CC BY
49
УДК 551.345: 551.311.21 ББК 26.32
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛЕЙ ТЕРМОЭРОЗИИ МЕРЗЛЫХ ГРУНТОВ
Хабибуллин И.Л., Хусаинов а З.Р.*
Получены аналитические решения системы уравнении, описывающей процесс термоэрозии мерзлых грунтов на основе теплофизического подхода. Рассмотренные модели позволяют сформулировать задачи управления термоэрозией мерзлых грунтов за счет изменения входных параметров, характеризующих техногенное воздействие.
Промышленное освоение районов распространения многолетнемерзлых пород (криолитозоны) обуславливает интенсивное развитие инженерно-геокриологических процессов, результатом которых является деградация природных ландшафтов и проблемы безопасности функционирования технологических объектов. Среди этих процессов наибольшее распространение получила термоэрозия, под которой понимается одновременное тепловое и эродирующее воздействие водных потоков на мерзлые породы [1].
Моделирование процесса термоэрозии является практически значимым, так как оно составляет прогностическую основу геокриологического мониторинга, в то же время эта задача является достаточно сложной. Это связано с тем, что с физической точки зрения, термоэрозия представляет собой совокупность ряда взаимосвязанных процессов гидродинамики (движение водных потоков по склонам), теплофизики (изменение температуры грунтов и фазовые переходы в системе лед-вода) и механики грунтов (изменение прочностных свойств грунтов, смыв грунтовых частиц водным потоком и эрозия поверхности). При моделировании термоэрозии эти процессы, как правило, рассматриваются отдельно в рамках теплофизического или гидромеханического подходов [2]. В настоящей работе рассматриваются некоторые модели термоэрозии мерзлых грунтов на основе теплофизического подхода.
1. Модель термоэрозии при переменной температуре водотока. На массив мерзлой породы, с начальной температурой Т0 ниже точки фазового перехода льда в воду Тф, поступает поток воды с температурой Тв(1)>Тф. При этом происходит нагрев породы, расплавление внутрипорового льда, разупрочнение и унос частиц породы водным потоком. Таким образом, образуются три характерные зоны: потока воды г?^^), талого грунта @1(1)<г<@2(1) и мерзлого грунта г> @2(!), разделенные поверхностями эрозии (размыва) талого грунта @1(1) и протаивания мерзлого грунта @2(!). Тогда распределение температуры описывается следующей задачей (ось г направлена вертикально вниз):
д2Т, <9Т, ( ч
£>1 (<)< 2 <£2 (<), < > 0 (1)
я ________
а1 о
дг д
д 2Т2 дТ2
а2^Т = ^Г, £2(<) < 2 <^ 1 > 0 (2)
дг д
Т,(|,Ш)= Т.О) Т,(1 - 0)- Т„ (3)
Т1<Ш0= Т2(Ш0= Тф (4)
, () 1) 1 . «Т2 (%2_ (1 ¡(1) п <^2 (1)
_Я1 2------------------д>--------- П^^ (5)
Т2 (> 0)- Т2 (o0,1)- Т0 (6)
* Хабибуллин Ильдус Лутфурахманович - д.ф.-.м.н., профессор БашГУ Хусаинов а Зиля Ринатовна - аспирант БашГУ
Здесь I и а - коэффициенты теплопроводности и температуропроводности, Q ф = рЬС - теплота фазового перехода мерзлый грунт - талый грунт, в - льдистость грунта, р и К - плотность и удельная теплота плавления льда, индексы 1 и 2 относятся соответственно к областям талого и мерзлого грунтов.
Задача (1)-(6) является обобщением классической задачи Стефана с двумя принципиальными отличиями: наличие двух подвижных границ и переменность температуры на поверхности @1(1). Решение задачи позволяет определить распределение температуры Т^гД) и Т2(гД) и закон движения фронта протаивания @2(1). При этом закон движения фронта эрозии @1(1) считается заданным. В общем случае зависимость @1(1) определяется из решения соответствующей гидромеханической задачи [3].
Задача (1)-(6) допускает автомодельное решение. Опуская промежуточные выкладки, выпишем это решение.
А / —;—\
г
erf
(тф - тн >
erf
_р_
4а,
erf
( 1 \ Р
N а1 4
(7)
erfc
Т2 = Т0 +(Тф -Т0>
2л/а2<
(8)
erfc
4а,,
erf
TB(t) = Тф-(ТН - Тф >
^л/а1<
- erf / \ Р
1\| 4а1)
erf
{ 1 \ Р
а 4а1 J
12 t. |i =^i(t).
(9)
(10)
Параметр W определяется из трансцендентного уравнения, которое получается из (5) и (7)-(8):
Ь 1 (Тн - Тф )eXP
JL
4а1
Ь 2 (Тф - То )
exp
JL
4а0
erf
JL
4а1
erfc
л
4а0
(11)
Здесь erf £, = -^ ( e u du, erfc ^ = 1 - erf £,.
л1% о
Особенностью полученного решения является то, что оно выполняется при произвольной зависимости фронта эрозии от времени @1= @1(1). При этом температура потока воды является переменной, она зависит от времени через выражение @1(1) (формула (9)). Из (9) следует, что величина Тв(1) является знакопеременной, в частности:
dT
< 0
при
d|,
Vt >%.
л/t
d<d<
Последнее дифференциальное неравенство имеет решение:
£,j > VCt, С = const.
Таким образом, при > VCt имеет место уменьшение температуры водного потока, если = VCt ,
то полученное решение описывает случай, когда Тв=со^<=Тн. При этом законы движения поверхностей @1 и @2 имеют параболический вид, и рассмотренная выше задача представляет двухфронтовую задачу Стефана [4]. Другой частный случай задачи (1)-(6), соответствующий постоянной скорости движения поверхности эрозии @1=vt=const рассмотрена в [1].
В общем случае закон движения поверхности размыва можно представить в виде
2,1 = а!;п, (12)
где параметры а и п определяются на основе использования гидромеханических моделей термоэрозии или из данных экспериментальных исследований.
Из равенства
¡51 (і, >5- (1, И р
определяется момент времени. когда поверхность размыва догоняет фронт протаивания. Из (10) и (12) имеем:
=
#
а
V у
2п-1
(13)
Подстановки выражений (12) и (13) в (9) дает, что
Тв (< = <р )= Тф.
~р / ф.
Поэтому, можно считать, что !р определяют время окончания размыва вследствие начала замерзания водостока. Глубина, которую достигает граница размыва определяется из выражения
Р
1
2п-1
а
3-2п ' 2п-1
(14)
Выражения (13)и(14) при п=1 совпадают с аналогичными соотношениями, полученными в [1]:
< =-6-, ^ Л.
Р 2 ’ ^Р
V V
2. Модель термоэрозии при постоянной температуре водотока. При этом в задаче (1)-(6) изменяется условие (3):
т(5 2(0,1 )= т..
Решение этой задачи построим приближенным методом Л. С. Лейбензона [5]. Согласно этому методу распределение температур в талой и мерзлой зонах определяется из выражений:
т = т, +(Тф-Т,)г^-, |,(1)< г<§2(1)
12 -^1
(15)
Т2 = Тф +(То - Тф У
2-5 2 2л/М
При заданном законе движения поверхности эрозии @1(1) для определения @2(!) из условия (5) следует дифференциальное уравнение:
ф/ 2 V ф ' 0 У _ 0 С£> 2
л/^а2< ф
(16)
В случае произвольной зависимости @1(1) это уравнение, относящееся к классу уравнений Абеля второго рода, аналитического решения не допускает. Но по крайней мере, в двух частных случаях это уравнение имеет аналитическое решение.
При = л/й< из (15) следует, что £,2 = д/рГ. Для определения параметра Р из (16) получается алгебраическое уравнение второй степени.
Рассмотрим линейный закон движения поверхности эрозии = V! .
Тогда, полагая Т2=Тф, вместо (16) имеем:
^ (т, - Тф )
ф/_ П ^ 2 _ 0ф Сі
Подстановка у = В — '(% 2 — VI ) В = с разделяющимися переменными
X (Тв — Т, )
у — В ёу у С
переводит это нелинейное уравнение к уравнению
V2.
Решение этого уравнения имеет вид
у — Віпу = V2! + 1
= СОПв!.
Поэтому выражение
'% 2 + В іПВ — '(% 2 — V! )0 = С
представляет собой решение уравнения (17).
Определяя постоянную С из начального условия @2(!=0)=@20 и освобождаясь от логарифма, находим решение уравнения (17) в виде неявной зависимости @2(!):
V
'(% 2 — %20 )
В
В% 2
(18)
V
В целом ряде случаев выполняется условие
'(% 2 — %20 ) << , В .
Ограничиваясь тремя первыми членами
разложения экспоненциальной функции в ряд, из (18) можно получить квадратное уравнение относительно функции @20)-@20. При этом закон движения фронта протаивания получается в явном виде:
% 2(<) = % 20 —
В%
20
в2% 20
2В2!
При @20=0 отсюда следует
%2(0 = л/2В = 2
МТВ — Т,)<
(19)
(20)
Ф
Таким образом, выфажения (15), (18) или (20) представляют собой приближенное решение следующей однообластной задачи с двумя подвижными границами:
^2т дт г ..
= ^7, 7 <%2^X
дг ді
Т(х = '1,1 )= Тг. Т(х = %2()!)= Т,
дТ1 (> = % 2 (і )< )^ С% 2 (і)
дг
&
Наличие двух подвижных границ, движущихся по разным законам (без соблюдения принципа подобия по времени) принципиально отличает эту задачу от автомодельных задач типа Стефана.
3. Полученные выше решения связывают развитие термоэрозии с интенсивностью техногенного воздействия - температурой и расходом потока воды (через параметры а и п). Тем самым становится возможным прогноз развития термоэрозионных процессов. В общем случае прогноз не должен быть пассивным, в системе экологического мониторинга прогноз по своей сути призван стать одним из методов управления процессом техногенного воздействия на окружающую среду. В этом аспекте рассмотренные выше модели и их обобщения позволяют сформулировать и решать задачи управления термоэрозией мерзлых грунтов за счет изменения входных параметров, характеризующих техногенное воздействие.
ЛИТЕРАТУРА
1.Термоэрозия дисперсных пород./ Э.Д. Ершов, Д.В. Малиновский, Э.З. Кучуков и др. - М.: Изд-во МГУ, 1982. - 193 с.
2.Ананенков А.Г., Ставкин Г.П., Лобастова С.А., Хабибуллин И.Л. Экологические основы землепользования при освоении и разработке газовых и газоконденсатных месторождений Крайнего Севера. - М.: Недра, 2000.- 316с.
3.Хабибуллин И.Л. О математическом моделировании процесса термоэрозии/ Межвуз. науч.-техн. программа «Нефтегазовые ресурсы». - М.: ГАНГ им. И.М.Губкина, 1992. -с.190-194.
4.Меламед В.Г. Тепло- и массообмен в горных породах при фазовых переходах. - М.: Наука, 1980. - 228 с.
5.Лейбензон Л.С. Руководство по нефтепромысловой механики. - М.: ГНТИ, 1931. - 335 с.
6.Фельдман Г.М. Методы расчета температурного режима мерзлых грунтов. - М.: Наука, 1977. - 262 с.
7.Шур Ю.Л., Петрухин Н.П., Славин-Боровский В.В. Разрушение берегов в криолитозоне. - В кн.: Криогенные процессы. - М.: Наука, 1978. - с.57-73.
8.Салагаев В. Б. Физико-математические методы изучения и прогноза термоэрозии. Дис. канд. техн. наук. -Уфа, 1983.-211 с.
Поступила в редакцию 08.04.05 г.
