МЕТОД ФУРЬЕ, СВЯЗАННЫЙ С ОРТОГОНАЛЬНЫМИ СПЛАЙНАМИ, В ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ОБЛАСТИ С КРИВОЛИНЕЙНОЙ ГРАНИЦЕЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 14. № 2 (2022). С. 58-69.

УДК 519.63:517.9

МЕТОД ФУРЬЕ, СВЯЗАННЫЙ С ОРТОГОНАЛЬНЫМИ СПЛАЙНАМИ, В ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ОБЛАСТИ С КРИВОЛИНЕЙНОЙ ГРАНИЦЕЙ

В.Л. ЛЕОНТЬЕВ

Аннотация. Метод Фурье позволяет находить решения краевых и начально-краевых задач для уравнений в частных производных, допускающих разделение переменных. Но применение метода для решения задач многих типов встречается со значительными трудностями. Одно из направлений расширения области применения метода Фурье - преодоление сопутствующих методу математических проблем, порожденных, например, характером граничных условий. Другое направление связано с применением специальных функций при решении задач для областей классических форм, определяемых координатными линиями и поверхностями ортогональных криволинейных систем координат. Но такой подход в общем случае задач для областей с криволинейными границами является неэффективным. Направления развития метода Фурье решения задач для областей с криволинейными границами связаны также, во-первых, с созданием и применением вариационно-сеточных и проекционно-сеточных методов и, во-вторых, с модификацией самого метода Фурье. Данная статья относится ко второму из этих направлений и ориентирована на такое расширение области применения метода Фурье, которое определяется построением последовательности конечных обобщенных рядов Фурье, связанных с ортогональными сплайнами и дающих аналитические решения параболической начально-краевой задачи в области с криволинейной границей. В параболической начально-краевой задаче для области с криволинейной границей предлагается и исследуется алгоритм метода Фурье, связанный с применением ортогональных сплайнов. Формируемая этим алгоритмом последовательность конечных обобщенных рядов Фурье в каждый момент времени сходится к точному решению задачи - бесконечному ряду Фурье. При увеличении числа узлов сетки в рассматриваемой области, имеющей криволинейную границу, структура конечных рядов Фурье сближается со структурой бесконечного ряда Фурье, представляющего собой точное решение начально-краевой задачи. Метод дает сколь угодно точные приближенные аналитические решения задачи в форме ортогональных рядов - обобщенных рядов Фурье, открывая новые возможности классического метода Фурье.

Ключевые слова: параболическая начально-краевая задача, криволинейная граница, метод разделения переменных, обобщенный ряд Фурье, ортогональные сплайны.

Mathematics Subject Classification: 35К20

V.L. Leontiev, Fourier method connected with orthogonal splines in parabolic initial

boundary-value problem for region with curvilinear boundary.

© Леонтьев В.Л. 2022.

Исследование В.Л. Леонтьева выполнено при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации в рамках программы Научного центра мирового уровня «Передовые цифровые технологии» (контракт № 075-15-2020-934 от 17.11.2020). Поступила 23 июня 2021 г.

1. Введение

Метод разделения переменных (метод Фурье) позволяет находить частные решения многих краевых и начально-краевых задач для уравнений в частных производных, допускающих разделение переменных. Метод связан с задачей Штурма-Лиувилля, Классический метод Фурье позволяет получать решения широких классов задач, но его реализация для задач многих типов, в том числе для задач, постановки которых содержат нерегулярные граничные условия, даже в тех случаях, в которых все участки границы области являются координатными линиями или поверхностями, встречается со значительными трудностями. Одно из направлений расширения области применения классического метода Фурье - преодоление сопутствующих методу математических проблем, например, связанных с характером граничных условий [2]. Специальные функции появляются, например, при решении задачи Штурма-Лиувилля в цилиндрической или сферической системе координат, что целесообразно в случае области, граница которой состоит из набора координатных линий или поверхностей такой системы координат, В общем случае задач для областей с криволинейными границами применение специальных функций является неэффективным. Классический метод Фурье применим только при решении краевых и начально-краевых задач для областей классической формы, что отмечается, например, в [3] при решении контактных задач для упругих тел с криволинейными границами. Решения, полученные классическим методом Фурье, приводятся, в частности, в статьях 11| |7|. применение метода рассматривается во многих книгах, например, в [8]. Другие направления развития математических инструментов решения задач для областей с криволинейными границами связаны, во-первых, с созданием и применением ряда методов, отличных от метода Фурье, например в работах [9]-[12], и, во-вторых, с модификацией самого метода Фурье, Данная статья относится ко второму направлению и ориентирована на такое расширение области применения метода Фурье, которое определяется построением последовательности конечных обобщенных рядов Фурье, связанных с ортогональными сплайнами и дающих решения параболической начально-краевой задачи в области с криволинейной границей.

Рассматриваемый здесь метод Фурье, связанный с ортогональными сплайнами, дает сходящуюся последовательность приближенных аналитических решений в форме конечных обобщенных рядов Фурье, структура которых подобна структуре частичных сумм бесконечного ряда Фурье, являющегося точным решением задачи. Использование ортогональных сплайнов расширяет область применения метода Фурье, а также сближает численный вариационно-сеточный метод с аналитическим методом разделения переменных. Метод Фурье, связанный с ортогональными сплайнами, был предложен в статье [13] для решения гиперболической начально-краевой задачи, рассматриваемой в области с криволинейной границей. Здесь метод Фурье, связанный с ортогональными сплайнами, применяется для решения параболической начально-краевой задачи. Излагается алгоритм метода и проводится его исследование,

2. Постановка параболической начально-краевой задачи для области

с криволинейной границей Рассматривается параболическая начально-краевая задача

u{x,y, 0) = f {х,у) У(х,у) е в; и\д8 = ид8{х,у) Vг > 0,

где дБ — кусочно-гладкая выпуклая криволинейная граница одноевязной плоской области Б] и = и(х, у, ¿) - функция, непрерывная V > 0 в замкнутой области $ = $ + дБ;

(2.1)

а2 = const > 0, Примером является задача о процессе стабилизации температурного поля в области с криволинейной границей dS, па которой задано стационарное переменное распределение температуры uqs(х, у).

Решение задачи (2,1) ищется в виде суммы и(х,у, t) = v(x, у) +w(x,y, t), подстановка которой в (2,1) приводит к совокупности двух задач:

Av(x, у) = 0 V(x, у) eS; . ( =У) . ) ( , Ш ' (2.2) v\as = udS(х, у)

и

dw

L[w] = a2Aw(x, у, t) = ^ V(x, у) e S, Vt > 0;

db

w(x,У, 0) = f(x, у) - v(x, у) V(x, у) eS; (2-3'

wlas = 0 Vt> 0.

Если uqs(x, y) = U = const, то очевидно, что решение задачи (2.2) для любой криволинейной границы dS имеет вид v(x, у) = U. Если область S - круг, а переменная па границе круга функция uqs допускает разложение в ряд Фурье, то на основе известного для этого случая точного решения (см. например, [14]) после конформного преобразования многоугольной или некоторой другой области на круг с помощью интеграла Кристоффеля-Шварца получается решение задачи (2.2) для многоугольной или другой области. С учетом этого, далее основное внимание уделяется методу решения задачи (2.3).

3. Метод Фурье

Согласно методу Фурье, решение задачи (2.3) ищется в виде произведения двух функций

w(x,У, t) = P(x, у) •ф(t), (3.1)

подстановка которого в дифференциальное уравнение задачи (2.3) приводит к

L[р(x, у)] • = р(x, у)^

пли

L[P(x, У)\ 1 d^(t) л . , .ч ^ п /о

---— = —-——-— ^ —А = const(x,y, t) < 0. 3,2

р(х, у) ф(t) dt У ; 1 ;

Краевое условие (2,3) с учетом (3,1) дает

P(x, y)las = 0 (3.3)

и поэтому из (3,2) следует краевая задача Штурма-Лиувилля

L[p] + Ap = а2Ар + Ар = 0 (S), P\ds = 0.

После решения этой задачи, т.е. после построения системы собственных значений Ак и соответствующей ей системы собственных функций рк(х, у), определяется связанная с ними система решений фк (t) уравнений

dip(t)

(3.4)

d

+ Ак ф(г) = 0. (3.5)

Затем на основе ^(х, у) а фк(¿), соответствующих Ак, с учетом начального условия строится бесконечный функциональный ряд - точное решение задачи (2,3),

4. Метод Фурье, связанный с использованием ортогональных сплайнов

Первые шаги алгоритма метода Фурье, в котором используются ортогональные сплайны, в случае области с криволинейной границей совпадают с аналогичными шагами классического метода Фурье, Решение задачи (2,3) также разыскивается в виде произведения

(3.1), подстановка которого в дифференциальное уравнение (2,3) приводит к уравнению

(3.2), а исходное граничное условие дает условие (3,3), Возникает та же краевая задача Штурма-Лиувилля (3,4), Решение уравнения (3,5) связано с решением задачи Штурма-Лиувилля (3,4) и с учетом начального условия (2,3),

Дальнейшие шаги алгоритма модифицированного метода Фурье, предназначенного для решения параболических начально-краевых задач в случае областей с криволинейными границами, отличаются от соответствующих шагов классического алгоритма, поскольку связаны с применением ортогональных сплайнов при построении последовательности приближенных аналитических решений в форме обобщенных конечных рядов Фурье и с предельным переходом в этой последовательности к точному решению задачи (2,3) -бесконечному функциональному ряду.

Нетривиальные решения краевой задачи (3,4) ищутся в виде

N Ь(г)

Рм(Х, у) = Сца^хЩ(4.1)

где Су - постоянные коэффициенты; М,]2 - натуральные числа, зависимость ]2 от г определяется размерами области и формой криволинейной границы дБ; а^х),^(у) -ортогональные сплайны [1]: Ог(х) = ^г(х), [^(у) = (у), где

р^х) = [(\^2 — 1)(х¿-1 — х)к-1, х е [х1-1,Х1-1 + 0.5к\;

(л/2 + 1)(х — Хг)к-1 + 1, X е [Хг-1 + 0.5Н,Хг\;

(^2 — 1)(х — Х1)к-1 + 1, X е [Хг,Хг + 0.5Н\;

(л/2 + 1)(х1+1 — х)к-1, X е [Хг + 0.5к, Х1+1\;

0, х е +го)\

и к1 = к2 = к- шаги прямоугольной равномерной сетки с узлами, имеющими координаты (хг = г к, Уз = ]К) е Б, 0 < г < М, 0 < ] < М. Скалярные произведения сплайнов обладают свойствами

2 „ „ „ 2 (^^э) = ||<5*|| 8ц, ([>%,[]) = [%

8%3 ,

где - символы Кронекера, ||*|| - норма гильбертова пространства квадратично-суммируемых функций Ь2(Я) = Ш1(8); Ш2, - пространство Соболева, Область Б вписана в прямоугольник Б1, часть точек непрерывной кусочно-гладкой криволинейной границы дБ лежит па границе прямоугольной области Б1. Конечные носители ортогональных (на каждой сетке) сплайнов [ оц(х) [^(у)] представляют собой прямоугольные подобласти. Заметим, что ортогональные сплайны [1] допускают также использование конечных носителей, состоящих из треугольников. Функции

_1 ~ ~ -1 ог(х) = а^(х) ^хЦ , (у) = [э(у) [(у)

образуют две системы ортонормированных (на каждой сетке) сплайнов, поскольку

(аг,а^ ) = Ьгу , ([ъ,[ ) = Ьгу.

После нормировки функций сумма (4,1) переписывается в виде

N Ь(г)

Рм(х у) = ^ ^ СИаг(х)Рз(У). (4-2)

Каждый постоянный коэффициент С^ линейной комбинации (4,2) ортонормированных сплайнов - функций сеточного Лагранжева базиса конечномерного подпространства, связанного с построенной сеткой, равен значению функции (х, у) в узле (хг, у^) сетки согласно свойствам таких сплайнов. Поэтому граничные условия р>1д8 = 0 удовлетворяются, если те коэффициенты С^, которые соответствуют граничным узлам, приравниваются нулю. После такого выполнения главных граничных условий линейная комбинация (4,2) записывается следующим образом:

N2 Ыг)

РМ(х, У)= ^ ^ СИаг(х)Р] (У), (43)

г=М! 3=^(1)

где N1, 32 ~ натуральные числа такие, что

1 <N-1 <N2 к(г) < ^(г) < 32(1) < 32(1).

Для определения коэффициентов Сц приближенного аналитического решения (4,3) краевой задачи (3,4) используется условие 6Я = 0 стационарности функционала Рейсснера

2(дрх ^ 8^2

2 Я( <р, <ри<р2) = ] ¡У^ + Ц^ +

- (- - (| -

+ / р(^1Пх + (Р2ПУ )(И,

идя

равносильное задаче (3,4) в смешанной форме

2 ¡'др- 1 д^2

дх + ду ) + Р , др др Тх = ~ду =р2

'АдБ =

Подстановка (4,3) в условие стационарности функционала Рейсснера приводит к системе конечно-разностных уравнений

& [(Сп+1 ,т 2 Спт + Сп— 1,т Ж2

2 (4'4) + ( Сп ,т+1 2 Спт + Сп,т— 1 АптСпт °

каждое из которых связано с соответствующим внутренним узлом (хп, ут) сетки. Сформирована однородная система линейных алгебраических уравнений (4,4), неизвестными в которой являются коэффициенты Спт. Эта система всегда имеет тривиальное реше-

А

собственнымп значениями вариационно-сеточного оператора, полученного с помощью вариационного принципа Рейсснера на основе оператора Лапласа, а также собственными значениями краевой задачи (3,4), аппроксимацией для которой является система уравнений (4,4), С учетом ортогональности используемых сплайнов система уравнений (4,4) записывается в виде

МХ -АХ = 0, (4.5)

где М - квадратная матрица системы уравнений, X - матрица-столбец, компоненты которой - неизвестные коэффициенты С^. Матрица М по построению - вещественная и симметричная, а следовательно все собственные значения и собственные векторы этой матрицы имеют вещественные значения, причем все ее собственные векторы линейно-независимы и попарно ортогональны, в том числе и в случае, когда есть кратные собственные значения. Пусть А1 ,\2,..., Ак ~ собственные значения, найденные в результате решения характеристического уравнения системы (4,5), сПт - соответствующие им компоненты к-го собственного вектора X(к), т.е. одного из нетривиальных решении системы уравнений (4,5), а функция

N2 Мъ)

<Р<$(Х, У) = £ Е С^ОгШ, (У)

1=N-1 ]=^(г)

- нетривиальное решение (4,3), Собственные значения положительны, поскольку матри-М

того, что эта матрица возникла при использовании вариационного принципа и на основе скалярного произведения, примененного к положительно определенному, в случае рассматриваемого граничного условия, оператору (—V) = —а2А.

Теорема 4.1. Функция

К N2 Мг)

т(К)(х,у, 1) = еМ—А^) £ £ С^)аг(х)[3(у)\, (4.6)

к=1 г=М- ]=Л!(г)

в которой

Ак = —11 [f(x, у) — v(x, (х, у)с1 S, (4.7)

т(к) JJs

УИ

удовлетворяет уравнению (3-4) в вариационной форме, уравнению (3.5), а также граничному условию (3.3) и начальному условию (2.3), т.е. является, приближенным аналитическим, решением задачи (2.3) в случае области с криволинейной границей. При каждом фиксированном значении времени, эта сумма представляет собой конечный обобщенный ряд Фурье по собственным, функциям краевой, задачи (3-4) в вариационной, форме 5К = 0.

Доказательство. Сумма

N2 Мг)

№(*, У) = Ё Ё С^а^Ъ (У)

г=N1 ]=Зг(г)

является элементом множества Н^ С (Б) - линейной оболочки функций [аг(х)[3(у)], связанных с указанной сеткой и удовлетворяющих граничному условию (3.3), а также является нетривиальным решением системы уравнений (4.5), удовлетворяющим граничному условию (3.3) и соответствующим собственному значению Ак, т.е. у) - собственная

функция краевой задачи (3.4) в вариационной форме 6К = 0.

Рассмотрим уравнение (3.5) после подстановки в него любого найденного положитель-

Ак

^ + Ак т = 0.

Общие решения таких дифференциальных уравнений имеют вид

фк (^ = Ак ехр(—Ак Ь),

где Ак - неизвестные постоянные коэффициенты. Следовательно, сумма

к к м2 з2 (г)

Юр™(х, у) = ^[Ак ехр(-\кг) £ £ С^а^хЩ(у)] (4.8)

к=1 к=1 г=И\ j=Jí(г)

удовлетворяет уравнению (3.4) в вариационной форме 6Я = 0, уравнению (3.5), а также граничному условию (3.3). Остается обеспечить выполнение начального условия (2.3). Подстановка суммы (4.8) в начальное условие дает

к

^^р^^ у) = у) - v(х, у). к=1

Умножение обеих частей на р$(х, у)-, интегрирование по области Б и использование ортогональности собственных функций дают

Ак = —11 [f(х, у) - v(х, у)\р{и)(х, 8

Рм

Таким образом, сумма (4.6), коэффициенты которой определяются формулами (4.7), удовлетворяет уравнениям (3.4) в вариационной форме 6Я = 0, уравнению (3.5), а также граничному условию (3.3) и начальному условию (2.3), т.е. является приближенным аналитическим решением задачи (2.3) в случае области с криволинейной границей. Сумма (4.6) при каждом фиксированном значении времени представляет собой конечный обобщенный ряд Фурье по собственным функциям краевой задачи (3.4) в вариационной форме. □

5. сходимость метода

Теорема 5.1. Приближенные собственные функции р^ (х, у) при сгущении сетки сходятся к точным собственным функциям рк\х, у) Е Ш^Б), удовлетворяющим граничному условию (3.3), т.е.

2

Р(к) - №

_ - > 0.

Доказательство. Доказательство сходимости приближенных аналитических собственных функций к точным собственным функциям основано, как и в статье [13], на том, что условие стационарности = 0 функционала

ф( р) = р)2 - ^р2

где V - набла-оператор, при условии, что варьирование функционала проводится па множестве функций, удовлетворяющих главному граничному условию (3.3), равносильно краевой задаче (3.4). Значение второй вариации функционала в его стационарной точке - положительное, а, следовательно, функционал имеет в стационарной точке минимум и поэтому решение такой вариационной задачи, а, следовательно, и краевой задачи (3.4), является единственным. Кроме того, функционал имеет в стационарной точке рзначение равное нулю, так как на множестве функций из Ш^Б), удовлетворяющих граничному условию,

Ф( р(к)) = — / / [а2 А р(к) + \кр(к)]р(к)(18 = 0.

в

Поэтому можно показать, что функционал для любой функции т Е Ш1(8), удовлетворяющей граничному условию (3,3), равен

Ф(т) = II [а2(Чт)2 — А^^Б

= Л [а2(Ъ(у(к) — т))2 — Ак(у(к) — т)2ДО = [у(к) — т, у(к) — т] — Ак(у(к) — т, у(к) — т) - разности скалярного произведения

[У1, Ь2] = ц а2(^Ъ1),^У2<!Б энергетического пространства и скалярного произведения

(у 1, щ) = JJ Ь1Ь2(1 в

гильбертова пространства ), Таким образом, задача отыскания точной собственной

функции у(к') свелась к задаче минимизации

Ф( у(к)) = шт_Ф(т) = 0 (5.1)

V w£Wl(S)

на множестве функций т Е W1(S), удовлетворяющих граничному условию (3,3), Выполняется неравенство

1Ф(т)1 = |[ у(к) — т,у(к) — т] — Ак (у(к) — т,у(к) — т)\

< \ [ у(к) — т, у(к) — т] \ + Ак \ (у(к) — т, у(к) — т)\ .

Поэтому в силу того, что каждая функция <р$(х, у), согласно алгоритму метода и в силу ортогональности сплайнов, связана с минимизацией функционала Ф(т) и является наилучшим в смысле энергетической нормы приближением в Н^ С W1(S) к функции у(к\ задача минимизации функционала при отыскании сводится к задаче теории аппроксимации

Р(к) — Ук

2 • II (к) II2

_ = шт ||р( ) — и)Ц„п,^л

W1(S) VweнN CW21(S) 11 (S)

т.е. к задаче аппроксимации точных собственных функций у(к^(х, у) линейными комбинациями (р^кг\х, у) ортогональных сплайнов. Такая задача решена в [1], где имеются соответствующие теоремы об аппроксимации, определяющие точность аппроксимации и скорость сходимости при сгущении сетки, зависящие от типа конкретных систем ортогональных сплайнов, □

Сходимость конечных рядов (4,6) определяется сходимостью приближенных собственных значений Ак и функций ^^(х, у) к соответствующим точным значениям и функциям, С ростом числа узлов сетки возрастает число используемых при построении решений ортогональных сплайнов. Собственные значения однородной системы уравнений (4,5) в случае I = ж известны (см, например, [1])

Ак = Ап,т = п2 + т2 + (п4 + т4)^ + 0[(п6 + т6)к4],

где п = 1, 2, . . . , N — 1; т = 1, 2,..., М — 1; и сходятся, что очевидно, при Ы,М ^ то, к ^ 0 к соответствующим известным точным собственным значениям [15]

ж2

' Г 2 I 2\ 2 I 2

ип,т = -рг (п +т ) = п +т

задачи Штурма-Лиувилля (3,4),

При увеличении числа узлов сетки области Б приближенные решения <р$(х, у) краевой задачи (3,4), т.е. приближенные собственные функции этой задачи, согласно теореме 5,1, сходятся к ее точным решениям - собственным функциям р(к\х, у). При этом неограниченно возрастает число собственных значений и собственных функций краевой задачи, поставленной в смешанной вариационной форме, а, следовательно, сумма (4,6) по к от 1 до К в пределе переходит в бесконечный ряд по к от 1 до то, который при любом значении Ь > 0 является бесконечным рядом Фурье по собственным функциям. Такой ряд является единственным решением задачи (2,3), что следует из теоремы [15, стр. 88-91], основанной на теореме Стеклова [15], Отличие данного метода решения начально-краевых задач для областей с криволинейными границами, например, от метода конечных элементов [12] состоит в том, что в данном методе определяемая его алгоритмом последовательность конечных рядов Фурье (4,6) в каждый фиксированный момент времени сходится к соответствующему бесконечному ряду Фурье, сформированному на основе точных собственных функций 1р(к\х, у) и представляющему собой существующее единственное точное решение задачи (2,3), определить которое в случае криволинейной границы области не удается. Следовательно, эти конечные ряды Фурье представляют собой в любой момент времени аналитические приближенные решения задачи (2,3) для области с криволинейной границей, которые при увеличении числа узлов сетки неограниченно близко подходят к точному решению этой задачи - бесконечному ряду Фурье, причем, не только по количественным критериям, но и по своей аналитической структуре. Метод дает в каждый момент времени решение в форме ортогональных рядов - обобщенных конечных рядов Фурье по собственным функциям. Эти ряды - сколь угодно точные приближенные аналитические решения задачи (2,3) для области с криволинейной границей, которые в пределе переходят в точное аналитическое решение,

В качестве примера, показывающего сходимость конечных ортогональных обобщенных рядов Фурье к точному решению - бесконечному ряду Фурье, рассматривается задача Штурма-Лиувилля (3,4) для области Б, граница дБ которой является квадратом со стороной I = ж. Сходимость собственных значений и функций, конечных обобщенных рядов Фурье, связанных с ортогональными сплайнами, обеспечивает сходимость конечных рядов (4,6) к точному решению задачи (2,3), Используется прямоугольная равномерная сетка с шагами к\ = к2 = к, узлы которой имеют координаты

(хг = г к, Уу = ]К) е Б, 0 <%< N, 0 < ] < N.

Система уравнений (4,4), записанных для внутренних узлов сетки

1 < г < N — 1, 1 < j < N — 1

с учетом однородных граничных условий (3,3), является однородной системой конечно-разностных уравнений, нетривиальными точными решениями которой, в случае I = ж, являются известные собственные функции [16]

Ц>п,т(ъ,Л = ят(пхг) 8т(туу), соответствующие точным собственным значениям [16]

\ =4

лп,т т0 к2

2 пк 2 тк

*ш2{ т) +*11Г!{-г)

1, 2,..., N — 1.

п, т

Число этих собственных функций равно ( N — 1)2 - числу внутренних узлов сетки. Значения собственных функций т(г, ]) в узлах сетки определяют значения коэффициентов суммы (4.6):

С™'™^ = вт(пх<) sm(myj).

Таким образом, в задаче для квадратной области для каждого собственного значения Ап,т формируются ортогональные обобщенные конечные ряды Фурье

N-1 N-1

^N)(x, У) = ^N,m)(x, у) = ^ Ё 8[п(пх<) siп(mУj)®<(х)^(у)

<=1 j=1

- приближенные собственные функции. Конечный ряд (4,6) принимает в данной задаче вид

N-1 N-1

ы(ю(х,у, г) =у, Ап,т ехр(—\п>ть)^^'т)(х, у). (5.2)

п=1 т=1

Точное решение задачи Штурма-Лиувилля (3,4) для случая квадратной области Б, а также а2 = 1 и I = ж, определяется собственными значениями и функциями [15]:

Фп,т(х, у) = &т(пх) $т(ту), шщт = п2 + т2.

Основанное на этом точное решение задачи (2,3) в рассматриваемом случае имеет вид [15]

те те

т(х,у, г) У^ Вп,т ещ>(—Шп,т^Фп,т(х, у). (5.3)

п=1 т=1

Вп, т

собственных функций формулой

Вп,т = ||л. 1 ..2 1 I [f(x, у) — v(x, У)]фп,т(x, У)с1Б. ||Фп,т|| JJs

Соответственно, в силу ортогональности 1р^п,т\х, у)

Ап,т = -1-2 1 I [f(x, У) — V(X, У)]^{М,т) (x, У)^.

.1 п,т> 3 Js

тN

Точность аппроксимации собственных функций Фп,т(х, у) приближенными собственными функциями .^(х, у) растет при N ^ ж, Действительно, ортогональные сплайны а<(х), ^(у) являются финитными, непрерывными и кусочно-линейными, причем значения их произведений в узлах сетки равны единице. Поэтому значения функции .™,т\х, у) во всех узлах сетки равны значениям соответствующих коэффициентов С<п'т\ следовательно, значения функции (х, У) в узлах сетки совпадают со значениями в этих же узлах точных собственных функций вт(пх) $,\п(ту), Из сходимости >.™,т\х, у) к функциям Фп,т(х, у) следует сходим ость Ап,т к Вп,т при N ^ ж, Кроме того, Хп,т ^ шп,т = п2 + т2 при N ^ ж, Н ^ 0, Фактическая сходимость собственных значений характеризуется следующим примером: Ап = 1.899 при N = 4; Ап = 1.984, если N = 10; Ап = 1.996, если N = 20, то есть Ап при N ^ ж, Н ^ 0 имеет такой характер сходимости к точному собственному значению ш11 = 2.

При N ^ ж точность аппроксимаций \х,у, Ь) возрастает, число собственных функций, входящих в (5,2), увеличивается, при этом для каждой величины N значения .п,т)(х, у) совпадают в узлах сетки со значениями соответствующих точных собственных функций.

Структура конечных рядов (5,2) соответствует структуре частичных сумм бесконечного ряда (5,3) с учетом при этом числа узлов сетки. Рассмотренный пример подтверждает выводы теорем 4,1, 5,1 и показывает, что метод Фурье, связанный с применением ортогональных сплайнов, дает приближенные аналитические решения в форме конечных обобщенных рядов Фурье с любой заранее заданной точностью,

6. Заключение

Расширение областей применения классических аналитических методов решения начально-краевых задач является актуальной задачей. Одно из направлений развития таких методов - включение в область применения метода разделения переменных задач для областей с криволинейными границами. Специальные функции позволяют использовать метод Фурье в случае областей с криволинейными границами, но геометрия таких границ должна состоять из координатных линий или координатных поверхностей некоторой криволинейной системы координат, что делает такие возможности значительно ограниченными,

В данной статье рассматривается метод разделения переменных, предназначенный для решения параболических начально-краевых задач для областей с криволинейными границами более сложной геометрии. Метод дает сходящуюся последовательность приближенных аналитических решений в форме конечных обобщенных рядов Фурье в каждый момент времени, структура которых связана со структурой частичных сумм бесконечного ряда Фурье, являющегося точным решением задачи. Использование ортогональных сплайнов расширяет область применения метода Фурье, а также сближает вариационно-сеточные методы с аналитическим методом разделения переменных.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. В.Л. Леонтьев. Ортогональные сплайны, и специальные функции в методах вычислительной механики и математики. Санкт-Петербург: ПОЛИТЕХ-ПРЕСС. 2021. 466 с.

2. Э.А. Гасымов, А.О. Гусейнова, У.Н. Гасанова. Применение обобщенного метода разделения переменных к решению смешанных задач, с нерегулярными граничным,и условиями // Журнал вычислит, матем. и матем. физики. 56:7, 1335-1339 (2016).

3. И.С. Савичев, А.Д. Чернышев. Применение метода угловых суперпозиций для решения контактной задачи, о сжатии, упругого цилиндра, // Изв. РАН. МТТ. 3, 151-162 (2009).

4. А.П. Хромов, М.Ш. Бурлуцкая. Классическое решение методом Фурье смешанных задач, при минимальных требованиях на исходные данные // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 14:2, 171-198 (2014).

5. В.Л. Колмогоров, В.П. Федотова, Л.Ф. Спевак, H.A. Бабайлов, В.Б. Трухин. Решение нестационарных тем,пера,турных и термомеханических задач, методом разделения переменных в вариационной, постановке // Вестник Самар. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 42, 72-75 (2006).

6. Ю.И. Малов, Л.К. Мартинсон, К.Б. Павлов. Решение некоторых смешанных кра,евы,х задач, гидродинамики проводящих сред методом разделения переменных // Журнал вычислит, матем. и матем. физики. 12:3, 627-638 (1972).

7. М.Ш. Исраилов Дифракция акустических и упругих волн на полуплоскости при разнотипных граничных условиях // Изв. РАН. МТТ. 3, 121-134 (2013).

8. V. Anders. Fourier analysis and its applications. New York: Springer-Verlag, Berlin: Heidelber. 2003. 269 p.

9. А.Б. Усов. Конечно-разностный метод решения уравнений Навье-Стокса в переменной области с криволинейным,и, границам,и, // Журнал вычислит, матем. и матем. физики. 48:3, 491-504 (2008).

10. П.А. Крутицкий. Первая начально-краевая задача, для, уравнения гравитационно-гироскопических волн, в многосвязной области // Журнал вычислит, матем. и матем. физики. 37:1, 117-128 (1997).

11. M.II. Чебаков. Некоторые динамические и статические контактные задачи, теории упругости для кругового цилиндра, конечных размеров // Прикл. матем. и мех. 44:5, 923-933 (1980).

12. Г. Стренг, Дж. Фикс. Теория метода конечных элементов. М.: Мир. 1977. 349 с.

13. V.L. Leontiev. Fourier Method in Initial Boundary Value Problems for Regions with Curvilinear Boundaries // Mathematics and Statistics. 9:1, 24-30 (2021).

14. С.Г. Михлин. Курс математической физики. М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука». 1968. 576 с.

15. В.Я. Арсенин. Методы математической физики и специальные функции. М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука». 1974. 432 с.

16. A.A. Самарский, Е.С. Николаев. Методы решения сет,очных уравнения. М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука». 1978. 592 с.

Виктор Леонтьевич Леонтьев,

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого, Научный центр мирового уровня «Передовые цифровые технологии», ул. Политехническая, 29, 195251, г. Санкт-Петербург, Россия E-mail: leontiev_vl@spbstu.ru