О больших уклонениях для классических распределений, порождаемых дробными долями показательной функции с целым основанием Текст научной статьи по специальности «Математика»

Теория вероятностей

УДК 511.2+519.2 Л.П. Усольцев

О БОЛЬШИХ УКЛОНЕНИЯХ ДЛЯ КЛАССИЧЕСКИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ, ПОРОЖДАЕМЫХ ДРОБНЫМИ ДОЛЯМИ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ С ЦЕЛЫМ ОСНОВАНИЕМ

Исследуется асимптотика больших уклонений для распределений соответственно нормированных нарастающих сумм значений некоторых функций, задаваемых на последовательностях, порождаемых дробными долями показательной функции с фиксированным целым основанием.

Пусть q > 2 - фиксированное целое число, а /(X) - вещественная, суммируемая с квадратом на отрезке [ 0,1] периодическая функция с периодом 1 и коэффициентами Фурье

1

: | / (XК

(т = 0, ± 1, ± 2,...),

удовлетворяющими условию

\Ст\<~ (т = 12,-)»

1 1 та

где А > 0 и а > 1 - некоторые постоянные. Для натуральных N положим

^(0 = -^^(/т -С0) (0 < X < 1)

п=0

(1)

FN (х) = ше8 { X е [ 0,1 ] : (X) < х } (-да < х < +да).

Обозначим через а неотрицательное число, определяемое соотношением

а2 =

1

Нш [ SN (X) &

N *

(известно (см., например [1], § 15), что этот предел существует), а через Ф(х) - нормальную функцию распределения с параметрами (0,1).

Будем изучать асимптотику больших уклонений для распределения сумм SN (X) с а Ф 0 в промежутке [ 0,1] при N ® да.

Случай а > 1 рассмотрен в работе [2], в которой доказано следующее утверждение. Теорема 1. Если а > 1 и а Ф 0, то существует положительная постоянная 5 , зависящая от

А,а и а , такая, что при N ® да в области 1 < х < 5 N1/6 выполняются соотношения:

1 - FN (а х) = [1 - Ф(х)]*

1 + О

и

FN (-а х) = Ф(-х) •

1 + О

с постоянной в символе “О”, зависящей от А,а и а .

Целью настоящей заметки является доказательство следующего утверждения, анонсированного в [3].

Теорема 2. Если а = 1 и а Ф 0, то существует положительная постоянная 5 , зависящая от A и а , такая, что при N ® да в области 2 < x < 5 N1/10 выполняются соотношения:

1 - FN (ст x) -[1 - Ф( х)}

1 + O

и

FN (~° x) = Ф(-x)

1 + O

( x3 (x2 + 1п N) ^

с постоянной в символе “О”, зависящей от A и а . Важнейшим здесь является случай, когда

Г1, если М е А,

/(t) ° XА (t) =•'

(-да < ґ < +да)

(2)

(3)

N-1

[0, если й ё А,

с А = [ а, Ь) с [0,1) и Ь - а < 1. В этом случае а Ф 0 (см. [4]), а сумма ^ /(qmt) при любом ве-

п=0

щественном t дает количество попаданий дробных долей (п = 0,1,2,...,N -1) в проме-

жуток А .

При доказательстве теорем 1 и 2 реализуется новый подход, суть которого заключается в том, что близость характеристических функций распределений FN и Ф оценивается не по моментам распределения FN м , в которое переходит FN в результате замены функции /) М -ой частичной суммой ее ряда Фурье с достаточно большим М (так в сходных вопросах поступал А.Г. Постников [1]), а по семиинвариантам ук распределения FN м . Это оказалось возможным после того, как в работе [5] (лемма 1 на с. 49) было получено представление семиинвариантов ук через коэффициенты Фурье ст :

т

N-1 N-1

1 N-1 N -1

у - 1 V V У*с

/2 т 1*" «1=0 пк—0 тІ5..., тк

(к — 2,3,...),

(4)

где символом ^ * обозначено суммирование по всем таким упорядоченным наборам

т1 , ... , тк

(т1,..., тк) целых чисел с условием 1 <| ті |< М (і - 1,2,..., к), что

т1^”1 +... + ткдПк - 0, (5)

но при каждом г - 1,2,...,к -1 для любых г попарно различных чисел ]1,...,]г множества {1,2,..., к} справедливо неравенство

П] П, г.

т, д л +... + ти д ]г Ф 0.

(6)

Представление семиинвариантов ук в виде (4) позволяет оценивать их, не решая диофан-товых уравнений вида (5) в целых числах п1,..., пк є {0,1,2,..., N -1} при фиксированных целых т1тк. Именно это обстоятельство и является причиной большей эффективности нашего подхода по сравнению с теми, при которых функция распределения FN (х) строится по момен -там распределения FN М , оценить которые, не решая уравнений вида (5), не удается.

Оценив семиинварианты ук распределения FN М, мы находим асимптотику больших уклонений для этого распределения (а в конечном счете, и для распределения FN), используя замечательную теорему В. А. Статулявичуса ([6]; см. также [7], с. 307, § 8.4.10) о восстановлении асимптотики больших уклонений по семиинвариантам распределения.

Доказательство теоремы 2. Очевидно, теорему достаточно доказать для случая 1

С0={ / т - 0, так как к нему сводится и случай с0 Ф 0: надо только вместо функции /(ґ)

рассматривать функцию /(ґ) - с0. Будем поэтому считать, что

1 ¥ ^ с0 =| /(0<* = 0, /(:) ~ Е Ст

где штрих у знака суммы указывает на отсутствие слагаемого, отвечающего значению т = 0. В этом случае выражение для суммы SN ^) принимает вид

1 N-1

^ (о=-т= Е /(qnt) (0 < t < 1).

^ІN ^

(7)

п=0

Заметим еще, что, вследствие вещественнозначности функции /^), при всех целых т справедливо равенство

С-т = Ст . (8)

Для любого натурального числа М мы полагаем

/м (о = Е'

(-¥ < t < +¥)

I т |<М

и (см. (6))

/м(t)=до - /м(о ~ Е‘

(-¥ < t < +¥) .

I т |>м

Лемма 1. Каковы бы ни были натуральные числа N и м , справедливо неравенство

А <

8 А2

м

(9)

(10)

(11)

0 V ^ ' п=0

Доказательство леммы. Если п1 и п2 - целые числа и п2 > п1 > 0, то, вследствие (10),

Но тогда, в силу равенства Персеваля,

1 1

11~м^п10/м(qn21)А = |~м(0 Лм(qn2-nlt)А = Е cqn2-п1 тСт->

а отсюда, вследствие соотношений (8) и (1) с а =1 , получаем:

1

| ,7м(qnl t )~м(qn21) А

<2Е

2 А'

-Е — <■

11 . т 2

2 А2

--- т2qn2-п1 qn2-п1 ^ т2 2п2-п1 м '

т>м т Ч Ч т>м 2

Поэтому

1 А ^ N-1

П-/= Е /м ^по А=N Е Е | /м (qnl t) /м ^п21) а < N Е Е | /м (qnl t) /м (qn21) л

0 V * п=0 0 п = 0 п2 = 0 0 ' п = 0 Пл = 0 0

N-1 N-1 1

п =0 п2=0 0 2

N-1 N-1 1

п = 0 Пл = 0 0

2А" ,4А2^ 1 8А

42

<

<—Е Е

N п~0 п“ 2”2^ м м £02* м

Е 2т=■

Лемма 1 доказана.

Продолжаем доказательство теоремы. Взяв произвольные целые числа N > 2 и м > q , положим

1 N -1 ~

SN,м(t)=~к; Е /м (qnt), ,м (t) = ^ () - ^,м (t) (0 < t < 1),

V* п=0

^,м (х) = те8 ^ е[ 0,1 ] : ^,м (0 < х } (-¥ < х <+¥),

Фл

1

,(ы) = |exp{ІuSN м ^)}А (—¥ < и < +¥)

(12)

(13)

(14)

и

а

N, м

1

«V,м (0 А (аN,м > 0).

В силу соответствий (12), (7) и (10),

(15)

е

т = -¥

Се

т

т 1>м

т 1>м

2

2

N, М

і N -1

(О --т= Е ~М (дП^) (0 < ґ < 1).

У/М П-0

Поэтому неравенство (11) можно переписать в виде

1 8Л2

11~лг, м (ґ) йґ

<

М

Лемма 2. Каковы бы ни были вещественные числа х и С > 0 , справедливы неравенства

FN М (Х с) < ^ (х) < FN М (Х + с) +

8 Л2

е2М'

(17)

Доказательство леммы. В силу равенств (12) и (13), при всех вещественных х и с > 0 мы

имеем:

FN (х) = ше8 ^ е[ 0,1 ] : SN ^) < х } =

= ше8 {t е [ 0,1 ] : SN (t) < х, ^ (t) - SN,м (t)| < с } +

+ ше8 {t е [ 0,1 ] : SN (t) < х, ^ (t) - SN,м (t)| > с }>

> ше8 {t е [ 0,1 ] : SN (t) < х, ^ (t) - SN,м (0| < с }>

> ше 8 { t е [ 0, 1 ] : S N, м (t) < х - с } = FN,м (х - с) (18)

и

FN (х) < ШЄ8 {ґ є[ 0,1 ] : ^.м (ґ) < х + с }+ пга {ґ є [ 0, 1 ] : (0 - ^.м (ґ) І > с } =

= FN,м (х + с) + ше8 { t е [ 0, 1 ] : Но, в силу неравенства П. Л. Чебышева и оценки (16),

> с

} .

(19)

ше8 {ґ є [ 0,1 ] :

1 1 2 8 Л 2

5Ы, М (ґ) > С /< ~ I 5Ы, М (ґ) йґ < 2а4 .

с І с М

Отсюда и из неравенств (18) и (19) вытекает справедливость неравенств (17). Лемма 2 доказана. Лемма 3. Справедливо неравенство

,2 (1п м 1

ст2 - ст2, М < 50 Л/

+ —

м N у

Доказательство леммы. Известно (см., например, [1], с. 85), что

1 ¥ 1 ст2-| / 2(ґ) йґ + 2Е| / (ґ) / (дПґ) йґ

П-1 0

и

N-1 1

152(ґ) йґ -| / 2(ґ) йґ + 2 Е I / (ґ) / (дПґ) йґ - N Е ПI / (ґ) / (дПґ) йґ,

0 0 П-1 0 П-1 0

а переписав равенство (22) для функции /м (ґ) (с учетом (12) и (15)), получим :

N-1 1

(20)

(21)

(22)

N-1 1

N-1 1

< М-I /м(ґ) йґ + 2 ЕI ЇМ (ґ)/м (дПґ) йґ - N Е п I /м (ґ)/м (дПґ) йґ. (23)

0 п =1 0

Из равенств (21) и (23) следует, что

П-1 0

22 Ст - СТ»г

|< 2Е

П-0

і і

I / (ґ) / (дПґ) йґ -I /м (ґ) /м (дПґ) йґ

+

+

2 Е

п - N

1

I / ( ґ) / ( д П ґ) йґ

О N-1

+— Е п

1

I Їм (ґ) Їм (д П Т) йґ

Далее, вследствие соотношений (6) и (9), при всех целых п > 0

/(дПґ) ~ ЕСтЄ2ПІтдПі и /м (дПґ) - Е

2р ітдПґ

и, значит, в силу равенства Парсеваля, при п > 0 будет

т І< М

т--¥

1 ¥

If(t)f(qn0dt = Е cqnmcm;

при 0 < n < [lnM / ln q] будет:

а при n > [ln M / ln q]:

i

I fM (t) fM (qnt) dt = Е Cqnm C”

0 I m |< [M / qn]

і

I fM (t) fM (qnt)dt = 0.

Поэтому из неравенства (24) вытекает, что

[lnM /ln q ]

CqnmCm

+ 2 [ Е ] Е

n >[lnM/ln q] m=-¥

CqnmCm

rs [ln M/ ln q ]

+- Е n

ЛГ ^

N

n=1

m| j.\/ qn ]

CqnmCm

а отсюда, вследствие соотношений (8) и (1) с а =1 , получаем

[1пм/1п q ] , , , ¥ , 4 А 2 [1пм/1п q ] п ¥ л

\а -а^,,м|<4а2 е А Е Л+4а2 Е А-Е-4+N е 4-ЕЛ<

п= 0 q т >[м/q" ]т п >[ 1п м/ 1п q ] q т=1 т N п=1 q т=1 т

„ ,2(61пм 4 6 Л „ ,2(1пм 1 Л

< 4А I------+ — + — 1< 50А I--------+ — I.

V м мы) V м N)

Лемма 3 доказана.

Положим С = 100 А /а и всюду в дальнейшем будем считать числа N > 2 и м > q выбранными так, что

M 2C

-------> N >----------.

ln M s

В этом случае, в силу неравенства (20), будет

s -sn,м 50A2 f lnM 1 Л ,100A2 C

s + s.

-+—1<

и

s

s I M N 0 s N N 3s

0 < у < sN, M <-

(2З)

(2б)

(27)

Для k = 2,3, к положим

N-1 N -1

gk (N ,M )= NNW Е-Е Е * Cmi LCmt ,

Пі =0 nK =0 mj,K,mk

где символом Е * обозначено суммирование по всем таким упорядоченным наборам

mj,K,mk

(т1,к, тк ) целых чисел с условием 1 <| mi |< м ( = 1,2, к, к), что т^п +-+ mkqnk = 0, но

при каждом г = 1,2,к,к -1 для любых г попарно различных чисел ]1,---,]г множества

{1,2, к, к} справедливо неравенство

пи пи ~

т^л +----------+ т^к Ф 0.

Л 1к 1

В работе [5] (лемма 1 на с. 49) доказано следующее утверждение.

Лемма 4. При всех вещественных и справедливо разложение

(ш)к у к (N, м)

l0g jN,M (u) = Е-

k=2

k!

где jN м (u) - функция, определяемая равенством (14), а символом log обозначено главное значение логарифма.

Так как jN м (u) - характеристическая функция распределения Fn м, то утверждение леммы 4 означает, что величины yk (N, M) (k = 2,3, к) являются семиинвариантами этого распределения.

m=-¥

sN. M s =

Как уже отмечалось, в основе доказательства теоремы 2 лежит оценка величин

у к = у к ^, м).

Лемма 5. При всех целых к > 3 справедлива оценка

к-2

( В 1п м Л

У к (N, м )|<

• к!

(28)

с В - 384Л2(Л2 +1).

Доказательство леммы. Будем, ради краткости, вместо ук (Ы,М) писать просто ук. В квадратных скобках под выражением вида Е-Е будем записывать условия, которым под-

т, тъ

чинены величины т1, —, тк . Очевидно при всех целых к > 3

і N-1 N-1 . .

Ук -^7Ш Е-Е Е ЕЧ

N

с • с

ті тк

щ-0 Пк-0 | т1 |<М | тк |<М

П

[т1д 1 +-+ ткд к - 0, и к ]

где символом ик закодировано условие: «при каждом г = 1,2,к,к -1 для любых г попарно различных чисел Л,---, Л множества {1,2,..., к} справедливо неравенство

т^ q”л +-+ т^^к Ф0». Поэтому, учитывая соотношения (8) и (1) с а = 1, мы получаем:

к| N-1 Л_ пк-1

Ук 1< л тк/ 2 Е Е Е Е Е Гт1 Стк\ <

N

п1 - 0 П2 - 0 Пк - 0 [т^ <М | тк |<М

„«і

[т1дП1 +-+ ткдПк - 0, ик ]

Лкк! N-1 ^ Пк- V-' V-' 1

Е Е-Е Е - Е -—

N

к) 2

щ -0 П2-0 Пк-0 | т^<М | тк|<М |т1 тк

[т1дП1 +-+ ткдщ - 0, и к ]

Лкк! N-1 П1 Пк-1 ' ' 1 1

N42

N -1 «1 «к-1 . . 1

Е Е-Е Е- Е т^-1

М | тк

[ик]

щ -0 п2 - 0 Пк -0 | т: < М \тк < М \ т1 '' 'тк-1 т1д 1 к + * " + тк-1д к 1 к

А так как

Пк-1 1 Пк-1 1 ¥ і

Е------------------ Е — <Е — - 2,

„Пк-\-Пк 9$

$-0 Ч $-0 2

-0 д

то из соотношения (29) следует, что , , Лкк! N-1 ^ Ь 1

Iук I < дТк/2 Е Е-Е

№к!2 пПк-1 Пк і і т ••• т і

щ-0 п2-0 пк-04 т1 <М тк-1 <М |Ш1 шк-11

Е Е'іТ^

М | тк_

[ик-:]

(29)

- -т1д 1 к-1 +---+ тк-2д к-2 к-1 + тк-1

<

1

2Лкк! N-1 ^ х-2 V-' V-'

<—Е Е-Е Е - Е і ... і

щ -0 П2-0 Пк-1 -0 т^ <М | тк-1 |<М |т1 тк-2|

N42

тк-х(тхдщ Пк-1 + - + тк-2дПк-2 Пк-1 + ткч)

. (30)

[ик-:]

м1

Рассмотрим величину Т (Ь) = Е —|------г

т=1 Щт + Ь|

[т + Ь Ф 0]

Заметим, что при всех целых Ь Ф 0 справедлива оценка

12 1п м

(Ь Ф 0 - целое число).

Т(Ь) <

Ь

(31)

1

1

Из соотношений (30) и (31) следует, что 2Акк! • 241пMN—1 ^

\Ук\<-

N

к! 2

Е Е-Е Е - Е

п1 =0 пг=0 пк-1 =0 | т1 |<м | тк-21<м |т1 тк-2 |

[ик-2]

m1q

+•••+тк-2 q

Сравнивая эту оценку величины ук с оценкой (29), мы видим, что, продолжая наш процесс, мы через некоторое число шагов придем к оценке

, , .2Акк! • (241пм)к-2 N—1 ^ 1

|Ук| <■

Но тогда

4Акк! • (241пм)к-2 ^1 ^

N

к! 2

Е Е Е

п1 =0 пг =0 I т11<м т1 • mlq

\Ук\<■

N/^12

N -1 п1 1 м 1

Е Е----------Е—<

^ =0 п2 =0 qnl п2 т=1 т2

м ! 16 Акк!(24Т„ м)к-2 ( 384а(а2 + 1)1п м

1 16 Акк!(241п м)к

к-2

2-1

<

• к!

Лемма 5 доказана. Положим

АN,м = аN,м •

к >3

4к!а2

Л1(к - 2)

Ук(N,м) а"

Вследствие (27) и (28), справедливо неравенство

а

, (32)

2В 1п м

а в силу теоремы В. А. Статулявичуса о восстановлении асимптотики больших уклонений по семиинвариантам распределения ([6]; см. также [7], с. 307, § 8.4.10), существует постоянная 51 > 0 , зависящая от а , такая, что в области 1 < х < 5: АN м выполняются соотношения

1 FN, м (а N, мх) I х

- = ехр<!-------1

( \ х

и

1 - Ц (х)

FN,м (-'аN,м х)

Ц (-х)

1 + О

( \ х

-1

1+О

( \ х

где 1(т) - степенной ряд Крамера (строящийся по семиинвариантам распределения FN м), сходящийся при | т | < 5: (здесь и всюду далее постоянные в символах “ О ” зависят от А и а ). Но тогда, в силу неравенства (32), в области 1 < х < 51\/Л/(В 1пм) справедливы соотношения

\ 1п м Л"

1 - FNм (аN,мх) = [1 -Ц(х)] ехр<| О

( х31п м Л

1 + О|

и

FN,м (-аN,мх) = Ц(-х) • ехр<! О

( х31п м Л

(

1+О

х 1п м

4^

А отсюда вытекает уже, что существует постоянная 52 > 0, зависящая от А и а , такая, что в области

1 < х < 5

N

16

2 1п1/3 м

выполняются соотношения

1 - FN, м (а N, мх) = [1 - Ц( х)]-

1+О

( х31п м Л

и

FN, м (-а N, мх) = Ц (-х) •

1+О

( х31п м Л

(33)

(34)

(35)

пп

12

3

х

х

ти

Положим с = і/ N561п13 М) и 8 = тіп (1,82/3). Вследствие неравенств (26) и (27), в облас-

2 < < 8 N16 2 < х <—^—

1п1/3 М

справедливы соотношения

р-х2/2 Л

(36)

Г

Ц а х і с - Ц (х) = О

ч & N, М V

N ^б1п13 М

Л г . Л Г

? Ц а х і с )х (- Ц - = О

0 V а N, М 0 V

N561пі/3 М

а х і с

Поэтому, заменив в соотношениях (33) - (35) х на -----, мы, в силу неравенства (17), смо-

аг

жем утверждать, что в области (36) выполняются соотношения

1 - Fм (а х) =

1 - Ц( х) + О

Г в-х2/2 Л

N561п1/3 М

1 + О

Г х31п М Л

VM

+ О

Г N531п2/3 М М

и

Ры (-& х) =

Ц (-х) + О

Г е-*2/2 Л

N 5/61п1/3 М

1 + О

+ О

Г N5/31п2/3 М М

(37)

(38)

Учитывая теперь, что при х > 1 справедливы неравенства

е - *2/2

1 -Ц(х) > — е-х2/2 и Ц(-х) > — е~х72. 2х 2х

нетрудно привести соотношения (37) и (38) к следующему виду:

Л ( хех 2/2 N 5/31п2/3 М Л

+ О

1 - Fм (& х) = [1 - Ц (х)]-

1 + О

Г х3 1п М

VM

и

(-& х) = Ц (-х)

1 + О

Г х 31п М Л

VM

+ О

М

Г хе*12 N 5/31п^3 М Л М

(39)

(40)

Взяв произвольно число х0 в области

2 < х < 8 N110.

(41)

3 х'212

положим М = [N ех0' ], что не противоречит неравенствам (25). При таком выборе числа М область (41) будет содержаться в области (36) и, следовательно, будут выполняться соотношения (39) и (40) с х = х0 и М = [NЗех°/2]:

1 - Fм (& х0) = [1 - Ц (х0)]-

1 + О

Г х03( х02 + 1п N) Л

и

Рм (-& х0) = Ц(-х0) •

1+О

Г х03( х02 + 1п N) Л

с постоянной в символе “ О ”, не зависящей от х0. Мы доказали справедливость соотношений (2) и (3) в произвольной точке х0 области (41), а значит, и во всей этой области.

Теорема 2 доказана.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. Постников А.Г. Эргодические вопросы теории сравнений и теории диофантовых приближений // Труды Матем. ин-та им. В.А.Стеклова. М: Наука.Т.82. 1966. 112 с.

2. Усольцев Л.П. Центральная предельная теорема и большие уклонения для одной суммы с показательной функцией // Марковские случайные процессы и их применение. Межвуз. научн. сб. Саратов: СГУ, 1980. С. 105-114.

3. Усольцев Л.П. О больших уклонениях для распределения дробных долей показательной функции // Обозрение прикл. и промышл. матем. Сер. Вероятн. и статист. М.: ТВП, 1999. Т.6. Вып. №1. С. 209-210.

4. Усольцев Л.П. К закону повторного логарифма в задаче о распределении дробных долей показательной функции // Труды Куйбыш. авиац. ин-та. Математика. 1975. Вып. №1 С. 24-28

5. Усольцев Л.П. Неулучшаемая оценка скорости сходимости к нормальному закону и асимптотика больших уклонений в одном частном случае теоремы Форте-Каца // Исследования по аддитивной теории чисел . Научн. труды Куйбыш. пед. ин-та. 197S. Т. 215. С. 45-7б.

6. Statulevi&us V.A. On large devitions // Z. Wahr. 19бб. Уб, №2. S. 133-144.

7. ПетровВ.В. Суммы независимых случайных величин. М.:Наука, 1972. 41б с.

Поступила 2.06.2004 г.