О разрешимости периодической краевой задачи для линейных функционально-дифференциальных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Рис. 1. Область устойчивости семейства уравнений (3) при p > 1

ЛИТЕРАТУРА

1. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991.

2. Levitskaya I.S. Stability Domain of a Linear Differential Equation with Two Delays // Computers and Math, with appl. 2006. V. 51. № 1. P. 153-159.

3. Vaguina M. Yu., Kipnis M.M. Stability of the Zero Solution of Delay Differential Equations // Math. Notes. V. 74. № 5-6. P. 740-743.

Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.

Balandin A.S. On absolute stability of linear autonomous differential-difference equation. We consider a family of linear autonomous differential-difference equations with delay. A parametric family is understood the family of equations, where all of parameters belong to a fixed set. The family of equations is stable, if all equations of the family are stable. In paper the stability of the family of equations is studied.

Key words: differential-difference equation; stability; fundamental solution.

Баландин Антон Сергеевич, Пермский государственный технический университет, г. Пермь, Российская Федерация, младший научный сотрудник научно-исследовательского центра «Функционально-дифференциальные уравнения», e-mail: balandin-anton@yandex.ru.

УДК 517.929

О РАЗРЕШИМОСТИ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ © Е.И. Бравый

Ключевые слова: периодическая краевая задача; функционально-дифференциальные уравнения; наилучшие константы; положительные операторы; однозначная разрешимость.

Рассматриваются семейства линейных функционально-дифференциальных уравнений с положительными операторами заданной нормы. Известные необходимые и достаточные условия однозначной разрешимости периодической краевой задачи для уравнений с операторами, действующими в пространство суммируемых функций, дополняются условиями для операторов, действующих в пространство ограниченных в существенном функций. Найдены наилучшие константы в условиях разрешимости.

Рассмотрим периодическую краевую задачу:

х(п)(Ь) = (Т+х)(Ь) — (Т-х)(Ь) + /(Ь), Ь Є [а, Ь], х(г-1)(а) = х(г-1)(Ь), і = 1,...,п.

(1)

Пусть сначала / Є Ь[а, Ь], линейные положительные операторы Т+ Т-

пространства вещественных непрерывных функций С[а, Ь] с нормой || х\\ = тах |х(в)|

«е[а,Ь|

в пространство вещественных суммируемых функций Ь[а, Ь] с нормой || г\\ = |^(в)| йв

(положительные операторы отображают неотрицательные функции в почти всюду неотрицательные, норма положительного оператора Т : С[а, Ь] ^ Ь[а, Ь] определена равенством II ТЦс^ь = /„(Т 1)(в) йв). Решением задачи (1) называется вещественная функция с абсо-

п — 1,

ческим краевым условиям и, при почти всех Ь Є [а, Ь], функционально-дифференциальному уравнению краевой задачи.

Точные условия однозначной разрешимости периодической краевой задачи (1) для семейств линейных функционально-дифференциальных уравнений с положительными операторами заданной нормы получены сравнительно недавно в работах [1-5].

Теоремаї ([1-5]). Пусть заданы различные неотрицательные числа Т+, Т-.

(1)

/ Є Ь[а, Ь] при всех таких линейных положительных операторах Т +, Т- : С [а, Ь] ^ Ь[а, Ь], что

|| Т+Нс^ь = Т+, || Т-цм = Т-,

необходимо и достаточно, чтобы

У < X < 2(1 + VI — У), (2)

1- У

где

X = Мп(Ь — а)п-1 тах(Т +, Т-), У = Мп(Ь — а)п-1 тіп(Т +, Т-),

(—1)т4п-1(П — 1)!, П = 2т + 1,

Мп =

(—1)т+Ц( 1 — _М Щ., п = 2т, 1 2п п!

Вп — числа Бернулли, Еп — числа Эйлера,.

При п = 1 знаки в неравенстве (2) меняются на «строгие».

Имеем: Иг = 1, М2 = 1/4, Мз = 1/32, М4 = 1/192, М5 = 5/6144, ... .

Здесь будут получены условия однозначной разрешимости задачи (1) в случае, когда функция / принадлежит пространству ограниченных в существенном функций Ьте[а, Ь], а операторы Т+ и Т действуют в пространство [а, Ь]. Норма положительного оператора

Т : С[а, Ь] ^ [а, Ь] определена равенством || Т= ^гга1 8иР«е[«,ь](Т 1)(8).

Для операторов Т+, Т- : С[а, Ь] ^ Ьте[а, Ь] неулучшаемые условия разрешимости периодической задачи (1) еще не были известны (например, в [6] приведены только достаточные условия). Новые необходимые и достаточные условия разрешимости оказались в некотором смысле гораздо проще неравенств (2).

Теорема 2. Пуст ь п = 1 или п = 2. Пуст ь заданы различные неотрицательные числа Т +, Т-. Для того чтобы краевая задача (1) имела единственное решение при каждой функции / Е ^^[а^] при всех таких линейных положительных операторах Т +, Т- : С [а, Ь] ^ Ь^[а, Ь], что

Т+1 = Т+, Т-1 = Г-,

необходимо и достаточно, чтобы

T + + T- <

4

Ъ — а

, если n

= 1; T+ + T- <

32

— аУ

-, если n = 2 .

(3)

Отметим, что в условиях теоремы 1 необходимым (но, конечно, не достаточным) усло-(2)

T + + T- 4 T+ + T-

< -------, если n = 1 ; -;------<

16

Ъ a Ъ a

Ъ — а

(Ъ — а)2

n=2.

(3)

При п > 2 необходимые и достаточные условиях разрешимости периодической задачи (1) с операторами Т+, Т- : С[а, Ь] ^ Ьте[а, Ь] имеют вид

T + + T- <

Кп

(Ъ — а)га’

(4)

где константы Кп выражаются с помощью наилучших оценок функции Грина вспомогательной краевой задачи:

Kn =

(Ъ — a)n Г

------------ max

2 ti,t2 e[a,b] Ja

Gt1,t2 (9) dO/ф — a) — Gti,t2 (s)

ds,

где Gtl>t2(s) = G(ti, s) — G(t2, s), G(t, s) — функция Грина однозначно разрешимой задачи

x(n)(t) = f (t), t є [а,Ъ], x(a) = 0,

х(г-1')(а) = х(г-1)(Ъ), i = 1,...,n — 1 ^^ети n> 1).

Т.

задача (1) имела единственное решение при каждой функции / Є Ьте[а, Ь] при нулевом операторе Т- и при всех таких линейных положительных операторах Т + : С [а, Ь] ^

L^[a, Ъ], что 0 < || Т+||

^L0

^ T (или при нулевом операторе T+ и при всех таких

линейных положительных операторах T : C[a, Ъ] ^ [а, Ъ], что 0 < || T ||c^l^ ^ T),

необходимо и достаточно, чтобы

<

Kn

(Ъ — a)n

b

ЛИТЕРАТУРА

1. Hakl R., Lomtatidze A., Sremr J. Some boundary value problems for first order scalar functional differential equations. Brno: Masaryk University, 2002.

2. Mukhigulashvili S. On a periodic boundary value problem for third order linear functional differential equations // Nonlinear Anal. Theory, Methods, Appl. 2007, V. 66. № 2(A). P. 527-535.

3. Hakl R., Mukhigulashvili S. A periodic boundary value problem for functional differential equations of higher order // Georgian Math. J. 2009. V. 16. № 4. P. 651-665.

4. Bravyi E. On the solvability of resonance boundary value problems for functional differential equations with monotone operators // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. Тамбов, 2009. Т. 14. № 4. С. 665-667.

5. Бравый Е.И. О разрешимости периодической краевой задачи для линейного функционально-дифференциального уравнения // Вестник Удмуртского университета. Математика. 2009. Вып. 3. С. 12-24.

6. Осечкина Т.А. Однозначная разрешимость и знакопостоянство функции Грина периодической краевой задачи для линейного уравнения с отклоняющимся аргументом // Известия вузов. Математика. 1993. № 5. С. 86-94.

Поступила в редакцию 10 апреля 2011 г.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (проект № 10-01-96054-р-урал-а).

Bravyi E.I. On the solvability of the periodic boundary problem for linear functional differential equations. Collections of linear functional differential equations with positive operators are considered. If the operators act into the space of integrable functions, necessary and sufficient conditions for the unique solvability of the periodic problem are well known. We complement these conditions in the case when the operators act into the space of essentially bounded functions. The best constants in solvability conditions are found.

Key words: periodic boundary problem; functional differential equations; the best constants; positive operators; unique solvability.

Бравый Евгений Ильич, Пермский государственный технический университет, г. Пермь, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, e-mail: bravyi@perm.ru.

УДК 519.633.6

SOLVING THE WAVE EQUATION WITH MAT1AB © A.I. Bulgakov, E.V. Malyutina, A. Ponossov

Key words: numerical solution; explicit scheme; the number of Courant.

We study the numerical solution of the initial-boundary value problem for a wave equation.

We consider example of stable and unstable explicit scheme of the numerical solution.

We consider the following initial-boundary value problem for the wave equation:

utt = a2uxx + f (x, t) for xe (0,L), t e (0, to), (1)

u(x, 0) = p(x), ut(x, 0) = ф(х), (2)

u(0,t) = 0, u(L,t) = 0. (3)

The basic idea is to replace the derivatives involved in (l)-(3) by finite differences. We assume that (N + 1) is the number of the segmentation points in the x-direction; h = 1/N is the step

of grid (x-direction); xk = kh, k = 0, 1, ...,N; tj = jd, where j ^ 0, d is the time step.

Furthermore, the grid function v, with Vk,j= v(xk,tj), approximates u. Using known approximation, we can write the initial-boundary value problem in the following form:

d2 d2

vk,j+1 = vk,j-1 + h2 (vk-l,j + vk+1,j )+2(1 — h2 ^Vk,j + d2 fk,j, f°r k = 1,...N — 1,j ^ 1, (4)

From initial and boundary conditions we have:

vk,o = Vi, vk,i = vk,o + d^k , for k = 0, 1, ...,N,

vo,j = 0, vN,j = 0, for j ^ 0.