О классификации графов, основанной на минимальном ранге матрицы, ассоциированной с графом Текст научной статьи по специальности «Математика»

В. Ю. Добрынин

О КЛАССИФИКАЦИИ ГРАФОВ, ОСНОВАННОЙ НА МИНИМАЛЬНОМ РАНГЕ МАТРИЦЫ, АССОЦИИРОВАННОЙ С ГРАФОМ

1. Введение. Есть несколько хорошо известных функций графа, которые можно представить в терминах минимума ранга некоторой матрицы, ассоциированной с графом. Упомянем две такие функции.

Первая функция есть минимальная размерность ортонормального помечивания графа. Ортонормальным помечиванием размерности й графа (7 = (У, Е), где V =

{1,..., п} - множество вершин, аВС - множество ребер, есть отображение

такое, что щ • щ = 0 для всех пар не смежных вершин г,^ 6 V и Цг^Цг = 1 для всех г 6 V. Обозначим через (1(0) минимально возможную размерность ортонормаль-

связи с изучением им же введенной функции 0(<7) [1]. Функция в(С) вычислима за полиномиальное время и ограничена снизу и сверху соответственно ск(Сг) - мощностью наибольшего независимого множества вершин и х(С?) - наименьшим числом клик, покрывающих все вершины графа (?.

Пусть е* € К** - орт, в котором все компоненты кроме г-й равны нулю, а г-я компонента равна 1. Пусть М - некоторое независимое множество вершин графа (?. Тогда {щ : i е М} есть система попарно ортогональных векторов. В связи с этим

где минимум берется по всем ортонормальным помечиваниям графа С. Правая часть неравенства (1) и есть предложенная Ласло Ловасом функция в (С).

Из (1) непосредственно следует, что

Очевидно, что й(С) можно представить в терминах минимума ранга матрицы, ассоциированной с (7. Пусть

ного помечивания графа С. Ласло Ловас (Ьгизіо Ьоугизг) рассмотрел эту функцию в

£(е1-02 < Ы2 = і.

ІЄМ

Следовательно,

\М\ • тіп(еі • щ)2 < 1,

\М\

(1)

а(<?) < Я(СУ).

Кроме того, Ловас доказал, что

в{С)<Л{в)<х{С).

Лъо(С) = {X : X Є Епхп,Х = ХТ,Х У 0.

© В. Ю. Добрынин, 2004

I-A(G)<X <I + A{G)}, .

где Mnxn - множество всех вещественных пхп матриц; I - единичная матрица; A(G) - матрица смежности графа G; X ^ 0 означает положительную полуопреде-ленность матрицы X. Таким образом, если X € -4>-о(Сг), то

X = YTY, ■

здесь Y - вещественная матрица размерности rk(X) х п, все столбцы которой задают ортонормальное помечивание графа G. Сл'едовательно,

d(G) < min rk(X).

4 ' ~ хел>.о(С) 4 '

Вместе с тем пусть Y есть d(G) х п - матрица, задающая некоторое ортонормальное помечивание графа G минимальной размерности. Тогда

YTY € Ay0(G)

Итак,

d(G) > min rk(X).

v 7 “ xeAt0(G) 4 '

d(G) = min rkpH.

v 7 xeAt0(G) 4 '

Вторая упоминаемая функция графа, представимая с помощью ранга некоторой матрицы, ассоциированной с графом, есть хорошо известная функция /¿(С?) [2], которая связана с топологическими свойствами графа. Например, граф Сг планарен тогда и только тогда, когда /х((?) < 3.

В работе [3] изучалась функция /х(С?) и, в частности, было показано, что для каждого отличного от Кг графа б?

/и((?) — п — ¿'(б?) — 1,

где для заданного графа Н = (У,Р), |У| = п, и{Н) есть минимальный ранг симметричной пхп матрицы А, удовлетворяющей следующим условиям:

1) Ау = 1, если г.7 6^,и Ау < 1, если ¿7 € .Р;

2) А У 0;

3) если X есть симметричная пхп матрица, такая что Х^ = 0 для 13 е .Ри{гг; г € V} и АХ = 0, то X = 0.

Рассмотрим теперь такой класс ассоциированных с графом С матриц:

Аф) = {X : X € Кпхп, X = Хт, I - А^) <Х<1 + А((У)}.

Обозначим через г(0) функцию графа, равную минимуму ранга матрицы из класса

А{С):

г(С) = хЙ?о>гк(Х)-

. В настоящей работе изучается возможность использования функции г (О) и некоторых близких ей функций для классификации графов.

2. Основные свойства функции r(G). Свойства функции r(G) будем рассматривать в сопоставлении со свойствами нескольких родственных функций.

В качестве базового класса рассмотрим •

A(G) = {X :Х € Гхп, Х = ХТ, I - A(G) <Х <I + A(G)}.

Три следующих класса являются подклассами базового класса:

• класс неотрицательных матриц .

Д>о(С) = {X : X € A(G), X > 0},

• класс положительно полуопределенных матриц

Ay0(G) = {Х:ХЕ A(G), X ± 0},

• класс

C{G) = {Х-.Хе A(G), X = ВТВ, В > 0}.

Таким образом,

C(G)c4o(G)nAo(G). .

Напомним, что

r(G) = min rk(X), v ' xeA(G) v '

d(G) = min rk(X). v y xeAt0(G) 4 '

Обозначим через r+(G) функцию графа, равную минимуму ранга матрицы из класса A>0(G):

r+(G) = min rk(X).

' x&A>0(G) v '

Заметим, что нет необходимости предлагать новое имя для функции, равной минимальному рангу матрицы из класса C(G), благодаря следующей теореме [4].

Теорема 1. Для каждого графа G

^)=Ärk(X)-

Вернемся к рассмотрению функций r(G), r+(G) и d(G). Из определений и теоремы 1 непосредственно вытекает, что

a(G) < r(G) < d(G),r+ (G) < x(G). (2)

Далее рассмотрим соотношения между r(G) и остальными функциями из (2).

2.1. Функции r{G) и d(G). Начнем с рассмотрения именно этой пары функций, так как имеется ряд свидетельств в пользу того, что между r(G) и d(G) есть определенная связь. Более того, открытым остается вопрос - являются ли эти функции графа различными?

Лемма 2 [5]. Для каждого графа G равенство a(G) = r(G) влечет a(G) = d(G).

Доказательство. Пусть а(С7) = г(С?) = к, X е Л((7) и гк(Х) = к. Без потери общности положим .

Следовательно, Z = УТУ и

*=(ут)-(А У)- , '

Таким образом, столбцы матрицы (/* У) дают ортонормальное помечивание размерности к графа (7. Следовательно, <¿((7) = к.

Функция ¿(С?) интересна тем, что ее можно использовать для построения верхней оценки функции В то же время получить подобную оценку на основе функции

а (О) невозможно [б, 7], и этот вопрос остается открытым для функции г (С).

Следующая лемма, принадлежащая Андрею Котлову (устн. сообщение, 2001), дает приведенную оценку для х(С) в терминах (¿(С). Следует отметить, что Котлов, Лова,с и Фишкинд получили ряд интересных результатов относительно связи хроматического числа графа и ранга его матрицы смежности [8-10].

Лемма 3 (А. Котлов). Пусть щ, ...,ип задает ортонормальное помечивание графа б размерности (I и Ь{,..., Ь* есть ортогональный базис некоторого линейного пространства Ь С Ж4*, такой что щ • Ь; > 0 для г = 1, ...,п и j = 1,..., к. Тогда

*((?) <к + 2Л~к.

Доказательство. Без потери общности положим, что в Ь лежат векторы и 1, ...,ит ищ £ Ь для г > т. Здесь т > 0. Мы можем раскрасить векторы щ,..., ит не более чем в к цветов следующим образом (здесь под раскраской понимаем такое сопоставление векторам цветов, при котором ортогональные векторы получают различные цвета). Для каждого г < т вектор щ получает цвет I, где I есть наименьшее целое, такое что щ • Ъь > 0. Далее, остальные п — т векторы ит+х,..., ип могут быть раскрашены не более чем в 2Л~к цветов. Действительно, пусть Ьк+1,..., Ъ(1 - ортогональный базис в общем положении ортогонального дополнения к пространству Ь. Тогда функция

с : щ ^п(иг • Ьк+г), ...^п(гц • ЪЛ))

определяет допустимую раскраску векторов ит+х,..., ип в б не более чем в 2а~к цветов.

Следствие 4‘ С использованием обозначений, введенных выше,

х(Сг) < тт{А;,т} + тт{п — т, 2*~к}.

Предыдущий результат можно использовать для характеризации графов, дополнительных к двудольным, в терминах функции <¿((7). Если С? - непустой двудольный граф, то х(С?) = х(Сг) = 2. Так как ¿(С?) < х(&) и ¿(¿?) > 1 для непустого графа, то «¿(С?) = 2. Обратно, пусть (1(0) = 2. Не умаляя общности, можно считать, что существует вектор и : и ■ щ> 0 для всех щ, г — 1,..., п, и и $ щ для всех щ, г = 1,..., п. Тогда к = 1, т = 0 и, по следствию 4,

Х((*) < тт{1,0} + тт{п, 21} = 2.

Следовательно, О - двудольный граф.

Теперь сопоставим функции ¿((7) и г ((7) при малых значениях.

Теорема 5 [5]. Для г < 3

г(С?) = г тогда и только тогда, когда <¿(6?) == г. Доказательство. Очевидно, что г(С?) = 1 «(С) = 1 <=> (1(0) = 1 -Ф^

г+(С) = 1.

Пусть ¿(С) = 2. Тогда, по следствию 4, х(^) = 2 и, таким образом, .

а(0) = г(С) = (1(0) = г+(0) = Зс(С) = 2.

Пусть г((7) = 2. Тогда «(С) = 2 и, по лемме 2, ¿(С) = 2.

Пусть <1(0) — 3. Тогда г(бт) = 3 следует из предыдущего утверждения.

Пусть г((7) = 3. Тогда 2 < а(С) < 3.

В случае а(С) = 3 равенство (1(0) = 3 следует из леммы 2.

Пусть а(С?) = 2. Пусть X (Е Л(С) и гк(Х) = 3. Обозначим через 0[Х] остовной подграф графа (7, который содержит ребро Ц тогда и только тогда, когда Xу ф 0. Пусть

У(0) = У1 и-иут,

где ' .

• У» П V} = 0, если г ф j;

• Х^ = 0, если и только если Х]к = 0 для всех к € {1,...,п} при г,^ €Е Ц, I е {1,... ,т};

• существует к € {1,..., п) такое, что Х** ф 0 и Х^ — 0 или Х^ = 0 и Х^ ф 0 при

* 6 V/«,- £ У» и /' ф I".

Иными словами, множество вершин V* индуцирует максимальный по включению полный подграф графа С?[Х], такой что все вершины из V* в С?[Х] имеют одних и тех же соседей вне

Пусть Уг 6 У, г 6 и

х' = хи.....•»;,

...\«0 ^

где X'«....есть подматрица матрицы X, стоящая на пересечении строк с номерами

из {¿1,...,г*} и столбцов с номерами из Тогда для каждой пары г,^ £

{1,..., т} существует А; £ {1,..., т} такое, что

ф 0 и Ху.^к = 0

или

. = 0 и Х^к Ф 0.

Очевидно, что а(0) <гк(Х') = гк(Х). При этом й(0[Х']) > (1(0) и г+(С[Х']) > г+(С). .

Без потери общности положим, что У(С[Х']) = {1,...,т} и 12 £ Е(0[Х'\), 23 $ Е(0[Х']), 13 6 Е(0[Х']). Действительно, если для каждой пары не смежных вершин . графа 0[Х'] эти вершины смежны всем другим вершинам графа <7[Х'], то ¿(£т[Х;]) = 2

• и, следовательно, (1(0) = 2. Вместе с тем, если 13 ^ £/(С[Х']), то а(С?) = 3.

Следовательно,

Xі =

(і а 0 аЛ \

0 1 0 У

0 1/

\ гт V)

/1 0 аЛ

Пусть |ж| < 1. Тогда матрица 10 1 0 положительно определенная, Xі полоня 0 1/

жительно полуопределенная и, таким образом, Xі = где Ґ - 3 х т-матрица.

Столбцы матрицы і*1 представляют ортонормальное помечивание графа 0[Х'\, которое может быть распространено на граф С?. Следовательно, ¿(С?) = 3.

' /1,2,3\

Пусть |х| = 1. Тогда X''1-2-3' = 0. Без потери общности положим, что

Тогда

/1,2,3,4\

X..........т> =

3.4\ 3,4; Ф о.

/1 0 X У\ Л

0 1 0 У2

X 0 1 Уз

\2/і 2/2 Уз 1 •••/

/1,2,3,4^

Ранг матрицы Х“1...........т' равен 3 и рангу матрицы

/0 0 0 г

0 1 0 2/2

0 0 1 уз

\-г 2/2 Уз 1

7

которая получена из предыдущей матрицы вычитанием третьей строки и столбца, умноженных на х, из первой строки и столбца соответственно. Следовательно, все элементы первой строки последней матрицы должны быть равны 0. Таким образом, вершины 1 и 3 принадлежат одному и тому же множеству 1^. Из этого противоречия следует, что \х\ф\. ■

Следствие 6. Если (1(0) = 4, то г(0) = 4.

2.2. Функции г(С?) и а((7). Теперь можно показать, что функции г(б?) и а (О) различны. Рассмотрим цикл С$. Известно, что а(Сь) = 2 и х(Сь) = 3. Так как С*, не является двудольным графом, то, по ранее доказанному, ¿(Сб) = 3. Следовательно, по лемме 2 г(Съ) = 3.

Имеются графы, для которых г(0) = а(С), например совершенные. Как можно охарактеризовать все графы, для которых это равенство имеет место? Из леммы 2 следует, что это все такие графы, для которых а(С?) = й(0). По следствию 4 заключаем, что для них выполняется также неравенство

*(<?) < 2а(°Ь1.

Отметим, что для произвольного графа нельзя оценить сверху величину х(Сг) в терминах функции а (О).

Естественно возникает вопрос - насколько велика может быть величина х(<?) — а(<3) в случае, когда = г (С)? В работе [11] Е. В. Просолупов приводит после-

довательность связных графов {Гг}, для которых сс(Гі) = ¿¿(Гі) < х(Гі), причем

Ш-

Представляет интерес также вопрос о дополнительных условиях на граф Є, при которых из равенства оі(СИ) = г (Є) вытекает равенство а(Є) = х(&)- В работе [12] приводится следующий результат.

Теорема 7. Если в графе Є нет двухш циклов С4 без хорд с общим ребром, то равенство а(С?) — г(С) влечет а(Є) = х(С?).

Доказательство. Пусть для графа С? выполняются равенства оі(Є) = г (Є) и о (С) = гк(Х), X Є Л(С). Не умаляя общности,

пг = уту.

Это означает, что столбцы матрицы (/а(с),У) задают ортонормальное помечива-ние и графа Ст. Покажем, что для любых вершин I £ {1,... ,а(Сг)}, г,^‘ 6 У {О) \

{1____,а(С?)}, если вершины ! и ; не смежны, е/ • щ ф 0 и е/ • щ ф 0, то существует

вершина т € {1,..., а (С?)}, тп ф I, которая, как и вершина I, смежна с вершинами г и j.

Действительно, так как г и .7 не смежны, то

а(С)

щ • м5- = £ (ея • щ)(е8 • и¿) = 0.

5=1

Но слагаемое (е/ • щ)(в1 ■ и^ в последней сумме не равно 0. Следовательно, существует по крайней мере еще одно ненулевое слагаемое

(ет • и1)(ет • иф 0,

т.е. вершина т € М, смежная с г и

Пусть V = У\ и • • • и Уд, 9 > ск(С) есть разбиение множества вершин графа С? на подмножества такое, что . 1в V*,/ = 1, ...,<*((?);

• если i 6 У(С?) \ {1, ...,а(Сг)}, г € V/, 1 < / < «(С), то е* -щф 0;

• если i,j€.Vl,l<l<q,ю вершины г и ] смежны.

Очевидно, что такое разбиение всегда можно построить. Например, можно взять q = п, и каждое К будет содержать ровно одну вершину.

Итак, если это разбиение имеется, то каждое Ц порождает в С? клику и, следовательно, х(Сг) < дНе умаляя общности, можно полагать, что никакое из множеств {Ух,..., У*(<з)} не может быть расширено за счет добавления каких-либо вершин из множеств Уа(с)+1,..., Уд. Обозначим М = {1, ...,а((?)}.

Предположим, что «(С) < х(Сг). Тогда множество 5 = Уа(о)+\ и ••• и Уд не пусто. Пусть х € 5 - произвольная вершина из 5. Тогда существует I 6 М такое, что егих ф 0 (ибо их ф 0). Так как, по ранее сделанному предположению, множество V} не может

быть расширено за счет добавления вершины х, то существует вершина х/ £ Ц, не смежная с х. Тогда должна существовать вершина т € М, т ф I, смежная с х и х/.

В множестве Ут также должна существовать вершина хт, не смежная с х, так как это множество, по предположению, нельзя расширить за счет добавления х. Но тогда в М должна иметься вершина у ф т, смежная с х и хт. При этом вершины I и у могут совпадать.

Если у Ф I, то в С имеются два цикла длины 4 без хорд с общим ребром: (I, XI, т, х, /) и (т,х,у,хт,т). Если у = 1, то имеются циклы (1,х,т,х1,1) и (т,х,1,хт,т).

Получено противоречие с условием, наложенным на граф С, - нет двух циклов длины 4 без хорд с общим ребром. Следовательно, д = а(&) = х((?).

2.3. Функции г(<7) и г+(<3). В п. 2.2 отмечалось, что в общем случае из равенства а(С?) = г(С?) не следует а((?) = х(С?)- Однако при переходе от г((7) к г+((?) ситуация меняется [13]. .

Теорема 8. Для любого графа С7 а(С?) = г+(Сг) влечет а((?) = х((?).

Доказательство. Пусть для графа С = (V (Ст), Е(С)) выполняется равенство а(С) = г+(С). Пусть X € Л>о(С) и г+(&) = гк(Х). Не умаляя общности,

Следовательно, 2 — УТУ и столбцы матрицы

(ио) У)

задают неотрицательное ортонормальное помечивание и+ графа (7 размерности а (С):

и+ : У{в) Е“(С).

Построим разбиение множества вершин V ((?) на непересекающиеся подмножества У , г = 1, ..., а(С). Вершину j 6 V(С) включаем в множество У*, если г есть наименьшее целое такое, что > 0. Очевидно, что каждое У* порождает в С? клику, и, следовательно,

<*(<?)=*((?).

Как следствие получаем, что функции г((7) и г+(<7) различны. В то же время функция г+(С?) не равна и х(С). В [13] приводится соответствующий пример графа Н, для которого

а(Н) < г+(Н) < х(Н).

3. Итоговая сводка классификационных результатов. Обозначим через С{Х} множество графов, удовлетворяющих условию X.

• Класс (2{г(С?) = 1}

= ^{полный граф}. -

• Класс С7{г(Сг) = 2}

= (? {дополнительный к двудольному графу}.

• Класс С{г(С) = 3}

= £{<*((?) = 3}, .

СС{«(С)<3,да)<4}.

• Класс С?{с£((?) = 4}

С <7{г(<7) = 4}.

• Класс (7{г(С?) = а(С)}

= 0{<1(С)=а{С)}, ' .

с <3{х(<3) < 2а(°)~1}. .

• Класс (7{г(Сг) = а.(0), нет двух циклов без хорд с общим ребром}

с с{а(<?) =*((?)}■ . •

• Класс С?{г_|_(С?) = «(О)}

= С{«(С)=х((?)}.

Summary

Dobrynin V. Ju. On graph classification based on a minimum rank of a matrix associated with a graph. *

Some elements of a graph classification are presented. This classification is based on a minimum rank function calculated on some matrix classes associated with a graph. The main goal of classification developed is to study graphs for which a(G) < x(G) is held.

Литература

1. Lovdsz L. On the Shannon capacity of graphs // IEEE Trans. Inform. Theory. 1979. Vol. 25. P. 1-7.

2. De Verdière Y. С. Sur la multiplicité de la première valeur propre non nulle du laplacien // Comment. Math. Helv. 1986. Vol. 61. P. 254-270.

3. Kotlov A., Lovdsz L., Vempala S. The Colin de Verdière number and sphere representation of a graph // Combinatorica. 1997. Vol. 17. P. 483-521.

4. Добрынин В. Ю. Хроматическое число графа и ранг матрицы // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 1995. Вып. 3 (№ 15). С. 120-122.

5. Dobrynin V. On the rank of a matrix associated with graph // Discrete Mathematics. 2004. Vol. 276, N 1-3. P. 169-175.

6. Зыков A. A. // Мат. сб. 1949. T. 24, № 2. С. 163-188.

7. Mycielski F. // Collog. Math. 1953. Vol. 3, N 2. P. 161-162.

8. Kotlov A., Lovasz L. The rank and size of graphs //J. Graph Theory. 1996. Vol. 23. P. 185-189.

9. Kotlov A. Rank and chromatic number of a graph // J. Graph Theory. 1997. Vol. 26. P. 1-8.

10. Fishkind D. E., Kotlov A. Rank, term rank and chromatic number // Discrete Mathematics.

2002. Vol. 250, N 1-3.

11. Просолупов E. В. О разрыве между минимальной размерностью ортонормального по-мечивания и размером наименьшего кликового покрытия графа // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 2004 (в печати).

12. Dobrynin V., Pliskin М., Prosolupov Е. On the functions with values in [a(G), %(<?)] // Electron. J. Combinat. 2004. Vol. 11, N 5.

13. Dobrynin V. On the function “sandwiched” between a(G) and y(G) // Electron. J. Combinat. 1997. Vol. 4, N 19.

Статья поступила в редакцию 19 октября 2004 г.