CC BY
30
Численный анализ ударного взаимодействия двух анизотропных тел
П.А. Радченко1,2, A.B. Радченко1,3
1 Институт физики и прочности материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия 2 Томский государственный университет, Томск, 634050, Россия 3 Томский государственный архитектурно-строительный университет, Томск, 634003, Россия
Численно моделируется процесс ударного взаимодействия двух анизотропных тел: цилиндрического ударника и пластины. Моделирование проводится методом конечных элементов в трехмерной постановке. Исследовано влияние ориентации осей симметрии анизотропного материала на разрушение.
Numerical analysis of shock interaction of two anisotropic solids
P. A. Radchenko12 and A.V. Radchenko13
1 Institute of Strength Physics and Materials Science SB RAS, Tomsk, 634021, Russia 2 Tomsk State University, Tomsk, 634050, Russia 3 Tomsk State Architecture-Building University, Tomsk, 634003, Russia
Shock interaction of two anisotropic solids, namely, a cylindrical striker and a plate, is numerically simulated. The simulation is performed by the finite-element method in a 3D statement. Consideration is given to the effect of symmetry axis orientation in the anisotropic material on fracture.
1. Введение
Практика проведения численных и эксперименталь-
ных исследований анизотропных материалов связана в
основном со случаями совмещения осей симметрии материала и осей координат. При численных исследова-
ниях это связано с минимизацией количества упругих
постоянных и с упрощением применения различных
критериев разрушения материала. В данной работе рас-
смотрен случай ударного взаимодействия двух анизотропных тел с произвольной ориентацией осей симметрии относительно системы координат: ортотропного ударника и ортотропной преграды. В качестве материала ударника и преграды использовался органоплас-тик. Оси симметрии ортотропного органопластика мо-
гут быть ориентированы произвольно относительно
осей координат, а оси координат связаны с геометрией
пластины и направлением скорости ударника. Поведе-
ние органопластика описывается в рамках феноменоло-
гического подхода упругохрупкой моделью [1] с исполь-
зованием критерия прочности второго порядка, предложенного Ву [2], позволяющего учитывать различные прочностные характеристики органопластика на растяжение и сжатие. Численное моделирование проводится методом конечных элементов [3]. Благодаря реализованному в численном алгоритме пересчету тензоров упругих постоянных и тензоров прочности моделируется поведение конструкций, содержащих несколько элементов, выполненных из анизотропных материалов с различной ориентацией упругих и прочностных свойств относительно расчетной системы координат.
2. Основные уравнения модели
Универсальные уравнения, которые описывают нестационарные адиабатные движения сжимаемой среды и выполняются всюду внутри тела имеют вид: уравнение неразрывности
— + divpv = 0, д(
© Радченко П.А., Радченко A.B., 2005
векторное уравнение движения сплошной среды, которое в проекциях на оси декартовой системы координат записывается следующим образом
Р
dvk doki
+ Fk
dt dx, уравнение энергии dE _ 1 dt р
■_ — ej.
Здесь р — плотность среды; V—вектор скорости; F — компоненты вектора массовых сил; а9 — контрава-риантные компоненты симметричного тензора напряжений; Е — удельная внутренняя энергия; е.у — компоненты симметричного тензора скоростей деформаций. К этим уравнениям необходимо добавить уравнения, которые характеризуют физические свойства изучаемой среды. Компоненты тензора напряжений в ортотропном материале определялись из уравнений обобщенного закона Гука [1]. Уравнения, записанные в скоростях деформаций, в этом случае имеют следующий вид:
Dа9
Dt
• _ Cijkle
ijklekl >
где СуЫ — упругие постоянные; —D--производная
Яуманна.
Система представляет собой 9 уравнений, содержащих по 9 упругих постоянных в каждом. Из уравнения баланса моментов количества движения в случае неполярной среды следует симметрия тензора напряжений Коши (только 6 независимых компонент). Из симметрии тензора скоростей деформации в оставшихся 6 уравнениях содержится уже по 6 упругих постоянных в каждом из уравнений.
Для любого анизотропного материала, для которого существует упругий потенциал, выполняются 15 соотношений: три уравнения вида ци!Ек = Ег, девять уравнений вида у¡д/Е^ = у¡Ск1 и три уравнения вида П 1к,1ш1°гк =П1шк1С1т • Здесь Е, ^ Уг, г1, Пгк ,1т — модули упругости, сдвига, коэффициенты поперечной деформации и взаимного влияния; у коэффициентов индексы, стоящие до запятой, означают направление напряжения, вызвавшего деформацию, а индексы, стоящие после запятой, — направление деформации. Соответственно тензор упругих постоянных содержит 36 компонент, но независимы из них в общем случае анизотропного материала, не зафиксированного относительно осей координат, только 21. При переходе к другой, также ортогональной, системе координат упругие постоянные преобразуются по формулам:
Cabcd = Сук1Ч1аЧ9ЬЧксЧи, где Цу — косинус угла между соответствующими осями i и j. В трехмерном пространстве преобразование компонент тензора четвертого ранга требует суммирования
произведений, содержащих множителями по 4 косинуса углов поворота осей. Число независимых компонент тензора упругих постоянных зависит от симметрии среды, а величины компонент непосредственно характеризуют упругие свойства среды. Разрушение анизотропного материала описывается в рамках модели [1] с использованием критерия разрушения Ву [2] с различными пределами прочности на сжатие и растяжение. Этот критерий, записанный через скалярные функции от компонент тензора напряжений, имеет следующий вид:
/ (ау) = Р'у ау + 9 ак1 + ••• ^ 1> (1)
г, 9, к, I = 1,2, 3.
Здесь Fi9 и Fi9kl являются компонентами тензора 2-го и 4-го ранга соответственно и подчиняются законам преобразования:
Fab = Р'гуЦгаЧуь , Р'аЬс^ = ^ук1 Яга 4уь Чкс1ы • Компоненты тензоров прочности [2] для критерия (1) определяются по следующим соотношениям:
F _
1
X''
F_
А im
1
Fij 2
1
Xj
Fj 4Xi;X'
при i Ф j,
где Хй, X' — пределы прочности при растяжении и при сжатии в направлении Ху, X' — пределы прочности при сдвиге в двух противоположных направлениях при г Ф ]. Коэффициенты F1122, F2233, F3311 определяются при проведении экспериментов на двухосное растяжение в плоскостях 1-2, 2-3, 1-3 соответственно. Оставшиеся коэффициенты находятся аналогично при комбинированном нагружении в соответствующих плоскостях. Точность данного критерия разрушения определяется наивысшим рангом тензоров F. Установить наивысший порядок членов, которые должны входить в тензорно-полиномиальную формулировку критерия разрушения Ву, можно следующим образом: если измеренное в эксперименте значение Fi9Umn больше предельно допустимой точности, то учет тензоров этого ранга (и, возможно, более высокого) может привести к увеличению точности критерия. На практике точность критерия разрушения представляет собой компромисс между требованиями инженерной практики и имеющимися в распоряжении экспериментатора средствами и временем. Феноменологический критерий разрушения можно построить и без математической модели, используя большое количество экспериментальных данных и предсказать разрушение материала на основе номограмм. Наличие математической модели позволяет сократить число экспериментальных данных и облегчает математическое моделирование поведения конструкций под нагрузкой. Достоинствами критерия разрушения Ву являются максимальная простота оперирования, учет прочностных параметров на растяже-
ние и сжатие в одном уравнении при построении поверхности прочности. Другая особенность критерия разрушения Ву — зависимость компонент тензоров поверхности прочности от технических характеристик прочности. Следовательно, можно достичь любой необходимой точности описания путем последовательного включения членов высших степеней без пересчета постоянных, найденных в предыдущих вычислениях.
3. Обсуждение результатов
Рассмотрим нормальный удар ортотропного ударника диаметром 15 мм и длиной 75 мм по ортотропной преграде толщиной 60 мм с начальной скоростью V 0 = = 700 м/с вдоль оси Z. Ориентация свойств ортотроп-ного материала изменяется путем поворота осей симметрии исходного материала вокруг оси ОУ на угол в, отсчитываемый от положительного направления оси Z. Исследованы следующие случаи ориентации свойств материала ударника и преграды: 0-0, 0-90, 90-0, 90-90. Здесь числа соответствуют значениям в для материала ударника и преграды в градусах соответственно. Так же рассмотрены случаи, когда верхняя и нижняя половина ударника и преграды состоят из материалов, переориентированных на 90 ° (условно эти случаи обозначены 0-90 1/2 и 45-135 1/2). В качестве исходного материала ударника и преграды рассматривается ортотроп-ный органопластик со следующими упругими и прочностными характеристиками для в = 0: Ех = 48.6 ГПа, Еу = 21.3 ГПа, Е2 = 7.14 ГПа, сх = 6000 м/с, су = = 3970 м/с, ^ = 2300 м/с, Vху = 0.28, V^ = 0.26, V= = 0.25, ар = 2.67 ГПа, ау = 1.18 ГПа, ар = 0.39 ГПа, а X = 0.37 ГПа, а у = 0.5 ГПа, а С = 1.94 ГПа, тху = = 0.975 ГПа, т^ = 0.8 ГПа, тх2 = 0.607 ГПа. Здесь Ех, Еу, Ег и сх, су, с2 — модули упругости и скорости звука в соответствующих направлениях; Vху, V, V — коэффициенты Пуассона; а р, а сх, т ху — прочностные параметры на растяжение, сжатие и сдвиг соответственно.
На рис. 1 представлены расчетные конфигурации ударника и преграды, а также изолинии относительного объема разрушений для различных случаев ориентации свойств материала. Рисунок 1, а соответствует случаю (0-90 1/2), когда нижняя половина ударника и преграды состоит из исходного материала, в котором наибольшие прочностные характеристики на растяжение ориентированы в направлении оси X, перпендикулярном направлению удара, а в верхних половинах ударника и преграды свойства материала переориентированы на 90° поворотом относительно оси У. Рисунок 1, б соответствует случаю (45-135 1/2), когда нижние половины ударника и преграды состоят из материала, в котором максимальные прочностные характеристики на растяжение ориентированы под углом 45° к осиXв плоскости ZX, а в верхних половинах свойства материала также переориентированы поворотом на 90° относительно оси У. В первом случае (рис. 1, а) помимо разрушения головной части наблюдается разрушение ударника на границе материалов с различной ориентацией свойств при достижении волной сжатия верхней половины ударника (в которой материал имеет минимальную прочность на сжатие в направлении оси Z), что приводит к разделению его на две части. Во втором случае (рис. 1. б), за счет того что оси симметрии материалов ударника и преграды не совпадают с координатными осями и соответственно с направлением распространения волн напряжений, процесс разрушения в ударнике и преграде проходит не симметрично. В верхней половине преграды область разрушения ориентирована в направлении минимальных значений пределов прочности на сжатие (в = 135 °). В ударнике область разрушения также формируется на границе раздела материалов с различной ориентацией упругих и прочностных свойств, но в этом случае разрушение распространяется с боковой поверхности ударника под углом 135° и объем разрушений в головной части ударника значительно больше. Динамику разрушения в ударнике иллюстрирует рис. 2, где приведены изменения во времени относительного объема
Рис. 1. Конфигурации взаимодействующих тел и распределение изолиний относительного объема разрушения. V0 = 700 м/с, t = 36 мкс
t, мкс
Рис. 2. Изменение во времени относительного объема разрушения в ударнике при сжатии (а) и растяжении (б) для различных ориентаций свойств материала: 0-0 (1); 0-90 (2); 90-0 (3); 90-90 (4); 0-901/2 (5); 45-135 1/2 (6)
Рис. 3. Изменение во времени скорости центра масс ударника: 0-0 (1); 0-90 (2); 90-0 (3); 90-90 (4); 0-901/2 (5); 45-135 1/2 (6)
Проникающую способность ударника в зависимости от ориентации свойств материала при взаимодействии его с различными преградами можно оценить по кривым, характеризующим изменение во времени скорости центра масс ударника (рис. 3). Наиболее интенсивное торможение ударника наблюдается для случая ориентации свойств 0-0 (кривая 1) и 0-90 1/2 (кривая 5). В первом из этих двух случаев свойства материала ударника и преграды ориентированы одинаково и соответствуют случаю максимальной прочности на сжатие в направлении удара (оси X), что обуславливает высокую стойкость к удару преграды. Во втором случае ударник имеет обширные разрушения и разделяется на две части (рис. 1, а), что приводит к потере его проникающей способности.
разрушения, образующегося в условиях сжатия и растяжения [1, 2].
Анализ кривых на рис. 2 позволяет сделать вывод, что для всех рассмотренных случаев взаимодействия наименьшие уровни необратимых разрушений (рис. 2, б) реализуются в ударнике из материала с ориентацией осей симметрии в = 0°. Это обусловлено тем, что в этом случае материал ударника имеет наибольшие прочностные свойства на сжатие в направлении оси X. Поэтому разрушения, образующиеся на начальном этапе процесса взаимодействия в волне сжатия (рис. 2, а), распространяющейся по длине ударника, минимальны. Для других случаев ориентации свойств материала ударника объем разрушенного материала в волне сжатия больше, в связи с этим большая часть материала ударника оказывается ослабленной, и в дальнейшем не оказывает сопротивления при возникновении растягивающих напряжений. Кривые на рис. 2, а имеют максимум в диапазоне 16^20 мкс, а затем объем материала, разрушающегося при сжатии, уменьшается, после этого момента времени увеличивается объем необратимых разрушений материала при растяжении.
4. Заключение
Таким образом, ориентация свойств анизотропного материала ударника и преграды существенно влияет на динамику разрушения и на процесс распространения волн напряжений в ударнике и преграде. Предложенная модель поведения анизотропных материалов при динамических нагрузках и методика расчета позволяют проводить исследования по оптимизации свойств материала ударника и преграды при произвольной ориентации осей симметрии.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 03-01-00006, и Президиума РАН, проект № 18.9.
Литература
1. Радченко A.B. Моделирование поведения анизотропных материалов при ударе // Механика композиционных материалов и конструкций. - 1998. - Т. 4. - № 4. - С. 51-61.
2. By Э.М. Феноменологические критерии разрушения анизотропных
сред // Механика композиционных материалов. - М.: Мир, 1985. -С. 401-491.
3. Johnson G.R. High velocity impact calculations in three dimensions // J. Appl. Mech. - 1977. - V. 3. - P. 95-100.
