О двух режимах схлопывания одномерной сферической полости Текст научной статьи по специальности «Математика»

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Землянухин А. И., Могилевич Л. И. Нелинейные волны в цилиндрических оболочках: еолитоны, симметрии, эволюция, Саратов: Сарат, гос. техн. ун-т, 1999, 132 с,

2,Аршинов Г. А.,Землянухин А. И., Могилевич Л. И. Двумерные уединенные волны в нелинейной вязкоупругой деформируемой среде// РАН Акустический журнал, 2000. Т. 46, № 1. С. 116-117

3, Москвитин В. В. Сопротивление вызко-упругих материалов, М, : Наука, 1972, 328 с.

УДК 532.5:533.6.011.5

B.C. Кожанов

О ДВУХ РЕЖИМАХ ОХЛОПЫВАНИЯ ОДНОМЕРНОЙ СФЕРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТИ

Изучается заключительный (автомодельный) этап схлопывання одномерной сферической полости в идеальной сжимаемой жидкости. Решение строится в предположении, что течение на рассматриваемом этапе не является гомэнтропическим. Проводится сравнение с соответствующими результатами [1], полученными в рамках традиционного подхода, согласно которому течение вплоть до момента фокусировки сохраняет свойство гомэнтропии.

Полная система уравнений, описывающих неустановившиеся одномерные сферически симметричные течения идеального совершенного газа, имеет вид

dp + pdu + 2PU = 0, du + -(дт + =0,

dt dr r dt 7 \or p r J

d i c2 \ d _d u&

dtXp-1) = , dt = dt + U~3r1

(1)

где p = p(r, t) — плотность, t — время, и = u(r,t) — скорость частицы жидкости, r — координата, 7 — показатель адиабаты, c2 = c2(r,t) — квадрат скорости звука.

Пусть начальная плотность жидкости распределена в пространстве по степенному закону p0 = ar,LV7 а,ш = const. Соответствующие автомодельные решения имеют вид (а — показатель автомодельности)

r = С(-tn, и = —аС(—t)a~lF(0, c2 = a2C2(—t)2a—2G((),

p = аСш(—t)a"R(C), С = const. ( )

(5)

Здесь £ — независимая автомодельная переменная, F(£), G(£) и r(£) _ автомодельные представители скорости частицы жидкости u, квадрата скорости звука с2 и плотности р соответственно.

Подставляя (2) в (1), получим три обыкновенных дифференциальных уравнения (ОДУ), которые с учётом замены F(£) = £V(£), G(£) = £2Z(£) приводят к уравнению па фазовой плоскости (V, Z) и двум квадратурам:

dZ(V) = Z(V) [[2(1 - aV) - (7 - 1)к] Aq - (7 - 1)(V - 1)А4] (3) dV [-2aV + к]Ао + (V - 1)А4 , ()

Ао = (1 - V)2 - Z(V), А4 = 2aV2 + (1 - 3a - k)V + к, к = 2(1 - a - aw/2)/Y. Введём в рассмотрение энтропийную функцию s(r, t):

s = ppY = 7-1c2p1-Y. (4)

Подстановка (2) в (4) даёт

s = a2C2+w(1-Y)a1-Y (_t)2a-2+a-(1-Y )s (£),

S (£ )= Y-1G(£ )R1-Y (£).

Из (5), привлекая 1-е соотношение (2), можно восстановить началь-

s

so = a2C 2/aa1-7 г2-2/а+-(1-7). (6)

s

рое соответствует начальному положению частицы в пространстве. Из (6) следует, что в общем случае (при произвольных значениях y, w и a

центра, будут нести в себе различную энтропию. При этом будет сформирован некоторый профиль s(r, t) = const. Однако если в начальный момент все частицы будут обладать одинаковой энтропией, то это вместе

s

во всей области течения. Такое возможно, если s0, определяемое выражением (6), не будет явно зависеть от координаты r, т.е. если

2(1 - a)

w = wh = —^-( < 0. (7)

a(1 - Y)

Свойство сохранения энтропии в пространстве носит название гом,-энтропии. Соответствующий режим течения называется гомэнтропиче-ским, а условие (7) для автомодельных движений является условием гом-энтропии.

В соответствии с традиционным подходом [1, 2] к изучению задачи о схлопывании полости течение предполагается гом-энтропическим вплоть до момента фокусировки полости в центре. Вместо 3-го уравнения (1) используется условие y-1с2р1-7 = = s0 = const, которое позволяет исключить из рассмотрения плотность. При изучении автомодельных движений оказывается, что требование s0 = const неявно задаёт степенной закон распределения начальной плотности жидкости р0 = Если же потребовать р0 = const, то w = 0, и режим схлопывания полости на заключительной стадии в соответствии с (6) уже не будет гомэнтропическим. Отметим, что в рамках автомодельной теории нельзя построить течение с одновременно произвольными начальными профилями плотности и энтропии.

р0 = s0 =

= so(r) и 2) so = const, ро = ро(г).

Чтобы найти течение в области за границей полости, необходимо при

Yw

a

чении a интегральная кривая уравнения (3), соединяющая точки P1(1,0) и P4(0, 0), будет определённым образом проходить через особую точку типа узел P23 с координатами (см. [1])

V23 = (-B ± yjB2 - 8a к^ /(4a), Z23 = (1 - V23)2, B = 1 - 3a - к.

Точки P1 и P4 отвечают граничным условиям на свободной поверхности и па то, точка P23 является образом предельной характеристики (ПХ).

Если Y1 — Y? т0 интегральная кривая должна проходить через точку P23 вдоль уса отдельного направления, а если 3/2 — Y < Y1

р0 = const y1 = 10.0813, а в случае s0 = const y1 = 8.4635. При Y = 3/2 показатель a = 1, откуда следует, что Wh = 0, и решения для двух режимов совпадают. При y < 3/2 искомый показатель a > 1, т.е. скорость границы полости в центре фокусировки равна нулю.

На рис. 1-4 демонстрируются распределения автомодельных представителей скорости, давления, плотности и энтропийной функции на стадии схлопывания для двух режимов. Сплошные кривые соответствуют 1-му режиму, а пунктирные — 2-му режиму; знаком «□» отмечена граница полости, знаком «♦» - ПХ.

Рис, 1

Рис. 2

Рис. 3 Рис. 4

Из графиков следует, что наиболее существенные отличия в распределении имеют плотность и энтропия. При этом для первой модели энтропия принимает экстремально высокие значения на границе полости. Подобное поведение энтропии наблюдается в центре симметрии при изучении автомодельных задач о сильном взрыве и сходящейся ударной волне для случая негомэнтропических течений. Напротив, в поведении скоростей частиц качественное и количественное различие для двух моделей не существенно.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Кожанов В. С. Расчет отраженных ударных волн в задаче о схлопывании пустой полости // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2010. Сер. Математика. Механика. Информатика. Т. 10, вып. 1. С. 44-54.

2. Хантер К. О захлопывании пустой полости в воде // Механика : период, сб. пер. иностр. ст. 1961. № 3 (67). С. 77-100.