CC BY
3
О динамике круглой мембраны с эллиптическим отверстием
В.Л. Леонтьев
Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого
Аннотация: Эффективность модифицированного метода Фурье, связанного с использованием ортогональных сплайнов, показывается при решении задачи динамики круглой мембраны с эллиптическим отверстием. Апостериорные оценки точности полученных приближенных решений дополняют доказанную ранее теоретическую сходимость алгоритма и характеризуют высокую точность решений задачи динамики мембраны с криволинейной границей, представляющей научно-технический интерес. Различия между приближенными решениями задачи, представленными в виде ортогональных рядов, уменьшаются с увеличением количества узлов сеток, используемых в расчетах.
Ключевые слова: метод Фурье, ортогональные сплайны, конечные ряды, динамика мембраны, эллиптическое отверстие, апостериорная оценка точности.
Введение
Задачи о колебаниях мембран возникают при проектировании конструкций. Решения таких задач рассматриваются во многих статьях, например, [1 - 3]. При этом часто рассматриваются колебания мембран, не имеющих форму круга или прямоугольника, например, колебания мембраны треугольной формы [2] или шестиугольной формы [3]. В таких частных случаях формы границы мембраны удается находить решения задач о колебаниях мембран в бесконечных рядах [2, 3]. Решения динамических краевых задач, в которых все участки границы области состоят из координатных линий или поверхностей, получаются с помощью метода Фурье (метода разделения переменных) [4] с использованием специальных функций [4]. С помощью метода разделения переменных были решены многие краевые задачи [5 - 7]. Однако, задачи в общем случае формы границы мембраны не входят в область применения классического метода Фурье [4]. Такие задачи могут быть решены с помощью метода конечных элементов [8], метода граничных элементов [9], метода конечных разностей
[10]. Но эти решения не имеют форму рядов Фурье, что существенно ограничивает возможности их дальнейших исследований.
В статье [11] предложена модификация алгоритма метода Фурье, связанная с применением ортогональных сплайнов и конечных рядов Фурье, и доказана сходимость этого метода в общем случае формы границы области. Но полученная в [11] априорная оценка сходимости приближенных аналитических решений не характеризует фактическую точность этих решений. Здесь показывается, что метод [11] является эффективным при решении актуальной технической задачи динамики круглой мембраны с эллиптическим отверстием. Приближенные решения задачи, полученные в виде конечных рядов Фурье, подтверждают теоретические результаты [11]. Апостериорные оценки точности приближенных решений дополняют здесь теоретическое исследование сходимости алгоритма [11].
Постановка задачи Гиперболическая краевая задача
2,д2 и д2 и . д2и ,, . . а2 (— + —у) = —и V (х,у) е 8, г > 0; дх2 ду2 д
I , , ди <=о = &х,У), ^
= ¥(х,у) V(х,у) е 8; и^ = 0 V г > 0; (1)
г=0
является математической моделью динамики мембраны. Здесь д8 - граница области 8 мембраны, и = и(х,у,г) - прогиб мембраны. Область 8 = 8 + д8 -круг, радиус которого равен единице, о отверстием, которое вырезано эллиптической линией:
(х-0.66)2 /0.122 + у2 /0.22 = 1. (2)
Задача (1) рассматривается в случае а2 = 1 свободных колебаний мембраны на промежутке времени г е [0;1.575]. Граница д8 состоит из окружности, имеющей радиус равный единице, и эллипса (2). Мембрана в недеформированном состоянии занимает область 8 на плоскости Оху.
Метод решения
Решение задачи (1) в соответствии с модифицированным методом разделения переменных [11] ищется в виде произведения функций и(х,у) и У(г). Подстановка этого произведения в уравнение, начальные и граничное условия (1) приводит к задаче Штурма-Лиувилля для и(х,у), которая имеет нетривиальные решения и(к), соответствующие собственным значениям Хк и удовлетворяющих тривиальному граничному условию, а также к уравнению:
- о (3)
дг2
для определения решений У(к)(г), соответствующих Лк. В классическом
методе Фурье после построения ряда Фурье на основе и(к) и У(к) обеспечивается выполнение двух начальных условий (1).
В модифицированном методе Фурье [11] алгоритм метода за счет применения ортогональных сплайнов позволяет находить приближенные решения задачи (1) в общем случае криволинейной границы области без последовательного решения задачи Штурма-Лиувилля [11] и уравнения (3). Аппроксимация и(х,у) с помощью ортогональных сплайнов в задаче Штурма-Лиувилля и использование конечных разностей в уравнении (3) приводит к системе конечно-разностных уравнений вида [11]:
(и1п+1,т -Чт + и^т)/^2 + (и1пт+1 -2и1пт + п1Пт-х)/^2 - (и^ -2и1пт + и1^)/(А)2, (4) где и1пт - ипт¥1; ипт - приближенные значения и(х,у) в узлах (хп,ут) сетки в
области £; V1 - приближенные значения ¥(г) в моменты времени:
г1 - (I -1 )Аг, (I - 1,2,...,М), г1 е[0;1.575]; Аг - шаг равномерной сетки по времени; к - к2 - к - шаги квадратной сетки в области ^, узлы которой имеют координаты:
(хп - -1 + пк, ут - -1 + тк) е 0 < п,т < N.
Система уравнений (4) используется совместно с однородным граничным условием (1), соответствующим фиксации мембраны на ее границе - на окружности и на эллипсе, с учетом двух начальных условий (1). Функция = 0 определяет в (1) начальную скорость всех точек мембраны, а функция:
р = 0.6[^(х-0.66)2 / 0.122 + у2 /0.22 -1][4(х-0.66)2 + у2 -7(х-0.66)2 +1 -х2 ]8 задает начальный прогиб круглой мембраны, показанный на рис.1.
Нетривиальные решения задачи Штурма-Лиувилля ищутся в форме:
п . N М2(п)
и(ык)(х,у) = X Xспшап (х)Рт (у), (5)
п=1 т=М1(п)
где ап(х), рт(у)- непрерывные ортогональные кусочно-линейные сплайны [11]; постоянные коэффициенты спт равны значениям и^)(х,у)(к = 1,2,...,К) в узлах (хп,ут) сетки; М1(п) <М2(п)- натуральные числа, зависимость которых от п определяется геометрией криволинейной границы мембраны. Граничное условие (1) выполняется, если значения коэффициентов спт, соответствующих узлам (хп,ут), лежащим на границе, полагаются равными нулю.
Конечные ряды Фурье:
К
Хи(Кк)(х,у)У(к)(гО, (6)
к=1
полученные для моментов времени г1(I = 1,2,...,М) и связанные с ортогональными сплайнами [11], формируются в каждый заданный момент времени г1 в форме (6) без предварительного решения задачи Штурма-Лиувилля, без явного определения собственных значений. Реализация такого алгоритма выполняется здесь благодаря применению ортогональных сплайнов в модифицированном алгоритме метода Фурье [11]. Решения системы уравнений (4) совместно с граничным и начальными условиями сразу дают значения решения (6) в узлах сетки в момент времени г1 без
детализации членов ряда (6). Линии уровней на рис.2 - 8 соответствуют этим значениям решения (6).
Результаты расчетов, их анализ Эффективность алгоритма [11] и возможность получения решений в форме рядов Фурье показывается здесь при решении более сложной по сравнению с [11] задачи динамики мембраны, представляющей научно-технический интерес.
•1 -08 <06 -04 -02 0 02 04 Об 08 1
у
Рис.1.- Начальный прогиб. Рис.2.- Линии уровней, t = 0.075; N = 101.
Рис.3.- Линии уровней,г - 0.075;N - 201. Рис.4. - Линии уровней,г - 0.9;N - 101.
1
о«
06 04 02 X О
■04 46 46
•1
)
-S*
b-' ' \ -—ч
/ ( ) Jp 005 , +<091 П1
Г \ 1 \\\ V ) 1' \ J 1
1
09
06 04
02 х о <02 <04 <06 <01 •1
JL
/ 7 \
\
/— / \ ___\
^005
/ Л0' / /11 1 1 / /// ¿«1 \ А«5 ш
( г \\J\x i 1 ] Юу
•1 41 <06 <04 42 0 02 04 Об 01 1 Л 46 46 44 42 0 02 04 06 0> 1
У У
Рис.5.- Линии уровней, t = 0.9; N = 201. Рис.6.- ЛИНИИ уровней, t = 0.9; N = 251.
Рис.7.- Линии уровней, t = 1.575; N = 101. Рис.8.- Линии уровней, t = 1.575; N = 201.
Линии уровней прогиба мембраны в различные моменты времени показаны на рис.2 - 8. Сравнение линий уровней для решений, полученных на сетках N = 101 и N = 201 как для указанных на этих рисунках моментов времени, так и для всех остальных моментов времени использованной в расчетах сетки по времени, показывает высокую степень их близости и позволяет сделать вывод о сгущении приближенных решений в форме конечных рядов Фурье при увеличении числа узлов сетки. Сравнение рис.2,3, а также рис.4 - 6 и рис.7,8 друг с другом в каждой группе рисунков
показывает коррекцию малых деталей линий уровней и сглаживание линий уровней при увеличении числа узлов сеток. В [11] дано теоретическое доказательство сходимости метода [11], следовательно, полученные в расчетах приближенные решения (рис.4 - 8) сходятся к точному решению.
Апостериорная оценка:
(U =
lN1 - lN2
N
(7)
характеризует изменение выбранных линий уровней прогиба, показанных на рисунках, при увеличении N от N1 до N2. Здесь lNl,lN2 - характерные
размеры выбранных линий уровня, соответствующих значению U.
Апостериорная оценка (7) изменения линий уровней U = 0 и U = 0.005, соответствующих, например, моменту времени t = 0.9, дает следующие значения:
N1 = 101,N2 = 201: (о0 = 0.0303Q (0005 = 0.00806; N1 = 201,N2 = 251: (0 = 0.00752; (0005 = 0.00201.
Голубые линии уровня U = 0 располагаются на рис.4 -6 в области {-0.65 < х < 0.4; - 0.4 < y < 0.4}. Оценки (0 получаются с использованием lN ,lN
линий уровня, которые являются длинами отрезков вертикальных прямых линий (y = 0), заключенных между двумя точками их пересечения с линиями уровня U = 0. Фиолетовые линии уровня U = 0.005 располагаются на рис. 4 - 6 в области {-0.9 < х < 0.1; - 0.8 < y < 0.8}. Оценки (0 005 получаются с
использованием lN ,lN линий уровня, которые являются длинами отрезков
горизонтальных прямых линий (х = -0.3), заключенных между двумя точками их пересечения с линиями уровня. В переходе от N1 = 201 к N2 = 251 значения оценок (0 и (0005 значительно меньше, чем в переходе от N1 = 101 к N2 = 201,
то есть наблюдается сгущение линий уровней при увеличении N. Такое же сгущение линий уровней имеет место для всех линий уровней в другие моменты времени, что означает сходимость конечных рядов Фурье (6).
Литература
1. Бобылева Т.Н., Шамаев А.С. О задаче управления колебаниями плоской мембраны распределенными силовыми воздействиями // Инженерный вестник Дона, 2023, №1. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1y2023/8125/.
2. Чернышов Н.А. Моделирование колебания мембраны треугольной формы // Инженерный вестник Дона, 2020, №2. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2020/6336/.
3. Чернышов Н.А., Голомидов Н.А., Маслиев А.И. Моделирование колебания мембраны шестиугольной формы // Инженерный вестник Дона, 2022, №2 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2022/7442/.
4. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. М.: Главная редакция физ.-мат. лит-ры изд-ва "Наука", 1974. 432 c.
5. Гасымов Э.А., Гусейнова А.О., Гасанова У.Н. Применение обобщенного метода разделения переменных к решению смешанных задач с нерегуляр-ными граничными условиями // ЖВМиМФ, 2016, т.56, №7. С. 1335-1339.
6. Малов Ю.И., Мартинсон Л.К., Павлов К.Б. Решение некоторых смешанных краевых задач гидродинамики проводящих сред методом разделения переменных // ЖВМиМФ, 1972, т. 12, №3. С. 627-638.
7. Савичев И.С., Чернышев А.Д. Применение метода угловых суперпозиций для решения контактной задачи о сжатии упругого цилиндра // Известия РАН. Механика твердого тела, 2009, №3. С. 151-162.
8. Strang G., Fix G.J. An Analysis of the Finite Element Method. N.J.: Prentice-Hall, Inc. Englewood Cliffs, 1973. 349 p.
9. Brebbia C.A., Walker S. Boundary Element Techniques in Engineering. London: Butterworths, 1980. 210 p.
10. Усов А.Б. Конечно-разностный метод решения уравнений Навье-Стокса в переменной области с криволинейными границами // ЖВМиМФ, 2008, т.48, №3. С. 491-504.
11. Leont'ev V.L. Finite Fourier Series in Hyperbolic Initial-Boundary Value Problems for Domains with Curved Boundaries // Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2022, т.62, №10. C. 1632-1650.
References
1. Bobyleva T.N., Shamaev A.S. Inzhenernyj vestnik Dona, 2023, №1 URL: ivdon. ru/ru/magazine/archive/n1y2023/8125/.
2. Chernyshov N.A. Inzhenernyj vestnik Dona, 2020, №2 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/N2y2020/6336/.
3. Chernyshov N.A., Golomidov N.A., Masliev A.I. Inzhenernyj vestnik Dona, 2022, №2 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2022/7442/.
4. Arsenin V.Ya. Metodi matematicheskoy fiziki i spetsialnie funktsii [Methods of Mathematical Physics and Special Functions], M.: Nauka, 1974. 432 p.
5. Gasymov E.A., Guseinova A.O., Gasanova U.N. ZHurnal vychislitel'noj matematiki i matematicheskoj fiziki, 2016, Vol.56, №7. pp. 1305-1309.
6. Malov Yu.I., Martinson L.K., Pavlov K.B. ZHurnal vychislitel'noj matematiki i matematicheskoj fiziki, 1972, Vol.12, №3. pp. 71-86.
7. Savichev I.A., Chernyshov A.D. Mech. Solids, 2009, №3. pp. 463-472.
8. Strang G., Fix G.J. An Analysis of the Finite Element Method. N.J.: Prentice-Hall, Inc. Englewood Cliffs, 1973. 349 p.
9. Brebbia C. A., Walker S. Boundary Element Techniques in Engineering. London: Butterworths, 1980. 210 p.
10. Usov A.B. ZHurnal vychislitel'noj matematiki i matematicheskoj fiziki, 2008, Vol.48, №3. Pp. 464-476.
и
11. Leontiev У.Ь. 7Нжт1 vychislitel,noj та1ета11к1 1 matematicheskoj 1Мк1, 2022, Уо1.62, №10. рр. 1632-1650.
