О 5-хроматических графах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.1

Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2004, вып. 3

В. Ф. Горьковой

О 5-ХРОМАТИЧЕСКИХ ГРАФАХ

Как отмечал Харари [1], если гипотеза четырех красок неверна, то должен существовать 5-хроматический планарный граф и, следовательно, проблему четырех красок можно сформулировать следующим образом: всякий 5-критический граф содержит подграф, стягиваемый к полному 5-вершинному графу Рб. А так как в силу теоремы, являющейся двойственной формой теоремы Понтрягина-Куратовского [1], всякий 5-хроматический граф, стягиваемый к непланарен, то указанная формулировка эквивалентна формулировке гипотезы четырех красок.

Начнем с напоминания некоторых начальных сведений из теории графов, которые будем использовать в дальнейшем.

Пусть 7Г(т) = {СЬС2,Ст} - минимальная т-раскраска [1] связного графа С = (X, F), где X - множество вершин графа С, С*, г = 1 , т, классы одноцветных вершин, а .Р : X —> X - отображение, при котором каждому х € X отвечает подмножество РхСХ.

Преобразованием раскраски 7Г(т) называется такое перераспределение вершин графа С по классам данной раскраски, при котором не нарушается ее правильность й-

Фактор-степенью вершины ж € С< относительно раскраски 7Г(т) называется количество классов раскраски 7Г(т), с вершинами которых х смежна. Очевидно, максимальная фактор-степень вершин графа С относительно раскраски 7Г(т) равна т — 1.

Раскраска 7Г(т) называется 1-приведенной относительно С* € 7Г(т) и обозначается ^(т)» если Фактор-степень любой вершины х € С» инвариантна относительно любых преобразований над ..., С»_1, С^+х,..., Ст и равна т — 1. Раскраска 7Г(т) называется 2-приведенной последовательно относительно С г, С^ и обозначается ч, если раскраска 7Г(т) — С г является 1-приведенной относительно С,-. Аналогичным образом определяется понятие ¿-приведенной, 1 < к < т — 2, раскраски [3].

Каждая пара классов (Сг,С^) минимальной раскраски 7Г(т) графа С порождает двудольный подграф ((Сг,= (5, где Р - сужение отображения Р на (Сг, С,). Каждый такой подграф С с точностью до пустого подграфа [2] есть совокупность из нескольких связных двудольных подграфов, которые будем называть £-ми (зетками) и обозначать = (С%гСЦ), где г - номер Я-ки, а С\] С С С5 [3].

Если С - связный двудольный подграф, то будем говорить, что С* С С* и Cj С Я-связны, и писать Сг-КС^, если имеются С^ С Сг и С^ С С^ такие, что Сг С С{, С^ С С^ и подграф ((Сг-, есть двудольный связный подграф. Если же С- С Сг, С] С С,- и

((Сг',Су), .Р) - связный двудольный подграф, то будем говорить, что Сг и С_/ - ^-связны, и писать С^С] [3].

Будем считать, что два подмножества А и В вершин графа С являются 5-связными, и писать АБВ, если имеется по крайней мере пара смежных вершин х € А и у е В.

Пусть задан граф й = (У, Р) и 7Г(т) - его минимальная раскраска. Граф С = (X, Р) является гомоморфным образом графа С по определению, если С получается из С в

© В. Ф. Горьковой, 2004

результате склеивания некоторых вершин, принадлежащих одним и тем же классам раскраски 7Г(т). Описанное преобразование назовем гомоморфизмом Г : У —> X.

Хроматическое число графа Сг определяется как наименьшее га, для которого граф С? имеет раскраску 7Г(т).

Граф (? называется критическим, если — х)< для любой вершины х € С?. Если при этом его раскраска есть 7Г(т), то (7 называется т-критическим.

Среди всевозможных преобразований данной раскраски 7Г(т) можно выделить следующие, называемые элементарными [3]:

1) перемещение вершин {хк} С С{, фактор-степени которых меньше т—1, из одного класса С{ в другой с вершинами которого они не смежны;

2) если С[ С С{ и С] С таковы, что ((С[, является максимальным связным двудольным подграфом над (С^С^), то одновременное перемещение С[ в С,-, а С] в С{ называется инверсией.

Пусть 7Г^2 - минимальная раскраска, приведенная относительно, например, Ст,т > 3. Тогда

2х. Для любой вершины х € Ст имеет место соотношение С^БхБС^ для некоторых г и любых I,] Ф га. В этом случае £-ку П^- = будем называть опорной и

говорить, что х на нее опирается.

Для любого класса Сг раскраски 7г^2 (приведенной относительно Сщ)> ъ Ф т > 3, найдется по крайней мере один набор из га — 2 £-ток

таких, что

С11 п СЦ п... п сЦ™-2) в yiS(x е Ст).

Положим

т—2

** = П с%-

3=1

Если С - критический граф и 7Г(т) - его минимальная раскраска, приведенная относительно Ст, то Ст содержит всего одну вершину х. Действительно, если бы в Ст имелись две вершины х и у, то, в силу инвариантности фактор-степеней х и у относительно любых преобразований над 7Г(т) — Ст, одну из них можно было бы удалить из Ст, что не повлияло бы на хроматическое число графа С?.

В частности, если С? - 3-критический граф и т = 3, то ж € Сз опирается на £-ку Щ2 = -^С^), которая содержит вершины у € С\1 и г € С2£) смежные с ж, и вместе они образуют простой цикл нечетной длины [2]. А так как хроматическое число любого простого цикла нечетной длины равно трем, то все 3-критические графы исчерпываются циклами нечетной длины.

Пусть теперь С = (Х,Р) - 4-критический граф и 7Г24^ = {С^Сг, Сз, С4 } - его 2-приведенная относительно С4 и С\ минимальная раскраска. Обозначим

= х1кгх2кЯхзк2х1к, к = 1,2, 2

еп(4)(х) = {х 6 С4, \jQWfa : ж31^ж22, (1)

1

ХЦ 5X5^21 , Х\25Ж5жз2 }. На рис. 1 изображен граф £П(4) (х), у которого Z-ки обозначены ребрами.

Теорема 1. Если С = (Х,Р) - 4-критический граф, то он содержит подграф, с точностью до гомоморфизма совпадающий с С/П(4)(ж).

Доказательство. Так как С критический, то класс С4 содержит всего одну вершину х. В силу 2-приведенности 7Г(4) вершина х 6 С4 опирается над каждой парой классов (Сх, Сг), (С\, Сз), (С2, Сз) на соответствующие Z-ки. А так как приведена относительно Сь то любая вершина из С\ опирается на Z-ку над (С2, Сз).

пусть 7-ки п{2 = (с^с^1), п}3 = (с^О, п\2 = {сцгсц), п?3 = {сЦгсЦ)

такие, что хп = (СЦ П С1131)5ж и х12 = (СЦ П С11|)5х, а 2-ки Щ3 = (С||^С||), Щ3 = такие, что = С\\ П Ж122(ж32 = СЦ П С||)5ж, хи^(ж31 =

сПпсЦ),х12г(х22 = сЕпсЦ).

Очевидно, xзlZxllZx2lRxзl и хг2^х\^х22Кх^2- Так как фактор-степень х € С4 инвариантна относительно любых преобразований над (С1,С2,Сз), то инверсия Z-ки XllZxзl не должна изменить фактор-степень х. Следовательно, так как вершина х должна опираться после инверсии на Z-ку над (С1,С2), а в исходном графе она опирается на Z-кy над (С2, Сз), должно выполняться, с точностью до гомоморфизма (т.е. склеивания всех вершин из С|з с вершинами из Ж31), соотношение ж22£жз1, где ¿31 -результат указанного склеивания вершин.

Аналогично обстоит дело и с инверсией Z-ки Xl2Zx22■ Только здесь склеиваются вершины из С|3 с вершинами из ж22.

Из приведенных соотношений следует, что

хзкгх1кгх2кЯхзк = к = 1,2,

и, с точностью до гомоморфизма, xзlZx22, т.е. имеет место соотношение (1), что и завершает доказательство.

Отметим, что, во-первых, инверсия Z-ки, например х\2Zx22, превращает £/П(4)(ж) в граф, гомеоморфный

£П(4)(Я) = С4,^Ж(з) : XI15ж5ж3х 5ж5гс21};

а во-вторых, из того, что жз1/?ж22 и х £ С4 должна опираться над (Сг,Сз) на 2-ку, следует, что вершина х может быть смежной со всеми вершинами из С2\ и С||.

Теорема 2. Граф £П(4)(ж) содержит подграф, стягиваемый [2] к полному четы-рехвершинному графу

Доказательство. Пусть С/П(4)(ж) задается формулой (1) (см. рис. 1) и (у £ жц)£ж, (г £ х2г)8х. Так как хз2В,х222х$1, то существует вершина Ь £ Ж31, связанная с ж 6 С4 простой цепью [1]. А так как жц^ж21-йжз1^жц, то существует простой цикл над (С1,С2,Сз) и вершины у' £ хц,г' £ х21,Ь' € Ж31, принадлежащие этому циклу, такие, что вершины у и у', г и г', £ и связаны между собой непересекающимися простыми цепями. Следовательно, вершина ж связана с у', г' и I' непересекающимися простыми цепями. Таким образом, простой цикл, содержащий вершины у', г', вместе с простыми цепями, связывающими эти вершины с ж, образуют конструкцию, стягиваемую к Теорема 2 доказана.

Обозначим через к-тую конструкцию (/П(4)(ж), у которой ребра, инцидентные

вершине ж € С5, заменены £-ми Щ15 П42, П43, П^. Через будем обозначать ,2-ку

над парой классов (С^СТ,-), принадлежащую

Пусть к(П^) = (к(С^)2к(С^)), где к(С??) - подмножество вершин из класса Ср, р = г V j, порожденное разбиением двудольного подграфа графа С? над (С*, С^) на некоторое количество ^-связных подмножеств, принадлежащее ОУУ^, причем г = 1,2 есть номер конструкции принадлежащей (/И^. Обозначим ее

Положим

¿(Щх) р| А:(П^2) р| *(П23) р| к^) = к(х41), с4 с4 с4

где пересечение берется над С4.

В соответствии с вновь введенными обозначениями, будет иметь вид

2

= {*(*«) ф = А;(жз1)^(ж22),А;(ж11)^

1

к(х41)Ек(х21),к(х12)2к(х41)Ек(хз2)},

где к($\¥зг) = к{хгг)гк{х1г)2к{х2г)Як{хгт), г = 1,2.

Положим

4

^(5)(х) = {ж € Св> и : 1(ж41)5ж51(жп),

*г=1

2(ж41)5ж52(ж21),3(ж41)5ж53(жз2),4(ж41)5,ж54(ж12), (2)

2(ж31)£4(ж22)£1(жз1)£3(ж22), 1(ж21)£2(жп), З(ж12)£4(ж32)}.

На рис.2 изображен граф £П(5)(ж), где ребрами обозначены ¿?-ки, связывающие соответствующие к(х^), а светлыми кружочками - вершины, смежные ж 6 С5.

Теорема 3. Если С? - 5-критический граф, то он содержит подграф, с точностью до гомоморфизма совпадающий с £/П(5)(ж).

Доказательство. Пусть == {С1, С2, Сз, С4, } - 3-приведенная последовательно относительно С5, С4, С\ минимальная раскраска графа (?. Так как (7 - критический граф, то Сь содержит всего одну вершину ж. В силу 3-приведенности 7г(5), вершина ж £ С5 опирается над каждой парой классов г > г,У € {1,4}, по крайней

щ31) 2(Х31) МХГ] 3(Х22) 21Х21) 1(Х21)

Рис. 2.

мере на одну Z-кy. В частности, так как 7Г(4) = {С1, Сг, С3, С4} приведена относительно С4, то предположим, что х € С5 опирается на ¿?-ки 1(11^) = (l(Cl\)Zl{C\{)),2(Jl\2) = (2 (С42) ^ 2 (С42)), 3 (П43) = (3(С1з2)^3(С43З2)),4(П^) = (4(С4412)^4(С|12)).

Для каждой из указанных 2-ток существуют по крайней мере еще три Z-ки

А;(П12),А;(П2з) и к(1&) такие, что [*(®41)5*] = МП^ПМП^ПМП^ПМЩ!), где пересечение берется над С4, опирается на конструкцию, которая вместе с к(хц) есть

г

Так как раскраска — Сз = 7Г24^ является 2-приведенной последовательно относительно С5 и С4, то, согласно теореме 1, имеем (х81(хп))В.(2(х21)Зх). В силу тех же причин для раскраски 7Г(5) — С\ получаем 2(ж21)-КЗ(жз2), а для раскраски 7Г(5) — С2 -3(ж32)Л4(х12).

Так как фактор-степень х инвариантна относительно любых преобразований над классами (С1,С2,Сз,С4), то и инверсия 2-ки 1(жц)^1(хз1) не должна изменить фактор-степень х. А это будет тогда, когда будет выполняться, с точностью до гомоморфизма, соотношение

[х32(х21)]г2(хи)г1(х21)т(хз1)г4(х22)г[4(х12)3х].

(3)

Фактор-степень х € С5 должна быть инвариантна и относительно инверсии Z-ки [ж51(жц)]Д[2(х21)5'а;]. В этом случае должно выполняться (с точностью до гомоморфизма) соотношение

[х81(хп))г\(хг1)гЪ(х22)тЫ)8х), (4).

так как (как и в первом случае над С2)) вершина х должна опираться над (С2,Сз) после указанных инверсий на Z-кy.

Точно так же инверсия Z-кa 3(а;з2)Я4(ж12) влечет (с точностью до гомоморфизма) соотношение

[ж54(х12)]^4(х22)^2(хз1)Я[2(х21)5ж].

(5)

Итак, из (3)-(5) имеем, с точностью до гомоморфизма,

2(®з1) £4(Ж22) (®31) ^Ъ{х22)

и

1(®21)^2(®Ц),3(Х12)^4(®32). Из того, что х € Съ опирается на £-ки ЦП^), 2(П42), 3(П43), 4(П|1), следует

1(ж41)5ж51(жи), 2(ж4Х)5Ж52(Ж21), 3(ж41)5ж53(ж32),

4(141 )5Я54(®12).

Что и требовалось доказать.

Теорема 4. Граф ¿/П(5)(ж) содержит подграф, стягиваемый к Доказательство. Пусть £/П(5)(ж) задается формулой (2). Рассмотрим ОУУщ при к = 1. Так как 1(жц)5ж51(ж41), то имеются некоторые вершины ух Е 1(ж4х) и г\ 6 1(жц) такие, что ухвхБгх. Из того, что (ж52(a;2l))Z2(a;lx)Zl(a;2l), следует существование простой цепи из вершины х £ С5 в вершину г2 € 1(ж21). А из того, что (ж53(а;з2))ЛЗ(а;22)^1(ж31), существует простая цепь из вершины х 6 С5 в вершину г3 £ 1(3:31). Все указанные простые цепи не имеют общих вершин. Так как

1(я41)Я1(хц), 1(х41)г1(х3 2)Л1(®22)^1(®31), 1(341)Я1(®21),

то существуют непересекающиеся простые цепи из вершины у\ в вершины г\,г2 и г3, принадлежащие пересечениям £-ок

1(Щх) Пс, 1(П}3) Г\сг ^ПЬ). 1(Щ2) Пс21(ПЬ) Пс2 1(Щ3) 1(П1з)Псз1(П2з)

соответственно.

А так как 1(хц)^1(хз1)Я1(х21)^1(хц), то существует простой цикл, содержащий вершины г[ £ 1(хц),г'2 £ 1(ж21)>2з £ 1(хз1)- Очевидно, и 22 и г2, 2:3 и г'3 связаны непересекающимися простыми цепями. Таким образом, вершины х,ух,г'х,г2,г3 вместе с простыми цепями, связывающими их, образуют подграф графа С?, стягиваемый к Р$.

Пример приведения раскраски. Пусть задан обыкновенный граф С? = (Х,Р). Выбираем любую вершину х £ X. Если у £ X не смежна с х £ X, то вершины х и у помещаем в один класс С\. Вершина г 6 X принадлежит С\, если г Рх и Ру.

Пусть Рх и Ру и ... и = X; х,у, 6 С\. Тогда класс С2 формируется по описанному выше правилу и состоит из вершин, не принадлежащих С\. Пусть классы Сх, С2,..., Ст сформированы и

УСг = Х, С*Р|С, =0, гфз-

г

Тогда совокупность классов Сх, С2,..., Ст называется разбиением множества X на подмножества попарно не смежных вершин.

Приведем раскраску 7г(т) = {С\,..., Ст} относительно одного из классов, например • Ст. С этой целью переместим из Ст в другие классы вершины, не смежные с ними (если такие есть).

Для каждой из оставшихся вершин находим над каждой парой классов ф ш, опорные £-ки. Если инверсия одной из ,2-ток изменит фактор-степень х € Ст, то перемещаем х в класс, с вершинами которого она не смежна, и т.д. Подобным образом поступаем с раскраской 7г^т_ ^ — тг(т) — Ст, приводя ее относительно Ст-1, и т.д. до 7Г(3) = 7Г(4) — С4, приводя ее относительно С\.

Пусть есть 3-приведенная относительно классовСб, С4, С\ раскраска. Для вершины х £ находим опорные £-ки над (С\, С2,Сз) и выясняем, образуют ли они №(г) (а вместе с х € С5 и СД1(4)(:е)). Проделаем это для каждой тройки классов (С{,С],Ск), г,к € {1,4}, г ф к. Для полученных конструкций ( если они есть)

выясняем их связь между собой.

Пусть граф С? = (X, Р) задан таблицей

1 2 3 4 5 6 . 7 8 9 10 11 12 13

2 1 1 1 1 1 2 2 2 3 3 5 4

3 3 2 2 6 4 3 5 7 . 7 4 " 8 5

4 4 4 3 8 5 8 7 8 9 6 9 6

5 7 7 6 12 11 Э 9 10 11 7 10 8

6 8 10 11 13 13 10 12 12 12 10 13 11

9 11 13 11 13 13 12

Если начать с вершины 1, то раскраска графа G будет иметь вид С\ = (1,7,12), С2 = (2,5,10), Сз = (3,6,8), С4 = (4,9), С5 = (11),' С6 = (13). Фиксируем в каждом классе вершины, смежные с вершиной 13, и находим опорные для нее Z-ки над каждой парой классов (рис. 3, а).

Вершина 13 не опирается над (Ci,Cs) на Z-ку, и так как 115(7 6 Ci), то инверсия Z-ки 11Z7 приведет к тому, что ее можно будет переместить в С5. Таким образом, исходная раскраска преобразуется в С\ = (1,11,12), С2, С3, С4, С5 = (7,13) (рис. 3, б).

Опять над каждой парой классов из Ci,..., С4 ищем все Z-ки, на которые опираются вершины из С5. Имеем (9 G С4)5(11 G Ci), но вершина 9 не смежна с вершиной 11. Тогда инверсия Z-ки 9Z12 приведет к перемещению вершины 7 в класс С4 и к раскраске Сх = (1,9,11),С2,Сз,С4 = (4,7,12),С5 = (13) (рис. 3, в).

Summary

Gorkovoi V. F. About 5-cromatical graphs.

The topological qualities of the 5-critical graphs are investigated with the help of special changing color transformations.

Литература

1. Харари Ф. Теория графов / Пер. с англ.; Под ред. Г. П. Гаврилова. М., 1973. 300 с.

2. Зыков А. А. Основы теории графов. М., 1987. 384 с.

3. Горъковой В. Ф. Графы Бержа: изоморфизм, декомпозиция, раскраски. СПб., 1994. 183 с.

Статья поступила в редакцию 19 октября 2004 г.