О единственности рядов Уолша по последовательностям Текст научной статьи по специальности «Математика»

3. Molchanov V. A. Nonstandard approach to general rational languages I I Contributions to General Algebra 13, Proceedings of the Dresden Conference 2000 (AAA60) and the Summer School 1999, Verlag Johannes Heyn, Klagenfart, 2001. P. 233 - 244.

4. Альбеверио С., Фенстад К, Хеэг-Крон Р., Лчндстрем Т. Нестандартные методы в стохастическом анализе и математической физике. М.: Мир. 1990. 616 с.

5. Молчанов В А. О естественном продолжении теории рациональных языков на языки произвольных слов // Математика. Механика; Сб. науч. тр. Саратов; Изд-во Са-рат. ун-та, 2004. Вып. 6. С. 90 - 93.

6. Молчанов В. А. О матричных полугруппах над полукольцами и их приложениях к теории формальных языков // Там же, 2001. Вып. 3. С. 98 - 101.

УДК 517.51

Н. С. Морева

О ЕДИНСТВЕННОСТИ РЯДОВ УОЛША ПО ПОДПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯМ

Пусть С - двоичная группа, м>п (?) - функции Уолша на С, Уп - база окрестностей на й [1]. В [2] были указаны условия, при которых конечное или счетное множество Е на в. -мерной двоичной группе (¿/>1) являлось множеством единственности для (I-кратного ряда Уолша при сходимости по двоичным кубам.

Мы в одномерном случае рассмотрим вопрос о том, когда конечное или счетное множество Е а й является множеством единственности для ряда

2>Р(0, О

Р=о

где g0=c0, g¡ е=0, я2(0 = с,м^Г), g3 = 0, g2n(t)=

к=2"4

2"-1

«2/1+1(0= Хс*п(0, « = 2,3,...

Ответ на этот вопрос дают приводимые ниже теоремы 1 и 2. Прежде всего, отметим, что g2n и £2л+1 постоянны на окрестностях Кя,иесли (§2„+1('о) ^ то во всех точках í окрестности Уп_2,

такой что ?о€|к«-2> «2Я(0*°(«2П+1(0*0).

Определение 1. Индексным множеством для конечного или счетного множества Ее: С будем называть множество

1Е={к: ЗУк, \/Ук+1^Ук,Ук+1пЕ*0}. Вторым индексным множеством для того же множества Е с: С, будем называть множество

ГЕ = {к :аУк_и \/Ук+1 с Ук_„Ук+1 пЕФ0}.

86

Очевидны следующие свойства индексных множеств множества Е :

2) если к е ГЕ, то к -1 е /£ ;

3) наименьший элемент множества /£ не принадлежит множест-ВУ 1'е-

ТЕОРЕМА 1. Пусть

1)£сС - конечное или счетное множество, / — индексное множество для множества Е, У - второе индексное множество для множества Е.

2) ряд (1) сходится к нулю всюду на С\Е\

3) Яо^О;

5) либо #2(*+1) = 0, либо #2(*+1)+1 ^ б / \ /'; = О, если 0 е /. Тогда для всех остальных р, = 0.

Доказательство. Пусть существует #0. Обозначим через

£1 . 2 .

поэтому возможны два случая: А) кх е / \ Г; Б) г /.

И в том, и в другом случаях существует окрестность Ук[, такая что Ук[ г\Е = 2> и У^еР^ #2*, (0 + £2*,+1(0 = а1> «1*0. Предположим для определенности, что а, >0. Далее если бы при всех р> р{ на имело место тождество =0, то ряд (1) не сходился бы к нулю на Ук[, что противоречит условию теоремы. Поэтому существует наименьший индекс р2

наименьший из таких индексов. Пусть к{

Очевидно, что А:, ё /',

(р2 > 2Аг, + 1) такой, что Ф 0 на Ук], к2 =

. Тогда на некоторой

окрестности Ук £2а2 + 82к2+1 (0 = а1> а2>0. Продолжая эти рассуждения, найдем последовательность вложенных окрестностей Ук з Ук1 з... з..., имеющих в пересечении точку /0 е Е и ряд в этой точке /0 не

сходится к нулю. Полученное противоречие доказывает теорему.

В теореме 1 нельзя отказаться ни от одного из условий 3) - 5). Определение 2. Пусть Уп - некоторая окрестность ранга п. Возьмем любую точку / = (1к) е Уп. Точки

(г0,/5,1,0,0,...) и (г0,0,1,1,...) будем называть крайними точками окрестности Уп.

ТЕОРЕМА 2. Пусть 1 с N и {0} - произвольное множество такое, что (Ыи{0})\/ счетно, и пусть Г — произвольное подмножество множества I такое, что Г удовлетворяет свойствам 1) - 3) индексных множеств относительно множества I. Тогда

1) существует множество Е аС такое, что множество / будет его индексным множеством, Г - вторым индексным множеством;

2) Ук1 е/\/' найдется ряд вида (1), сходящийся к нулю всюду на в\Е такой, что и * °> либ° либ° ^2(*+1)+1 в0- Уке1\Г я2=0, если О е/ и к^Ф 0; £2(*+1)=° и Яг(;+1)+1 g й=0и при этом неверно, что все остальные gp=Q^,

3) е Г найдется ряд вида (1), сходящийся к нулю всюду на С \ Е такой, что g2{kj+x) Ф0 или Я2<*,+1)+1 ф0' ^2(к+\) =° и &2(*+1)-и =°

; либо =0, либо =0 УА е / \/'; = 0, если 0 е / ,

g0=Q и при этом неверно, что все остальные gp=0;

4) найдется ряд вида (1), сходящийся к нулю всюду на О \ Е такой, что ^2(4+1) = ° и Я2(*+1)+1=° либо Я2(*+1) = °» либо £2(4+1)+! = 0 Уке1\Г ; g2 г 0, если 0 е / и при этом неверно, что все остальные gp = 0.

Доказательство. Доказательство проведем только для пункта 1) в случае, когда / - счетное множество (случай, когда / конечно, рассматривается аналогично). Доказательства 2) - 4) непосредственно следуют из свойств функций gp, определения 1 и вида построенного ниже множества Е.

Пусть / с N и {0} - произвольное счетное множество такое, что (Ии{0})\/ счетно, I = {к1,к2,...,к5,...}, <£/+1,\Л'еМ. Пусть Г -произвольное подмножество множества / такое, что к^ёГ и Г удовлетворяет свойству 3) индексных множеств относительно множества /.

Пусть на первом этапе множество Е пусто. Представим двоичную группу в виде дизъюнктного объединения окрестностей Ук] и выберем одну произвольную такую окрестность. Отметим крайние точки этой окрестности Ук] и включим их в множество Е.

Если к2 = + 1 и к2€Г, то разбиваем окрестность Ук] на две окрестности Ук? , выбираем одну из них, отмечаем в ней крайние точки и включаем их в множество Е. Иначе разбиваем окрестность Ук] на окрестности Ук, выбираем те из них, которые уже содержат точку из Е, отмечаем в

них крайние точки и включаем их в множество Е. Аналогично продолжаем дальше.

На некотором /г-м шаге, если ки = к^ +1 и к/, £ Г, то разбиваем окрестность Ук на окрестности Уки-л . Рассмотрим сначала все такие окрестности Ук^ _|, у которых только одна половина Укн с Ук. , содержит точки

из Е. Выбираем те Vkh, которые содержат точки из Е, отмечаем в них

крайние точки и включаем их в множество Е. Далее рассматриваем те Vk t, у которых обе Vkh содержат точки из Е. В каждой такой Vkh-\ вьь

бираем только одну Vkh, отмечаем в ней крайние точки и включаем их в множество Е. Если не верно, что kh = kh_x +1 и kh g Г, то разбиваем окрестность Vk на окрестности Vkh, выбираем те из них, которые уже содержат точки из Е, отмечаем в них крайние точки и включаем эти точки в Е. Продолжая этот процесс далее, получаем требуемое множество Е.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Schipp F., Wade W. R., Simon P. Walsh series. An introduction to dyadic harmonic analysis. Budapest: Academiai Kiado, 1990.

2. Морева H. С. Конечные и счетные множества единственности для кратных рядов Уолша // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тез. докл. 13-й Сарат. зимней шк. Саратов, 27 янв. - 3 февр. 2006 г. Саратов: ООО Изд-во «Научная книга», 2006. С. 121 - 122.

УДК 517.984

Е. В. Назарова

О РАВНОСХОДИМОСТИ СПЕКТРАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ ДЛЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ, ИМЕЮЩИХ РАЗРЫВЫ ПРОИЗВОДНОЙ ЯДРА НА ДИАГОНАЛЯХ*

Рассматривается интегральный оператор

Af{x)=)A(x,t)f(t)dt. (1)

о

Исследуется вопрос о равносходимости разложений произвольной суммируемой на отрезке [0;1] функции по системе собственных и присоединенных функций оператора (1) и в тригонометрический ряд Фурье.

Проблема равносходимости, имеющая давнюю историю, более всего изучена для дифференциальных операторов. В отношении интегральных операторов она изучена значительно меньше. В частности, А. П. Хромов в работе [1] ввел ограничения на ядро - условия гладкости, а также существенное условие скачка (и - 1)-й производной ядра на диагонали единичного квадрата. Последнее условие задает канонический вид оператора среди всех интегральных операторов с данной системой собственных и присоединенных функций, разложения по которой равносходятся с разложением по тригонометрической системе. Но в связи с отсутствием конструктивно-

' Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 06-01-00003).

89