CC BY
12
УДК 519.174.7 + 519.154
А. Е. Звонарев2, А. М. Райгородский1,3,4
1 Кафедра дискретной математики факультета инноваций и высоких технологий МФТИ; 2 Кафедра теории вероятностей механико-математического факультета
МГУ им. М. В. Ломоносова;
3 Кафедра математической статистики механико-математического факультета
МГУ им. М. В. Ломоносова;
4 Отдел теоретических и прикладных исследований, ООО «Яндекс»
О дистанционных графах с большим хроматическим и малым кликовым числами
Работа связана с изучением хроматического числа х(Мп) евклидова пространства, которое определяется как минимальное количество цветов, необходимых для такой покраски точек Мп, что любые две точки, отстоящие друг от друга на расстояние 1, покрашены в разные цвета. Известно, что х(Мп) ^ (£ + о(1))п, где ( = 1.239... Это равносильно существованию п-мерного дистанционного графа (вершины — точки, ребра — отрезки длины 1) с хроматическим числом (( + о(1))п Мы доказываем гораздо большее: существуют дистанционные графы с хроматическим числом (£ + о(1))п и без клик растущего размера.
Ключевые слова: хроматическое число пространства, дистанционный граф, граф без клик, теория Рамсея.
1. Введение и формулировка результата
Назовем дистанционным графом, или графом расстояний, любой граф С = (V, Е), у которого
V С Мп, Е С {{х,у} : |х — у| = а}, а> 0.
Здесь |х — у| — обычное евклидово расстояние между векторами х, у. Желая подчеркнуть, что вершины графа принадлежат пространству размерности п, будем говорить об п-мерном дистанционном графе. Если IV| < то, то скажем явно, что граф расстояний конечный.
Напомним, что хроматическим числом графа С = (V, Е) называется величина х(С), равная наименьшему количеству цветов, в которые можно так покрасить элементы множества V, чтобы концы любого ребра из множества Е были разных цветов. В свою очередь обхватом графа С называется длина д(С) кратчайшего цикла в нем. Классическое утверждение П. Эрдеша (см. [1]) гласит, что для любых к,1 существует граф С, у которого Х(С) > к, д(С) > I. Утверждение доказывается с помощью вероятностного метода.
Основной вопрос настоящей работы: что служит естественным аналогом утверждения Эрдеша для дистанционных графов? Этот вопрос тесно связан с известной проблемой Нелсона-Хадвигера. Эта проблема состоит в отыскании хроматического числа пространства Мп, т.е. величины х(Мп), равной наименьшему количеству цветов, в которые можно так покрасить все точки Мп, чтобы между одноцветными точками не было расстояния 1. В терминах дистанционных графов х(Мп) — это хроматическое число графа расстояний, у которого V = Мп. А поскольку, как нетрудно видеть, х(Мп) < то, некоторые соображения
Настоящая работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ № 12-01-00683, гранта Президента РФ № ЫД-666.2012.1 и гранта НШ-2519.2012.1 поддержки ведущих научных школ.
компактности (см. [2]) показывают, что хроматическое число пространства достигается на конечном п-мерном дистанционном графе.
Сейчас известно, что
(С + о(1))п ^ х(Кга) ^ (3 + о(1))п, С = 1.239 ...
Нижняя оценка принадлежит А. М. Райгородскому (см. [3]), верхняя — Д. Ларману и К. А. Роджерсу (см. [4]).
В терминах графов расстояний нижнюю оценку можно сформулировать так: существует функция 8 = 8(п), стремящаяся к нулю при п ^ то, и такая последовательность конечных п-мерных дистанционных графов Оп, что х(Оп) ^ (С + 8(п))п.
Назовем кликой в графе любой полный подграф в нем, а кликовым числом графа — число вершин в самой большой клике. Заметим, что клика в графе расстояний — это симплекс. Обозначим кликовое число графа О через ш(С). Естественный аналог утверждения Эрдеша в дистанционном случае звучит примерно так: существует последовательность конечных п-мерных графов расстояний Оп, у которых кликовые числа «маленькие», а хроматические числа растут экспоненциально.
В работах [5—8] изучались величины
с (к) = виріс : з 8(п) = о(1), V п, 3 О в Еп, ш(С) < к, х(О) ^ (С + 8(п))п}.
Для этих величин получены достаточно хорошие оценки. Для нас сейчас важно то, что, как видно из этих оценок, £ (к) ^ С при к ^ то. В настоящей работе мы докажем следующую теорему.
Теорема 1. Пусть к = к(п) — любая функция, стремящаяся к бесконечности с ростом п. Тогда существуют функция 8 = 8(п), стремящаяся к нулю при п ^ то, и такая последовательность конечных п-мерных дистанционных графов Оп, что х(Оп) ^ ^ (С + 8(п))п и ш(Сп) ^ к(п).
Пафос теоремы в том, что константа в основании экспоненты, которая служит оценкой для хроматического числа, в точности равна величине £, а не просто «близка» к ней. И для этого достаточен любой сколь угодно медленный рост верхней границы к(п) для кликового числа.
Теорему 1 мы докажем в следующем разделе. А в завершение этого раздела скажем, что с проблемой Нелсона-Хадвигера можно ознакомиться по обзорам [9, 10] и по книгам [11-16].
2. Доказательство теоремы 1
Зафиксируем произвольную функцию к = к(п), стремящуюся к бесконечности с ростом п.
Пусть для начала а и Ь < а — произвольные числа из интервала (0,1/2). Для каждой пары таких чисел рассмотрим последовательность множеств
К(а,Ь) = {х = (хі,... ,Хп) : X Є {-1, 0,1}, ||і : х = 1}| = [ап], |{і : х = -1}| = [Ьп]}.
Здесь [х] — целая часть числа х. Стандартные вычисления с применением формулы Стирлинга показывают, что |^П(а,Ь)| = (в(а,Ь) + о(1))п, где в(а,Ь) > 1. Пусть р — минимальное простое число, такое, что [ап] + [Ьп] — 2р < — 2[Ьп]. Обозначив через (х, у) евклидово скалярное произведение векторов, положим
Еп(а,Ь) = {{х, у} : х, у Є К(а,Ь), (х, у) = [ап] + [Ьп] — р}.
Образовалась последовательность конечных п-мерных дистанционных графов Оп(а, Ь) = (К(а,Ь), Еп(а,Ь)).
Назовем множество Ш С V вершин какого-либо графа О = (V, Е) независимым, если никакие два его элемента не соединены ребром из множества Е. Размер любого из максимальных по мощности независимых множеств в графе О обозначим через а(О) и будем говорить, что а(О) — число независимости данного графа. В определенном смысле независимые множества — это «антиклики»; именно поэтому число независимости и кликовое число принято обозначать первой и последней буквами греческого алфавита.
В работе [3] показано, что а(Оп(а,Ь)) ^ (7(а, Ь) + о(1))п, где 1 < 7(а, Ь) < в(а,Ь) (более подробно нужные выкладки проведены в [12]). В то же время практически очевидно, что
Х(С) ^ “ттіг для любого графа С = (V, Е). В нашем случае, стало быть, а(О)
(Г1 ( іих (Р(а,ъ) , ^
*(С“(а-ад ^ (7(а,6)+о(1))" = (^6) + °(1)
Как доказано все в тех же [3, 12], значение
/3(а,Ь) тах ———
7(а, Ь)
достигается при ао = 0.36063... и Ьо = 0.063... (ао и Ьо служат решениями некоторой
системы трансцендентных уравнений), и оно в точности равно £. Если бы было заодно
выполнено неравенство ш(Оп) ^ к, то говорить было бы дальше не о чем. Однако в графах
Оп полно к-клик.
Применим вероятностный метод. Рассмотрим Оп = Оп(а0,Ь0). Пусть в = в(а0,Ь0), 7 = 7(а0,Ь0), N = |^(а0,Ь0)|. Положим р = N-3/й. Поскольку, очевидно, р Є (0,1], эту величину можно интерпретировать как вероятность. А именно, мы будем удалять ребра графа Оп независимо друг от друга с вероятностью 1 — р. Получится случайный граф. Если мы докажем, что с положительной вероятностью у этого графа нет к-клик и его число независимости не превосходит (7 + о(1))п, то мы найдем нужный нам граф и теорема будет доказана.
Положим _ _
I
Р
а(Сп)іпЖ
Р
Имеем
I - 5а(Сп)^3/к 1пN ^ 5Ж3/к(1пN)(7 + о(1))п = (в + о(1))3п/к(7 + о(1))п = (7 + о(1))п,
т.к. к ^ то (разумеется, здесь все величины о(1) разные).
Докажем, что с положительной вероятностью у случайного графа С одновременно ш(С) < к и а(С) < /. Ясно, что этого хватит для завершения доказательства теоремы.
Обозначим через Хп число к-клик в случайном графе, а через — число независимых множеств размера I в нем. Ввиду неравенства Маркова достаточно получить оценки МХп < ^ и МУ„ < ^ при больших п, где М — математическое ожидание. Имеем
мхп ^ скмРсъ ^ = ык ■ ы-1^к~1) 0.
Вместе с тем
МУп = ^ (1 — руН^Ке- х,уєА}|.
АсУп, |А=
В работе [7] доказана оценка
/2
|{{х,у} е Еп: Х,у G А}| ^
4a(G„) Из нее следует, что
I In N-—^2-
MYn ^ClN( 1 - p)4a(G„) ^ Nle 4“(G«) = e 4“(G«).
Но
pl ^ 1.25 In iV,
4a(Gn )
так что
/In iV — ЛР!*^ —0.25/ In iV —>■ -oo, MYn^0,
4a(Gn)
и теорема доказана.
Литература
1. Erdos P. Graph theory and probability // Canadian Mathematical Bullettin.— 1959.— V. 11.-P. 34-38.
2. de Bruijn N. G., Erdos P. A colour problem for infinite graphs and a problem in the theory of relations // Proc. Koninkl. Nederl. Acad. Wet. Ser. A. — 1951. — V. 54, N 5. — P. 371-373.
3. Райгородский А. М. О хроматическом числе пространства // УМН. — 2000. — Т. 55, вып. 2. — С. 147-148.
4. Larman D. G., Rogers C. A. The realization of distances within sets in Euclidean space // Mathematika. — 1972. — V. 19. — P. 1-24.
5. Райгородский А. М. О дистанционных графах с большим хроматическим числом, не содержащих больших симплексов // УМН. — 2007.— Т. 62, вып. 6.— С. 187—188.
6. Raigorodskii A. M., Rubanov O. I. On the clique and the chromatic numbers of highdimensional distance graphs // Number Theory and Applications: Proceedings of the International Conferences on Number Theory and Cryptography — S.D. Adhikari and B. Ramakrishnan, Harish-Chandra Research Institute, Editors — A publication of Hindustan Book Agency.-2009.-P. 149-157.
7. Райгородский А. М., Рубанов О. И. О графах расстояний с большим хроматическим числом и без больших клик // Матем. заметки.— 2010.— Т. 87, № 3.— С. 417—428.
8. Демехин Е. Е., Райгородский А. М., Рубанов О. И. Графы расстояний, имеющие большие хроматические числа и не содержащие клик или циклов заданного размера // Матем. сборник.— Принято в печать.
9. Райгородский А. М. Проблема Борсука и хроматические числа метрических про-
странств // УМН. — 2001.— Т. 56, вып. 1. — С. 107-146.
10. Szekely L. A. Erdos on unit distances and the Szemeredi-Trotter theorems // J. Bolyai Math. Soc. — 2002. — V. 11. — P. 649-666.
11. Райгородский А. М. Хроматические числа. — М.: МЦНМО, 2003.
12. Райгородский А. М. Линейно-алгебраический метод в комбинаторике. — М.:
МЦНМО, 2007.
2
13. Agarwal P. K., Pach J. Combinatorial geometry. — New York: John Wiley and Sons Inc., 1995.
14. Klee V., Wagon S. Old and new unsolved problems in plane geometry and number theory. — Math. Association of America, 1991.
15. Brass P., Moser W., Pach J. Research problems in discrete geometry. — Berlin: Springer, 2005.
16. Soifer A. The Mathematical Coloring Book. — Springer, 2009.
Поступила в редакцию 10.06.2011
