CC BY
19
ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ INFORMATION TECHNOLOGY, COMPUTER SCIENCE, AND MANAGEMENT
УДК 519.6
О четырехслойной итерационной схеме* Ю. В. Белова1, А. Е. Чистяков2, Е. А. Проценко3**
1,2 Донской государственный технический университет, г. Ростов-на-Дону, Российская Федерация 3 Ростовский государственный экономический университет, г. Ростов-на-Дону, Российская Федерация
On four-layer iterative scheme ***
Y. V. Belova1, A. E. Chistyakov2, E. A. Protsenko3**
1,2 Don State Technical University, Rostov-on-Don, Russia 3Rostov State University of Economics, Rostov-on-Don, Russia
DOI 10.12737/22155
Целью работы является исследование скорости сходимости четырехслойной итерационной схемы. Рассматривается задача нахождения приближенного решения линейного операторного уравнения Аи = /. Для решения такой задачи используются двухслойные и трехслойные итерационные методы. При этом трехслойные методы сопряженных направлений сходятся значительно быстрее, чем двухслойные градиентные методы. Задача исследования — установить, имеет ли четырехслойная схема преимущество в скорости сходимости по сравнению с трехслойной схемой. Для этого приводится четырехслойная итерационная схема решения сеточных уравнений, и рассчитываются ее параметры. Доказано, что четырехслойная итерационная схема вариационного типа для решения сеточных уравнений выражается к трехслойной схеме.
The work objective is to study the four-layer scheme convergence rate. The problem of finding an approximate solution to the linear operator equation Au = f is considered. Two-layer and three-layer iterative methods are used to solve this problem. At that, the three-layer conjugate directions methods converge faster than the two-layer gradient methods. The research problem is to establish whether the four-layer scheme has a speed advantage as compared to the three-layer scheme. The four-layer scheme is constructed, and its parameters are calculated for this purpose. It is proved that the four-layer iterative scheme of a variational type for solving finite-difference equations downs to the three-layer scheme.
Ключевые слова: сеточные уравнения, трехслойная схема, Keywords: finite-difference equations, three-layer scheme, four-четырехслойная схема, методы вариационного типа. layer scheme, variational methods.
Введение. Большинство прикладных задач таких, как задача транспорта веществ [1-3], гидродинамики мелководных водоемов [4-5], аэродинамики [6-7], динамики популяций [8] и других, сводятся к решению системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Для решения таких систем уравнений используются двух- и трехслойные итерационные схемы.
Рассмотрим задачу нахождения приближенного решения линейного операторного уравнения [9].
Au = f, (1)
где A — симметричный положительно определенный оператор, действующий в вещественном гильбертовом пространстве H.
2 Для увеличения скорости сходимости вместо двухслойных итерационных методов используются трехслойные
В итерационные методы. Эти методы исследованы в работе [10]. Ниже приведено исследование четырехслойной
сл
g итерационной схемы. Условия устойчивости такой схемы получены в работе [11].
Четырехслойная итерационная схема решения сеточных уравнений имеет вид
s By к+1 = Pk+1 (B -
lk+1 A) Ук +(1 - ак+1 ) Byk-1 + (ак+1 Pk+1 ) Byk-2 + Pk+1Tk+1f , (2)
и (U
ii
£ _
Л -
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 15-01-08619), а также по Программе фундаментальных исследований Президиума
РАН № 1.33П, проект 00-16-13
** E-mail: [email protected], [email protected], [email protected]
*** The research is done with the financial support from RFFI (grant no. 15-01-08619) and within the frame of the RAS Presidium Program of Fundamental Research no. 1.33P, project 00-16-13.
для к = 2,3,..., Вух =р(в-тЛ) у0 +Т/, Ду2 = Р2 (В-т2А) у +(1 -а,2 ) Ву0 +Р2х2 / , у0 е Н .
Необходимо найти параметры {тк}, {ак} и {рк}, при которых норма эквивалентной погрешности хк = ук - и была бы минимальной для любого к.
Расчет параметров схемы. Перепишем (2) в виде
„ (У к+1 + (ак+1 -1) У к-1 + (Рк+1 - ак+1 ) У к - 2 )/ Рк+1 - у к . .
В~---= / - АУк .
тк+1
Действительно, для уравнения погрешности схемы (2)
хк+1 + (ак+1 -1) хк-1 + (Рк+1 - ак+1 ) хк-2
Р,
- хк =-тк+1Схк , С = В 1А .
'к+1
х,
к+1 или
Или хк+1 =Рк+1 (Е -Тк+1С) хк +(! -ак+1) хк-1 +(ак+1 -Рк+1 ) хк-2. (3)
Для минимизации нормы хк в Н (п > 1) необходимо и достаточно, чтобы
Сх} ) = 0, ] = 0,к , (4)
(хк+1, Сх]) = -Рк+1тк+1 (Схк, Сх]) = 0 .
пРи к = ] получим (хк+1, Схк) = -Рк+1тк+1 (Схк, Схк) = 0 .
Из (3), (4) следует
(Схк -2, хк+1 ) = Рк+1 (Схк-2,(Е тк+1 С) хк ) + (1 - к+1
)(Схк-2, хк-1 ) +
+ (ак+1 -Рк+1 ) (Схк-2 , хк-2 ) ,
(Схк-1, хк+1 ) = Рк+1 (Схк-1, (Е - тк+1С) хк ) + (1- ак+1) (Схк-1, хк-1 ) + + (ак+1 -Рк+1 ) (Схк-1, хк-2 ) ,
(Схк, хк+1 ) = Рк+1 (Схк, (Е - тк+1С) хк ) + (! - ак+1) (Схк, хк-1 ) + (ак+1 -Рк+1 ) (Схк, хк-2 ) .
Запишем систему для расчета {тк }, {ак } и {рк }
-тк+1вк+1 (Схк-2, Схк ) + (ак+1 -Рк+1 )(Схк-2, хк-2 ) = 0, -тк+1Рк+1 (Схк-1, Схк ) + (1- ак+1) (Схк-1, хк-1 ) = ^ ,(Схк, хк ) - тк+1 (Схк, Схк ) = 0. Преобразуем систему уравнений
Рк+1 = а
(Сх
к - 2' лк-2
)
тк+1ак+1
(Схк-2, хк-2 ) + тк+1 (Схк-2, Схк ) (Схк-2, хк-2 ) (Схк-1, Схк )
(Схк-2, хк-2 ) + тк+1 (Схк-2, Схк ) ( Схк, хк )
+ ак+1 (Схк-1, хк-1 ) = (Схк-1, хк-1 ),
к+1
(Схк, Схк )' Введем обозначение
(С
ф =_у - --к-2, хк-2 )_
(Схк-2, хк-2 ) + тк+1 (Схк-2, Схк )
тогда
тк+1 =
(Схк, хк )
а к+1 = "
(Схк-1, хк-1 )
(Схк, Схк ) (Схк-1, хк-1 ) + тк+1фк+1 (Схк-1, Схк ) Рк+1 = а к+1фк+1 .
Преобразуем выражение (3)
Схк-2 = (-хк-1 + Рк-1 хк-2 + (1- ак-1 ) хк-3 + (ак-1 - Рк-1 ) хк-4 V(Тк-А-1 ) . Запишем выражение (Схк-2, Схк) с учетом полученного выражения
(Схк-2, Схк ) = ((-хк-1 + Рк-1 хк-2 + (1- ак-1 ) хк-3 + (ак-1 - Рк-1 ) хк-4 V(Тк-А-1), Схк ) = 0 .
К X <и
ч и
ей Л
С
^
<й И К
X
*
н
ей X Л
ч
и н К
ч о К
Е
и
<й и
К
<3
л о
X
К
Таким образом, получим ф^ = 1. Следовательно, Pk+1 = ak+1.
В итоге выражение (3) преобразуется к виду
xk+1 = ak+1 (E - Tk+1C) xk + (1 - ak+1) xk-1 .
Выводы. В итоге получили, что xk+j зависит только от xk , xk-1 и не зависит от xn, n = 0, k - 2 . Другими словами, доказано, что четырехслойная итерационная схема решения сеточных уравнений преобразуется к трехслойной схеме, поэтому использование первой не дает увеличения скорости сходимости по сравнению со второй.
Библиографический список
1. Сухинов, А. И. Параллельная реализация трехмерной модели гидродинамики мелководных водоемов на супервычислительной системе / А. И. Сухинов, А. Е. Чистяков // Вычислительные методы и программирование : Новые вычислительные технологии. — 2012. — T.13. — C. 290-297.
2. Параллельная реализация задач транспорта веществ и восстановления донной поверхности на основе схем повышенного порядка точности / А. И. Сухинов [и др.] // Параллельные вычислительные технологии (ПаВТ'2015). Труды международной научной конференции. — 2015. — С. 285-296.
3. Sukhinov, A. I., Chistyakov, A. E., Protsenko, E. A. Mathematical modeling of sediment transport in the coastal zone of shallow reservoirs. Mathematical Models and Computer Simulations, 2014, vol. 6, no. 4, pp. 351-363.
4. Сухинов, А. И. Численная реализация трехмерной модели гидродинамики для мелководных водоемов на супервычислительной системе / А. И. Сухинов, А. Е. Чистяков, Е. В. Алексеенко // Математическое моделирование.
— 2011. — Т. 23, № 3. — C. 3-21.
5. Сухинов, А. И. Математическая модель трансформации форм фосфора, азота и кремния в движущейся турбулентной водной среде в задачах динамики планктонных популяций / А. И. Сухинов, Ю. В. Белова // Инженерный вестник Дона. — 2015. — Т. 37, № 3. — C. 50.
6. Sukhinov, A. I., Khachunts, D. S., Chistyakov, A. E. A mathematical model of pollutant propagation in near-ground atmospheric layer of a coastal region and its software implementation. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2015, vol. 55, no. 7, pp. 1216-1231.
7. Сухинов, А. И. Математическая модель распространения примеси в приземном слое атмосферы и ее программная реализация на многопроцессорной вычислительной системе / А. И. Сухинов, Д. С. Хачунц, А. Е. Чистяков // Вестник Уфимского государственного авиационного технического университета. — 2015. — Т. 19, № 1. — С. 185-195.
8. Сухинов, А. И. Моделирование сценария биологической реабилитации Азовского моря / А. И. Сухинов, А. В. Никитина, А. Е. Чистяков // Математическое моделирование. — 2012. — Т. 24, № 9. — С. 3-21.
9. Самарский, А. А. Теория разностных схем / А. А. Самарский. — Москва : Наука, 1989. — 656 с.
10. Самарский, А. А. Численные методы / А. А. Самарский, А. В. Гулин. — Москва : Наука, 1989. — 432 с.
11. Самарский, А. А. Устойчивость разностных схем / А. А. Самарский, А. В. Гулин. — Москва : Наука, 1973.
— 415 с.
References
1. Sukhinov, A.I., Chistyakov, A.E. Parallel'naya realizatsiya trekhmernoy modeli gidrodinamiki melkovodnykh vodoemov na supervychislitel'noy sisteme. [Parallel implementation of a three-dimensional hydrodynamic model of shallow water basins on supercomputing systems.] Numerical Methods and Programming, 2012, vol.13, pp. 290-297 (in Russian).
2. Sukhinov, A.I., et al. Parallel'naya realizatsiya zadach transporta veshchestv i vosstanovleniya donnoy poverkhnosti na osnove skhem povyshennogo poryadka tochnosti. [Parallel implementation of transport tasks substances and restore the bottom surface on the basis of high order schemes.] Parallel'nye vychislitel'nye tekhnologii (PaVT'2015). Trudy
g mezhdunarodnoy nauchnoy konferentsii. [Parallel Computing Technologies (PaVT'2015). Proc. Int. Sci. Conf.] 2015, pp. 285296 (in Russian).
д 3. Sukhinov, A.I., Chistyakov, A.E., Protsenko, E.A. Mathematical modeling of sediment transport in the coastal
тз zone of shallow reservoirs. Mathematical Models and Computer Simulations, 2014, vol. 6, no. 4, pp. 351-363. •g 4. Sukhinov, A.I., Chistyakov, A.E., Alekseenko, E.V. Chislennaya realizatsiya trekhmernoy modeli gidrodinamiki
и dlya melkovodnykh vodoemov na supervychislitel'noy sisteme. [Numerical realization of three-dimensional hydrodynamic model for shallow water basins on supercomputing system.] Mathematical Models and Computer Simulations, 2011, vol. 23, no. 3, pp. 3-21 (in Russian).
ja 5. Sukhinov, A.I., Belova, Y.V. Matematicheskaya model' transformatsii form fosfora, azota i kremniya v
dvizhushcheysya turbulentnoy vodnoy srede v zadachakh dinamiki planktonnykh populyatsiy. [Mathematical model of phosphorus, nitrogen and silicon forms transformation in moving turbulent water environment in problems of plankton 148 population dynamics.] Engineering Journal of Don, 2015, vol. 37, no. 3, pp. 50 (in Russian).
6. Sukhinov, A.I., Khachunts, D.S., Chistyakov, A.E. A mathematical model of pollutant propagation in near-ground atmospheric layer of a coastal region and its software implementation. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2015, vol. 55, no. 7, pp. 1216-1231.
7. Sukhinov, A.I., Khachunts, D.S., Chistyakov, A.E. Matematicheskaya model' rasprostraneniya primesi v prizemnom sloe atmosfery i ee programmnaya realizatsiya na mnogoprotsessornoy vychislitel'noy sisteme. [Mathematical model of impurities in the atmospheric boundary layer and its program implementation on a multiprocessor computer system.] Vestnik UGATU, 2015, vol. 19, no. 1, pp. 185-195 (in Russian).
8. Sukhinov, A.I., Nikitina, A.V., Chistyakov, A.E. Modelirovanie stsenariya biologicheskoy reabilitatsii azovskogo morya. [Numerical simulation of biological remediation Azov Sea.] Mathematical Models and Computer Simulations, 2012, vol. 24, no. 9, pp. 3-21 (in Russian).
9. Samarskiy, A.A. Teoriya raznostnykh skhem. [Theory of difference schemes.] Moscow: Nauka, 1989, 656 p. (in Russian).
10. Samarskiy, A.A., Gulin, A.V. Chislennye metody. [Numerical methods.] Moscow: Nauka, 1989, 432 p. (in
Russian).
11. Samarskiy, A.A., Gulin, A.V. Ustoychivost' raznostnykh skhem. [Stability of difference schemes.] Moscow: Nauka, 1973, 415 p (in Russian).
Поступила в редакцию 29.07.2016 Сдана в редакцию 29.07.2016 Запланирована в номер 30.09.2016
Received 29.07.2016 Submitted 29.07.2016 Scheduled in the issue 30.09.2016
(U К X <u 4 и
Л
С
^
IS ей И IS
X
*
(U
н
Ч ей X Л
ч <и
н
IS
ч о
IS
Е 3 и
ей И
IS
fe s
Л
о X
к
