CC BY
45
-------------------------------- © А.В. Дугарцыренов, Е.Л. Бельченко,
2009
УДК 622.02
А.В. Дугарцыренов, Е.Л. Бельченко
О ДИНАМИКЕ ПРОМЕРЗАНИЯ (ОТТАИВАНИЯ)
МАССИВОВ ГОРНЫХ ПОРОД
А налитическое решение задач /1 промерзания (оттаивания) горных пород сопряжено с большими трудностями, связанными с нелинейностью уравнений из-за наличия подвижных границ мерзлой и талой зон. В связи с этим полученные в настоящее время решения таких задач основаны на значительных упрощениях реальных процессов и привлечении их простейших моделей. Несмотря на это, аналитические приближения широко используются на практике для оценки глубины и времени промерзания.
Рассмотрим двухзонную модель с резкой границей раздела фаз, характерную для грубодисперсных пород, для которых можно пренебречь массопере-носом. Тепловая схема для этой модели определяется системой уравнений теплопроводности для мерзлой (индекс 1) и талой (индекс 2) зон с подвижной границей их раздела % [1, 2]:
д T,( x, t) д 2T,( x, t) ,1Ч
. } = a, (t > 0;0 < x <%), (1)
dt д x
д T2( x, t) д 2T,( x, t)
2V 7 = a2-----(t > 0;%< x <<»), (2)
дt д x
при начальном
T2( x,0) = To (3)
и граничных условиях T2(0, t) = TB,
Ttf,t) = T2(Z,t) = T* = const, (4)
d T2(<x>, t) d x
= 0 .
(5)
где а - температуропроводность породы, м2/с; Т0, Тв и Тф - соответственно
начальная температура талых пород, температуры среды (воздуха) и фазового перехода «вода - лед», °К.
Кроме этого, на границе раздела фаз имеет место особое условие, выражающее неразрывность температуры и равенство тепловых потоков:
dz
, дТ3 dz
-я2 — z=4 dz =L " Р-Т z=4
(6)
z=4
где W - влажность породы, кг/кг; Я и
Р
соответственно ее теплопровод-
ность и плотность, Вт/(м • К) и , кг/м ; Ь ф - теплота фазового перехода «вода -
лед», Дж/кг.
Известное решение Стефана имеет вид [1, 2]:
erf
ТДх,t) = TB + ( -Тв)•
2,Jat
erf
ß
(7)
erfc
Т2(х,t) = То -( -Тф-
2<ja
х
2<Ja2t
erfc-
ß
(8)
2^a2
Коэффициент ß = const определяется из характеристического уравнения
х
2M(T* -Tв) л/о, - erf [^/(^70,)]
2M(T0 -T*)
- exp
_l_
4 a,
(
2 Л
-- exp
в
4a
2
4^2 • еф[р/(2^а2)]
= Ьф № Р . (9)
Глубина (мощность) мерзлой зоны находится из выражения
{ = 0уГ< . (Ю)
Следовательно, величина в определяет скорость углубления зоны промерзания. Трансцендентное уравнение достаточно сложное и требует для определения в численного решения, что препятствует исследованию влияния различных факторов на изменение параметра в .
Первые приближенные решения данной задачи были получены Ламе и Клайпероном [1], а также Лейбензоном Л. С. [4]. Решение Ламе и Клайперона получено в предположении, что температура талой зоны равна температуре фазового перехода, т.е. при условии Т0 = Тф . Тогда условие (9) запишется в
M(T* - Tв)
L* W ру/л
(11)
в =
2MT -Tв)
L* W р
(12)
2УЛЛ(Тф - Тв) - 2 -12(Т, - Тф) =
в л/ОТ . (13)
= Ьф № р^л в
Достаточно грубое предположение Лейбензона Л. С., как будет видно из дальнейшего, дает значительную погрешность при определении величины в по сравнению с решением Стефана.
Численное решение уравнения (9) при Л1 = 2 Вт/(м • К), а1 = 0,89 -10-6 м2/с,
Л2 = 1,7 Вт/(м • К), а2 = 0,65 • 10-6 м2/с, Тв = 255 К, Т0 = 277 К, Тф = 273 К, Ьф = 3,32-105 Дж/кг, № = 0,29,
р = 1,8-103 кг/м3 дает в = 0,000693491. Полученное значение величины в мало и это дает возможность разложения комплекса специальных функций в выражении (9) в ряд вблизи в = 0 :
exp
па.
виде:
в в г в
—^=exp^— erf —
2yl ах 4я1 2у/ ах
Ограничиваясь первыми членами разложения функций exp и erf в ряды, можно получить явное выражение для коэффициента в [2]:
erf
exp
в
2л/а~
.в! 4 а,
+...
(14)
= 1+-
в
■ +...
erfc
в
(15)
2л/«1~У
Ограничиваясь первыми двумя членами разложений (14) и (15), перепишем уравнение (9) в виде
А —1— ( -в2)-
-B -
в
Предположение Лейбензона Л.С. состояло в том, что он принял линей-ное распределение температуры в мерзлой зоне, что соответствует ста-ционарному состоянию. Характеристическое уравнение (9) в этом случае приводится к виду:
"+в)-C-в1 = 0
A 2M(T* -Tв) в 2M(T0 -T*)
где A =--------p==---; B = -
7а! ’
-JO
C = L* W p.
к=а.
Решая уравнение (16), находим
2 + 4МК
в = -— + -2М
2М
Рис. 1
р, м/с
1/2
Преобразуем полученное уравнение к квадратному:
М в2 + Nв-к = 0
А В
где '
(16)
В
лазаю
шти
М-1ТП
Рис. 2 50
(17)
Знак «+» перед вторым членом выбран исходя из условия в > 0 . Величина в при приведенных выше значениях параметров равна в = 0,000693834, т. е. погрешность по отношению к точному решению составляет сотые доли процента.
Графическое решение уравнений (9), (13) и (17) представлено на рисунках 1 и 2. На данных рисунках значения левых и правых частей указанных уравнений обозначе-М = " +—+ С, N =^=, ны соответственно через У1 и Г2. Абс-
6у1 а п 02 п цисса точек пересечения графиков У1 (в)
и Г2(/0 представляет собой значение в . Как видно из рис. 1, кривые 1 и 2, соответствующие уравнениям (9) и (17) практически совпадают, в то время как кривая 3, полученная по приближению Лейбензона Л. С. (уравнение (13)), существенно расходится с точным решением (9). Различие кривых 1 и 2 удается обнаружить только при значительном увеличении вблизи точки их пересечения с кривой 4 (рис. 2), т. е. вблизи точки с абсциссой в = 0,000693491. Таким образом, здесь имеет место не только совпадение точек пересечения кривых 1 и 2 с кривой 4, но и их качественная идентичность. Следовательно, при измене-
Ч 4 \
\ \ч-
\
/ \ \
\ ‘Ь \ 1. ■ \ ^ ■
\
в, м/с
СиОЖЕ 1/2
ь
Рис. 3
нии правой части уравнений и соответственно смещения точки пересечения значения абсцисс этих точек для кривых 1 и 2 также будут близки по величине.
Таким образом, формула (17) позволяет с большой точностью находить
значения коэффициента в, при этом она дает явный аналитический вид зависимости этого коэффициента от теплофизических свойств породы и условий теплообмена. В частности характер изменения в от температуры внешней среды (воздуха) и температуры талой зоны приведен на рис. 3. Явное аналитическое представление формулы для величины в позволяет использовать аппарат анализа при исследовании процесса промерзания или оттаивания массивов горных пород.
Как следует из данного рисунка, величина в существенно зависит от температуры Тв и в незначительной степени от Т0. Это непосредственно видно на рис. 4, где представлены зависимости коэффициента в от температуры Т0. Кривые 1,.2,.3 и 4 на рис. 4 получены для температур воздуха Тв, равных соответственно 243 К, 253 К, 263 К и 268 К. Зависимости Р(Та) практически близки к прямым линиям в заданном диапазоне изменения Т0, причем все они качественны идентичны.
Зависимость глубины промерзания (координаты подвижной границы с) от времени, полученная по формуле (10), представлена на рис. 5. Величина £ интенсивно возрастает вначале процесса промерзания (в пределах 1 суток), далее темп ее изменения снижает-
Рис. 4
3.0008
3.0006
0.0004
т
0
ся. В частности, если за 1 сутки глубина промерзания составляет примерно 2 м, то за 5 суток - около 0,45 м.
Графики распределения температуры в промерзшем и талом слоях представлены на рис. 6. Кривые 1 и 2 соответствуют продолжительностям промерзания 1 и 6 суткам. Распределение температуры в мерзлом слое близко к линейному, а в талом - асимптотически стремится к начальной температуре массива. Пунктирная линия на данном рисунке отражает температуру фазового перехода грунтовой влаги и равно для двухзонной модели (для воды) Тф = 273 К .
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лыков А.В. Теория теплопроводности. - М.: Высшая школа,
1966. - 600 с.
2. Тихонов А.Н., Самар-
ский А.А. Уравнения математической физики. - М.: Наука,
1972.
3. Комаров И.А. Термодинамика и тепломассообмен в дисперсных мерзлых породах. - М.:
Научный мир, 2003. - 608 с.
4. Лейбензон Л.С. Движение природных жидкостей и газов в пористых средах. М. - Л.: Гостехиздат, 1947. 214 с. [ДЕВ
Рис. 5
T, K
Рис. 6
— Коротко об авторах -----------------------------------------------------------------
Дугарцыренов А.В. - докторант кафедры «Физика горных пород и процессов» Московского государственного горного университета,
БельченкоЕ.Л. - профессор кафедры «Физика горных пород и процессов».
Рецензент д-р техн. наук, проф. О.М. Гридин, Московский государственный горный университет.
