О движении стержня по выпуклой поверхности Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531.36+531.384

Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2013. Вып. 2

О ДВИЖЕНИИ СТЕРЖНЯ ПО ВЫПУКЛОЙ ПОВЕРХНОСТИ*

А. С. Кулешов1, С. В. Ифраимов2

1. Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова, канд. физ.-мат. наук, доцент, kuleshov@mech.math.msu.su

2. Вычислительный центр им. А.А.Дородницына РАН, Москва, аспирант, res11@hotbox.ru

В работе изучается движение абсолютно твердого стержня по неподвижной поверхности без проскальзывания. Ранее аналогичная задача рассматривалась в работах [1-3], в которых предполагалось, что опорная поверхность представляет собой цилиндр. В данной работе получены общие уравнения движения стержня по поверхности вращения при наличии поля силы тяжести. Указано условие, при котором уравнения движения стержня обладают инвариантной мерой; приведены примеры поверхностей, для которых данное условие выполнено. Описаны все возможные положения равновесия стержня на опорной поверхности.

1. Необходимые сведения из теории поверхностей. Для получения уравнений движения стержня по поверхности нам понадобятся некоторые факты из теории поверхностей, которые обсуждаются ниже.

Будем считать, что координатная сеть на поверхности, заданной относительно некоторой неподвижной системы координат уравнением

Г = Г (41,42), (1)

составлена из линий кривизны. Направления этих линий в каждой точке указываются ортогональными единичными векторами

1 д г 1 д г

Э1 = Т 7Г~' э2 = Т 7Г~' = (2)

Н1 д41 Ь2 д®

Здесь через Н1, Н2 обозначены параметры Ламе

дг

К (<7ъ <й) = т— , г = 1, 2.

дчг

Вектор

е (41, 42) = [э1 х э2]

является вектором нормали к поверхности (1) в точке (41, 42).

Обозначая через к (41, 42), г = 1, 2, главные кривизны поверхности (1), имеем

де де

— = -И1к1э1, — = -к2к2Э2. (3)

д41 д42

Формулы (3) являются следствием известной в дифференциальной геометрии теоремы (формулы) Родрига (см., например, [4]), в которой дополнительно нужно

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №11-01-00322). © А. С. Кулешов, С. В. Ифраимов, 2013

учесть, что выбранная нами координатная сеть на поверхности (1) является ортогональной и составленной из линий кривизны. С помощью формул (2) и (3) можно получить соотношения

Sai 1 dh\ дэ\ 1 dh2

dqi h2 dq2 2 1 1 dq2 hi dqi 2'

(4)

дэ2 1 dh\ дэ2 1 dh2 ^ ^ dqi h2 dq2 ' dq2 hi dqi

2. Кинематические соотношения. Пусть по поверхности, заданной уравнением (1), движется без проскальзывания абсолютно твердый тонкий стержень. Будем предполагать, что стержень опирается о поверхность одной точкой P. Свяжем со стержнем подвижную систему координат PxiХ2Х3, единичные векторы которой обозначим через ei, e2 и е. Единичный вектор ei направлен таким образом, что радиус-вектор PG центра масс G стержня имеет вид PG = sei. Вектор е, как уже говорилось, является вектором нормали к опорной поверхности в точке P, а вектор e2 дополняет векторы ei и e до правой тройки.

Положение стержня на поверхности будем определять введенной ранее координатой s и углом p таким, что

ei = э1 cos p + э2 sin p, e2 = —э1 sin p + э2 cos ¡р. (5)

Поскольку движение стержня по поверхности происходит без проскальзывания, скорость точки P стержня равна нулю. Это условие описывается с помощью двух неголономных связей

hiqi + S cos p = 0, h2q2 + S sin p = 0.

Если обозначить S = u, то неголономные связи можно представить в виде

u . u .

<71 = -— cosp, q2 = -—s\np. (6)

hi h2

Используя формулы (5) с учетом (3), (4), и (6), находим

(dhi dh2 \ u \ , 2 2 ч

ei = ( р) + -— cos р) - —— sin р) ——— е2 - (fci cos р + к2 sin р>) we, \3q2 dqi J hi h2 J

e = (ki cos2 p + k2 sin2 p uei + (k2 — ki) u sin p cos pe2.

Определим вектор ш = wiei + W2e2 + we таким образом, чтобы ei = [w х ei], e = [w х e]. Тогда ш представляет собой абсолютную угловую скорость системы координат Pxi Х2Х3. Компоненты этого вектора имеют вид

wi = (ki — k2) u sin p cos p, w2 = (ki cos2 p + k2 sin2 p) u,

' dh2 dhi u> = p — I —— sin p —-— cos p

dqi dq2 J hih2

(7)

3. Динамические уравнения. Динамические уравнения движения стержня по поверхности представим в форме уравнений Аппеля. Сначала получим выражение

u

^=-a2G + -(£-eG£) + ([Wx0GW]-e). (8)

для энергии ускорений стержня. В качестве псевдоскоростей, входящих в энергию ускорений, выберем введенные ранее переменные и и w. Энергию ускорений стержня найдем, воспользовавшись стандартной формулой

M 2 1

—а г + -

2 G 2

Здесь M обозначает массу стержня, a^ — ускорение центра масс, е = w — угловое ускорение стержня. Через ©g обозначен центральный тензор инерции стержня. Будем считать, что направления, задаваемые единичными векторами ei, e2 и e, являются главными направлениями, и относительно этих осей центральный тензор инерции стержня имеет вид

/000 &G = I 0 J 0 \ 0 0 J

Подставляя указанные выражения в формулу (8), запишем энергию ускорений в явном виде:

S = Jр (к\ — ) ukv sin ip cos ip (uto — 3ши — 2 f ——- sin ip ——¡- cos ip ] ——

V Vdqi dq2 J hih2

ifdk1 2 dk2 2 N cosw fdk1 2 dk2 2 N sinw\ 2

+ -¡Y^ú2 + Ц-iJ2 + Msuujlú + Mk2vsu2u.

Здесь Jp = J + Ms2 — момент инерции стержня относительно осей Px2 и Рхз, а kv = ki cos2 w + ^2 sin2 w — кривизна нормального сечения опорной поверхности вдоль направления ei .

Если стержень движется по поверхности в силовом поле с потенциалом V (qi, q2, s, w), то уравнения движения стержня, записанные в форме уравнений Ап-пеля, имеют вид

dS dV cos wdV sin wdV (dh2 dhi J 1 dV

H---— —--1---— —--—— sin <p —-— cos <p

ди дв Н1 д41 Н2 д42 \д41 д42 у Н1Н2 д<^>'

(9)

дБ _ дУ дсО д^

Для получения полной системы уравнений движения необходимо присоединить к уравнениям (9) уравнения неголономных связей (6), а также формулы

/дН2 . дН1 \ и

Я = и, (р = ш+\——эш^--—сову ——, (10)

д41 д42 Н1Н2

выражающие производные обобщенных координат в и ^ через псевдоскорости и и ш.

4. Движение стержня по поверхности вращения. Предположим, что опорная поверхность является поверхностью вращения, заданной относительно некоторой неподвижной декартовой системы координат уравнением

р (41 )сов 42 )

р (41^т 42 ) . (11)

С(41) )

В этом случае коэффициенты Ламе hi и имеют вид hi = hi (qi) =

+

dqi

h2 = h2 (qi) = p (qi) .

(12)

а главные кривизны ki и k2 вычисляются по формулам

' d2( dp d( d? p4 dq2 dqi dqi dq2

ki = ki (qi) =

+

3/2' k2 = k2 (q i ) =

+

dc

dq

(13)

Будем считать, что движение стержня по поверхности вращения происходит в однородном поле силы тяжести, причем относительно неподвижной системы координат, в которой записано уравнение поверхности (11), сила тяжести имеет вид

F = —Mg (cos aex + sin aez),

то есть линия действия силы тяжести образует с осью симметрии поверхности постоянный угол, равный п/2 — а. Тогда потенциальная энергия стержня записывается следующим образом:

V = Mg

dp

S —— COS Р COS (/2

dq

Р COS </2 Н--1-;--s sin Р sin </2

h

/

cos а+

V

/

z+

de \

s —— cos p dqi

h

sin а

\

/

(14)

Уравнения движения стержня по поверхности вращения в поле силы тяжести имеют вид уравнений (6), (9), (10), в которые нужно подставить выражения (12) и (13) для hi, h-2, ki и , а также выражение (14) для потенциальной энергии стержня.

5. О положениях равновесия стержня на поверхности. Уравнения движения стержня имеют частное решение s = so, р = ро, qi = qi о, q2 = q2o, где so, po, qio, q2o —некоторые постоянные. Этому решению соответствуют положения равновесия стержня на опорной поверхности. Положения равновесия определяются из системы уравнений

dV cos р dV | sin р dV dV

аГ =

+

+

dZ

2 dq i p dq2 ' dp

0.

(15)

dp_

у V dqi J ' \ dqi

Чтобы выяснить физический смысл условий, определяющих положения равновесия, представим потенциальную энергию стержня в векторном виде:

V (q 1, 92, s, р) = (Mg • (г + se 1)) .

Подставляя данное выражение в условия равновесия (15) и учитывая равенства (2)—(5), получаем условия равновесия в виде

(Mg • se2)=0, (Mg • (-k„se))=0.

(16)

2

2

2

p

Обсудим все возможные решения системы (16). Очевидно, что эта система имеет решение при в = 0, то есть когда стержень опирается о поверхность своим центром масс. В этом случае он будет находиться в равновесии при любых значениях других координат. Таким образом, положения равновесия данного типа образуют многообразие равновесий {(^1, в, у) |в = 0} и не являются изолированными. Исследование их устойчивости представляет собой отдельную сложную задачу, в которой может возникнуть эффект «трансгрессии» [1, 2], и которая здесь не рассматривается.

При в = 0 условия равновесия (16) принимают вид

М • е2) = 0, —ку М • е) = 0.

Эти условия выполняются, когда стержень направлен вдоль линии действия силы тяжести, центр масс О стержня расположен при этом ниже (устойчивое положение) или выше (неустойчивое положение) точки касания Р. Эти условия могут выполняться также, когда обращается в ноль кривизна нормального сечения ку (сила тяжести лежит при этом в плоскости векторов е1 и е). Это означает, что сечение опорной поверхности плоскостью, содержащей векторы е1 и е, представляет собой прямую, а стержень, находясь в равновесии, располагается вдоль этой прямой. В таком случае касание стержня и поверхности не является одноточечным.

6. Существование инвариантной меры. Уравнения движения стержня по поверхности вращения, разрешенные относительно производных, имеют вид

Меи2

Зр

+

¿р и эш у\ (к1 — к2) и эт у сов у Зс^ + 2—--;- -;--у

ку

+

&1 2 ¿к2 .2 \ и2 соэ у Мде (¿(/1 ^ (¿(/1 / 1ркфЪ,1 \(1,ц 1

¿р ¿С

81П а---— соэ </2 соэ а

Меи^ 2 Мде соэ у эт д2 соэ а — [к\ — «2) кф эт <р соэ (ри Н-----Ь

Зр

Зр

Мдв { с!р ¿С .

+ —— соэ </2 соэ а + —— эт а эт <р,

Зр «1

у = ^ +

¿р и яш у ^1р '

<?1 =

и соэ у

к

=

и 81П у р

Как известно (см., например [5]), гладкая функция р (х) является плотностью инвариантной меры для уравнения Х = V (х) тогда и только тогда, когда ё1у (ру) = 0, где

д (р«й)

ё1у (ру)

к

дх

к

(17)

Уравнение (17) может быть переписано в виде

^ /, N д«к

где в правой части соответствующего уравнения стоит дивергенция правых частей системы уравнений Х = V (х). Прямым вычислением дивергенции правых частей системы уравнений движения стержня по поверхности вращения можно показать, что

в = и

при выполнении условия

, dki , dk2 , , dp , 2 dp , pk2T1~ pk1-rt-+2k1k2-r--2kl-f- = O 18

dq1 dq1 dq1 dq1

уравнения движения стержня обладают инвариантной мерой с плотностью

/х = {Jpkvf/2 ph\\fk~\

(при k1 = 0) или с плотностью

^ = (JP sin2 p)3/2 k2hi

(при ki = 0). Наличие инвариантной меры облегчает процесс интегрирования дифференциальных уравнений движения стержня по поверхности вращения. Кроме того, наличие интегрального инварианта с положительной плотностью представляет интерес не только для целей интегрирования дифференциальных уравнений. Оно интересно и само по себе, например, в связи с возможностью применения эргодической теории.

Заметим, что условие (18) выполняется для многих выпуклых поверхностей. Так, например, оно справедливо в случаях, когда опорная поверхность является цилиндром, конусом, параболоидом вращения, сферой, эллипсоидом.

Система уравнений движения стержня по поверхности вращения представляет собой систему шести дифференциальных уравнений первого порядка, не зависящих от времени. Дальнейшее исследование этой системы представляет большой интерес и будет продолжено различными методами.

Литература

1. Татаринов Я. В. Следствия неинтегрируемого возмущения интегрируемых связей: нелинейные эффекты движения вблизи многообразия равновесий // Прикладная математика и механика. 1992. Т. 56. Вып. 4. С. 604-614.

2. Татаринов Я. В. Неголономные системы в сопоставлении с гамильтоновыми: дис. ...д-ра физ.-мат. наук. М., 1990. 205 с.

3. Очеретяная Н. Ю., Татаринов Я. В. Нелинейные колебания тонкого стержня на наклонном цилиндре // Актуальные проблемы классической и небесной механики. Межведомственный сборник научных трудов / под ред. С. Д. Фурты. М.: Эльф, 1998. С. 115-118.

4. Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии. М.: ГИТТЛ, 1950. 220 с.

5. Болотин С. В., Карапетян А. В., Кугушев Е. И., Трещев Д. В. Теоретическая механика. М.: Академия, 2010. 430 с.

Статья поступила в редакцию 27 декабря 2012 г.