О двух основных методах аналитической динамики Текст научной статьи по специальности «Математика»

Таким образом, оставаясь в рамках классических представлений, следует понятие "состояние точки сплошной среды" отождествить с набором следующих параметров:

! 5 s

I

I

£ S:

£

й

I

§

5

о

£ §

(15)

Перечисленные величины берутся в данной точке среды в данный момент времени. Значения тензора напряжений, вектора теплового потока, теплоемкости и т.п. в тот же момент времени и в той же точке среды являются однозначными функциями указанных параметров. Данные функции следует считать бесконечно дифференцируемыми. Все это вместе позволит описывать свойства сплошных сред (газообразных, жидких и твердых) при отсутствии фазовых переходов, гистере-зисных явлений и электромагнитных полей.

ДИНАМИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ

СОСТОЯНИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

Как уже отмечалось, величины (15) играют главную роль при решении первой (физической) задачи термомеханики, когда для получения полной системы уравнений, описывающей поведение среды, требуется установить конкретный вид зависимостей (14). Если же первая задача решена и соответствующие реологические уравнения найдены, наступает очередь решения второй (математической) задачи механики сплошной среды: по известным внешним условиям установить закон движения среды и закон распределения температуры. Для приложений вторая задача является основной. В ходе ее решения вполне уместен новый подход к пониманию термина "состояние сплошной среды".

Следуя методу классической механики, целесообразно говорить о наборе динамических параметров среды, т.е. о совокупности таких переменных, задание которых в данный момент времени позволяет предсказать численное значение этих же переменных в последующий бесконечно близкий момент времени [3].

В качестве примера рассмотрим течение совершенного (идеального) невязкого газа. Полная система уравнений, описывающая его эволюцию в пространстве и во времени, имеет вид [1]

— + рУ • у = 0, р— = -Ур , ис1/ ц Рле

p = pRQ, u = cvQ, jq=-XVQ,

где cv - const — удельная изохорная теплоемкость газа, R — газовая постоянная, А. = const — коэффициент теплопроводности. Нетрудно заметить, что динамическими переменными в данной модели сплошной среды являются величины из набора (р, 9, v), т.е. поле плотности , поле температуры 0(/,jc) и

поле скорости v(i,jc), выраженные через пространственные (эйлеровы) координаты X. Если пространственное распределение указанных величин известно в момент времени t, то в следующий бесконечно близкий момент времени t + dt распределение этих же величин отыщется по формулам

dp = -pV • vd/, dv = -V(pi?6)d/,

de=— V2Qdt + RQdp pcv

Замечание. В общем случае надо отличать пространственные (эйлеровы) динамические параметры от материальных (лагранжевых) динамических параметров. В число лагранжевых динамических переменных дополнительно входит радиус-вектор x(t,Xj или вектор смещения точек среды u(t,X) = x(t,X) - X.

ЛИТЕРАТУРА

1. Седов Л.И. Механика сплошной среды. - М.: Наука, 1973.-Т. 1-2.

2. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. - М.: Мир, 1975. - 592 с.

3. Медведев Б.В. Начала теоретической физики. -М.: Наука, 1977.-496 с.

С. А. КОРНЕЕВ - кандидат технических наук, доцент кафедры "Основы теории механики и автоматического управления"

18.05.99 г.

П. Д.БАЛАКИН

Омский государственный технический университет

УДК 531 075.8

О ДВУХ основных

МЕТОДАХ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ

ПРОАНАЛИЗИРОВАНЫ ФУНКЦИИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ, ИЗВЕСТНЫЕ КАК ФУНКЦИИ ЛАГРАНЖА И ГАМИЛЬТОНА. ПОКАЗАНО, ЧТО С ПОМОЩЬЮ ФУНКЦИИ ГАМИЛЬТОНА И ОПЕРАЦИЯМИ НАД НЕЙ УДАЕТСЯ КОРРЕКТНО МОДЕЛИРОВАТЬ ПОВЕДЕНИЕ СИСТЕМ САМОГО ОБЩЕГО ВИДА, ВОСТРЕБОВАННЫХ ПРАКТИКОЙ В ПОСЛЕДНЕЕ ВРЕМЯ. ПРИ ЭТОМ ПОРЯДОК ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ СВЯЗЕЙ ПОНИЖАЕТСЯ ДО ПЕРВОГО.

Технический прогресс востребовал к практическому применению механические системы с нетрадиционными связями между звеньями. Так, в последнее время в России на уровне изобретений [1 - 7], а в странах с развитой технологией и в серийных изделиях, появляются конструкции автовариаторных механических приводов, корректное математическое моделирование поведения которых даже в идеальной постановке имеет [ известные сложности. Только у части систем с неголо-

номными связями и в особых случаях внешнего нагру-жения обеспечивается определенность относительного движения звеньев систем, связи в которых удается свести к интегрируемым, геометрическим, что математически выражается в совпадении количества уравнений связей и обобщенных координат системы. Именно такой случай рассмотрен, например, в [8 -10], где для описания неголономной связи и создания математической модели динамического поведения механического

привода с автовариатором использован как универсальный аппарат кинетостатики, так и особый метод Аппе-ля, опирающийся на понятие энергии ускорений [10]. В [9] отдельно показано, что независимо от выбора исходного принципа описания состояния системы, путем преобразований можно получить тождественные уравнения движения системы, так для двухвапьной (двух-массовой) модели с неголономной связью, они получены в обозначениях [91 такими:

. . (1) (У, +У21/|,1 )<р\ + -12и2,\ и2,1 <рх = м\р + М2ри21

(J2+JlUt2)p2 + J]U^|2 Ьх,21>2 = + М?

Аппарат аналитической механики [11,12] позволяет в комбинации с современными программными и техническими средствами расширить класс аналитически решаемых задач динамики современных машин, в составе которых имеют место нестационарные, неголо-номные связи, а также исследовать движение открытых машинных систем с внешним обменом вещества и энергии.

Автор настоящей статьи помимо прикладного и информационного смысла ставит особую цель показать могущество механики, как математической науки, способной уже два века назад решать задачи, материализованные и востребованные практикой только сегодня.

Как известно, для инвариантного описания конфигурации несвободных механических систем используют обобщенные координаты Ц1 систем, а для решения задачи о движении системы в динамической постановке и получения траектории системы или иного результата в удобной форме, в качестве основной функции, связывающей внутренние параметры системы и характер внешнего на нее воздействия, обычно используют функции энергетического состояния системы.

В силу независимости вариаций обобщенных координат при таком подходе получим систему к дифференциальных уравнений по количеству независимых координат, связывающих обобщенные координаты с характером и параметрами силового возбуждения, геометрией масс и особенностями связей системы.

Методы интегрирования уравнений движения системы существенно зависят от вида исходной системы уравнений. Последним можно придавать различную форму в зависимости от выбора основной функции, с помощью которой выражено энергетическое состояние системы. Наибольшее распространение в прикладных исследованиях в качестве основной функции получили функция Лагранжа и функция Гамильтона.

Физический смысл функции /. Лагранжа - разность мемоду кинетической энергией Т и потенциальной П энергией системы, т.е.

Поскольку для таких систем

(2)

Дифференциальные уравнения движения системы, известные как уравнения Лагранжа второго рода, в принятых обозначениях имеют вид:

Ж

Л

¿Я,

¿1

= 0

(3)

¿1 дг

Л. дГ <Я1

, ТО

Л

г \ ЯГ

удя,;

где

а=-

дП

- есть обобщенная сила по

избранной координате, которая для неконсервативных систем дополняется соответствующими слагаемыми известного и заданного внешнего силового нагружения.

Уравнения Лагранжа представляют совокупную систему к обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с независимыми функциями Я\(0>420)- • -Як (О и общее решение такой системы уравнений будет зависеть от 2к произвольных постоянных С(, С2 ... С2к.

Интегралы уравнений (4) будут иметь вид:

9,- С„С2...С2/1); (/ = 1.2...*).

(5)

Для нахождения произвольных постоянных необходимо знать состояние системы в определенный момент времени f = /0, т.е. для / = должны быть известны значения как обобщенных скоростей <7. (/0) = д (0) ■ так и обобщенных координат <7/ о ) = Я! (0). что в итоге и даст разрешимую относительно С( систему:

ЯК0) ~ Я¡{0)(!о>С\>С2,---С2к), 41(0) =Я,(0)(?

(6)

Число уравнений Лагранжа соответствует числу независимых обобщенных координат, определяющих конфигурацию системы, а в частном, но широко распространенном случае голономных систем, это число точно соответствует числу независимых возможных перемещений или, что то же, числу степеней свободы системы, подвижности механизма.

Найденные из (6) значения С. подстановкой их в (5) однозначно определяют обобщенные координаты как функции времени и начальных условий. Движение системы тем самым становится известным и определенным, причем вне зависимости от выбора систем координат в точном соответствии с вариационным представлением движения несвободных систем.

Единственность решения уравнений Лагранжа означает, что движение механической системы однозначно определено лишь при условии строгого задания (зна-

• 9

ния) начального состояния системы д ^

и 9/Со) = 9« (°)- ' °

Естественно, что немашинное решение уравнений (5) и (6) всегда связано со значительными сложностями, определяемыми как характером связей, входящих в состав системы, количеством обобщенных координат системы, определяющих ее конфигурацию, геометрией масс системы, так и аналитической определенностью и интегрируемостью функций внешнего нагружения.

Относительно простые решения задача о движении имеет место только для простейших голономных одноподвижных систем с постоянными внутренними кинематическими и передаточными функциями при связях. Это класс так называемых ротативных систем или систем, сводящихся к ним.

Так, динамическая модель одноподвижного звена

I

I

s

Й

s

s g

I

0

1

о

приведения с кинетической энергией вида

Т — 1/2 J(<p) (р^ 'составленная по форме базового уравнения (4), после преобразований будет такой: •• | ¿и ' •

А<р)<р+-—<р2 = M(t,<p,<p) (7)

2 а<р

где ф - обобщенная координата; J{(p) - переменный в общем случае момент инерции единого звена приведения; M - внешнее силовое нагружение системы.

Уравнение (7) разрешимо в квадратурах лишь при J(<p) = const и аналитически интегрируемой функции M(t,cp,(p)< а переменные в (7) удается разделить

"1 *

только при M{t,(p) ■ тогДа ^ = ^^' ^ и' при

начальных условиях ¿ = 0. <Р~<Ро и q> = (pQ< получим известное аналитическое решение (р = <p(t) вида M 2

(р = (р0 + <р0 t + — t . Во всех иных случаях конечное решение возможно только с применением операций численного интегрирования (7), причем уже при J(<p) * const уравнение (7) будет дифференциальным уравнением с переменными коэффициентами, для решения которого начальных условий в форме констант недостаточно, ибо начальное состояние такой системы может быть выражено только функционалами, поэтому решение будет только численным и приближенным.

Использование в качестве основной функции динамического состояния системы функции Лагранжа корректно и особенно эффективно для консервативных или закрытых систем, в которых полная механическая энергия, преобразуясь, сохраняет при движении постоянное значение. К таким системам относятся все голо-номные системы со стационарными связями с установившимся или переходным движением в потенциальном поле, при этом обобщенные силы, не обладающие потенциалом, учитываются как слагаемые в правой части базового уравнения (4). Для консервативных систем кинетическая энергия всегда выражается простой

однородной квадратичной формой от обобщенных ско-■

ростей q и потенциальной энергией, которая зависит лишь от обобщенных координат , т.е. функция Лагранжа для таких систем имеет частный вид:

L{qi,qi) = T{qi,qi)-n{qi)

(8)

Все другие системы, для которых функция Лагранжа есть какая угодно функция от переменных д(.,

п известны как общие лагранжевы системы. Для та-ч /'

ких, как правило неголономных систем, систем с нестационарными связями, систем с перетоками вещества и энергии, функция Лагранжа, как функция состояния системы, некорректна. Кинетическая энергия этих систем уже не может бьггь выражена простой квадратичной формой обобщенных скоростей, и метод Лагранжа, сводящий задачу о движении голономных систем к задаче интегрирования совокупной системы к (по числу степеней свободы) дифференциальных уравнений второго порядка, к общим лагранжевым системам не применим.

Для исследования общих лагранжевых систем в качестве основной функции состояния системы более корректна функция Гамильтона. Метод Гамильтона математически сводится к интегрированию системы 2к уравнений, но первого порядка. Эти уравнения известны как канонические уравнения Гамильтона, и метод Гамильтона из-за особых свойств этих уравнений является более сильным и общим, чем метод Лагранжа.

Поскольку состояние механической системы, имеющей к степеней свободы, в каждый момент времени ^ традиционно определяется 2к величинами: к - обобщенными координатами д., определяющими конфигу-

■

рацию системы, и к обобщенными скоростями п , то

для такого выбора переменных составляется функция Лагранжа = Г - /7.

Выбор этих 2к переменных можно выразить иначе, а именно, сохранив к обобщенных координат, вместо к обобщенных скоростей взять к обобщенных

импульсов р(, равных ний Лагранжа (2)

Pi =

âL

à<li

или из уравне-

âL âji

d_ dt

f \ âL

= Pi

(9)

При новом наборе переменных д( и р( функция состояния системы по Гамильтону будет иметь вид:

H{t,qi,pi) = Piq.- L

(10)

Для консервативных систем функция Гамильтона имеет простой физический смысл, а именно, она совпадает с полной механической энергией системы Н = Т+/7, а поскольку для таких систем Н = const, следовательно, т.е. интеграл принимает форму

at

закона сохранения механической энергии системы.

Система уравнений Гамильтона, если ее оценивать в чисто математическом смысле, составляется в полном соответствии с приемами преобразований нормальной системы к дифференциальных уравнений второго порядка в систему 2к дифференциальных уравнений первого порядка путем замены переменных.

Гамильтон в качестве независимых переменных принял время f, к обобщенных координату и к обобщенных импульсов р, и, следовательно, полный дифференциал его функции H(f, д,, р() будет таким:

сН ,

= + ■ (11)

Я i=\dqi мф.

Используя функцию Лагранжа, связывающую ста-

рые переменные и новые, найдем:

Pi =

âL

àq,

и Р> ~ ^ . а сами канонические уравнения Гамильтона в среде механиков больше известны в форме:

сН ' ffl '

(12)

Таким образом, задача о траектории или о движении системы сводится к задаче интегрирования канонических уравнений (12) и отысканию по Якоби полного интеграла уравнений вида (11) в частных производных первого порядка.

В частном случае, например, для систем со стационарными связями, когда функция Гамильтона не зависит явно от времени, т.е. при Н = Н(<7,, р() имеем

— V и, следовательно, — и, откуда сразу сл т

находится один из интегралов движения Н(ц1,р1), который физически представляет обобщенный интеграл полной энергии системы:

H=ZPiqi-L = C. i=l

(13)

В общем случае в результате интегрирования (12) получим значения обобщенных импульсов р(. и обобщенных координат в виде функций времени / и 2к произвольных постоянных С] , С2,... . определяемых по начальному состоянию системы, т.е.

Рг = Р^,Сх,С2,...С2к), 41 = Я1(*,С1,С2,...С2к).

Например, для системы с двумя степенями свободы для ее разрешения необходимо будет знать при * = О следующий набор констант:

Я\ = с\' = С2-• •

Ч\ = СЪ' <?2 = С4

Приведем некоторые основные рекомендации по составлению функции Гамильтона для сравнительно простого технического решения механической системы - механического автовариатора, применяемого в механическом приводе для адаптации последнего к условиям эксплуатации при переменном внешнем нагружении.

В механическом автовариаторе, выполненном, например, по базовой двухвальной схеме [3], при рота-тивных ветвях кинематической цепи, расположенных по разные стороны от неголономной связи - двухподвиж-ного контакта, кинетическая энергия системы может быть представлена простой квадратичной формой скоростей движения двух звеньев приведения, а именно

Г = —^ + . ПРИ этом скорости зве-

ньев приведения всегда будут связаны между собой общей зависимостью вида

<P\=U12 <Р2

(14)

Автовариация передаточной функции и, 2 осуществляется посредством цепи управления, встроенной в кинематическую схему автовариатора. Цепь управления связана с основным силовым потоком, получает от него силовой управляющий импульс и реализует его дополнительным к основному движению звеньев, которое и приводит к необходимому автоизменению С/, 2.

Закономерность изменения I/, 2 непосредственно

зависит от геометро-кинематической схемы автовариатора и передаточной функции цепи управления, определяемой конструкцией последней.

В процессе управляемого дополнительного движения звеньев происходит также изменение потенциальной энергии в упругом сепараторе автовариатора [3], определяемое как

dir=^Cd<pi

где С - окружная жесткость сепаратора, d<p2• приращение второй обобщенной координаты автовариатора из-за действия цепи управления.

Несмотря на двухподвижный контакт двух звеньев приведения, фактическая подвижность в приводе равна единице, и набор начальных условий для звеньев приведения можно свести при t = 0 к значениям:

= 0 и фг = 0; • • * *

<Р\ =<Ро и <Р2=(Рои2Х

При составлении функции Гамильтона дополнительно снимаются все ограничения на представление импульса внешнего силового нагружения, но его все же удобно представить функцией времени, тогда полный дифференциал (11) с учетом канонических уравнений Гамильтона (12) будет, как и динамические уравнения (1), составленные на иной основе, корректной динамической моделью перспективного механического привода с автовариатором типа [3].

ЛИТЕРАТУРА

1. A.c. 1796820 СССР, МКИ5 F 16 Н 13/06. Фрикционный планетарный редуктор / ПДБалакин, А.В.Бородин, О.М.Троян (Россия) II Открытия. Изобретения. 1994. № 22.

2. Патент 2023917 (Россия), МКИ5 F 16 Н 15/00. Автоматический фрикционный вариатор / ПДБалакин, О.М.Троян (Россия) II Открытия. Изобретения. 1994. Na 22.

3. Патент 2101584 (Россия), MKH5F16 Н15/50. Автоматический фрикционный вариатор / П.Д.Балакин, В.В.Би-енко (Россия) II Открытия. Изобретения. 1998. Na 1.

4. Патент 2122670 (Россия), МКИ6 F 16 Н 9/18, 55/ 56. Автоматический клиноременный вариатор / ПДБалакин, В.В.Биенко (Россия) II Открытия. Изобретения. 1998. Na 33.

5. Патент 2122669 (Россия), МКИ6 F 16 Н 7/08, 7/ 12. Натяжное устройство для передач с гибкой связью / ПДБалакин, В.В.Биенко (Россия) // Открытия. Изобретения. 1998. № 33.

6. Патент 2127441 (Россия), МКИ6 F16 Н 9/00. Шкив / ПДБалакин, В.В.Биенко (Россия) II Открытия. Изобретения. 1999. Na 8.

7. Патент 2120070 (Россия), МКИ 6 F16 Н 9/18,55/56. Автоматический фрикционный вариатор / ПДБалакин, В.В.Биенко (Россия) // Открытия. Изобретения. 1998. Na 28.

8. Балакин П.Д., Гололобов Г.И., Биенко В.В. Динамика и элементы синтеза электромеханического привода с автовариатором. Омский научный вестник. Вып. 2. Омск: Изд-во ОмГТУ, 1998. - С. 59 - 63.

9. Балакин П.Д. Механические автовариаторы: Учебное пособие. - Омск: Изд-во ОмГТУ, 1998. - 146 с.

10. Балакин П.Д. Динамическая модель механического привода с автовариатором на базе уравнения Ап-пеля II Анализ и синтез механических систем: Сб. науч. тр. Омск: Изд-во ОмГТУ, 1998. С. 29 - 33.

11. Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: ГИФМЛ, 1961.823 с.

12. Бугаенко Г.А. и др. Основы классической механики. М.: Высшая школа, 1999. 366 с.

БАЛАКИН Павел Дмитриевич - доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Теория механизмов и машин» Омского государственного технического университета.

30.06.99 г.