Об абсолютной устойчивости автономного линейного дифференциального уравнения с запаздыванием Текст научной статьи по специальности «Математика»

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа осуществлена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты № 09-01-00619, № 11—01-00626), и также при финансовой поддержке FCT (Португалия), проекты PTDC/EEA-ACR/75242/2006, SFRH/BPD/26231/2006.

Arutyunov A.V., Karamzin D. Yu., Pereira F. Pontryagin’s Maximum Principle for impulsive control problems. Necessary conditions in the form of Pontryagin’s Maximum Principle are derived for impulsive control problems with mixed constraints. A new mathematical concept of impulsive control is introduced as a requirement for the consistency of the impulsive framework. Additionally, this control concept enables the incorporation of the engineering needs to consider conventional control action while the impulse develops. The regularity assumptions under which the Maximum Principle is proved are weaker than those in the known literature. Ekeland’s Variational Principle and Lebesgue’s discontinuous time variable change are used in the proof. The article also contains an example showing how such impulsive controls could be relevant in actual applications.

Key words: impulsive control; maximum principle.

Арутюнов Арам Владимирович, Российский университет Дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой дифференциальных уравнений и функционального анализа, e-mail: [email protected].

Карамзин Дмитрий Юрьевич, Вычислительный центр РАН, г. Москва, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, e-mail: [email protected].

Фернандо Перейра, Университет Порту, г. Порту, Португалия, профессор, e-mail: [email protected].

УДК 517.929

ОБ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ АВТОНОМНОГО ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

© А.С. Баландин

Ключевые слова: дифференциально-разностное уравнение; устойчивость; фундаментальное решение.

Рассматривается семейство автономных линейных дифференциальных уравнений с запаздыванием. Семейство задается по параметрам уравнения, принадлежащим некоторому множеству. В работе исследуется устойчивость семейства уравнений, под которой понимается устойчивость решений всех уравнений, принадлежащих данному семейству.

Пусть R = (—то, +то), R+ = [0, +то).

Рассмотрим дифференциально-разностное уравнение

x(t)+bix(t — Pi)+b2x(t — Р2) = f (t), t e R+, (1)

где bi,b2 e R, Pi,P2 e R+, f: R+ ^ R — локально суммируемая функция. При отри-

x

нения (1) будем понимать [1, с. 9] абсолютно непрерывную функцию, удовлетворяющую (1) почти всюду на R+.

Как известно [2, с. 84, теорема 1.1], уравнение (1) с заданными начальными условиями при любой правой части однозначно разрешимо и его решение представимо в виде:

x(t) = X(t)x(0) + f X(t — s)f (s) ds. (2)

J 0

Функция X: R+ ^ R называется фундаментальным решением и является решением уравнения (1) при x(0) = 1 и f = 0. Равенство (2) показывает, что устойчивость любого решения уравнения (1) определяется асимптотическими свойствами фундаментального решения, из которых основным является наличие экспоненциальной оценки.

Будем говорить, что фундаментальное решение уравнения (1) имеет экспоненциальную оценку, если существуют такие N,a > 0, что при всех t Е R+ справедливо неравенство \X(t)| < Ne-at.

Если в уравнении (1) pi = p2 = р, то фундаментальное решение имеет экспоненциальную оценку тогда и только тогда, когда (bi + fo)p < п/2 ; следовательно, основное внимание следует уделить случаю pi = р2. Для определенности будем считать, что pi < р2. Заменой аргумента в фундаментальном решении можно перейти от первоначальной постановки к изучению свойств решения уравнения

X(t) + ax(t — 1) + bx(t — p) = 0, t Е R+. (3)

Здесь а = bipi, b = b2pi, p = p2/pi, p Е (1, ж).

В работе [2] была предпринята попытка найти необходимые и достаточные условия устойчивости уравнения (3). Это исследование показало, что эффективное описание об-

pp

сильно усложняется, т. к. бесконечно увеличивается количество звеньев, из которых состав-

p

использовать область, являющуюся пересечением областей устойчивости для всех p ^ 1,

p,

p

но, а пробегает все значения из множества (1, ж), и будем искать область на плоскости (a,b), попадание в которую гарантировало бы экспоненциальную оценку для всех фундаментальных решений {Xp}p>i данного семейства.

Пусть b = в (а) — функция, заданная параметрически следующими равенствами:

{а = р cos(arctan р) csc(р + arctan р),

, . . 0 <р <2. b = р cos р csc(p + arctan р),

(3)

\b\ < а, 0 <а ^ 1/2, \b\ <в(а), 1/2 <а<п/2. (4)

Тогда, при любом p Е (1, ж) фундаментальное решение Xp семейства уравнений (3) имеет экспоненциальную оценку.

Неравенства (4) задают на плоскости непустую область (рис. 1).

Область устойчивости, определённую неравенствами (4), можно использовать как достаточный признак устойчивости уравнения (1), причём чем больше отношение p2/pi, тем ближе признак к критерию, т. е. признак выгодно использовать при больших p2/pi. Теорему 1 удобно сочетать с полученными в работе [2] критериями устойчивости для случаев, когда 1 ^ p2/pi ^ 5, или с признаком о «симплексе устойчивости», установленном в работе [3]. Этот признак гарантирует устойчивость уравнения (1) при выполнении неравенств bipi + b2p2 < п/2, bi, b2 ^ 0, И его тоже ВЫГОДНО использовать при небольших p2/pi.

Рис. 1. Область устойчивости семейства уравнений (3) при p > 1

ЛИТЕРАТУРА

1. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991.

2. Levitskaya I.S. Stability Domain of a Linear Differential Equation with Two Delays // Computers and Math, with appl. 2006. V. 51. № 1. P. 153-159.

3. Vaguina M. Yu., Kipnis M.M. Stability of the Zero Solution of Delay Differential Equations // Math. Notes. V. 74. № 5-6. P. 740-743.

Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.

Balandin A.S. On absolute stability of linear autonomous differential-difference equation. We consider a family of linear autonomous differential-difference equations with delay. A parametric family is understood the family of equations, where all of parameters belong to a fixed set. The family of equations is stable, if all equations of the family are stable. In paper the stability of the family of equations is studied.

Key words: differential-difference equation; stability; fundamental solution.

Баландин Антон Сергеевич, Пермский государственный технический университет, г. Пермь, Российская Федерация, младший научный сотрудник научно-исследовательского центра «Функционально-дифференциальные уравнения», e-mail: [email protected].

УДК 517.929

О РАЗРЕШИМОСТИ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ

© Е.И. Бравый

Ключевые слова: периодическая краевая задача; функционально-дифференциальные уравнения; наилучшие константы; положительные операторы; однозначная разрешимость.

Рассматриваются семейства линейных функционально-дифференциальных уравнений с положительными операторами заданной нормы. Известные необходимые и достаточные условия однозначной разрешимости периодической краевой задачи для уравнений с операторами, действующими в пространство суммируемых функций, дополняются условиями для операторов, действующих в пространство ограниченных в существенном функций. Найдены наилучшие константы в условиях разрешимости.