О двумерном магнитном операторе Шредингера в периодическом внешнем поле Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Института математики и информатики. Ижевск. 2006. Г11(35)

УДК 517.958:530.145.6

© Ю.П.Чубурин

chuburin@otf.pti.udm.ru

О ДВУМЕРНОМ МАГНИТНОМ ОПЕРАТОРЕ ШРЕДИНГЕРА В ПЕРИОДИЧЕСКОМ ВНЕШНЕМ ПОЛЕ

Ключевые слова: магнитный оператор Шредингера, периодический потенциал.

Abstract. We consider the two-dimensional magnetic Schrödinger operator with a periodic potential. The analitic properties of eigenvalues of this operator as functions in quasimomentum are investigated.

Введение

Обозначим через

Яо=Н(жг-^)2 + ^) (1)

оператор Шредингера с однородным магнитным полем B =

= const > 0 в калибровке Ландау, действующий в L (R2). Обо-

значим далее через R(E) = (Щ — E)-1 резольвенту оператора Щ ; а через Go(x,y,E) — ядро резольвенты. Вид ядра СЦ1га в симметрической калибровке приведен, например, в [1]:

С081т(ж, у, Е) = ^ Г( ± — |) e-iB{xiy2-x2yi)/2 . p-B(x-yfß х (2)

хФ(1-|,1,Б(Ж-у)2/2).

Здесь Г — гамма-функция, Ф — вырожденная гипергеометри-ческая функция 2-го рода. Согласно [2]

G0(x,y,E) = eiY G0sim(x,y,E), (3)

где y — некоторая вещественная функция.

В L2 (М2) введем оператор магнитной трансляции та, где а € R2 . действующий по формуле та(ф){х) = егВахф(х — а) . Известно (непосредственно проверяемое) равенство Щта = ТаНо на C^(М2), а поскольку C^(М2) — это существенная область

Н

TaR(E) = Я0(Я)Та. (4)

Предположим, что выполнено условие рациональности потока Ва\а2 € 2nN, где N — множество натуральных чисел. Тогда из (2) вытекает, что

eiBa2XG0(x — а, у, E) = егВа'2т ^{х,у + а,Щ. (5)

В дальнейшем рассматривается оператор Н = Н + V(х), где V(x) € L^(М2) — вещественная периодическая функция по переменным Xj с периода ми Tj > 0 , j = 1,2 . Как известно, в случае В > 0 спектр оператора Но совпадает с набором собственных значений бесконечной кратности Еп = (п+|) В , п = 0,1,... (уровней Ландау). Через а(А) обозначается спектр А.

Разложение в прямой интеграл

Положим Ü = [0,Ti) х [0, T2), п* = [—n/Ti,n/Ti) х [—п/Т2, п/Т2) (ячейки в прямой и обратной решетке) и введем в рассмотрение унитарный оператор U : L(М2) ^ L2(fi х fi*),

ф(х) I—>ф(х,к) = ^Tinikl+T2n2k^ T{TinuT2n2){^){x).

raeZ2

(6)

Как обычно, предполагается, что BT\T2 €2nN. Функции ф(х,к),

х€М

ству тт1п1,т2п^{Ф{х,к)) = e-iTinik+T2n2k^ф(х,к), то есть являются магнитно-блоховскими [3].

Легко видеть, что оператор UHU-1 ^расслаивается© в сеН к к € *

и оператор Н (см. ниже теорему 0.1). Операторы Щк) определены в Ь2(П) на (достаточно гладких) магнитно-блоховских функциях.

Н

интеграле пространств

/®Ь2(П)йк = Ь2(П х П*) ~ ЩП*,Ь2(П)) (6)

п*

Нк

Нк

бой точки (Ео,ко) € (ст(Н(ко)),0*) задается уравнением вида А(Е,к) = 0, где А(Е,к) — некоторая аналитическая функция в (комплексной) окрестности точки (Ео,ко).

Доказательство. Сначала докажем разложимость в прямом интеграле (6) оператора Щ или, что эквивалентно, его резольвенты. Легко видеть, что оператор иЩ(Е)и-1 расслаивается в семейство операторов Щ(Е,к) с ядром

С0{х,у,к,Е) = £ ¿Тт^+ТгтЪ) т(т1пит2т) (@о(•,У,Щ(Х-

п€22

(7)

Из (3), (4) с использованием известных оценок функции Ф(а, г) для малых и для больших значений |г| (см., например, [4]) легко вывести неравенства

/|"с^Е)|2^<Св-и-. 3 — 0,1,

П

где а > 0 , \х\ = л/ж2 + х\ , а константа С зависит лишь от р(Е,а(Н0))= 1 п£ |Е - Еп| > 0.

п=0,!,...

Из данной оценки и (векторнозначной) теоремы Вейерштрасса об аналитичности равномерно сходящегося на компактах ряда

из аналитических функций вытекает, что Со(х,у,к, Е) является аналитической Ь2(П х П)-значной функцией переменных {к,Е) € С3 для Е ф Еп, п = ОД,... , а потому Е0(к,Е) —

к Е Еп

В силу резольвентного тождества

Щк, Е) = Я0(к, Е) - Щк, Е)УК(к, Е) (8)

оператор Щк,Е) также компактен и разложим в прямом интеграле пространств (6). Оператор Н(к) имеет чисто дискретный спектр оДН(к)) = {Еп(к)}^_1 как оператор с компактной ре-

Еп к

ния ф = -Щ(к, Е)Уф для немулевых ф. Последнее утверждение теоремы вытекает теперь из доказательства аналитической теоремы Фредгольма [5].

к, Е

умножения на ненулевую аналитическую функцию представляет собой регуляризованный определитель Фредгольма Щк, Е) = = с^2(1 + Ео(к,Е)У) (по поводу доказательства см. [6]). Таким образом, уравнение на нахождение собственных значений в окрестности любой точки (к, Е) € М3 имеет в ид Щк, Е) = 0 .

Замечание 0.2. Уравнение Щк, Е) = 0 можно локально заменить уравнением Р(к,Е) = 0, где Р(к,Е) — многочлен Вейерштрасса (см. [7]). Вещественные корни Е = ЕДк) данного многочлена, будучи занумерованы по возрастанию, являются непрерывными функциями. Отсюда, ввиду компактности множества О*, понимаемого как тор, вытекает, что спектр

о(щ = и °(нт

кт *

Н

ем зон — замкнутых промежутков, которые при В > 0 могут

У

Обозначим через En(k), п = 1,2,... , (геометрически различные) нули функции D(k,E) , занумерованные в порядке возрастания. Вследствие замечания 0.2 — это непрерывные функции,

En k

собственными значениями оператора H(k) .

Теорема 0.2. Пусть A < B . Множество U {k € О * : En{k) = Em(k) € [A,B]}

пфш

представляет собой конечное число аналитических кривых.

Доказательство. В силу компактности множества fi* х [A,B] достаточно доказать утверждение в окрестно-

k , E E En k

E En k

k, E

k, E E

Hk

En k

k,

k

k

тант). В свою очередь, кривые, определяемые уравнением (8), теряют, вообще говоря, аналитичность и сливаются в точках, для которых (возможно, после линейной замены переменных) kk и аналитична. Итак, число точек, в которых может нарушаться аналитичность кривых (7), локально конечно, а значит, конечно.

Теорема 0.3. Пусть y — аналитическая кривая в

* En k

ют собой аналитические функции от параметра кривой.

Доказательство вытекает из теории возмущений [8].

Список литературы

1. Чубурин Ю.П. О спектре и собственных функциях двумерного оператора Шредингера с магнитным полем//Теор. и матем. физика. 2003. Т. 134,1" 2. С. 243-253.

2. Цикон X., Фрезе Р., Кирш В., Саймон Б. Операторы Шредингера с приложениями к квантовой механике и глобальной геометрии. М.: Мир, 1990. 408 с.

3. Дубровин Б.А., Новиков С.П. Основные состояния двумерного электрона в периодическом магнитном поле // ЖЭТФ. 1980. Т. 79, вып. 3. С. 1006-1016.

4. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики. М.: Наука, 1984. 344 с.

5. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.1. Функциональный анализ. М.: Мир, 1977. 360 с.

6. Чубурин Ю.П. О кратности резонансов возмущенного периодического оператора Шредингера // Теор. и матем. физика. 1998. Т. 116, I" 1. С. 134-145.

7. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Ч.П. М.: Наука, 1976. 400 с.

8. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 4. Анализ операторов. М.: Мир, 1982. 432 с.