CC BY
26
МАТЕМАТИКА
УДК 519.21
О ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЯХ СУЩЕСТВОВАНИЯ СТАЦИОНАРНОГО РЕЖИМА В ОДНОЙ СИСТЕМЕ ОБСЛУЖИВАНИЯ С РАЗДЕЛЕНИЕМ ВРЕМЕНИ И ВЕТВЯЩИМИСЯ ВТОРИЧНЫМИ ПОТОКАМИ
© 2007 г. А.В. Зорин
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского zoavl@uic.nnov.ru
Поступила в редакцию 16.02.2007
Системы обслуживания конфликтных потоков требований алгоритмом с разделением времени и переналадками являются адекватными моделями многих реальных процессов обслуживания. В отличие от классических моделей, входной поток изучаемой системы формируется в случайной среде с конечным числом состояний, а обслуженные требования также порождают новые требования, образуя ветвящиеся потоки. Приводятся некоторые достаточные условия существования стационарного режима функционирования такого класса систем.
Введение
Данная работа является непосредственным продолжением работы [1] и использует введённые там обозначения. Тем не менее, напомним,
Совместное распределение {р(к) (у): у е X = = {0,1, к, т}} числа порождённых требований по каждому потоку определяется состоянием
е (к)
что рассматривается система обслуживания случайной среды е '. Если п° °кончании пет < да конфликтных потоков в системе разде- реналадки очереди пусты, то начинается обслу-ления времени и переналадками. Входные по- живание первого пришедшего требования. Если токи системы формируются в случайной среде с же длины очередей описываются ненулевым
d < да состояниями e
,(d)
. При
состоянии среды е(к), к = 1, 2, ..., d, требования по у-му потоку, у = 1, 2, ..., т, поступают группами так, что поток групп есть пуассонов-
вектором X = (хі, Х2, к, хт) є X, то на обслуживание выбирается требование из очереди с номером j = к(х), где к : X ^ ^ {і, 2, ...т + 1} — заданное отображение та-
ский с параметром Л(к) > 0. Распределение кое, что п^^зсш ^чки й = т +1 является размера группы задано производящей функцией У)(г), |г| < 1 + £ для некоторого £> 0. Требования этих потоков называют первичными.
Длительность обслуживания требования из у-го служиваний или переналадок. Состояние е
нулевой вектор 0 е X , и равенство у = Н(х) влечёт Ху > 0 . Смена состояний среды может происходить только в моменты окончаний об-
(/)
потока задана функцией распределения В у ^), В у (+0) = 0 , а длительность переналадки после
(k)
сменяется на состояние e с вероятностью aik . По отношению к матрице (aik )i k =1d
обслуживания этого требования имеет функцию
-1 _ * _ ^ состояния внешней среды образуют неразло-
распределения Ву(), Ву (+0) = 0 . Длительно- жимый класс, либо апериодический, либо со-сти обслуживаний и переналадок независимы держащий конечное число циклических под-
между собой и от входн^1х потоков. Обслужен- классов. Положим ( = 1 в случае апериодиче-ное требование покидает систему, порождая ~
при этом требования в каждый входной поток в ского класса, в противном случае пусть ( рав-
случайном числе. Поток этих требований образует ветвящийся поток вторичных требований.
но числу циклических подклассов. Обозначим
через Q, C2
множества номеров со-
стояний среды, соответствующих каждому подклассу, и положим для удобства С0 = С~,
С~+1 = С1. Будем считать, что при ( > 1 подклассы пронумерованы таким образом, что внешняя среда совершает переходы по пути
{е(кк е Сх}^ {е(кк е С2 }^ ... ^ {е(кк е С( }. Пусть Т0 = 0, Т- — момент окончания обслу-
живания
или
переналадки,
момент т0 , Xi е {ß(1),e(2),K,e(d)} среды на промежутке (т, tz+1 ], Kjj —
вестное свойство марковских цепей со счётным числом состояний, составляющих единственный неразложимый класс [3], замечаем, что в нашем случае возможно одно из двух: либо для
любого состояния (г(*),w,е(к)), 5 = 1, 2, ..., п,
w е X, к = 1, 2, ..., (имеет место равенство
lim P(Ai(s,{w},k)) = 0,
(2)
Xo 6 {e(1),e(2),K,e(d)} — состояние среды в
состояние К у ^ — число требований в у-й очереди в момент тг,
К =К Кг к,Кт ), Г0 ег={г(1), г(2),к, г(п>}
— состояние обслуживающего устройства в момент Т0 , г е г — состояние обслуживающего устройства на промежутке (т-ьТ ]. Равенство г = г( у) имеет место, если на промежутке (т_1, тг ] осуществлялось обслуживание требования из у-й очереди, а г = г(п), если на промежутке (т-1, тг ] осуществлялась переналадка прибора.
Все рассматриваемые случайные объекты определяются или задаются конструктивно на некотором вероятностном пространстве (ЦГ,Р), где О — пространство описаний элементарных исходов, Г — о-алгебра событий А О, Р(-) — вероятностная мера на Г, Е — символ математического ожидания по вероятностной мере Р. В статье приведены результаты изучения предельных свойств выделенной дискретной компоненты {(гг,кг,); г = 0,1, к} маркированного точечного процесса {(т, г- ,кг,хг); г = 0,1, к}. Для доказательства утверждений существенным образом используется итеративно-мажорантный метод [2].
Достаточные условия существования стационарного распределения
В работе [1] было показано, что дискретная компонента
{(гг > К > Хг);г = 0,1 к} (1)
является марковской цепью со счётным числом
состояний. Обозначим Аг (5,X',к) = : г (®) =
= г(5),кг (®) е X',хг(®) = е(к)}. Вспоминая из-
либо существует единственное стационарное распределение
Q(s,k) (w): s = 1,2, K, n; w e X; k = 1,2,..., d }
этой цепи такое, что все Q(s,k)(w) > 0 . В следствии 3.1 из [1] содержится достаточное условие на ветвящиеся потоки вторичных требований: состояния цепи (1) образуют один или два неприводимых класса в зависимости от того,
чётно или нечётно число d циклических подклассов, которые образует неприводимая марковская цепь {х; i = 0,1,...} состояний среды. Напомним необходимые обозначения из [1]:
__ ТО
1 = (1,1, ...,1)e X , ß}1 = J tdBj (t),
0
__ то _____
ßn = J tdB. (t), ß- = min ßr1, ß+ = max ßr1,
0 1<r<m 1<r<m
ß- = min ßr1, ß+ = max ßr1,
1<r<m 1<r<m
ß = (ßl1’ ß21'---'ßm1) . ß= = (Д1’А1.---’Дн1). pj' =Zxrpf, >. Qik> = = (pj1 )j r=rm •
xeX
Mf) = (j)(z) )'z=1, jjk) = = jk Vf),
ik)=(^k )^j2k),..., im) f, p( k )=
= ß(E -Q(1)))-1i(k),p(k) = ß(E -(Q(1)))"1I(k). Для w e X и действительного или комплексного вектора V = (V1, V2,., vm) положим
Vw = V1X2 Lvmm , Rj)(v) = v-1 £ vwp(k)(w),
weX
m
qj )(v) = Jn exp{ jk \f(k )(vr) - 1)t}dBj(t)
0 r=1 то m
qf )(v) = Jnexp{irk\fr(k)(vr) - 1)t}dBj(t).
0 r=1
Теорема 1. Пусть ( нечётно, для каждого к = 1, 2, ( существует хотя бы один номер
у0 е {1 ,2, .т} такой, что р(к)(0) > 0, и
Z^-TO
существуют положительные числа 01, 02, Г
0m удовлетворяющие неравенству
\
SKJi
VJ=
; i = 0,1,
(4)
— т ( d —п\Л m—rt\
в ri Si S akl^s ) 0 + A-1 Skk 0 + неограниченно возрастает. Покажем, что при
s=iV l=1 J s=1 выполнении условия (3) эта последовательность
т ( k ) ограничена.
+ Sprs 0s -0r < 0 Справедливо разложение:
, =1
для любых r = 1 2, ..., т и к = 1> 2, ..., d. Тогда ^ак1д(1 )(v(u))qrk)(v(u))R(k)(v(u)) =
существует единственное стационарное рас- i=1
пределение марковской цепи (1). к (_ т_ т_
= 1+uSai I вп S4(l 0 +вп S4k V +
Доказательство. Для производящих функ- = 1 s= s=
т
ц™ + S0 (p(,) -ôrs)| + O(u2).
У° )(v, s, k) = S VWP(4- (s,{w}, k)), s=1 J
weX
, = 12 n Преобразуем коэффициент перед u в этом раз-
ложении:
ф(i )(v, J, k) = s vwP( Ai (n,{w}, k )),
w: weX k ( — m —(l ) m —( k )
J=h( w) S akl I вr 1 S 0S + вr 1 S Л 0s +
j = 1, 2, ..., m, и k = 1, 2, ..., d из соотношений = s= s=
m 1 m ; d \
теоремы 3.1 из [1] находим рекуррентное по +S0,(рГ,) -Srs) | = er1 si SаыЛ() 0 +
i = 0, 1, ... уравнение s=1 J s=1|l=1 J
S y (i+2)(v, n, k) = + в S i ia^) V + S 0, (p(k )aki )- 0r =
k=1 s=1 V l=1 J s=1
= S S|ф(г)(v,r,k)l]raklq(l)(v)qrk)(v)R(k)(v)|+ = вп S(Sa^ ) V + в SKk0 +
k=1r=1 [ V l=1 J s=1v l=1 J s=1
+ ^(f(k)(vr) - 1)P(A(n,{0},k)) X + -0r.
X ( ^Zaklq(l)(v)qrk)(v)R(k)(v)Ï|. Положим R+(u) = тгкm<j Saklqr(l)(v(u))qrk) X
V l=1 Jk=1,2,'.'..d =1
Из неравенства (3) следует, что x (v(u))R(k)(v(u))}. Из определения следует,
m
S p(k)0s -0r < 0 для всех k и r. Пусть v(u) = что R+(0) = 1. Кр°ме тоГо, существует такое
s=1 число U > 0, что R+ (u) < 1 для всех
= (Vl(u),V2(u),■■■,Vm(u)) вектор дифферен u е (0U0) и в силу ограничений на функции
цируемых функций переменного u такой, что (k) (k)
/ Y fr )(vr ) ряд fr )(vr (u)) сходится. Поскольку
vJ (0) = 1 и v'J (0) = 0J. Тогда (R(k )(v(u))) u=0 = (k )a ^ n Ak ), , ¡c\tt \
JW JV ' J v J v v nr 0r > 0, то fr ’(vr(u)) > 1 для u e (0,U0).
m
= S p(k 0 -0j < 0 и, следовательно, R J )(~) < 1 Для любого u1 e (0,U0) справедлива оценка:
s=1
в точке = v(~) такой, что vr (~) > 1, г = 1, 2, SS y (i+2)(v(u1), n, k) < R+ (u1) X
..., m, u > 0. По следствию 3.1 из [1] все со- k=1
стояния цепи образуют единственный неразло- ( dm (i ) yj(.k )
жимый класс. Пусть стационарного распреде- X
ления не существует, тогда для любых Г(s) e Г, , , ,
x e X , e(k) e{e(1),e(2),K,e(d)} имеет место x(/r(k)(v(u1)) - 1)P(Ai(n,{0},k))). равенство (2). Отсюда необходимо следует, что
v
SS®(i)(v(u1),r,k)^ k)
k=1r=1 Л+ )
m
последовательность Поскольку S®(i)(v,r,k) =У(i)(v,n,k), то
r=1
(m
d
ЕУ(1+2\у(щ),п,k) < R+ (щ) х
k=1
( d /л m l(k) i ti\ \
ЕУ(i)(v(U1), r,k) +E-^y /k)(v(U1)) - 1)х
Vv=1 r=1A+}
х
х P( A (n,{0}, k))).
Ек
V J
=1
ji
про
l e ¿3 >
ß- Еak/(p(/) + p(/) -1) + ß+ Еak/(p(/) + p(/)-1) +
leL3 Шв
+ ß- (p(k) + p(k) -1) < 0 про k e Z3,
ß- Еak/(p(/) + p(/)-1) + ß+ Еak/(p(/) + p(/)-1) +
/eL3 Шв
+ ß+ (p(k) + p(k) -1) < 0 про k g L3.
Выберем в качестве распределения элемента
(г0,К0, Х0) распределение, сосредоточенное на
конечном числе значений этого элемента. Положим
М+0) = £ У (0)№), п, к), к=1
М+1) = £ 5 У(0)(у(^1), г, к),
к=1г=1
М+++2) = Д+ (И1) X
,л ( т ;(к) ,
М+г) + ЕЕ-^У (Л(к )(уг («1) -1)
к=1г=1Я+ '
Так построенная последовательность {M+'); i = 0,1, к} мажорирует последовательность (i)(v(^i),п,к); i = 0,1, ...j . Кроме
того, существует lim M+) < да. Следовательно,
i——TO
обе последовательности ограничены. Но тогда, вследствие формулы Коши, ограничена после-
Доказательство. Пусть числа в1, в2, вт удовлетворяют системе
т _
в = Е руег +вл + ] j = 1, 2, ..., т.
Г=1
Поскольку матрица (е — Q(1)) обратима, число в] есть ]-й элемент вектора (Е — Q(1))" х X (в + в) и положительное. Используя определение чисел рР1), р(1) находим:
вг1 Е (Еа*А) в +вг1 Е Ак в +
Я=1^ I=1 ] s=1
+ ЕрГ. в —вг = Тавр1) +Р(1)) +
^=1
/=1
+ ßr1(p(k) +p(k))-ßr1 -ßr1 - Еak/ßr1(p + p - 1) +
/=1
+ ßr1(p(k) +p(k) - 1).
d
Условия теоремы 1 предполагают совместность системы неравенств (3). В некоторых случаях можно указать конкретный набор чисел 01, 02, 0т и уменьшить число неравенств. Такой
пример содержится в следующей теореме.
Теорема 2. Пусть ( нечётно, для каждого к = 1, 2, ( существует хотя бы один номер
у0 е
{1 ,2, к, т} такой, что р(0)(0) > 0, р(Г = р^ = к = р(((), у, г = 1, 2, ..., т и перронов корень матрицы Q(1) меньше единицы. Для существования стационарного распределения достаточно, чтобы нашлось непустое множество Ьъ = {1,12, к, ¡у }с {1, 2, к, (}, для
которого р() + р(1) < 1
р(1) + р(1) > 1 при I ё Ь3,
Теперь для к е Ьз
ЪаывгХ(р{1) + Р) -1) +вп(р(к) +Р(к) -1) <
I=1
<в- Еак1 ) +р(1) -1) +
¡еЬз
+ в+ Еак1 Р(1) +р(1) -1) + в-(Р(к) + Р(к) -1),
¡ёЬз
а для к ё Ь3
ЕаывлР1) +Р(1) -1) +вп(Р(к) +Р(к) -1) <
I=1
<в-£ ак1 (р(1) +Р(1) -1) +
¡еЬ3
+ в+ Еаы(р(1) +р(1) -1) + в+ (р(к) +р(к) -1).
¡ёЬ3
Таким образом, выполнены условия теоремы 1. Поэтому существует единственное стационарное распределение.
В случае чётного ( множество состояний цепи (1) распадаются на два несообщающихся класса
( m 1
(5)
(6)
{Г(]), х, е(к)): ] = 1, 2, к, т; х є X; к є С2и—1, и = 1, 2, к, у| и и {(Г(п), х, е(к)): х є X; к є С2и,и = 1 2,-, у ^
{(г(]), х, е(к)): ] = 1, 2, к, т; х є X; к є с2и,и = I 2,-, |} и и {(Г(п), х, е(к)): х є X;
к є С2и—1,и = і,2, ^, А I
и поэтому исследование свойств цепи сводится к исследованию свойств двух цепей, состояниями которых являются соответственно множества (5) и (6), а переходные вероятности совпадают с переходными вероятностями цепи (1). Рассмотрим класс (5) и сформулируем достаточные условия аналогично случаю нечётных d .
Теорема 3. Пусть d чётно, для каждого к = 1, 2, ..., й существует хотя бы один номер у0 е {1 ,2, к, т} такой, что р(к)(0) > 0. Для
существования стационарного распределения цепи (1) со множеством состояний (5) достаточно существования положительных чисел 01, 02, ..., 0т таких, что для всякого ; =
1, 2, т, и = 1, 2, 2 и к є С
2и—2
вы-
полняется равенство:
вг 1 Е
;=1
Е акА )в
V ІєС2и—1
+
т —г,Л т ,
+вг1 еА к в + е рГк в—в < о.
;=1
;=1
¿/2
= Е Е Е ЧГ V) Е а^\у)Я^(у):
и=1ІєС2и—1 г=1 РєС2и—2
( _ 2(Ф) \
X Ф<• >(у, Г,у) + б,<пу>(0)-^(//^г) - 1) .
V ^+ )
Пусть v(u) = (у1(м),У2(м),к,ут (и)) — вектор дифференцируемых функций одного (комплексного) переменного и, удовлетворяющих условиям: Vу (0) = 1 и Vу (0) = 0у для у =
=1, 2, ..., т. Тогда
( А
£ ауд(/) (у(ц))чГУ) ^(м))^у) (v(и))
К1еС2и-1 )
А
Аи
и=0
= Е ар ЕV; (0)(Аг)вг1 +
ІєС2и—1 ;=1
+ Ар вЛ + р(р) — ) < 0. Положим Я+ (щ) =
(7)
= тах
р=2,4,..А; /єС2и—і г=1,2,.. ,т 1
Е ар/Ч(г\^и))чГР\^и))КГР\^и)).
Поскольку R+ (0) = 1, с учётом
+ Лувг1 + р(у^ - £Г5) < 0. (7) получаем:
R+ (и) < 1 для и из некоторой положительной
окрестности нуля. Но тогда числовая последовательность с членами
3/2
М+0) =£ £У (0)(v (М1), п, к), и=1 кеС2и (1) 3/2 т (0)
М+1) =£ £ £У(0)(v(Ul),г,к),
и=1кеС2иг=1
М+г+2) =
= Я+ (и)
¿/2
Ак)
Л
м+) + Е Е Е-тт(к)^г(щ) — 1)
Доказательство. В условиях теоремы состояния из множества (5) образуют неразложимый класс. Покажем, что последовательность (4) ограничена. Из соотношений теоремы 3.1 [1] находим:
~2
£ £У( ^,п,к) =
и=1 кеС2и
и=1 кєС2и—1 г=1 ^) і = 0, 1, ...
ограничена некоторой константой М, причём
~2 . .
Е ЕУ(і )(v(u), п, І) < М +) < М. Вследствие
и=1 ІєС2и
интегральной формулы Коши, последовательность (4) ограничена. Следовательно, стационарное распределение обязано существовать в единственном числе. Доказательство завершено.
Следующая теорема является аналогом теоремы 2 и доказывается совершенно так же.
Теорема 4. Пусть А нечётно, для каждого к = 1, 2, А существует хотя бы один номер ]о є {1 ,2, к, т} такой, что р])(0) > 0,
р]? = р{]г = к = Р]), ], г = 1, 2, ..., т и пер-
ронов корень матрицы Q(1) меньше единицы. Пусть также существует непустое множество Ь, = ^ ¡2, .к ¡у }С{1, 2, .„, й }, для которого
р(1) + р(1) < 1 при I е Ь3, р() + р(1) > 1 при I ё Ь. Положим Ь = {1, 2, к, й}. Для существования стационарного распределения достаточно выполнения неравенств
в- £аш(р() + Р(1) -1) +
¡еС2и-11ь3
+в+ £ а1к(р1) +р(1) - 1) +
¡еС2и-11ь3
+в- (р(к) +р(к) -1) < 0 при и = 1, 2, ..., ¿//2, к е С2и-2 IЬ,
в- £ааР) +р(1) -1) +
¡еС2и-11ь3
+ в+ £а&(р(1) + р(1) -1) +
¡еС2и-11ь3 +в+ (р( к) +р(к) -1) < 0 при и = 1, 2, ..., ¿//2 , к е С2и-2 IЬ.
Кроме условия р « = р(2) = к = р(й) обсудим другое условие на средние численности вторичных требований. А именно, пусть матри-
т
цы Q(к) таковы, что £ р^/г) < 1 для всех у =
Г=1
= 1, 2, ..., т, т.е. при любом состоянии среды среднее число порождённых вторичных требований меньше единицы. Тогда содержащие точку 1 открытые множества {(01, 02, к, 0т):
т
: 01 > 0, 02 > 0, к, 0т > 0, 0Г > £рГ^0 для
5=1
всех г = 1, 2, к, т} образуют конусы (с вершиной в начале координат) [5] при каждом к = 1,
2, ..., й. Очевидно, эти конусы пересекаются и пересечение есть также открытое множество. За-
фиксируем какую-нибудь точку (01,02,к,0т) из их пересечения. Перепишем неравенство (3) в виде:
— т ( й —п-Л т т
вг1 £| £аыЛ(1) 0 +вг1 £Л(к) < 0г - £р^Ч .
5=1\¡=1 ) S=1 5=1
Выражение в левой части неравенства непрерывно по всем входящим в него параметрам, а значит, для небольших положительных значений
интенсивностей Мк > входных потоков, средних длительностей вг1 обслуживаний и средних длительностей вг1 переналадок это неравенство легко удовлетворяется, и в системе наступит стационарный режим по теореме 1 либо по теореме 3. Это объясняется тем, что система не перегружена обслуживанием вторичных требований. Вторичный ветвящийся поток, порождённый каждым требованием, вырождается и небольшой приток требований извне допустим.
Список литературы
1. Зорин А.В. О стационарном режиме системы разделения времени с ветвящимися потоками вторичных требований, формируемыми в случайный среде // Вестник Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского. Серия Математика. 2006. Вып. 1(4). С. 38-48.
2. Федоткин М.А. Оптимальное управление конфликтными потоками и маркированные точечные процессы с выделенной дискретной компонентой // Литовский математический сборник. 1989. Т. 29. № 1. С. 148-159.
3. Ширяев А.Н. Вероятность. В 2-х кн. Кн. 2. -М.: МЦНМО, 2004. - 408 с.
4. Зорин А.В., Федоткин М.А. Анализ и оптимизация процессов с разделением времени, функционирующих в случайной среде // Вестник Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского. Серия Математика. 2004. № 1. С. 92-103.
5. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. - М.: Наука, 1979. - 432 с.
SUFFICIENT CONDITIONS FOR THE EXISTENCE OF A STATIONARY MODE IN A TIME-SHARING SYSTEM WITH BRANCHING SECONDARY FLOWS
A. V. Zorin
Time-sharing queuing systems with conflict input flows and adjustments are adequate models for many real servicing processes. Contrary to the classical models, input flows to the system under consideration are modulated by a random environment with finite number of states, and the exiting customers generate new customers, thus forming branching flows. Sufficient conditions for the existence of a stationary mode in this class of queuing systems are presented.
