О достаточных признаках экспоненциальной устойчивости автономного уравнения с последействием Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.929 © А. С. Баландин

О ДОСТАТОЧНЫХ ПРИЗНАКАХ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ АВТОНОМНОГО УРАВНЕНИЯ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ

Для автономного линейного дифференциального уравнения с несколькими запаздываниями предлагаются эффективные достаточные признаки экспоненциальной устойчивости.

Ключевые слова: дифференциально-разностное уравнение, экспоненциальная устойчивость, фундаментальное решение.

Рассмотрим дифференциально-разностное уравнение

Еко ^—,шо С

Ьк х(£ - Рк) + >^ Ст х(з) йз = 0, £ € М+, (1)

к= 1 *—^т= 1 1+ „

и 1 — Чт

где ко, то € М, Ьк, ст, Рк, дт € М+. При отрицательных значениях аргумента функцию х

полагаем равной нулю.

Под решением уравнения (1) будем понимать абсолютно непрерывную на каждом конечном отрезке функцию х, удовлетворяющую (1) почти всюду на М+.

Как известно (см. [1, с. 89-90]), уравнение (1) экспоненциально устойчиво, если существуют такие Ж, а > 0, что при всех £ € К+ справедливо неравенство |Х(£)| ^ Же-"*, где X(£) — фундаментальное решение, являющееся решением уравнения (1) при х(0) = 1.

Исследование экспоненциальной устойчивости для автономных уравнений традиционно сводят к вопросу о расположении нулей характеристической функции относительно мнимой оси. Если параметры уравнения заданы численно, то вопрос об устойчивости любого уравнения вида (1) легко решается. Но если ставится задача описать область устойчивости в пространстве параметров, то сложность задачи резко возрастает. Например, в работе [2] была предпринята попытка найти необходимые и достаточные условия устойчивости уравнения (1) в случае двух сосредоточенных слагаемых. Это исследование показало, что эффективное описание области устойчивости возможно лишь при небольших отношениях запаздываний, и с увеличением этого отношения структура области сильно усложняется: бесконечно увеличивается количество звеньев, из которых составлена граница области устойчивости, и нет возможности хоть как-то упорядочить эти звенья. И это в двумерном случае! В многомерном случае также легко получить уравнения, которым удовлетворяет граница области устойчивости, но определить, между какими частями этой границы находится область устойчивости, оказывается чрезвычайно сложной задачей. Поэтому наряду с получением критериев устойчивости целесообразно использовать достаточные признаки.

Рассмотрим уравнение (1), содержащее только сосредоточенные запаздывания. В работе [3] для таких уравнений был получен следующий результат.

Теорема 1 (см. [3]). Пусть ст = 0, т = 1,2,..., то, и 1 ЬкРк < §• Тогда уравнение (1) экспоненциально устойчиво.

Заметим, что этот признак удобен в применении, справедлив для любого количества слагаемых и обращается в критерий в случае одного слагаемого [4].

Теперь рассмотрим уравнение (1), содержащее только распределённые запаздывания. Оказалось, что для таких уравнений можно получить аналог теоремы 1.

Теорема 2. Пусть Ьк = 0, к = 1, 2,..., ко, и ^2т=1 стЧт < Тогда уравнение (1) экспоненциально устойчиво.

Этот признак также превращается в критерий в случае одного слагаемого [5].

Теперь попытаемся объединить результаты рассмотренных случаев. Естественно предположить, что для уравнения (1) достаточным условием экспоненциальной оценки будет условие

2 ко 2 'дао 2 /„ч

_ / Ji. 1 ^кРк Н 2 / у 1 CmQm < 1- (2)

П ^'к=1 П2 —'m,= 1

К сожалению, гипотеза оказывается неверной даже в простых случаях. Например, для уравнения X(t) + 0.39x(t — 2)+0.27 Jt_ 3 x(s) ds = 0 условие (2) выполняется, но уравнение неустойчиво.

Поиски достаточного признака, подходящего под сформулированные выше условия привели к двум вариантам.

1 вариант. Пусть Aq = ^ (cos s + s sin s), где s определяется из системы уравнений

Г sins -scoss = 1(2- ctg f) (|еЦЦ)

[ COS S + S sin S = | (| + 2 ctg | | ctg2 I)

при t € (2.8, 2.9), s € (1.8,1.9).

Теорема 3. Если ^ J2k= 1 ^kPk + ^2 Sm=l cm<?m < A) (~ 0, 97), то уравнение (1) экспоненциально устойчиво.

В теореме 3 удалось сохранить вид легко проверяемого неравенства (2), но пришлось понизить ограничивающую константу.

2 вариант. Введем в системе координат Ouv кривую

„ = <psin(q<p) gVcosy /1 („„ll

cos (р—cos((l—q)<p) 5 cos (p—cos((l — q)ip) 5 ^ \2J j

где q(p) — неявно заданная функция, определяемая равенством 2 cos p — (2 + qtp2) cos((1 — q)p) + p(2 sin p — (2 — q) sin((l — q)p)) = 0 при q € (1.5,1.6) и p € [f, t£>o], a po & 2.01519 — корень уравнения (п — 4p) tg p = 4 + np на отрезке [2, 3]. Область, ограниченную кривой и осями координат, назовем D.

Теорема 4. Пусть точка | ^fc=i bkPk ,Y1 m=i Cmq^j принадлежит области D. Тогда уравнение (1) экспоненциально устойчиво.

Криволинейная граница dD замечательна тем, что для каждой ее точки M(uo, Vo) найдутся такие пары (b,p) и (c, q), bp = uo, cq2 = Vo, что точка является границей области экспоненциальной устойчивости уравнения X(t) + bx(t — p) + c Jt_q x(s) ds = 0.

Список литературы

1. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 280 с.

2. Levitskaya I.S. Stability domain of a linear differential equation with two delays // Computers and Math. with Appl. 2006. Vol. 51. № 1. P. 153-159.

3. Vaguina M.Yu., Kipnis M.M. Stability of the zero solution of delay differential equations // Math. Notes. Vol. 74. № 5-6. P. 740-743.

4. Андронов А.А., Майер А.Т. Простейшие линейные системы с запаздыванием // Автоматика и телемеханика. 1946. Т. 7. № 2, 3. С. 95-106.

5. de Oliveira J.C.F., Carvalho L.A.V. A Lyapunov functional for a retarded differential equation // SIAM. J. Math. Anal. 1985. № 16. P. 1295-1305.

Поступила в редакцию 14.02.2012

A. S. Balandin

On sufficient conditions of exponential stability for a autonomоus equation with aftereffect

The effective sufficient conditions of exponential stability are proposed for a autonomоus linear differential equation with some delays.

Keywords: differential difference equation, exponential stability, fundamental solution.

Mathematical Subject Classifications: 34K06, 34K20

Баландин Антон Сергеевич, м.н.с., научно-исследовательский центр функционально-дифференциальных уравнений, Пермский национальный исследовательский политехнический университет, 614990, Россия, г. Пермь, Комсомольский пр., 29. E-mail: [email protected]

Balandin Anton Sergeevich, Junior Researcher, Perm National Research Polytechnic University, Komsomolskii pr., 29, Perm, 614990, Russia