О существовании континуального замкнутого U-множества Текст научной статьи по специальности «Математика»

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2016. Т. 16, вып. 1

УДК 517.5

О СУЩЕСТВОВАНИИ КОНТИНУАЛЬНОГО ЗАМКНУТОГО и-МНОЖЕСТВА

И. С. Юрченко

Юрченко Ирина Сергеевна, ассистент кафедры математической теории упругости и биомеханики, Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского, [email protected]

В данной работе рассматривается система характеров на группе Виленкина и изучаются множества единственности (и-множества) для рядов по системе характеров группы Виленкина. Доказывается достаточное условие для и-множества на группе Виленкина и строится континуальное замкнутое множество единственности на группе Виленкина для произвольной образующей последовательности.

Ключевые слова: множества единственности, замкнутое континуальное множество, группа Виленкина. DOI: 10.18500/1816-9791 -2016-16-1 -76-79

ВВЕДЕНИЕ

Известно [1], что счетное множество является и-множеством для системы Уолша на модифицированном отрезке [0,1]*. Этот результат справедлив и для системы Виленкина на группе Виленкина, причем доказательство полностью повторяет доказательство для системы Уолша. Н. А. Бокаев [2] доказал достаточное условие для того, чтобы множество было и-множеством для системы Виленкина на [0,1]*. Также Н. А. Бокаев [3] показал, что если у образующей последовательности существует ограниченная в совокупности подпоследовательность, то для системы Виленкина существует континуальное замкнутое и-множество на [0,1]*. Там же было доказано, что если рп = п+2 для всех п £ М, то континуальное замкнутое множество также существует. Покажем, что данные результаты справедливы для системы характеров на группе Виленкина для любой образующей последовательности.

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Пусть (рк)£=о — произвольная последовательность простых чисел. По последовательности (рк) построим последовательность (тк) следующим образом: т0 = 1, шк+1 = рктк. Рассмотрим группу С, состоящую из бесконечных последовательностей С = {(хк)£=о : хк = 0,рк — 1}. Определим на группе С операцию ф следующим образом:

х ф у=(хк Ф Ук)Г=о, хк Ф Ук = (хк Ф Ук)шоёрк.

Символом © будем обозначать операцию, обратную к ф. Группу С с такими операциями называют группой Виленкина. Очевидно, что (£п/£п+1)# = рп.

Элементы дп = (0,0,..., 0п-1, 1п, 0п+1,...) образуют базисную систему в С, т.е. любой элемент

х £ С однозначно представим в виде ряда х = ^ апдп, ап = 0,рп — 1. Смежные классы ф Н

п=о

вместе с пустым множеством образуют полукольцо К. Равенство д(Сп ф Н) = 1/тп определяет на К меру, которая может быть продолжена по схеме Каратеодори. В результате получается мера, совпадающая с мерой Хаара на борелевских подмножествах С. По мере д по схеме Лебега строится абсолютно сходящийся интеграл, инвариантный относительно сдвига.

оо

Определение 1. Пусть п = £ £ Мо, Пк = 0,рк — 1, г = £ ¿кдк £ С, ¿к = 0,рк — 1.

к=о тк+1 к=о

те

Функции гк(г) = е2пггк/рк назовем функциями Радемахера. Функции Уп(г) = П (гк(г))£к назовем

к=о

функциями Виленкина на группе С.

Функции Виленкина Уп (г) являются характерами группы Виленкина С и образуют ортонормиро-ванную систему в (С).

© Юрченко И. С., 2016

П. С. Юрченко. О существовании континуального замкнутого (/-множества_

Определение 2. Множество Е £ £ называется и-множеством для системы характеров {УП(ж)}, если из сходимости ряда

/(ж) = Сп (ж) п=0

(1)

к нулю всюду вне Е следует, что сп = 0 при всех п.

Теорема 1. Множество Е £ С будет и-множеством для системы характеров {Уп(ж)}, если для него найдется последовательность функций ^ (ж), к £ Ж, обладающая свойствами:

1. ^ (ж) = К (ж), причем

п=0

а; Е 1тПк) I < В< ж;

п=0

б; |70к) | ^ А > 0;

в) 7

(к)

0 при к ^ ж, п ^ 2.

2. ^ (ж) = 0 на Е, кроме, быть может, точек множества Ек с Е, про которое заранее известно, что оно является и-множеством для системы {Уп(ж)}.

Доказательство. Пусть ряд (1) сходится к нулю вне Е. Покажем, что сп = 0 при всех п.

По условию 2 ^(ж) = 0 на Е с следовательно, существует смежный класс £г+1 Ф а1д1 с С \ Е такой, что ^(ж) = 0 при ж £ Ф агдг. На смежном классе Ф а1д1 могут быть лишь точки множества Ек с Е, но дЕк = 0, значит, ряд (1) сходится к нулю почти всюду на Фагдг. Рассмотрим

те те те /

/(ж) ■ Fk (ж) = £ сЛ (ж) ■ £ Т(к) V (ж) = £ Есп7(к) КФг (ж) = £ ( £ е„7(к) ) У (ж).

(ж)

п=0 г=0

п=0 г=0

7=0 \1фте=7

Обозначим

(к)

=

Е(к) ^ (к) (к) . ^ (

г®п=7

(к)

г=0

г=1

По условию /(ж) сходится к нулю вне Е, а ^к(ж) =0 на Е \ Ек, причем дЕк = 0. Следовательно, /(ж) ■ (ж) сходится к нулю вне Ек, которое является и-множеством, значит, для любого з а7к) = 0.

Таким образом, 7(к) + Е 7г(к) = 0, т. е.

г=1

^ ' (к) _

70 г=1

1 ^ (к)

Так как /(ж) сходится к нулю, то для любого е1 > 0 существует номер Ь такой, что для любого £1А

I > Ь |с7ег| < -—-. Обозначим С = тах|с7ег|. Из условия 1, в) следует, что для любого £2 > 0 2В '

существует номер К такой, что при к > К |7г(к) | <

£2 А 2СЬ

Рассмотрим

| =

(к) 70

(к)

г=1

1

< —

< А

(к)

г=1

1

+ А

^ с7ег7г г=ь+1

(к)

<

< I £2А_

< А ' 2СЬ

с^ег

=1

1 £1А + А ' "2В

Е

г=ь+1

(к)

■ С ■ Ь + ■ В = ^ + !1 <£, 2СЬ 2В 2 2'

где £ = тах{£1, £2}. Следовательно, для любого фиксированного з |е7-1 < £ при достаточно большом к, т. е. для любого з = 0. Теорема доказана.

1

Математика

77

(Щ^Щр^ Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2016. Т. 16, вып. 1

2. ОСНОВНОЙ РЕЗУЛЬТАТ

Теорема 2. Для системы характеров {Vn (x)} на группе Виленкина существует континуальное замкнутое U-множество.

Доказательство. Множество E будем строить следующим образом.

На первом шаге разбиваем группу G = Go на смежные классы Gi Ф aogo ранга p0 и удаляем все смежные классы, кроме двух крайних, для определенности. Полученное множество обозначим E0 = G1U (G1Ф (p0 — 1)g0). Оставшиеся два смежных класса разбиваем на смежные классы G2 Фa1 g1 ранга p1 и удаляем все смежные классы, кроме двух крайних. Получим множество

E1 = G2 U (G2 Ф (Р1 — 1)g1) и (G2 Ф (po — 1)g0) U (G2 Ф (P1 — 1)g1 Ф (po — 1)go)

и т. д. Получившееся в результате этого процесса множество обозначим E, причем из построения следует, что

2 2 22 22 2s 2s

^Eo = —=—, ^E1 =-= —, ..., mEs-1 =-= —.

Po m1 P0P1 TO2 P0P1 •••Ps-1

2 2 2

Если последовательность {pn} содержит бесконечно много pn > 2, то ^Es =--... — ^ 0

Po P1 Ps

при s ^ го. Следовательно, ^E = 0. В качестве последовательности функций {Fs(x)} рассмотрим полиномы вида Fs(x) = (1 — Vms (x))(1 — e2ni/ps Vms (x)) и проверим выполнение условий теоремы 1. Имеем:

Fs (x) = 1 — (1 + e2ni/ps )Vn (x) + e2ni/ps V^ n (x), тогда сумма модулей коэффициентов при Vmn (x) имеет следующую оценку:

|7ns) | = 1 + |1 + е2пг/Ра | + |е2пг/Ра | ^ 4 < го,

n=0

а модуль нулевого коэффициента — |y0s) | = 1 > 0 для любого s. Условие 1, в) очевидно, так как y1s) = 0 при s ^ го, n <G N. Функции Fs(x) = 0 на E, так как если x из левого промежутка, то Vms (x) = 1 и первый сомножитель равен 0; если из правого, то Vms (x) = e2n(ps-1)/Ps, и второй сомножитель равен нулю. В качестве множества Es можно взять 0.

Если же последовательность {pn} содержит бесконечно много pn = 2, тогда выделим ограниченную в совокупности подпоследовательность {pnk : pnk =2} и построим множество E следующим образом.

На первом шаге из группы Go убираем промежутки, образованные точками x, в разложении которых xn0 = 0, а остальные xj любые. Оставшееся множество обозначим как Eo. Затем из множества G \ Eo убираем промежутки, образованные точками x, в разложении которых xni = 0, а остальные xj — любые. Оставшееся множество обозначим как E1. На k-м шаге из множества G \ Ek-1 убираем промежутки, образованные точками x, в разложении которых xnk = 0, а осталь-

оо

ные xj — любые. Оставшееся множество обозначим как Ek и т. д. Положим E = Р| Ek, где

k=0

Ek = {x : xn0 = xni = ... = xnk = 1}. Из построения следует, что

77, 1 7-, pn0 2 77, pn0pni . . . pnk — 1 2

^Eo =-, ^E1 =-=-, ^Efc = -= -.

Следовательно, ^E = 0.

В качестве последовательности функций {Fs(x)} рассмотрим полиномы вида

Pns -1

Fs(x)= Vj-m„s (x)

j=o

и проверим выполнение условий теоремы 1.

78

Научный отдел

И. С. Юрченко. О существовании континуального замкнутого U-множества

Pns -1

Имеем Fs (x) = Е VjTOn (x), тогда сумма модулей коэффициентов

щую оценку:

j=0

Pns —1 Pns —1

Е lYiS)l ^ E != Pns =2 < œ,

n=0

n=0

а модуль нулевого коэффициента — ^^ | = 1 > 0 для любого 5. Условие 1, в) очевидно, так как 7П =0 при 5 ^ ж, п £ N .По построению функции

pns — 1

pns — i

pns —i

Fs (x)= E Vjmns (x)= E rns (x) = E

2ni —k- j

e pnsJ

j=0

j=0

j=0

Pns —1

e pns J =0

j=0

на Е как сумма корней из единицы. В качестве множества Е можно взять 0. Теорема доказана.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 13-01-00102).

Библиографический список

1. Шнейдер Л. Л. О единственности разложений нек°т°рых ортонормированных ^стем. Деп.

, „л, ,,,, , в ВИНИТИ 03.08.1983, № 4282-83.

по системе функций Уолша // Матем. сб. 1949. 3 Токаев Я Л Об и

Т. 24(66), № 2. С. 279-300. 2. Бокаев Н. А. О множествах единственности для

множествах для мультипликативных систем // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механ. 1995. № 3. С. 84-86.

On the Existence of Continual Closed / -set I. S. Yurchenko

Yurchenko Irina Sergeevna, Saratov State University, 83, Astrakhanskaya st., Saratov, Russia, 410012, [email protected]

In this work we consider a system of characters of the Vilrnkin group G and study uniqueness sets for series for system of character of Vilenkin group (in other words, U-sets). We prove a sufficient condition for the U-set on the Vilenkin group and constructed continual closed U-set on the Vilenkin group.

Key words: U-set, continual closed set, Vilenkin group.

This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (projects no. 13-01-00102).

References

1. Shneider A. A. On the uniqueness of expansions in Walsh functions. Mat. Sb. (N.S.), 1949, vol. 24(66), no. 2, pp. 279-300 (in Russian).

2. Bokaev N. A. An uniqueness sets for some ortho-

normal systems. Preprint in VINITI, 03.08.1983, № 4282-83 (in Russian). 3. Bokaev N. A. An U-sets for multiplicative systems. Vestnik Mosk. un-ta. Ser. 1. Matem. Mekh., 1995, no. 3, pp. 84-86 (in Russian).