Научная статья на тему 'О динамике промерзания (оттаивания) массивов горных пород'

О динамике промерзания (оттаивания) массивов горных пород Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
202
46
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ПРОМЕРЗАНИЕ / СВЯЗНЫЕ ПОРОДЫ / ДВИЖУЩАЯСЯ ГРАНИЦА ФАЗОВОГО ПЕРЕХОДА

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Дугарцыренов А. В., Бельченко Е. Л.

Дано приближенное аналитическое решение задачи промерзания (оттаивания) массива горных пород для двухзонной модели этого процесса (задача Стефана). Отклонение от точного решения составляет сотые доли процента. В отличие от точного решения, требующего численных методов расчета движения границы раздела фаз, в работе получено аналитическое решение в виде явной зависимости глубины промерзания от теплофизических параметров породы, температуры внешней среды, начальной температуры массива и времени.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

THE DYNAMICS OF DEEP FREEZING (OR DEFROSTING) OF ROCK MASS

An approximate analytical decision of a task concerning the deep freeze (or defrosting) of a mountain mine massive for double zone model of mis process (Stefan's task) is given. Digression from the exact outcome makes up one hundredth of a percent. Whereas in accordance with a precise result, which requires numerical methods of calculation, the move of separating phase boarder in a working process received an analytical decision as a definite dependence on the depth of the deep freeze from physical warmth of the matters' parameters, the temperature of the surrounding environment, the initial temperature of massive and time.

Текст научной работы на тему «О динамике промерзания (оттаивания) массивов горных пород»

-------------------------------- © А.В. Дугарцыренов, Е.Л. Бельченко,

2009

УДК 622.02

А.В. Дугарцыренов, Е.Л. Бельченко

О ДИНАМИКЕ ПРОМЕРЗАНИЯ (ОТТАИВАНИЯ)

МАССИВОВ ГОРНЫХ ПОРОД

А налитическое решение задач /1 промерзания (оттаивания) горных пород сопряжено с большими трудностями, связанными с нелинейностью уравнений из-за наличия подвижных границ мерзлой и талой зон. В связи с этим полученные в настоящее время решения таких задач основаны на значительных упрощениях реальных процессов и привлечении их простейших моделей. Несмотря на это, аналитические приближения широко используются на практике для оценки глубины и времени промерзания.

Рассмотрим двухзонную модель с резкой границей раздела фаз, характерную для грубодисперсных пород, для которых можно пренебречь массопере-носом. Тепловая схема для этой модели определяется системой уравнений теплопроводности для мерзлой (индекс 1) и талой (индекс 2) зон с подвижной границей их раздела % [1, 2]:

д T,( x, t) д 2T,( x, t) ,1Ч

. } = a, (t > 0;0 < x <%), (1)

dt д x

д T2( x, t) д 2T,( x, t)

2V 7 = a2-----(t > 0;%< x <<»), (2)

дt д x

при начальном

T2( x,0) = To (3)

и граничных условиях T2(0, t) = TB,

Ttf,t) = T2(Z,t) = T* = const, (4)

d T2(<x>, t) d x

= 0 .

(5)

где а - температуропроводность породы, м2/с; Т0, Тв и Тф - соответственно

начальная температура талых пород, температуры среды (воздуха) и фазового перехода «вода - лед», °К.

Кроме этого, на границе раздела фаз имеет место особое условие, выражающее неразрывность температуры и равенство тепловых потоков:

dz

, дТ3 dz

-я2 — z=4 dz =L " Р-Т z=4

(6)

z=4

где W - влажность породы, кг/кг; Я и

Р

соответственно ее теплопровод-

ность и плотность, Вт/(м • К) и , кг/м ; Ь ф - теплота фазового перехода «вода -

лед», Дж/кг.

Известное решение Стефана имеет вид [1, 2]:

erf

ТДх,t) = TB + ( -Тв)•

2,Jat

erf

ß

(7)

erfc

Т2(х,t) = То -( -Тф-

2<ja

х

2<Ja2t

erfc-

ß

(8)

2^a2

Коэффициент ß = const определяется из характеристического уравнения

х

2M(T* -Tв) л/о, - erf [^/(^70,)]

2M(T0 -T*)

- exp

_l_

4 a,

(

2 Л

-- exp

в

4a

2

4^2 • еф[р/(2^а2)]

= Ьф № Р . (9)

Глубина (мощность) мерзлой зоны находится из выражения

{ = 0уГ< . (Ю)

Следовательно, величина в определяет скорость углубления зоны промерзания. Трансцендентное уравнение достаточно сложное и требует для определения в численного решения, что препятствует исследованию влияния различных факторов на изменение параметра в .

Первые приближенные решения данной задачи были получены Ламе и Клайпероном [1], а также Лейбензоном Л. С. [4]. Решение Ламе и Клайперона получено в предположении, что температура талой зоны равна температуре фазового перехода, т.е. при условии Т0 = Тф . Тогда условие (9) запишется в

M(T* - Tв)

L* W ру/л

(11)

в =

2MT -Tв)

L* W р

(12)

2УЛЛ(Тф - Тв) - 2 -12(Т, - Тф) =

в л/ОТ . (13)

= Ьф № р^л в

Достаточно грубое предположение Лейбензона Л. С., как будет видно из дальнейшего, дает значительную погрешность при определении величины в по сравнению с решением Стефана.

Численное решение уравнения (9) при Л1 = 2 Вт/(м • К), а1 = 0,89 -10-6 м2/с,

Л2 = 1,7 Вт/(м • К), а2 = 0,65 • 10-6 м2/с, Тв = 255 К, Т0 = 277 К, Тф = 273 К, Ьф = 3,32-105 Дж/кг, № = 0,29,

р = 1,8-103 кг/м3 дает в = 0,000693491. Полученное значение величины в мало и это дает возможность разложения комплекса специальных функций в выражении (9) в ряд вблизи в = 0 :

exp

па.

виде:

в в г в

—^=exp^— erf —

2yl ах 4я1 2у/ ах

Ограничиваясь первыми членами разложения функций exp и erf в ряды, можно получить явное выражение для коэффициента в [2]:

erf

exp

в

2л/а~

.в! 4 а,

+...

(14)

= 1+-

в

■ +...

erfc

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

в

(15)

2л/«1~У

Ограничиваясь первыми двумя членами разложений (14) и (15), перепишем уравнение (9) в виде

А —1— ( -в2)-

-B -

в

Предположение Лейбензона Л.С. состояло в том, что он принял линей-ное распределение температуры в мерзлой зоне, что соответствует ста-ционарному состоянию. Характеристическое уравнение (9) в этом случае приводится к виду:

"+в)-C-в1 = 0

A 2M(T* -Tв) в 2M(T0 -T*)

где A =--------p==---; B = -

7а! ’

-JO

C = L* W p.

к=а.

Решая уравнение (16), находим

2 + 4МК

в = -— + -2М

Рис. 1

р, м/с

1/2

Преобразуем полученное уравнение к квадратному:

М в2 + Nв-к = 0

А В

где '

(16)

В

лазаю

шти

М-1ТП

Рис. 2 50

(17)

Знак «+» перед вторым членом выбран исходя из условия в > 0 . Величина в при приведенных выше значениях параметров равна в = 0,000693834, т. е. погрешность по отношению к точному решению составляет сотые доли процента.

Графическое решение уравнений (9), (13) и (17) представлено на рисунках 1 и 2. На данных рисунках значения левых и правых частей указанных уравнений обозначе-М = " +—+ С, N =^=, ны соответственно через У1 и Г2. Абс-

6у1 а п 02 п цисса точек пересечения графиков У1 (в)

и Г2(/0 представляет собой значение в . Как видно из рис. 1, кривые 1 и 2, соответствующие уравнениям (9) и (17) практически совпадают, в то время как кривая 3, полученная по приближению Лейбензона Л. С. (уравнение (13)), существенно расходится с точным решением (9). Различие кривых 1 и 2 удается обнаружить только при значительном увеличении вблизи точки их пересечения с кривой 4 (рис. 2), т. е. вблизи точки с абсциссой в = 0,000693491. Таким образом, здесь имеет место не только совпадение точек пересечения кривых 1 и 2 с кривой 4, но и их качественная идентичность. Следовательно, при измене-

Ч 4 \

\ \ч-

\

/ \ \

\ ‘Ь \ 1. ■ \ ^ ■

\

в, м/с

СиОЖЕ 1/2

ь

Рис. 3

нии правой части уравнений и соответственно смещения точки пересечения значения абсцисс этих точек для кривых 1 и 2 также будут близки по величине.

Таким образом, формула (17) позволяет с большой точностью находить

значения коэффициента в, при этом она дает явный аналитический вид зависимости этого коэффициента от теплофизических свойств породы и условий теплообмена. В частности характер изменения в от температуры внешней среды (воздуха) и температуры талой зоны приведен на рис. 3. Явное аналитическое представление формулы для величины в позволяет использовать аппарат анализа при исследовании процесса промерзания или оттаивания массивов горных пород.

Как следует из данного рисунка, величина в существенно зависит от температуры Тв и в незначительной степени от Т0. Это непосредственно видно на рис. 4, где представлены зависимости коэффициента в от температуры Т0. Кривые 1,.2,.3 и 4 на рис. 4 получены для температур воздуха Тв, равных соответственно 243 К, 253 К, 263 К и 268 К. Зависимости Р(Та) практически близки к прямым линиям в заданном диапазоне изменения Т0, причем все они качественны идентичны.

Зависимость глубины промерзания (координаты подвижной границы с) от времени, полученная по формуле (10), представлена на рис. 5. Величина £ интенсивно возрастает вначале процесса промерзания (в пределах 1 суток), далее темп ее изменения снижает-

Рис. 4

3.0008

3.0006

0.0004

т

0

ся. В частности, если за 1 сутки глубина промерзания составляет примерно 2 м, то за 5 суток - около 0,45 м.

Графики распределения температуры в промерзшем и талом слоях представлены на рис. 6. Кривые 1 и 2 соответствуют продолжительностям промерзания 1 и 6 суткам. Распределение температуры в мерзлом слое близко к линейному, а в талом - асимптотически стремится к начальной температуре массива. Пунктирная линия на данном рисунке отражает температуру фазового перехода грунтовой влаги и равно для двухзонной модели (для воды) Тф = 273 К .

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лыков А.В. Теория теплопроводности. - М.: Высшая школа,

1966. - 600 с.

2. Тихонов А.Н., Самар-

ский А.А. Уравнения математической физики. - М.: Наука,

1972.

3. Комаров И.А. Термодинамика и тепломассообмен в дисперсных мерзлых породах. - М.:

Научный мир, 2003. - 608 с.

4. Лейбензон Л.С. Движение природных жидкостей и газов в пористых средах. М. - Л.: Гостехиздат, 1947. 214 с. [ДЕВ

Рис. 5

T, K

Рис. 6

— Коротко об авторах -----------------------------------------------------------------

Дугарцыренов А.В. - докторант кафедры «Физика горных пород и процессов» Московского государственного горного университета,

БельченкоЕ.Л. - профессор кафедры «Физика горных пород и процессов».

Рецензент д-р техн. наук, проф. О.М. Гридин, Московский государственный горный университет.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.