О движении материальной точки по шероховатой поверхности Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

3

Содержание____

3 Заключение

Для определения температуры объекта бесконтактным методом инфракрасной пирометрии необходимо знать величину коэффициента

излучательной способности 8 материала объекта. Знание 8 с точностью 0,01 гарантирует погрешность определения температуры не более 1°С. В случае полированных поверхностей коэффициент излучательной способности материала может быть рассчитан при наличии данных о показателе преломления и поглощения материала в рабочей области спектра пирометра. Для неполированных поверхностей (металлов и диэлектриков) коэффициент излучательной способности можно определить только экспериментально.

Библиографический список

1. Левитин И.Б. Инфракрасная техника. - Л.: Энергия, 1973.

2. Азам Р., Башара Н. Эллипсометрия и поляризованный свет. - М.: Мир, 1981.

3. Золотарёв В.М., Морозов В.Н., Смирнова Е.В. Оптические постоянные природных и технических сред. - Л.: Химия, 1984.

УДК 531.4

О ДВИЖЕНИИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ ПО ШЕРОХОВАТОЙ ПОВЕРХНОСТИ

В.С. Доев, Ф.А. Доронин

Аннотация

Рассматривается движение материальной точки по произвольной шероховатой поверхности. На точку, помимо заданных сил, действует сила сухого трения. Составлены матричные дифференциальные уравнения движения точки по поверхности с изотропным и произвольным анизотропным трением. В качестве примера изучено движение точки по поверхности двуполостного гиперболоида для случаев изотропного и анизотропного трения.

Ключевые слова: сухое трение, изотропное трение, матрица градиента, анизотропная шероховатая поверхность, линии анизотропии, множители Лагранжа.

Введение

Движение материальной точки по изотропной шероховатой плоскости под действием заданных сил и силы сухого трения достаточно хорошо изучено. Кроме задач о движении материальной точки, в литературе [1] приводится решение ряда задач, связанных с движением твердого тела по шероховатой плоскости с изотропным трением. Вопрос об анизотропном трении поставлен в статье [2], его изучение продолжено в работе [3]. Во

Известия Петербургского университета путей сообщения

2005/2

Содержание

3

всех этих задачах рассматривались случаи, когда нормальная реакция опорной плоскости при движении точки (тела) оставалась постоянной.

В статье решается более общая задача о движении точки по произвольной изотропной и анизотропной шероховатым поверхностям.

1 Движение точки по поверхности с трением

Рассмотрим движение материальной точки по шероховатой поверхности, заданной уравнением F(x, y,z) = 0, являющимся уравнением связи для точки. Это уравнение в матричной форме можно записать в виде:

F(r) = 0, (1)

т т

где г = х, у, z - матрица координат точки;

Т - индекс транспонирования.

При решении задачи используем неопределенные множители Лагранжа. Дифференциальное уравнение движения точки по связи:

mr = YJPt + 'k~ F(r) +

(2)

Здесь m - масса точки; X - неопределенный множитель Лагранжа; Р1г -матрица силы трения.

Матрица градиента поверхности скольжения определяется частными производными по координатам от функции F(x, y,z) = 0:

т F{r) =

аг

д

z) = F(х, у, z

OZ

Поверхность, по которой движется точка, может иметь изотропное или анизотропное сухое трение. При изотропном трении коэффициент трения не меняет своего значения при изменении направления движения по поверхности. Поверхность с изотропным трением выполнена из одного материала и имеет одинаковую чистоту обработки.

В случае анизотропного трения имеется направление движения с минимальным значением коэффициента трения и направление, где коэффициент трения максимален. Анизотропные (в смысле трения) поверхности могут быть выполнены из разных материалов с различной

д 3

где F(x>y>z) ; Fy =-г- F(x>y>

дх ду

Известия Петербургского университета путей сообщения

2005/2

Содержание

3

чистотой обработки. Неоднородные по структуре материалы тоже могут иметь анизотропию трения. Ярким примером материала с анизотропным трением является древесина. На поверхности деревянной доски коэффициенты трения существенно отличаются при движении вдоль и поперек волокон.

2 Движение точки по поверхности с изотропным трением

При изотропном трении матрица силы трения определяется выражением:

Р,г =-f\N

V ’

где iv - орт вектора скорости точки; N - модуль матрицы нормальной реакции поверхности.

Матрица нормальной реакции поверхности пропорциональна матрице градиента с коэффициентом пропорциональности Х\

N = \-— F(r) ,

dr

Модуль нормальной реакции равен норме матрицы N:

N-V

N = к

—г Fir) dr

Fx2+Fy2+Fz2

При изотропном трении направление силы трения, как следует из закона Кулона, противоположно направлению вектора скорости.

Определим матрицу орта скорости:

1 1

2 2 2 Vx+Vy+Vz

Модуль силы трения:

I к I=/•• М=/•• N-■ FFFFFFFFf-

Подставим выражение для силы трения в формулу (2) и получим матричное дифференциальное уравнение движения точки по поверхности с изотропным трением:

v

■V

V

I

*Jx2 + у2 +z2

z

Известия Петербургского университета путей сообщения

2005/2

Содержание

3

mr

F(r) --'1^

i dr v

TF{r)

dr

r

(3)

Известия Петербургского университета путей сообщения

2005/2

Содержание

3

Для определения множителя X дважды продифференцируем по времени уравнение связи (1):

т

(

г

d2

V

dr"

F(r)

Г +

— F(r) dr

г = 0.

Здесь

(4)

77"

где г = —

^ «И ~

OS

Умножим уравнение (4) на массу m и вместо mr подставим правую часть уравнения (3). Тогда после преобразований получим:

Х =

-1

ш ■ г

• (5)

Интегрируя уравнение (2) с множителем Лагранжа (5), находим уравнение движения материальной точки по поверхности с изотропным трением.

3 Движение точки по поверхности с анизотропным трением

Будем считать, что в общем случае анизотропная шероховатая поверхность покрыта множеством кривых (кривые анизотропии). Семейство таких кривых можно получить пересечением семейства поверхностей анизотропии L{pc,y,z)= С с поверхностью скольжения F(x,y,z) = 0, где С - некоторая константа. При движении вдоль кривой анизотропии коэффициент трения в направлении касательной к кривой имеет значение /т, а при движении в направлении нормали к кривой -

значение fn •

Представим матрицу силы анизотропного трения как сумму матриц касательной и нормальной составляющих силы анизотропного трения:

Р =Р +Р

tr trx tm’

где Рь

trx

Р

trn

= -/t-| N

= ~f.¥

■T ■

- I -l

X V

■T ■

• l •l

n V

• ix - касательная составляющая силы трения;

• in - нормальная составляющая силы трения.

Известия Петербургского университета путей сообщения

2005/2

Содержание________________________________________

Подставляя значение силы анизотропного трения

3

к=-/,■№• -k-l-w

■т ■

г • г

п V

(6)

в выражение (2), получаем матричное дифференциальное уравнение движения точки по анизотропной поверхности.

В качестве иллюстрации рассмотрим два примера: движение точки по поверхности с изотропным и анизотропным трением.

Пусть материальная точка под действием силы тяжести движется по поверхности двуполостного гиперболоида. Требуется построить графики зависимостей координат точки и проекций её скорости от времени, а также построить траекторию точки.

Исходные данные

Начальные условия: х0 =2,6 м; у0 =1,3 м; z0 = 4,34 м; i0 =1,2 м/с; у0 =-2,5 м/с; z0 =-0,866 м/с;

Г \г ' х '

уравнение двуполостного гиперболоида: —

уравнение кривых анизотропии: z(x,y)

( ,Л2

(х\2 (,л2

\а)

а =6 м; & = 3 м; с=3,7м; ах = 1,5 м; ^ =1,2м; /=0,13; / =0,12; /и = 0,35.

Решение задачи сводится к численному интегрированию уравнения (2) с учетом формул (5) и (6) при заданных начальных условиях. Для сравнения результаты расчетов сведены в таблицу.

4 Заключение

Предложенная методика позволяет решать задачи о движении материальной точки по произвольной шероховатой поверхности с любой структурой анизотропии с учетом зависимости силы трения от ускорения точки.

Расчеты показывают, что анизотропия трения оказывает влияние на движение точки по шероховатой поверхности. При анизотропном трении изменяются траектория, графики зависимостей координат и проекций ее скорости от времени. Наличие анизотропного трения может оказывать существенное влияние на работу измерительных приборов и точных механизмов. В частности, в случае изотропного трения в рассмотренном примере точка останавливается при тх =4,5 с, при анизотропном -

быстрее, при т2 =4,1 с.

Известия Петербургского университета путей сообщения

2005/2

Содержание

3

ТАБЛИЦА. Сравнение результатов решения дифференциального уравнения движения точки при изотропном и анизотропном трении

Наименование графиков

Изотропное трение

Анизотропное трение

Зависимости координат точки от времени

Зависимости проекций скорости точки от времени

м/с 1

V / Y v 1 “V

л N г SC 7

1 И г

J

О 1 2 3 4 5 6, с

т

м/с V

iV2 \

/

г

rY

0 1 2 3 4 5 6 ,с

т

Траектория точки

Библиографический список

1. Киреенков А.А. О движении однородного вращающегося диска по плоскости в условиях комбинированного трения // Известия АН. Механика твердого тела. - 2002. -№ 1. - С. 60-67.

2. Минкин Ю.Г., Доронин Ф.А. О законах Кулона при анизотропном трении // Сб. научно-методических статей по теоретической механике. - М., 1988. - Вып. 19. -С. 107-111.

3. Дмитриев Н.Н. Скольжение стержня со смещенным центром тяжести по горизонтальной плоскости с учетом сил анизотропного трения // Материалы докладов на международной научно-практической конференции «Четвертые Окуневские чтения». - СПб.: СПбГУ, 2004.

Известия Петербургского университета путей сообщения

2005/2