О ЧИСЛЕ ТОЧЕК РЕШЕТКИ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНОГО СРАВНЕНИЯ В ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ОБЛАСТЯХ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 23. Выпуск 5.

УДК 511.3 DOI 10.22405/2226-8383-2022-23-5-130-144

о

числе точек решетки решении линеиного сравнения в прямоугольных областях1

Н. К. Тер-Гукасова, М. Н. Добровольский, Н. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский

Тер-Гукасова Надежда Константиновна — специалист по кадровому делопроизводству отдела по кадровому администрированию управления персонала НИУ ВШЭ (г. Москва). e-mail: nadj_nadj@mail.ru

Добровольский Михаил Николаевич — кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, Геофизический центр РАН (г. Москва). e-mail: m.dobrovolsky@gcras.ru

Добровольский Николай Николаевич — кандидат физико-математических наук, Тульский государственный университет; Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого (г. Тула). e-mail: nikolai. dobrovolsky@gmail. com

Добровольский Николай Михайлович — доктор физико-математических наук, профессор, Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого (г. Тула). e-mail: dobrovol@tsput.ru,

Аннотация

В теории гиперболической дзета-функции решёток значительную роль играет теорема Бахвалова, в которой величина дзета-функции решётки решений линейного сравнения оценивается через гиперболический параметр решётки.

В монографии Н. М. Коробова 1963 года эта теорема доказывается методом, отличным от первоначальной работы Н. С. Бахвалова. В этом методе центральную роль играет лемма о количестве решений линейного сравнения в прямоугольной области.

В работе даются новые оценки количества точек решетки решений линейного сравнения в прямоугольных областях. Это позволяет доказать усиленную теорему Бахвалова об оценки гиперболической дзета-функции решётки решений линейного сравнения.

Отличия теоремы о количестве точек решетки решений линейного сравнения в прямоугольных областях от соответствующей леммы Коробова состоит в том, что вместо одной оценки через отношение объёма прямоугольной области к гиперболическому параметру добавлены ещё два случая и в первом случае уменьшена константа. Использование теоремы о количестве точек решетки решений линейного сравнения в прямоугольных областях приводит к необходимости в доказательстве теоремы Бахвалова-Коробова рассматривать различные области применения теоремы о количестве точек решетки решений линейного сравнения в прямоугольных областях.

Ключевые слова: параллелепипедальная сетка, квадратурные формулы, метод оптимальных коэффициентов, количественная мера качества сетки.

Библиография: 26 названий.

1 Исследование выполнено при финансовой поддержке гранта Министерства образования и науки РФ на развитие молодежных лабораторий, в рамках реализации ТГПУ им. Л. Н. Толстого программы «Приоритет 2030» по Соглашению №073-03-2022-117/7 по теме «Теоретпко-числовые методы в приближенном анализе и их приложения в механике и физике»

Для цитирования:

Н. К. Тер-Гукасова, М. Н. Добровольский, Н. Н. Добровольский, Н. М. Добровольский. О числе точек решетки решений линейного сравнения в прямоугольных областях // Чебышевский сборник, 2022, Т. 23, вып. 5, С. 130-144.

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 23. No. 5.

UDC 511.3 DOI 10.22405/2226-8383-2022-23-5-130-144

On the number of lattice points of linear comparison solutions

in rectangular areas

N. K. Ter-Gukasova, M. N. Dobrovol'skii, N. N. Dobrovol'skii, N. M. Dobrovol'skii

Ter-Gukasova Nadezhda Konstantinovna — HR Clerk of the HR Administration Department of the HSE Personnel Department (Moscow). e-mail: nadj_nadj@mail.ru

Dobrovolsky Mikhail Nikolaevich — Candidate of Phvsico-Mathematical Sciences, Senior Researcher, Geophysical Center of the Russian Academy of Sciences (Moscow). e-mail: m.dobrovolsky@gcras.ru

Dobrovol'skii Nikolai Nikolaevich — candidate of physical and mathematical sciences, Tula State University; Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University (Tula). e-mail: nikolai. dobrovolsky@gmail. com

Dobrovol'skii Nikolai Mihailovich — doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of the department of algebra, mathematical analysis and geometry, Tula State Lev Tolstoy Pedagogical University (Tula). e-mail: dobrovol@tsput.ru,

Abstract

In the theory of the hyperbolic zeta function of lattices, a significant role is played by the Bakhvalov theorem, in which the magnitude of the zeta function of the lattice of linear comparison solutions is estimated through the hyperbolic lattice parameter.

In N. M. Korobov's 1963 monograph, this theorem is proved by a method different from the original work of N. S. Bakhvalov. In this method, the central role is played by the lemma about the number of linear comparison solutions in a rectangular area.

The paper gives new estimates of the number of lattice points of linear comparison solutions in rectangular regions. This allows us to prove the strengthened Bakhvalov theorem on the evaluation of the hyperbolic zeta function of the lattice of solutions of linear comparison.

The difference between the theorem on the number of lattice points of linear comparison solutions in rectangular regions and the corresponding Korobov lemma is that instead of one estimate through the ratio of the volume of a rectangular region to a hyperbolic parameter, two more cases are added and in the first case the constant is reduced. The use of the theorem on the number of lattice points of linear comparison solutions in rectangular areas leads to the need to prove the Bakhvalov-Korobov theorem to consider various areas of application of the theorem on the number of lattice points of linear comparison solutions in rectangular areas.

Keywords: parallelepipedal grid, quadrature formulas, method of optimal coefficients, quantitative measure of grid quality

Bibliography: 26 titles.

For citation:

N. K. Ter-Gukasova, M. N. Dobrovol'skii, N. N. Dobrovol'skii, N. M. Dobrovol'skii, 2022, "On the number of lattice points of linear comparison solutions in rectangular areas" , Chebyshevskii sbornik, vol. 23, no. 5, pp. 130-144.

1. Введение

1.1. Актуальность и цель работы

Актуальность темы состоит в том, что решетка решений соответствующего линейного сравнения возникает при изучении количественной меры качества оптимальных коэффициентов и оценки погрешности приближенного интегрирования периодических функций с помощью квадратурных формул с параллелепипедальными сетками. Поэтому эта решетка играет важную роль в современных исследованиях по теории теоретико-числового метода приближенного анализа (см. [2] — [5], [11] — [16], [20] — [24]), в которых метод оптимальных коэффициентов Н. М. Коробова занимает центральное место.

Особое значение параллелепипедальных сеток с оптимальными коэффициентами объясняется тем фактом, что квадратурные формулы с этими сетками задают ненасыщаемые алгоритмы численного интегрирования на классах Е£ (а > 1) (см. [1], [19]), для которых порядок убывания погрешности почти наилучший.

Цель работы — получить оценки сверху для количества точек решетки решений линейного сравнения в прямоугольных областях, которые необходимы для оценки качества оптимальных коэффициентов параллелепипедальных сеток по простому модулю и модулю произведения двух простых, найденных по алгоритму Н. М. Коробова (см. [14], [16]).

1.2. Параллелепипедальные сетки Н. М. Коробова и решетки решений линейного сравнения

В 1959 году профессор Н. М. Коробов предложил новый класс теоретико-числовых сеток — параллелепипедальные сетки:

* = (Ш--Ш) =

где (аз, N) = 1 (] = 1,...,«), и соответствующие квадратурные формулы с равными весами

/■■■// <*> «=¿ £-

n П к=О ■> У >

Rn [/],

где Rn [f] - погрешность квадратурной формулы.

На классе Ef периодических функций с быстро сходящимися рядами Фурье были получены наилучшие результаты

ln«(«-i) N

\Rn[/]| <<-77- (H. С. Бахвалов [2], Н. М. Коробов [15]).

N а

Эти оценки получены на основе изучения гиперболической дзета-функции (я(A(a,N)\а) (а > 1) решетки А(а, N) решений линейного сравнения

aimi + ... + asms = 0 (mod N) (1)

Ся (Л(а,Ж)|«)= V' ?-= V' Sn (miai + ••• + , (2)

где Yl' означает, что из области суммирования исключен набор гп = 0, а символ Коробова 5n(а) задается равенством

„ ( ) = J 1, если а = 0 (mod N), ( ) | 0, если а ф 0 (mod N)•

1.3. Качество параллелепипедальной сетки

Количественной мерой качества набора коэффициентов ai,..., as параллелепипедальной сетки называется величина

"<N.0) = П (l - ^ })2, (3)

k=0 j=i 4 ^ J 7

которая равна приближенному значению интеграла от периодической функции

ВД = ^П(1 - }) =i

по квадратурной формуле с параллелепипедальной сеткой

^ ^ Л _ (aj ■ к

£П О - 2 j ^ })'

k=0 =1

Wo •••/„ ^^ = ^ 1 1(1 - 2 ^ " " -Rn [Л].

где Км [Л.] — погрешность приближенного интегрирования.

Выбор функции и величины Н(Ж, а) связан с тем, что функция является граничной функцией класса ^ ^^ (подробности см. [16]). Справедливы следующие теоремы.

Теорема 1. Справедливо равенство

N2

тлг _ч Л , 2 V , w ¿N( aim + ••• + asms) Н (N,a)= ^ + N2j + ^

ф(т\) • • • 'ф(тц)

где

N2

■ф(т) = <

N2 + 2

N2 sin2 ^ ^

при m = 0;

N - 1

N =

при m = 0,

N2 =

N

У

6

Доказательство. См. [26].

Теорема 2. Пусть для целых г функция Н(г) определена равенством

2 / г^ в-1

Н£ (1 - 2{ Ш 2 -(1 - 2т, -

k=1

где р — простое число, большее s .

Если при z = а достигается минимум функции Н(z) на интервале 1 ^ z ^ р—1, то целые ai = 1, а2 = a, ..., as = as-i (mod p) 1 ^ aj ^ p — 1 (j = 1, ... , s) будут оптимальными коэффициентами no модулю p и выполняется неравенство

где

2s ■ 3s ■ р при р < 2s ■ 3s ■ е3s,

М(р, S) = ' 6s2 ■ 3s Е Crs (—У 2rm(p, г) ■ l(tr, г) при р ^ 2s ■ 3s ■ e3s,

У к2

r=2

Г—1 + Г—1 + r—-V 2

m(t, r) = ^ C?_i ^, l(t, r) = ГС ^Y- Cvr-1-Jу

v=0 ' v=0 ' ^=0 ^

2(s — 1) ■ 3 s ■ m(p, r)' Доказательство. Cm. [18].

При доказательстве этой теоремы существенную роль играла следующая лемма. Пусть р > 2 — простое, ai, ..., as — фиксированные целые, не кратные р и 2 ^ г ^ s. Рассмотрим решения сравнения

р — 1

a1m1 + ... + asms = 0 (mod р), \mj| ^—-— 0 = 1,2,...,s),

в которых ровно г переменных mj отличны от нуля и определим величину qr = qr (a1,..., as) равенством qr = min m1.. .ms, где минимум берется по всем указанным ненулевым решениям сравнения и X = тах(\х\, 1) для веществен ных х.

Лемма 1. Существует не менее (р + 1)/2 значений z £ [1,р — 1] т,аких, что при

a1 = 1, a2 = z, ..., as = z5-1 (mod p) (6)

для величин qr = qr (a1,..., as) будут выполняться оценки

qr > 2(s — 1) ■ ■ mfr,r) (r = 2,...,s).

1.4. Теорема Бахвалова

Гиперболический параметр q(A(a,N)) решетки решений сравнения (1) определяется как минимальное значение произведения Ш\ .. .ms, где т\,..., ms — произвольное нетривиальное решение сравнения

aimi + ... + asms = 0 (mod N). (8)

В следующей теореме, принадлежащей Н. С. Бахвалову [2], устанавливается связь между параметром q(A(a, N)) и величиной гиперболической дзета-функции решетки A(a, N) при N =

Доказательство использует две леммы.

Лемма 2. При любых целых Л,, и п, ^ 1 (г/ = 1, 2,..., в) справедлива оценка,

Ах+гах Аа+га,,

У^ ... + ... + а3к3 + Л) ^

кх =Лх+1 к3=Л3+1

{1 при п1... п8 ^ д,

4щ ...п8 ^ (9) - при п1... п8 > а,

где д = <?(Л( а, N)) — гиперболический параметр решетки.

Лемма 3. При любых действительных а > 1 и £ ^ 1 справедлива, оценка,

V 1 , 8(1 + 1П^

^ ^ (Ш1 ...Ш8)а \а -\)

8 1

(ш1... тЛа ^ \ а - 1) 1

тх 4 '

т1 , . . . , т8

т1 . . . т8

Теорема 3. (Н. С. Бахвалов). Пусть д = д(Л(а^)) — гиперболический параметр решетки. Тогда, при N = р гиперболическая дзета-функция решетки (н(Л(а, N)|а) удовлетворяет неравенству

( 3а2 \ 8 (1 + 1па)8_1 Сн(Л(а, N)|а) < 4а (1 + 1^ . (Ю)

В работе [9] теорема Бахвалова доказана в наиболее общем виде для гиперболической дзета-функции произвольной решетки Л.

Замечание Легко показать (см. [17]), что существуют параллелепипедальные сетки, для которых при д « р(1п р)-1 оценку гиперболической дзета-функции теоремы 3 можно несколько усилить и вместо (10) получить оценку

Сн(Л(а, N)|а) « Р^^. (11)

рда 1

Сравнительно сложно (см. [10]) получается усиление этой оценки:

1п 1

Сн(Л( а^)|а) « 1п1пр.

рд" 1

Наконец, в книге [16] утверждается, что с помощью соображений, использованных в работе [15], можно получить наиболее сильную оценку:

1п 8 1

Сн (Л(а^)|а) « -—р, рд" 1

но этот результат нигде не опубликован.

В следующем разделе мы прежде всего усилим оценку из леммы 2.

2. Число точек решения линейного сравнения в прямоугольной области

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед

П( Л; п) = П[ Л, + 1;Л V ,= 1

где Л € Z8, п € N 8. Очевидно, что П( Л; п) = Л + П(0; п).

Л

ь+N

У] 5N (а^т^ + Л) = 1.

т^ =6+1

Доказательство. Действительно, так как (а^= 1, то а^т^ + Л пробегает полную систему вычетов по модулю N когда т^ пробегает N последовательных целых значений. Поэтому в сумме ровно одно слагаемое равно 1, а все остальные равны 0 и лемма полностью доказана. □

Обозначим через Т(а, Л, п, Л; N) число решений системы

{

а1т1 + ... + а8т,8 + Л = 0 (шоё

т е П(Л; п). ( '

Ясно, что

Т(а, Л, п, Л; N) = Т(а, 0,п,Л + (а, Л); N). (13)

Теорема 4. Пусть д = д(Л(а, N)) — гиперболический параметр решетки и величина, п определена равенством п = шах(п1,..., п8). Тогда, справедлива, оценка,

1 при п1 .. .п8 ^ д, 3 п1 . . . п8

при п1 .. .п8 > д,п ^ -,

3

при п1 ...п8 > д, - < п < N, 3

при п ^ N.

Т(а, Л, п, Л; N) ^ <

Я

п1 ...п.8

п

2 п1 ...п8

N

п1 . . . п8 = 1

п1 . . . п8 > 1

пх

Б = ^ ... ^ 5N(а1к1 + ... + а8к8 + ц) = Т(а, 0, п, ц; N), (15)

кх = 1 ке = 1

при ц = а1Л1 + ... + а8Л8 + Л в силу (13).

Рассмотрим сперва случай п1.. .п8 ^ д. Допустим, что в сумме (15) найдется два слагаемых, отличных от нуля: 5N(а1к1 + ... + а8к8 + ц) = 1 и 5N(а1к'1 + ... + а8к'3 + ц) = 1. Тогда, согласно определению величины 5N(т), числа а1к1 +... + а8к8 + ц и а1к' +... + а8к'3 + ц будут кратны N. Но тогда и их разность также будет кратна N

а1(к1 - к') + ... + а8(к8 - к8) = 0 (шоё N).

Так как системы к1; ..., к8 и к', ..., к'3 различны, то система к1 - к', ..., к8 - к'3 будет нетривиальным решением сравнения (1) и, следовательно,

д ^ к1 - к'.. .к8 - к'3 <п1.. .п8 ^ д,

что невозможно. Полученное противоречие доказывает первую из оценок (14). Пусть теперь п1.. .п8 > д. Определим величины г, р и I из условий

пг+1 ...п8 <д ^пг ...п8, д = рпг+1 ...п8, 1[р] ^пг < (¿ + 1)[р].

Очевидно, здесь 1 ^г^з, 1 < р ^пги I ^ 1. Отметим ещё, что

пг

1 + 1 =

[р]

+ 1 ^ ^ + 1 < — + 1 < — = зп ...п8. (16)

[ ] р р

Разбивая в сумме (15) интервал г-го суммирования на части, получим

п1 Пг-1 I

ь<£... £ £

к1 = 1 кг_1 = 1 0

(и+1)[р\ пг+1 «

^2 ^2 Ьр{(1\к1 + ... + а3к3 +

кг=и [р\ + 1кг+1 = 1 ка = 1

Так как [р\пг+\.. .п3 < д, то согласно первой из оценок (14) сумма, стоящая в квадратных скобках, не превосходит единицы. Следовательно, пользуясь оценкой (16), получим

В <щ ...пг_ 1(1 + 1) < 3 П1 "'Пз,

Я

и эта оценка справедлива всегда при щ...п3 ^ д. Таким образом вторая из оценок (14) установлена.

Пусть пг = п и п < — тогда, делая суммирование по тг внутренним и пользуясь леммой 4, получим

щ...п3

Ь <п\... пг- 1пг+1.. .п3 =-

п

и третья из оценок (14) установлена. При этом на указанном интервале она точнее чем вторая оценка.

Наконец, если пг = п ^ то сделаем суммирование по тг внутренним, получим

у^ 5м(апт + ... + а3т3 + ц) <

тг = 1

[ 77 \ (к+1)М п

^2 ( а1т1 + ... + а3т3 +ц)= —

к=0 тг=1+кМ

2п + 1 < —

Ь < 2щ ...пз

—

чем теорема доказана полностью.

3. Усиленная теорема Бахвалова—Коробова

Теперь мы можем доказать усиленный вариант теоремы Бахвалова—Коробова для произ-—

Теорема 5. Пусть д = <?(Л(а, N)) — гиперболический параметр решетки. Тогда, при д^ 4 гиперболическая дзет,а,-функция решетки (н(Л(а, N)|а) удовлетворяет неравенству

(н(Л(а, N)|а) <

8 2а ( 2 \ 3 / 2 \3-1 6"

< ( — - 1)" + ¡=1) +^3 + +

+ ^ (2 + ¡-г) ±( 3 + (2 + 2.П ^ + ^

Л

, /\/-> Т\Т\\ Л 5М (а1т1 + ... +азт3) ,1СЧ

(н (Л(а,—)|а)= ^ -—-—-. (18)

3

(т1.. .т3)а

т1.....т< 4 '

И

В силу условия теоремы при т1... т8 < д слагаемые суммы (18) равны нулю. Определим функцию р(т1,..., т8) равенствами

<р(т1,... ,т.3) = |

0, если т1 ...т8 < д,

(а1т1 + ... + а8т8), если т1.. .т8 ^ д.

Применяя по каждой переменной преобразование Абеля, получим

С (Л(^)|а)= £

£

тх

ТО 8 /

Е П(

,...,тв = 1 V=1 ^

тх,...,та=—те 1 1 т"

(т, + 1)"

к1,.. .,к8).

|кх|^тх,...,|к3|^т3

Пусть Л = 0 Л, = -(т, + 1) и п, = 2т, + 1 (и = 1, 2,..., в). Тогда при т1

утверждение теоремы 4 (с. 136) можно записать в виде

^ ... Е 8р(а1к1 + ... + а8к&) <

|кх|^тх |к3|<т3

0 т1 . . . т8 < ,

3(2т1 + 1)... (2 т8 + 1)

^ шах(2тх+1,...,2т3+1)<| ,

тх...те>д,

(2т1 + 1)... (2т3 + 1) _ х......_

шах(2 т1 + 1,..., 2т8 + 1) ПрИ I <шах(2тх+1,...,2тв+1)<-^,

2(2т1 + 1)... (2 т8 +1) _ п „ ,Т -—- при шах(2 т1 + 1,..., 2т8 + 1) ^ N.

Пользуясь этой оценкой, получим

Сн (Л(а, N)|а) < + 8 + «з,

т8 ^ д

где

9-| 6 8

6 8 / £ П(;

!,...,тв =х, , = 1 4

8,.= >• \\{±- - 1 ^ ) 3<2"" + Р... (2т + Р, (19)

1,8 7 ^ 11 \т" (т, + 1)а/ д

тх.....т5 =х, , = 1

тх ...т^

■та 8 / . . \ 8— 1

82 = * Е Е П (тт" - ттилуО П (2т, + l), (20)

-<та<

2

гах...га3^д

9 те т3 8 / л л \

«3 = £ Е П т- ст) (2т, + 1>- <21>

Прежде всего заметим, что

п 1 1 п 2 т + 1 п+1 2 т - 1

7--т-г^ (2т + 1) = >-->

^ \та (т + 1)а) ^ т" ^

т=1 4 ' т=1 т=2

та (т +1)" / ^ т" ^ т°

V ) / т=1

п 1 2 п + 1 2

1 + 2 >--7-г^ < 3 +

т" (п + 1)" а - 1

т=1

и, следовательно,

Ьз < + У - \ ^ (2т3 + 1) <

^ а - V Дт" (т3 + 1)"Г 3 7

N-1

/ « 1 \

2в / 2 \3—1 , N - 2 ^

< N (3 + а-г) тшт + 2 Е -

4 7 V 2 ; т^ ^ )

<

< 2Д + а--^)+ - —.......К

а - 1) \ (^ - 1)" (а - (N - 1)"—1 § 2" ( 2 ^3

< Щ-ту" (3 + ал I . (22>

Аналогично, получаем

*<8(3+Дг) ^(Д-ет"1 <

<> (3+ДД тг^. (23)

6 2 2 \3—1 6" а~-Г) ([- 3)

Ь1, 3

I 4-3

■3—1/ 1 1 \

(2т, + 1)

Ь1,3 = -

6 —1 £ П(

—1 1 1

т" (т, + 1)"

я-3 я-3 3 1

•у( — -, 1 , )(2т3 + 1)+ У П(—- —Ц-т^Дт? (т3 + 1)"У( ) (т, + 1)"

Ш1...т3-1 <д

Я-3 \

<

•(2т, + 1) V (— — -,-")(2т3 + 1)

( " ) ^ "Ч \т" (т3 + 1)") ( 3 )

< (3 + а-г)^,3—1 + Ь4,3, (24)

где

я-3 3_ 1

Ь43 = 3 У П( — -7-(2т, + 1)

4,3 я ^ l\\т- (т, + 1)" ( и )

х Ш1,...,Ш^ 1 = 1, ,= 1

т1...т3-1<д

д-3 6

£ -^т^) (2т3 + 1). (25)

т" (т3 + 1)"

т1...™3-1

Применяя несколько раз неравенство (24), получим

3

Ь1,3 < ^Г (3 + а^Л Ь4,Г . (26)

=2 а - 1

1

Имеем:

д-1

У ( — -7-Ц^) (2тг + 1) =

\т" (тг + 1)аР - 7

тг"-1-

тх ...тг-х

д—I ч+1

Е6 2 тг + 1 ^ 2 тг - 1

т" т" ~~~~

. д ^ д . ,

тТ "----тт "----+1

т х ...т,т_ х

< 2(т1 ...тг—1)" 1 Л + 1 \ + 2 (т1. ..тг—1)" <

< 1 \ а -1) да <

(т1... тг-1)" ( 1

< 2^---1-- 2 +-

1 \ а - 1,

Поэтому

я-1 п

6 -—1

\а-1/ ^ х Ц \т" (т, + 1)"

4 7 тх,...,ш^х = х, ,= 1

тх...т^х

«4,- < (2 + -^) V -^Т^" ) (2т, + 1)т"—1

Так как

д—I д—I

V (—-^Л^) (2т + 1)т"—1 < ^а^^ < ^\та (т + 1)" Г ' ^ т2

т=1 4 ' т=1

И-^ +

ТО

«4,- < £ + 0^)а-—1 (2 + 2.» ^ + £) ^

(2 + а-г)- (

Отсюда и из (19) — (26) вытекает, что

2" ( 2 \8 ( 2 \8—1 6" cн(л(a,N)|а)<(N-1"(3 + а-1) + *(3 + а-1)

^ ( 2 \8—- 6 / 1 \ - 1 / а- 3 ^ -—1

+ > 3 +- — 2 +- а-—1 2 + 21п --+ —

V а -1) д"\ а -1) V 6 6

□

4. Заключение

На наш взгляд перспективно объединить подходы данной статьи и работы В. А. Быковского [4].

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бабенко К. И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986.

2. Бахвалов Н. С. О приближенном вычислении кратных интегралов // Вестн. Моск. ун-та. 1959. № 4. С. 3-18.

3. Бочарова (Добровольская) Л. П. Алгоритмы поиска оптимальных коэффициентов // Че-бышевский сборник. 2007. Т. 8, вып. 1(21). С. 4 — 109.

4. Быковский В. А. О погрешности теоретико-числовых квадратурных формул // Чебышев-ский сборник, 2002, т. 3, вып. 2(4), С. 27-33.

5. Добровольская Л. П., Добровольский Н. \!.. Симонов А. С. О погрешности приближенного интегрирования по модифицированным сеткам // Чебышевский сборник. 2008. Т. 9, вып. 1(25). С. 185 - 223.

6. Добровольский M. Н. Оценки сумм по гиперболическому кресту // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2003. Т. 9, вып. 1. С. 82 - 90.

7. М. И. Добровольский Об оптимальных коэффициентах комбинированных сеток // Чебышевский сборник. 2004. Т. 5, вып. 1(4) С. 95 - 121.

8. Добровольский М. И., Добровольский И. \!.. Киселева О. В. О произведении обобщенных параллелепипедальных сеток целочисленных решёток // Чебышевский сборник. 2002. Т. 3, вып. 2(4) С. 43 - 59.

9. Добровольский И. М. Гиперболическая дзета функция решёток. Деп. в ВИНИТИ 24.08.84, № 6090-84.

10. Добровольский Н. \!.. Коробов H. М. Об оценке погрешности квадратурных формул с оптимальными параллелепипедальными сетками // Чебышевский сборник. Тула, 2002. Т. 3. Вып. 1 (3) С. il IS.

11. Коробов H. М. Вычисление кратных интегралов методом оптимальных коэффициентов // Вестн. Моск. ун-та, 1959. № 4. С. 19 — 25.

12. Коробов H. М. О приближенном вычислении кратных интегралов // ДАН СССР. 1959. Т. 124, № 6. С. 1207 - 1210.

13. Коробов H. М. Свойства и вычисление оптимальных коэффициентов // ДАН СССР. 1960. Т. 132. N 5. С. Ю09—1012.

14. Коробов H. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. М.: Физматгиз, 1963.

15. Коробов H. М. Квадратурные формулы с комбинированными сетками // Математические заметки. 1994. Т. 55, вып. 2. С. 83 — 90.

16. Коробов H. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе, (второе издание) М.: МЦНМО, 2004.

17. Коробов H. М. Об одной оценке в методе оптимальных коэффициентов // Тезисы IV Всероссийской конференции „Современные проблемы математики, механики, информатики". Тула, 2002. С. 39^40.

18. H. М. Коробов, H. М. Добровольский Критерии оптимальности и алгоритмы поиска оптимальных коэффициентов // Чебышевский сборник. Тула. 2007. Т. 8, вып. 4(24) С. 105 - 128.

19. Локуциевский О. В., Гавриков М. Б. Начала численного анализа. М.: ТОО Янус, 1995.

20. Ребров Е. Д. Алгоритм Добровольской и численное интегрирование с правилом остановки // Чебышевский сборник. 2009 Т. 10, вып. 1(29). С. 65-77.

21. Огородиичук H. К, Ребров E. Д. Об алгоритме численного интегрирования с правилом остановки // Материалы 7 международной конференции <Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложениях 2010. Тула, Из-во ТГПУ им. Л. Н. Толстого. С. 153 — 158.

22. Огородиичук Н. К, Ребров Е. Д. ПОИВС ТМК: Алгоритмы интегрирования с правилом остановки // Международной научно-практической конференции "Многомасштабное моделирование структур и нанотехнологии, посвященной 190-летию со дня рождения академика Пафнутия Львовича Чебышёва, столетию со дня рождения академика Сергея Васильевича Вонсовского и 80-летию со дня рождения член-корреспондента Виктора Анатольевича Буравихина" Тула, Из-во ТГПУ им. Л. И. Толстого. 2011. С. 153 — 158.

23. Nikolay M. Dobrovolskiy, Larisa P. Dobrovolskaya, Nikolay N. Dobrovolskiy, Nadegda K. Ogorodnichuk, and Evgenii D. Rebrov Algorithms fot computing optimal coefficients // Book of abstracts of the International scientific conference "Computer Algebra and Information Technology" , Odessa, August 20^26, 2012. p. 22 — 24.

24. Добровольская Л. П., Добровольский H. M., Добровольский H. H., Огородиичук H. К., Ребров E. Д., Реброва И. Ю. Некоторые вопросы теоретико-числового метода в приближенном анализе // Труды X международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" Ученые записки Орловского государственного университета. 2012. № 6. Часть 2. С. 90 ^98.

25. Серегина Н. К. Алгоритмы численного интегрирования с правилом остановки // Известия ТулГУ. Естественные науки. 2013. Вып. 3. С. 1293 — 201.

26. Серегина И. К. О количественной мере качества оптимальных коэффициентов // Известия ТулГУ. Естественные науки. 2015. В печати.

REFERENCES

1. Бабенко К. И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986.

2. Бахвалов И. С. О приближенном вычислении кратных интегралов // Вестн. Моск. ун-та. 1959. № 4. С. 3-18.

3. Бочарова (Добровольская) Л. П. Алгоритмы поиска оптимальных коэффициентов // Чебышевский сборник. 2007. Т. 8, вып. 1(21). С. 4 — 109.

4. Bvkovskij, V.A 2002, "On the error of number-theoretic quadrature formulas", Chebvshevskij sbornik, vol. 3, no. 2(4), pp. 27-33.

5. Добровольская Л. П., Добровольский И. M., Симонов А. С. О погрешности приближенного интегрирования по модифицированным сеткам // Чебышевский сборник. 2008. Т. 9, вып. 1(25). С. 185 - 223.

6. Добровольский M. Н. Оценки сумм по гиперболическому кресту // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2003. Т. 9, вып. 1. С. 82 - 90.

7. М. И. Добровольский Об оптимальных коэффициентах комбинированных сеток // Чебышевский сборник. 2004. Т. 5, вып. 1(4) С. 95 - 121.

8. Добровольский M. Н., Добровольский И. \!.. Киселева О. В. О произведении обобщенных параллелепипедальных сеток целочисленных решёток // Чебышевский сборник. 2002. Т. 3, вып. 2(4) С. 43 - 59.

9. Добровольский H. М. Гиперболическая дзета функция решёток. Деп. в ВИНИТИ 24.08.84, № 6090-84.

10. Добровольский И. \!.. Коробов H. М. Об оценке погрешности квадратурных формул с оптимальными параллелепипедальными сетками // Чебышевский сборник. Тула, 2002. Т. 3. Вып. 1 (3) С. il IS.

11. Коробов H. М. Вычисление кратных интегралов методом оптимальных коэффициентов // Вестн. Моск. ун-та, 1959. № 4. С. 19 — 25.

12. Коробов H. М. О приближенном вычислении кратных интегралов // ДАН СССР. 1959. Т. 124, № 6. С. 1207 - 1210.

13. Коробов H. М. Свойства и вычисление оптимальных коэффициентов // ДАН СССР. 1960. Т. 132. N 5. С. Ю09—1012.

14. Коробов H. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. М.: Физматгиз, 1963.

15. Коробов H. М. Квадратурные формулы с комбинированными сетками // Математические заметки. 1994. Т. 55, вып. 2. С. 83 — 90.

16. Коробов H. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе, (второе издание) М.: МЦНМО, 2004.

17. Коробов H. М. Об одной оценке в методе оптимальных коэффициентов // Тезисы IV Всероссийской конференции „Современные проблемы математики, механики, информатики ". Тула, 2002. С. 39^40.

18. H. М. Коробов, H. М. Добровольский Критерии оптимальности и алгоритмы поиска оптимальных коэффициентов // Чебышевский сборник. Тула. 2007. Т. 8, вып. 4(24) С. 105 - 128.

19. Локуциевский О. В., Гавриков М. Б. Начала численного анализа. М.: ТОО Янус, 1995.

20. Ребров Е. Д. Алгоритм Добровольской и численное интегрирование с правилом остановки // Чебышевский сборник. 2009 Т. 10, вып. 1(29). С. 65-77.

21. Огородничук Н. К, Ребров Е. Д. Об алгоритме численного интегрирования с правилом остановки // Материалы 7 международной конференции <Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложениях 2010. Тула, Из-во ТГПУ им. Л. И. Толстого. С. 153 — 158.

22. Огородничук Н. К, Ребров Е. Д. ПОИВС ТМК: Алгоритмы интегрирования с правилом остановки // Международной научно-практической конференции "Многомасштабное моделирование структур и нанотехнологии, посвященной 190-летию со дня рождения академика Пафнутия Львовича Чебышёва, столетию со дня рождения академика Сергея Васильевича Вонсовского и 80-летию со дня рождения член-корреспондента Виктора Анатольевича Буравихина" Тула, Из-во ТГПУ им. Л. Н. Толстого. 2011. С. 153 — 158.

23. Nikolav M. Dobrovolskiv, Larisa P. Dobrovolskava, Nikolav N. Dobrovolskiv, Nadegda K. Ogorodnichuk, and Evgenii D. Rebrov Algorithme fot Computing optimal coefficients // Book of abstracts of the International scientific conférence " Computer Algebra and Information Technology" , Odessa, August 20^26, 2012. p. 22 — 24.

24. Добровольская Л. П., Добровольский Н. \!.. Добровольский Н. Н., Огородиичук Н. К., Ребров Е. Д., Реброва И. Ю. Некоторые вопросы теоретико-числового метода в приближенном анализе // Труды X международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" Ученые записки Орловского государственного университета. 2012. № 6. Часть 2. С. 90 — 98.

25. Серегина Н. К. Алгоритмы численного интегрирования с правилом остановки // Известия ТулГУ. Естественные науки. 2013. Вып. 3. С. 1293 — 201.

26. Серегина И. К. О количественной мере качества оптимальных коэффициентов // Известия ТулГУ. Естественные науки. 2015. В печати.

Получено: 11.10.2022 Принято в печать: 22.12.2022