Итеративно-мажорантный метод доказательства предельных теорем для процесса обслуживания конфликтных потоков в случайной среде Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета и м. Н.И. Лобачевского, 2008, № 3, с. 154-159

УДК 519.21

ИТЕРАТИВНО-МАЖОРАНТНЫЙ МЕТОД ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ПРЕДЕЛЬНЫХ ТЕОРЕМ ДЛЯ ПРОЦЕССА ОБСЛУЖИВАНИЯ КОНФЛИКТНЫХ ПОТОКОВ В СЛУЧАЙНОЙ СРЕДЕ

© 2008 г. А.В. Зорин

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского

/оау1 @шс. ппоу. ги

Поступила в редакцию 20.05.2008

На примере системы обслуживания конфликтных потоков с переменной структурой алгоритмом с разделением времени и переналадками показывается, что для эффективного применения итеративномажорантного метода получения условий существования стационарного режима функционирования системы необходимо учитывать процесс усреднения влияния внешней случайной среды. Доказаны новые условия существования стационарного режима.

Ключевые слова: системы массового обслуживания, случайная среда, итеративно-мажорантный подход, условия существования стационарного распределения.

Введение

В работах [1-6] проводится исследование процессов управления формируемыми в случайной среде конфликтными потоками требований в различных системах обслуживания. Процесс обслуживания рассматривается в дискретной временной шкале (хг-; 1 = 0,1,...} и строится марковская цепь

{(Г, кг-, хг-); 1 = 0,1, .} , описывающая изменение состояния обслуживающего устройства

(Г1 е {Г(1), Г(2),...,Г(п)} — состояние на промежутке (тг-_1, тг- ] , п — число возможных состояний обслуживающего устройства), вектора длин очередей ( к е {0,1, ...}т — вектор длин очередей в момент тг-, т — число очередей в системе) и состояния случайной среды (%г- — состояние случайной среды на промежутке (тг-, тг-+1] ). При этом получение необходимых и достаточных условий существования стационарного режима процесса обслуживания итеративно-мажорантным методом (изложенным, например, в [7]) имело ограниченный успех [5]. Приведённые в цитированных выше публикациях необходимые условия не совпадали с достаточными условиями. Как мы покажем в настоящей работе, неудача была обусловлена тем, что не рассматривался достаточно длительный период усреднения влияния случайной среды.

Пусть входные потоки системы обслуживания формируются в случайной среде с двумя состояниями е(1) и е(2). Смена состояний среды может происходить только в моменты окончания актов обслуживания и актов переналадок и управления потоками. Состояния случайной среды образуют неразложимую апериодическую марковскую цепь. Вероят-

ность перехода среды из состояния е('1) в состояние в('к) обозначим а1к , I, к = 1, 2. Число т входных потоков Пх , П2 , ..., Пт конечно. Когда состояние среды есть е('к), требования по потоку П, ] = 1, 2, ., т , поступают группами. Группы требований образуют пуассоновский поток с параметром А,(к). Размеры групп независимы и их распределение задаётся производящей функцией /(к)(z) , | 2\< 1 + 8, в> 0 . Заявки потока Ппоступают в накопитель 0}-. Обслуживающее устройство имеет т узлов обслуживания Г(1), Г(2), ...,

-р(т) -р( п)

Г и один узел переналадки и управления Г , п = т + 1. В каждый момент времени обслуживается не более чем одна заявка. Заявки из очереди 0}-

обслуживаются узлом Г(^). Длительность обслуживания узлом Г(^) имеет функцию распределения В ^ (^) . После акта обслуживания узлом Г(^) прибор проводит переналадку, длительность которой случайна и имеет функцию распределения В(?) . Если

по окончании переналадки очереди пусты, то обслуживается заявка из первой поступившей группы. В противном случае, если длины очередей описываются ненулевым вектором X = (Хх, Х2, ..., Хт ) е

е{0,1, ...}т = X , то выбирается заявка из очереди с номером ] = И(х) . Здесь отображение И(-) целочисленной неотрицательной решетки X на множество {1, 2, ., п} обладает следующими свойствами:

Кх)=1 влечёт к, >0 и прообразом точки П яв- ф. (у, 1,к) = ЕУ^г (П, к),

__ хєХ •

ляется нулевой вектор 0 = (0, 0,..., 0) є X . Заявка, 1

обслуженная узлом Г( 1), с вероятностью ріг пере- К-і (у) = у і І р;-,П + Е р1 ,гУг І

V Г=1 ’ )

сылается на повторное обслуживание в очередь Ог, соответствующих распределений и преобразования

Г = 1,2, ..., т , а с вероятностью р , П = 1 — Лапласа-Стилтьеса

__ ~ т

— Ет=1 Р]г покидает систему. Входные потоки, д(к)(у) = ехр{А,(к)()(УГ) — 1)ґ} <ІБі(ґ),

0 г=1

^т

-!Г=1^ },г

длительности обслуживания и переналадок предполагаются независимыми. _(к) ^ т (к) (к) _

Данная система обслуживания реализует управ- Ч у (у) = ,|11 £хр{А,г (/г (уг) _ 1)^} (Ш у (V).

ление конфликтными потоками в классе алгоритмов 0 г=х

с разделением времени и переналадками. Её анализ В работе [3] были установлены следующие рекур-проведён в работах [3-5] и, как мы сказали выше, не рентные по 1 = 0, 1, ... соотношения: является исчерпывающим. 2

^г+ДУ 1к) = Еа1 ,кЧу)(у)К](у) х

Получение основного неравенства I=1

Пусть т0 = 0 , тх , Х2 , ... - моменты последова- х

тельных окончаний актов обслуживаний и актов пеГ ^(у ^ к) = Е а ,к_

обслуживающего устройства в момент Т0, 1=1 г=1

Г. е Г = {Г(1), Г(2), ., Г(п)} - состояние обслуживающего устройства на промежутке (т^, т. ],

( хф

/V )Л, л

(2)

ф г (у, 1,1) + а, (0; П, і )^ 1 \у})

я,(+)

V + )

реналадок и управления потоками, 1п - состояние .т, , ,ч Д, т_(і), ..т, ,

Р 0 ^г+1 (У, п, к) = Е а1Л Е д(/ )(у)^г (у, г, і). (3)

Лемма 1. Для положительных Ух, У2, ., Ут 1 = 1, 2, ..., т и і = 1, 2 имеем

Г е Г , кг - число требований в очереди О у в ^)

момент т , к;г- = (к1г-, к21, ..., кт1 ), - состоя- Фг (у, У,1) + ^ (0;п,1) —ГУ — ^ (у,П,1) . (4)

ние среды на промежутке (тг, тг+1 ], Доказательство. Из определения производящих

(1) (2) функций,

е {е , е } . Все случайные величины заданы на ^

некоторм вероятностном пространстве (О, Е, Р) , ф (у у 1) + Q (0'п1)_____— =

где О - пространство описаний элементарных ис- —+

ходов, Е - а-алгебра событий А с О , Р(-) - веро- _ —(г)

ятность указанного в скобках события. В [3] доказа- = (х;п, 1) + Q1 (0;п, 1)—у.

хеХ; —+

но, что последовательность 1

{(Г., к., ); 1 = 0,1, .} (1) Поскольку Ху с X и —у) < —(+), то

является неразложимой марковской цепью с двумя —7)

циклическими подклассами Е ухйг (х; п, 1) + Qг (0; п, 1) -1- —

{(у, х, е(к)); у е Г\{Г(п)}, х е X, к е{1,2}} х^Ху -У

и — Е vxQi (х; п, 1) = ^. (у, п, 1).

{(Г(п), х, е(к)); х е X, к е{1,2}}. х^х

Неравенство (4) установлено.

Обозначим -(к) = -(к) + -(2к) + . + -т),

Q (х-5 к) = Р({Г = Г(х) к = х % = е(к)}) 5 = 1 Лемма 2 (основное неравенство мажоризации).

Для положительные Ух, У2, ..., Ут и натурального

Ь справедливо неравенство

2 2

2, ., п , Х1 = {х: И(х) = 1} с X. Для вещественного или комплексного вектора У =

= (у^ у^ ., Ут ) и произвольного ы = (w1, W2, Е +2Ъ (у, п, к) < Е Е а

., ыт) є X положим уы = у^^'уЫ2 ^уЫт , считая, к=1 1і,І2,.,І2ь =' ^l,^2,.,]ъ=ї

’ т ^ 12 т 5 5

что 00 = 1. Введём производящие функции х аі2Ъ—1,12Ъ—2 ^аі2,і1 Цу1 (у)^л (у)К11(у)^У2 (у) х

(у,5,к) = Еу (х;5,к) , х д(*\у)Я^ (у) —ц(12Ъ—1)(у)ц(12Ъ)(у)К1ь (у)Ч' (у,п, 12Ъ) +

+ Е Еаг2,г1 ч 1111)(у)ч(Ц2)(у)ял(у)й-+2Ь_2(0;n, 12) х

11,12 = ./1 =

—(12) 2 т

^—(//(12)(уЛ) _ 1) + Е Еа14,1за1з,12а12,11 Х

—(12)

х 4(11)(у)ч(12)(у)Дл (у)Ч(2\у)ч(24)(у)Яу2(у) х

_ —(14)

х Й+2Ь_4 ( 0;n, 14 ) —4)'(/;(г14 ) (у/2 ) _ 1) + . +

+ Е Еа, , а, , ---а, ,Ч(11)(у) х

^ ^ 12Ь, 12Ь_1 12Ь_1, 12Ь_2 *2,П -* ./1 4 7

11,12,.,12Ь= .ь/2,.,1Ь=

хч(.;2)(у)Дл(у)Ч121з)(у)ч(.24)(у)Л/2(у)• • •/Ь_1) х

_ —(12 Ь )

х (у)/Ь )(у )Кк (у )Qi (0; п, 1,Ь) 1 х

х (Г1:Ь )(у.ь) _1).

11 =111 =1

х Еа12,1,Ч?)(у)^Л(у) Фг+2Ь_2 (У, 11,12 ) +

1, =1

_ —(12)

+ Qi+2Ь_2(0. п, 12) /«'■'(ул)

= Фг +2Ь_2(у, 11,12) + ^^г+2Ь—2 (0; п, +

—(12) I—

—(12)

_ —(12)

+ а+2Ь_2(0; п, 12) /1(12)(ул) _ 1) —

— ^+2Ь_2 (у, n, 12 ) + й+2Ь_2(0;n, 12 ) х —(12 )

*#(■ /('2)(ул) _ •)•

Поэтому

2

2 т

Е^-+2ь(у,пк) — Е Еа12,11 ч[ (ущ)(у)

к=1

11,12=1 1 =1

2т

х Ч(/12)(у)Ял (у)й-+2Ь_2(0;n, 12) х —(12)

х—(|)(/1;12)(ул) _1). (у)

Правая часть неравенства (7) содержит слагаемое, входящее вторым в правую часть соотношения (5). Оценим первое слагаемой в правой части неравенства (7). Воспользовавшись сперва рекуррентными соотношениями (2), (3), найдём:

2т

Е Е а12,11 ЧД)(у )Ч(12)(у) ^Л(у )^г +2Ь_2 (у, n, 12 ) =

11,12=1 Л =1

2т

= Е Еа13,12а12,11 ч?)(у)Чл2)(у)^11 (у)ч12гз)(у) х

11,12 ,13 =1 Л, .2=1 2

,(14)/

х Е а14,1з Ч.Ь )(у) ^12(у)

14 =1

Ф

+2Ь_4

(у, 12, 14) +

(5)

V

—(14)

Л

+ Qi+2Ь_4 ( 0; n, 14 ) —& /1?/

(8)

Доказательство. Суммируя рекуррентные соотношения (2) по к = 1, 2 и воспользовавшись соотношением (3), получим:

2 2 т

Е^г+2Ь (у, n, к) = ЕЕ х

к=1

(6)

Применим оценку (4) к сумме, написанной в скобках в правой части равенства (6),

_ —(12)

Фг+2Ь_2 (У 11, 12 ) + а+2Ь_2(°;n, 12) —(/ту У ) (уЛ ) =

Применив оценку (4) к стоящей в скобках сумме, получим

2т

Е Еа^Ч£\у)ч(12)(у)^(у)^+2Ь_2(у,п, 12) —

11,12=1 1 =1

2т

— Е Еа14,1за1з,12а12,11 )Чл2)(у) х

11,12,13 ,14=1 Л,.2 =1

х Дл (У)Ч/213)(У)Ч/24)(У)*/ (У)^г+2Ь_4(У,п, 14) +

2т

+ Е Е а14,13 а13,12 а12,11 Чд)(у ял(у) х

11,12 ,13 ,14 =1 Л, .2=1

х Ч121з)(у)Ч(;-24)(у)^;2 (У)Й+2Ь_4(0;n, 12) х

—(14)

х—(^( /124)(у/2) _1).

(9)

Теперь второе слагаемое в правой части последнего неравенства входит третьим слагаемым в правую часть соотношения (5). Повторяя рассуждения, приведшие от соотношения (8) к неравенству (9) ещё (Ь _ 2) раза, окончательно установим неравенство (5).

Условия существования стационарного распределения

Положим а1 = а21 (а12 + а21) 1, а2 = а12 х

х (а1,2 + а2, 1 ) ^ , Р = (Р/,г )1,г=1Х...т , пусть 1т — единичная матрица размера т х т , Ъ^к — символ Кронекера, принимающий значение 0 при 1 Ф к и значение 1 при 1 = к. Заметим, что а 1 — стационарная вероятность состояния е('1) случайной среды.

(1)

хЛЛ (у)^.+2Ь_2(у,п, 12) + Е Еа12 ^^(у) х Вероятности перехода среды из состояния е1) в

11,12=1 J( =1

состояние е(к) за п шагов обозначим а1(,пк) , так что

(п)

X

а1* = Ъ1 ,к , а(!к+1) = Е]=$1 а],к . Будем предпола- + . + —гЬ_1)РЬ + —гЬ)Р/Ь + Р/Ь,Г _ Ъ1Ь,г )] =

гать, что длительности обслуживаний и переналадок т ( 2 т 2 т

л (Л = Е0Г Е ЕаРУ^'Р тЬ_1 + Е Еа(2Ь,

имеют конечные моменты Р,= V dB, (V), ^ г 12Ь Л г 12Ь1

^ ^ Г=1 ^ 11 =1 Л =1 12 =1Л =1

р1 = I(Г { ({) , размеры груш первичных требо- х (—(12)р + Р )тЬ_1 _ тЬ_1 + у 'ЕаС2Ь_3)

' г " К*' £-1 £-1 12Ь ,13

ваний имеют конечные математическое ожидания 1з=112=1

(к )_ / )< г>

ц г =

2=1

Введём векторы р = (р^ Р2, •••,рт) и р= _тЬ_ +... + Е Еal((Ь),l2Ь-( —г2Ь_1)РлШ^1 +

_ 2 т __

и матрица (1т _Р) обратима. х—'г3)р^Ш + ЕЕа(2Ь,14 )(—1 + р }г,г)т _

14=1 1=1

2 т ___ ___

и р = — тЪ—1 + ... + Е Е а,(1), А,,12Ъ—1) Р, тЪ—

12 Ъ—1 =1 ]Ъ =1

= (Р1, Р„ ., Рт), —(к) = (—(^, —^), - т _

—(тк)цШ))Т, здесь Т - символ транспонирования. + Е(—Г2Ь^Р]Ъ + р]Ь,г)т _ т =

1ь=1

т т 2

Поскольку марковская цепь неразложима, то может иметь место лишь одна из двух альтернатив [8]:

либо для всех (Г(5), х, е(к)) е Г х X х {е(1), е(2)} и независимо от распределения (Г0, к0, %0) имеет место предельное соотношение

Нш Qi (х; 5, к) = 0, (10)

= тЪ 1

ЕР 1 Евг ЕА" )(аРЪ—11 + а®—31 + ... +

1^ ГУ 12Ъ,І 12Ъ

V1 =1 Г=1 І=1

+ а

1,1) + Е Р1Е вг Е А )(а!“—2) + а<“—4) + . +

1=1 Г=1 1=1

г?і)+Е Е вг Е р 1,г аь—2+4)+... +

1 =1 Г=1 і=1

0),і) — ЪЕв І. (12)

либо существует единственное стационарное рас- +а

пределение цепи (1). В следующей теореме содержится фактически необходимое условие существования стационарного распределения марковской це- + а

пи (1). ~ г=1

— Т 1 —(1) Здесь знак Е(1) означает суммирование по 11, 12,

Теорема 1. Пусть (Р + Р)(1т _РТГЧ^—(1) + ^ Р 12

+ а2—(2)) > 1. Тогда для всех (Г(5), х, е(к)) еГх X х ", 12Ь_1 от 1 до 2 и по Л, к, ■■■, Л от 1 до т

, (1) (2), Л Известно [9], что при существуют пределы

х {е , е } и независимо от распределения

(Г0, к0, %0) имеет место предельное соотноше- вариант (аг2Ъ,1 ^ + аг2Ъ,1 ^ + + ••• + а12Ь,1)Ь и

ние (10). (а(2Ъ-2) + а(2Ь~4 + . + а(0)1 )Ъ_, равные стацио-

Доказательство. Выберем числа 01, 02, ..., 0т 2Ъ, 2Ъ, 2Ь,

— решение системы нарной вероятности а 1 состояния е('1). Выбирая Ь

достаточно большим, можно сделать так, чтобы знак

выражения (12) совпал со знаком выражения

х . т _ т 2 ______ т т 2 _____

Тогда 0 = (01,02,., 0т )т = (1т _ Р) _1(Р + ЕР 1 Е0г Е—Г1 )а1 + ЕР 1 Е0г Е—Г1 )а1 +

1=1 г=1 1=1 1=( Г=1 1=1

в1 =ЕвгР1,г +Р1 +Р1 , 1 = 1, 2, ., т . (11)

Г=1

+Р )Т > 0 . Выберем функции У1 — У1 (и) (действи

т ( т Л т _ _

тельного) переменного и, удовлетворяющие усло- + Е| Е0гр„ _01 |=Е (Р1+Р,)(0Т (а1—(1) + виям: у1 (0) = 1, у'-(0) = 01, 1 = 1, 2, ..., т . Вы- 1=1^Г=1 / 1=1

числим производную по и от выражения, стоящего Т(2)\ 1\ ^ 7 рТ\_1

1Т, . , ч ... + а2— ) _ 1) = Е(Р 1 +Р1 )((Р + Р)(1т _Р ) х

сомножителем перед т. (У, п, 12ь ) в неравенстве (5): 1=1

^ (Е(1)a,гъ,,гъ—1 -аиЧ51'1)(у)ч511'>(у) х х(а1—(11 + а2— 2)) _1) > °. (13)

Тогда существует такое значение и < 0, что

х лЛ(у>-«Чг)(у )«‘Ъ-Ъ )(у) 1у )},т

0 < Уї (и*) < 1

и

вГ(Е(1)аі2Ъ,і 2Ъ—1 '^а і2,іі(т)Р11 + АГ2)р 11 + К+ = тах -]х(1)

Г=1 і2Ь =1,2

+ + АГ4)Р 12 + Рі2,г — 5 12,гР 1т,г — 5 1 ,г + Х аи Л4иі)(у(и* » ЧЇ2)(у(и* »К, (у(и* » Х

x q;(2'3)(v(u*))q(l4)(v(u ))Rh(v(u*))• • • qjb2b-1) x x (v(u* ))q(;'2b }(v(u*)) R;b (v(u*)) ]< 1.

Отметим, что ff \vj (u*)) < 1. Образуем числовую последовательность

Mo = E^o(v(u*),n,k), Ml = ]T^i(v(u*),n,k),

k=1 k=1

M2b_i = E ^2b-1(v(u*), П,k), Ml+2b = R+ Mt, k=1

i = 0, 1, ... При всех i имеет место оценка

0 < E2=1 ^ (v(u *), n, k) < Mi . Но Mt ^ 0 при

1 ^ да . Это c необходимостью приводит нас к (10). Теорема доказана.

В работе [4, с. 94] доказано, что если предельное соотношение (10) имеет место для всех

(Г( s), x, e(k)) еГх X х {e(1), e(2)} и независимо от

распределения (Г0, к0, %0) , то последовательность

{е тт=1к л;i=o, l, ■ неограниченно возрастает.

Таким образом, ограниченность последовательности среднего числа требований в системе является достаточным условием существования стационарного распределения.

Теорема 2. Пусть (Р + Р)(Im — PT) ^a^1 +

+ a2X(2)) < 1. Тогда последовательность

{E Em=1 к j i; i = 0,1, ■■■} ограничена и марковская

цепь (1) имеет единственное стационарное распределение.

Доказательство. Пусть vj = vj(u) , j = 1, 2, ..., m, суть функции (комплексного) переменного u такие, что vj (0) = 1 и v* (0) = 0 j , а числа 01, ©2, ..., 0m удовлетворяют системе (11). Тогда существуют такое число u** > 0 и натуральное b , что выполняются неравенства 1 < v j (u** ) < 1 + 8 ( j = 1, 2, ., m) и

R = max )V(1)a, , a, , •••a, , x

+ > V-l l2b ,‘2b-1 ‘2b-1,‘2b-2 ‘2,‘1

l2 b = 1, 2

x qjf)(v(um))qj\v(u**))Rj1 (v(u**))qj2'3)(v(u**)) x x q(j-24)(v(u**)) R]2 (v(u“)) • • -j b-1)(v(u")) x x qjb\v(u*)) Rj (v(u" ))]< 1.

Предположим, что в условиях теоремы независимо от распределения (Г0, к0, %0) имеет место равенство (10). Выберем распределение (Г0, к0, %0) так, чтобы ряды T0(v, s, k) сходились в области | v*- |< 1 + 8 , 8 > 0 . Образуем последовательность

M0=!L %(v(u“), n, k),

= Е2=1 Т (у(и**), п, к),...,

М 2 Ь_1 =12=1 Т2Ь_1(У(и** ), п, к),

~ 2 т

М'+2Ь = ~+М'г+ Е Еа12,11 q^(^)(у(u**)) х

11,12 =1 3\ =1 —(12)

х Ч(112)(у (и**)) (у) /112)(ул (и**)) _ 1) +

— +

2т

+ Е Е а14,13 а13,12 а12,11 Ч?)(у(и** ))ч('1)(у(и*)) х

11,1213 ,14 =1 Л, 12 =1

х (У(и“))Ч;(21з)(у(и**))ч('4)(у(и**))(у(и**)) х

—(14)

х—(р(/^(и")) _ 1) + ••• +

2т

+ Е Еа12Ъ,12Ъ_1 а12Ъ_(,l2Ъ—2 ' ' Я х

11,12,^.,12Ъ =1 ./2,— ,ТЪ =1

х Ч^Уи"))(у)Ч;(21з)(у(и**))g(/24)(у(u’“)) х хЯУ2(у(и**))^^^qjIb2Ъ-l)(у(u**))Ч(Ъ2Ъ)(у(и**)) х —^Ь ) х *1Ъ (У(и** )) —(Ъ ( 1 Ъ )(У1Ъ (и** )) _ 1).

Эта последовательность сходится, следовательно, ограничена. Кроме того, для всех г = 0, 1, ... имеем

0 — Е Т (у(и**), п, к) — , а значит, существует

число М' такое, что для всех г, к, 5

(у(и**), п, к) < М'. Теперь последовательность средних ограничена вследствие интегральной формулы Коши. Теорема доказана.

Рассмотрим декартову плоскость, отмечая по оси

абсцисс величину (Р + Р )(1т _ Р Т )_1 —(1), а по оси

ординат величину (Р + Р )(1т _ РТ) 1 —(2). По теореме 2 область существования стационарного распределения последовательности (1) имеет вид внутренности прямоугольного треугольника с вершинами

(0,0), (а_1,0), (0, а^,1). Можно убедиться, что область, приведённая в работе [5], целиком содержится в указанном треугольнике. В то же время вне указанного треугольника по теореме 2 стационарного распределения существовать не может. Область существования стационарного распределения установлена.

Список литературы

1. Куделин А.Н., Федоткин М.А. Управление конфликтными потоками в случайной среде по информации о наличии очереди // Деп. в ВИНИТИ. 1996. № 1717-В-96.

2. Куделин А.Н., Федоткин М.А. Предельные теоремы для систем управления потоками в случайной среде в классе алгоритмов с упреждением // Деп. в ВИНИТИ. 1996. № 2593-В-96.

3. Зорин А.В., Федоткин М.А. Анализ процессов с разделением времени // Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского. Серия Математика. 2003. Т. 1. № 1. С. 18-28.

4. Зорин А.В., Федоткин М.А. Анализ и оптимизация процессов с разделением времени, функционирующих в случайной среде // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Серия Математика. 2004. № 1. С. 92-103.

5. Зорин А.В., Федоткин М.А. Оптимизация управления дважды стохастическими неординарными потоками в системах с разделением времени // Автоматика и телемеханика. 2005. № 7. С. 102-111.

6. Зорин А.В. О стационарном режиме системы разделения времени с ветвящимися потоками вторичных требований, формируемыми в случайной среде // Вестник ННГУ им. Н.И. Лобачевского. Серия Математика. 2006. Вып. 1(4) С. 38-48.

7. Федоткин М.А. Оптимальное управление конфликтными потоками и маркированные точечные процессы с выделенной дискретной компонентой.

Ч. II // Литовский математический сборник. 1989. Т. 29. № 1. С. 148-159.

8. Ширяев А.Н. Вероятность. В 2-х кн. Кн. 2 М.: МЦНМО, 2004. 408 с.

9. Дуб Дж. Вероятностные процессы. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1956 г. 605 с.

ITERATIVE MAJORANT METHOD TO PROVE LIMIT THEOREMS FOR SERVICE PROCESS OF CONFLICT FLOWS IN RANDOM ENVIRONMENT

A. V. Zorine

Taking as an example a time-sharing queuing system for servicing conflict flows of varying structure with readjustments it is demonstrated that the averaging of the external random environment’s influence should be taken into account to effectively apply iterative majorant method for obtaining the conditions for stationary mode existence. New conditions for the stationary mode existence are proved.