО

Обозначим р = тАгЛ(?) - индекс Коши относительно контура Г функции Л у (?), то есть деленное на 2п приращение аргумента этой функции, когда точка ? пробегает контур Г. Пусть Л(?) = Л~ (?)?РЛ+(?) - факторизация Винера-Хопфа Лу (?). Тогда

Л(?) = ^ [Л' (?), •••, Л- (?)] • ^ [Л + (?), • • •, Л+(?)]

- факторизация Винера-Хопфа диагональной матрицы-функции Л(?) и применение Теоремы 1 дает следующий результат.

Теорема 2. Пусть А(?) е ^ ® 2(С[О]) - обратимая на контуре Г матрица-функция вида

(2). Тогда ее факторизация Винера-Хопфа А(?) = А- (?)ё(?) А+ (?) строится по формулам:

А- (?) =

Л1 (?)Х(gl) Л2 (?)Х2(gl)

Л1 (?)Х1(g2) Л2 (?)Х2(g2)

А+ (?) =

ЧЛ1 (?)Х1(gs ) Л2 (?)Х2(gs ) •

d(?) = а1аё [?Р1,...,?р], Ру =

Й1Л1+ (? )Х1 ( gl) ^2Л1+ (? )Х1 ( g2 )

^1Л2 (?)Х2 (5^1) ^2^2 (?)Х2 (■§2)

Л (?ХХ (gl)

Л (?ХХ (g2)

Л (?ХХ ( gs )У та г Лу (?),

^ (?)Х1(gs ) ЙА+ (? )Х2( gs )

ЛЛ (?ХХ (gl) (?ХХ (g2) - М/ (?ХХ (gs ) У

3. Примеры

Пример 1. Пусть О = У4 - четверная группа Клейна. Она является абелевой подгруппой симметрической группы 54:

V = {е,(12)(3 4),(13)(2 4),(14)(2 3)},

изоморфной прямому произведению С2 X С2 циклических групп второго порядка. Матрица А(?) поэтому есть 2-уровневая циркулянтная матрица, то есть 2 X 2 блочно-циркулянтная матрица, с 2 X 2 циркулянтными блоками

Л(?) =

Таблица характеров У4 (см. [7, гл.3, § 5])

ах(?) ) 2 а а3(?) а '-к

а2 (?) аг(?) ) а а и) '-К

с и) '-к ) а ах(?) а Ю '-к

) а а3(?) а Ю '-к аг(?)

е (12)(3 4) (13)(2 4) (14)(2 3)

X 1 1 1 1

Х2 1 -1 1 -1

Х3 1 1 -1 -1

Х3 1 -1 -1 1

задает постоянную матрицу Т, которая приводит Л(?) к диагональному виду с диагональными элементами:

Я1(?) = а1(?) + а2(?) + а3(?) + а4(?), ^(?) = аД?)-а2(?) + а3(?)-а4(?),

Я3 (?) = ах (?) + а2 (?) - а3 (?) - а4 (?), Д4 (?) = ах (?) - а2 (?) - а3 (?) + а4 (?).

Индексы Коши этих функций являются частными индексами Л(?).

Пример 2. Пусть О = ^3 - симметрическая группа степени 3. В этой неабелевой группе имеется 3 сопряженных класса:

К = {е}, К2 = {(12), (13), (2 3)}, К3 ={(12 3),(13 2}.

Таблица умножения базисных элементов С}- алгебры Z(С[5”3]) приведена ниже:

Теперь по формуле (1) мы можем составить матрицу-функцию Л(?):

^ ах(?) 3а2(?) 2а3(?) ^

Л(?) = а2 (?) ах (?) + 2а3 (?) 2а2 (?)

ч а3(?) 3а2(?) ах(?) + а3(?)

Таблица характеров ^3 имеет вид (см. [7, гл.3, § 5])

е (12) (12 3)

Х1 1 1 1

Х2 1 -1 1

Х3 2 0 -1

Следовательно, Я1 (?) = аг (?) + 3а2 (?) + 2а3 (?), Л2 (?) = ах (?) - 3а2 (?) + 2а3 (?), Л3(?) = ах (?) - а3 (?).

Т= —

46

(1 3 2 >

1 -3 2 , ^-1

V 2 0 -2 V

у[6

Г1 1 2 >

1 -1 0

V1 1 -Ъ

По теореме 2 получаем

A- (t) =

— (t) -2 (t) 2Л3 (t)

Л (t) —2 (t) о

Лі- (t) — (t) -Лз- (t)

^ Л+ (t) 3Л1+ (t)

A+ (t) = Л+ (t) -3Л+ (t)

2Л3+ (t) 0

2Л+ (t) 2Л+ (t)

-2ЛЗ+ (t)

A

и ^ = таг (а1 (?) + 3а2 (?) + а3 (?)), ^2 = таг (а1 (?) - 3а2 (?) + а3 (?)), £>3 = таг (а1 (?) - а3 (?)).

Пример 3. Пусть О = Q8 ={±1,±1,±j,±к} - группа кватернионов, заданная определяющими соотношениями 12 = j2 = к2 = Цк = —1. В группе имеется 5 сопряженных классов:

К ={1},К2 ={—1},К3 ={±1}, к4 ={^},К5 ={±к}.

Таблица умножения базисных элементов С}- алгебры Z(С^8]) имеет вид

C1 C2 C3 C4 C5

C1 C1 C2 C3 C4 C5

C2 C2 C1 C3 C4 C5

C3 C3 C3 2C1 + 2C2 2C5 2C4

C4 C4 C4 2C5 2C1 + 2C2 2C3

C5 C5 C5 2C4 2C3 2C1 + 2C2

поэтому

a1(t) a2(t) 2a3 (t) 2a4(t) 2a5 (t)

a2(t) a1(t) 2a3 (t) 2a4(t) 2a5 (t)

a3(t) a3(t) a1 (t) + a2 (t) 2a5 (t) 2a4(t)

a4(t) a4(t) 2a5 (t) a1 (t) + a2 (t) 2a3 (t)

as(t) as(t) 2a4(t) 2a3 (t) a1 (t) + a2 (t)

Группа Q8 имеет следующую таблицу характеров:

Знание ее позволяет найти частные индексы и факторизационные множители A(t). Ограничимся только нахождением частных индексов.

Вычисление функций Л (t) = — V ag(t)у,(g), j = і,...,5 , дает такой результат:

J у. & J

nj geG

Л (t) = a1 (t) + a2 (t) + 2a3 (t) + 2a4 (t) + 2a5 (t),

Л2 (t) = a1 (t) + a2 (t) + 2a3 (t) - 2a4 (t) - 2a5 (t),

Л (t) = a1 (t) + a2 (t) - 2a3 (t) + 2a4 (t) - 2a5 (t),

Л4 (t) = a1 (t) + a2 (t) - 2a3 (t) - 2a4 (t) + a5 (t), Л5 (t) = a1 (t) - a2 (t).

Частные индексы A(t) есть индексы Коши этих функций.

Литература

1. Гохберг, И.Ц. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения / И.Ц. Гохберг, И.А. Фельдман. - M.: Наука, 1971. - 352 с.

2. Adukov, V.M. On Wiener-Hopf factorization of meromorphic matrix functions / V.M. Adukov // Integral Equations and Operator Theory. - 1991.- V. 14. - P. 767-774.

3. Адуков, В.М. Факторизация Винера-Хопфа мероморфных матриц-функций / В.М. Адуков // Алгебра и анализ. - 1992. - Т. 4. - Вып. 1. - С. 54-74.

4. Адуков, В.М. О факторизации аналитических матриц-функций / В.М. Адуков // Теор. и ма-тем. физика. - 1999. - Т. 118, № 3. - С. 324-336.

5. Адуков, В.М. Факторизация Винера-Хопфа кусочно мероморфных матриц-функций / В.М. Адуков // Математический сборник. - 2009. - Т. 200, № 8. - С. 3-24.

6. Гахов, Ф.Д. Краевая задача Римана для системы п пар функций / Ф.Д. Гахов // Успехи ма-тем. наук. - 1952. - Т. 7. - Вып. 4(50). - С. 3-54.

7. Кострикин, А.И. Введение в алгебру. Часть III / А.И. Кострикин. - М.: Физматлит, 2000. -272 с.

8. Ван дер Варден, Б.Л. Алгебра / Б.Л. Ван дер Варден. - СПб.: «Лань», 2004.- 624 с.

ABOUT WIENER-HOPF FACTORIZATION OF FUNCTIONALLY COMMUTATIVE MATRIX FUNCTIONS

V.M. AdukoV

An algorithm of an explicit solution of the Wiener-Hopf factorization problem is proposed for functionally commutative matrix functions of a special kind. Elementary facts of the representation theory of finite groups are used. Symmetry of the matrix function that is factored out allows to diagonalize it by a constant linear transformation. Thus, the problem is reduced to the scalar case.

Keywords: Wiener-Hopf factorization, special indexes, finite groups.

References

1. Gokhberg I.Ts., Fel'dman I.A. Uravneniya v svertkakh i proektsionnye metody ikh resheniya (Convolution equations and projection methods for their solution). Moscow: Nauka, 1971. 352 p. (in Russ.). [Gohberg I.C., Fel'dman I.A. Convolution equations and projection methods for their solution. American Mathematical Society, Providence, R.I., 1974. Translations of Mathematical Monographs, Vol. 41. MR 0355675 (50 #8149) (in Eng.).]

2. Adukov V.M. On Wiener-Hopf factorization of meromorphic matrix functions. Integral Equations and Operator Theory. 1991. Vol. 14. pp. 767-774. DOI: 10.1007/BF01198935.

3. Adukov V.M. Faktorizatsiya Vinera-Khopfa meromorfnykh matrits-funktsiy (Wiener-Hopf factorization of meromorphic matrix function). Algebra i analiz. 1992. Vol. 4. Issue 1. pp. 54-74. (in Russ.). [Adukov V.M. Wiener-Hopf factorization of meromorphic matrix functions. St. Petersburg Mathematical Journal. 1993. Vol. 4. Issue 1. pp. 51-69. (in Eng.).]

4. Adukov V.M. O faktorizatsii analiticheskikh matrits-funktsiy (About factorization of analytical matrix functions) Teoreticheskaya i matematicheskayafizika. 1999. Vol. 118, no. 3. pp. 324-336. [Adukov V.M. Factorization of analytic matrix-valued functions. Theoretical and Mathematical Physics. 1999. Vol. 118, no. 3. pp. 255-263. DOI: 10.1007/BF02557319].

5. Adukov V.M. Faktorizatsiya Vinera-Khopfa kusochno meromorfnykh matrits-funktsiy (Piecewise Wiener-Hopf factorization of meromorphic matrix functions). Matematicheskiy sbornik. 2009. Vol. 200, no. 8. pp. 3-24. (in Russ.).

6. Gakhov F.D. Kraevaya zadacha Rimana dlya sistemy n par funktsiy (Riemann boundary value problem for system of n pairs of functions). Uspekhi matematicheskikh nauk. 1952. Vol.7. Issue 4(50). pp. 3-54. (in Russ.).

7. Kostrikin A.I. Vvedenie v algebru. Chast III. (Introduction into algebra. Part III). Moscow: Fiz-matlit, 2000. 272 p. (in Russ.).

8. Van der Varden B.L. Algebra. Saint Petersburg: Lan', 2004. 624 p. (in Russ.).

Поступила в редакцию 18 марта 2013 г.

1 Adukov Victor Mikhailovich is Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Department of Mathematical Analysis, South Ural State University.

E-mail: [email protected] 12 Вестник ЮУрГУ. Серия «Математика. Механика. Физика»