CC BY
140
УДК 539.3
Усреднение свойств композиционных анизотропных материалов при численном моделировании их разрушения
М.Н. Кривошеина, С.В. Кобенко1, Е.В. Туч
Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия 1 Нижневартовский государственный гуманитарный университет, Нижневартовск, 628605, Россия
В работе рассмотрено влияние анизотропии упругих и прочностных характеристик материала преграды на результаты численного моделирования ударного нагружения стальным деформируемым ударником. Расчеты выполнены методом конечных элементов в трехмерной постановке. Проведено сравнение результатов расчетов деформирования и разрушения ортотропных материалов и изотропного материала с усредненными свойствами при различных скоростях ударного нагружения. Показано, что усреднение упругих и прочностных свойств анизотропного композиционного материала приводит к уменьшению объема разрушенного материала при растяжении и сжатии по сравнению с объемами разрушения при учете анизотропных свойств.
Ключевые слова: анизотропия, упругость, прочность, динамическое нагружение, численное моделирование
Averaging of properties of anisotropic structural materials in numerical simulation of their fracture
M.N. Krivosheina, S.V. Kobenko1 and E.V. Tuch
Institute of Strength Physics and Materials Science SB RAS, Tomsk, 634021, Russia 1 Nizhnevartovsk State University of Humanities, Nizhnevartovsk, 628605, Russia
The paper considers the influence of the anisotropy of elastic and strength characteristics of the target material on the results of numerical simulation of shock loading with a deformable steel projectile. The calculations were performed by the finite element method in the three-dimensional statement. The simulation results for deformation and fracture of orthotropic materials and isotropic material with averaged properties at various projectile velocities were compared. It is shown that averaging of the elastic and strength properties of an anisotropic composite material decreases the fractured volume of the material under tension and compression compared to the case where anisotropy is taken into account.
Keywords: anisotropy, elasticity, strength, dynamic loading, numerical simulation
1. Введение
Благодаря высокой прочности и относительной легкости композиционные материалы получили широкое применение в авиационной (силовые конструкции летательных аппаратов, искусственные спутники) и военной технике. Главное преимущество композиционных материалов — возможность создавать из них элементы конструкций с заранее заданными свойствами. Так как композиционные материалы имеют неоднородную структуру, они изначально обладают анизотропией механических свойств. При расчете таких материалов, как правило, используется феноменологический подход, предполагающий, что материал является условно однородным и обладает некоторыми осредненными свойст-
вами. Упругие постоянные для анизотропных материалов известны для многих видов материалов, но математические расчеты с использованием моделей анизотропных сред слишком сложны. Для использования усредненных характеристик в рамках изотропного приближения необходимо знать наилучшее приближение изотропных констант как функций от анизотропных. При определении упругого напряженного состояния изделий из анизотропного материала используют усреднения упругих постоянных методами Рейсса или Фойгта в зависимости от вида напряженного состояния.
Процедура усреднения по Рейссу предполагает, что материал находится в условиях равномерного напряжения, по Фойгту — равномерной деформации. Значения
в Кривошеина М.Н., Кобенко C.B., Туч Е.В., 2010
упругих постоянных, полученных с помощью метода Фойгта слишком высокие, а с помощью метода Рейс-са — слишком низкие. Ошибки, возникающие за счет изотропного приближения, могут достигать 20-30 % [1]. Наиболее точным методом усреднения упругих констант, результаты расчетов которого близки к экспериментальным данным, является метод Фойгта-Рейс-са-Хилла [2]. Однако при усреднении анизотропных характеристик материала не учитывается направление действия нагрузки относительно осей анизотропии материала. В работе [3] проводилось численное моделирование ударного нагружения преград из органопластиков с учетом ортотропии свойств материала, было показано влияние направления механических свойств относительно действия нагрузки на деформирование и разрушение преграды. Однако усредненные упругие свойства материала, полученные методами Фойгта, Рейсса и Фойгта-Рейсса-Хилла, независимо от направления на-гружения имеют одинаковые значения. Для исследования влияния усреднения свойств материала преграды на результаты расчетов деформирования и разрушения преграды в данной работе проводится сравнение результатов численного моделирования ударного нагружения ортотропных (с максимальными и минимальными механическими свойствами материала преграды относительно направления ударного нагружения) и изотропных преград.
Целью данной работы является определение с помощью численного моделирования возможности применения усреднения упругих постоянных материалов преград, выполненных из ортотропных композиционных материалов. В качестве численного метода используется метод конечных элементов, модифицированный Г.Р. Джонсоном для задач удара.
2. Деформирование и разрушение ортотропных материалов
Систему координат, с которой связаны тензоры напряжений и деформации, определяем следующим образом: оси декартовой системы координат совпадают с главными осями анизотропии материала. Также как и для изотропной среды, система уравнений, описывающая нестационарные адиабатные движения сжимаемой анизотропной среды, включает в себя уравнение неразрывности, уравнения движения сплошной среды, уравнение энергии [2, 4].
Упругое поведение анизотропного материала описывается обобщенным законом Гука:
Daн
eij _ SijU '
Dt
(1)
где Sijkd — компоненты тензора упругих податливостей; ву — компоненты симметричного тензора скоростей деформаций; стн — компоненты симметричного тензора напряжений; D/Dt — производная Яуманна.
С целью исследования влияния направления ударного нагружения относительно осей симметрии анизотропного материала на его разрушение проведены расчеты, в которых заданы либо максимальные упругие и прочностные свойства анизотропного материала, либо минимальные вдоль оси ударного нагружения. Усредненные упругие характеристики для этих материалов получены следующим образом.
При однородном напряженном состоянии используется усреднение по методу Рейсса. Усредненные упругие постоянные (модуль Юнга E и модуль сдвига G) находятся из условия инвариантности следа матрицы упругих податливостей (I1 = Sjj = const) и инвариантности энергии поля деформаций при наличии всестороннего сжатия (I2 = Sjjjj = const):
= -J(2I1 +12), -L = ±(6Ij - 2I2). (2)
15
Gr 15
Затем, выражая G, E через Sц, S j, получим:
1 = -1(2S jj + Sj), -1 = ±(6Sjj -2Sm), (3)
Er 15
15
где Sjj — элементы, расположенные на главной диагонали матрицы упругих податливостей; Sjj — прочие элементы. Индекс R указывает на усреднение по Рейссу.
При однородной деформации для расчета деформированного состояния применяется усреднение по Фойг-ту. Усредненные упругие характеристики по методу Фойгта находятся из условия инвариантности следа матрицы Cjkl (I1 = Cjj = const) и инвариантности плотности энергии поля деформации (I2 = Cj = const), где Cум — упругие постоянные.
Тогда модуль сдвига G = ц и коэффициент Ламэ X можно записать в виде:
^ = 30(3Ij-I2), Х = 15(212-Ij). (4)
Затем выразим G, X через C^, C j:
Gv = 30 (3Cjj - Ciijj), Xy = 1(2Ст - Cifii). (5) Индекс V указывает на усреднение по методу Фойгта.
Результаты этих двух методов дают верхнюю и нижнюю границы для упругих постоянных, поэтому применяется более точный метод усреднения Фойгта-Рейсса-Хилла. Упругие постоянные здесь находятся как среднее арифметическое от модулей упругости, усредненных по методу Рейсса и методу Фойгта (индекс H указывает на усреднение по методу Фойгта-Рейсса-Хилла):
Eh =
EV + er g _ GV + gR
(6)
2 ' п 2 Упругие характеристики ортотропного и усредненные характеристики изотропного материала представлены в табл. 1. Характеристики для ортотропного материала 1 взяты из [5].
Для ортотропного материала 1 заданы следующие характеристии прочности: ст^ = 2670 МПа, =
Таблица 1
Модуль Юнга Модуль сдвига Коэффициент Пуассона
Ex, МПа Ez, МПа Ey, МПа Gy, МПа Gzx, МПа Gyz, МПа Vxy V zx Vyz
Материал 1 48600 7 141.5 21300 930 850 900 0.28 0.037 0.26
Материал 2 7 141.5 48600 21300 900 850 930 0.26 0.2518 0.1227
Усреднение по Рейссу 3 799 1364 0.392
Усреднение по Фойгту 13584 5180 0.311
Материал 3 (Хилл) 8 692 3 272 0.328
= 1183 МПа, CTpzz = 394.28 МПа, Tpxy = 975 МПа, Tpxz = = 607 МПа, Tpyz = 800 МПа.
Для ортотропного материала 2 заданы следующие характеристики прочности: ст^ = 394.28 МПа, Струу = = 2670 МПа, CTpzz = 1183 МПа, трху = 800 МПа, Tpxz = = 607 МПа, Tpyz = 975 МПа.
Предел прочности изотропного материала преграды вычисляется следующим образом:
стр =
aPxx + aPyy + CTezz
(7)
Для всех изотропных материалов преграды предел прочности одинаков: стр = 1415 МПа. Здесь стр- — пределы прочности при растяжении (сжатии); Тр- — пределы прочности при сдвиге; нижний индекс в относится к характеристикам прочности; i,j = x, y, z.
Разрушение ортотропного материала преграды в волнах сжатия и растяжения происходит при выполнении критерия разрушения Мизеса-Хилла
1 ) 1 1 1 V \2
2+^ + ^2 - ^2 J (ст**-стуу ) +
1 ) 1 1 1 V \2
+2+F+- z J (СТУ-CTzz) +
1 ) 1 1 1 V \2
+ 2-^ + A2 - F J (CTzz-ст**) +
+ — Т2 + — Т2 + Т2 = 1
+ R2 ТХУ + s2 V + j,2 Txz 1
(8)
Здесь A, B, C — технические пределы прочности на растяжение-сжатие вдоль осей OX, OY, OZ; R, S, T — технические пределы прочности при сдвиге в плос-костяхXOY, YOZ, XOZ соответственно. Согласно критерию разрушения Мизеса-Хилла пределы прочности материала при растяжении и сжатии считаются равными. В случае выполнения условия разрушения деформирование материала преграды описывается следующим образом. Если выполнение критерия разрушения Мизеса-Хилла происходит в волне сжатия (ett < 0), считается, что дальнейшее поведение материала описывается гидродинамической моделью: ст- =-PS-, а если в волне растяжения (ett > 0), то считается, что материал разрушен и компоненты тензора напряжений полагаются равными нулю: ст- = 0 [6].
Давление в материалах преград вычисляется с помощью уравнения состояния [7]
Р =
)
exp
4P
Vo - V Vo
-1
p0a
4P
(9)
где p0 = 1350 кг/м3 — начальная плотность материала; V0, V — относительный начальный и текущий объемы. Скорость ударной волны вычисляется из ударной адиабаты: D = a + Pu, где а = 1400 м/с; P = 2.25; u— массовая скорость.
Материал ударника — изотропный, сталь 3, р = = 7 850 кг/м3, E = 204 ГПа, v = 0.3, ст02 = 1 ГПа.
Упругопластическое течение материала ударника описывается моделью Прандтля-Рейсса с использованием условия пластичности Мизеса. Давление в материале ударника вычисляется с помощью уравнения состояния Ми-Грюнайзена
p = Е K
n=1
(
V -1
V0
Y
1-KL ) ÏL -1 2 I V
+ K)P£. (10)
Здесь K0 — коэффициент Грюнайзена; е — удельная внутренняя энергия; K0 = 1.91; K1 = 153 ГПа, K2 = = 176 ГПа; K3 = 53,1 ГПа.
3. Постановка задачи
Исходная конфигурация ударника и преграды приведена на рис. 1.
Начальные условия (t = 0) задаются следующим образом:
Рис. 1. Объемная начальная конфигурация ударника и преграды
а у =е = и = V = 0, w = г0 при (х,у,z)е П1, Ь ] = У, 2,
а у = е = и = V = w = 0 при (х, у, г) е Б2, р = Р при (х, у, г) е В1, i = 1, 2, где рг- — плотность материалов; и, V, w — компоненты вектора скорости в направлении осей OX, OY, OZ соответственно.
Граничные условия: на свободных поверхностях Б1
и Б2 реализованы условия свободной границы:
Т = Т = Т = 0 'пп х ПТ1 х пт2 '
на контактной поверхности между ударником и преградой реализовано условие скольжения без трения: т+ = Т- т+ = Т- = Т+ = Т- = 0 ^ =
*пп *пп> пт1 1пт1 *пт2 *пт2 ' 'п 'п'
Здесь п — единичный вектор нормали к поверхности в рассматриваемой точке; т1 и т2 — взаимно перпендикулярные единичные векторы в плоскости, касательной к поверхности в этой точке; Тп — вектор силы на площадке с нормалью п; V — вектор скорости. Нижние индексы векторов Тп и V означают проекции на соответствующие вектора базиса; знак + характеризует значение параметров в ударнике, знак - характеризует значение параметров в преграде [6].
Ударник имеет цилиндрическую (дискообразную) форму, диаметр — 30 мм, высота — 3.75 мм. Толщина преграды составляет 30 мм, ее диаметр — 120 мм.
4. Результаты расчетов
Проведено численное моделирование нормального ударного нагружения ортотропных преград стальным ударником цилиндрической формы со скоростями на-гружения 200 и 600 м/с. Результаты сравнивались с результатами моделирования ударного нагружения преграды из изотропного материала с усредненными упругими (по методу Фойгта-Рейсса-Хилла) и прочностными характеристиками. Направление ударного нагру-жения — вдоль оси OZ.
I, МКС
На рис. 2 показаны кривые торможения ударников, при соударении с преградами из материалов с разными механическими свойствами. Кривые 1 и 2 — кривые торможения ударника при соударении с преградой из ортотропных материалов 2, кривая 3 — кривая торможения ударника при соударении с преградой из изотропного материала 3 с усредненными упругими (по методу Фойгта-Рейсса-Хилла) и прочностными характеристиками.
Ударник, сталкиваясь с преградой из ортотропного материала 2, теряет скорость за 10 мкс, а сталкиваясь с преградой из ортотропного материала 1, — только за 23 мкс (рис. 2, а). Это объясняется различными скоростями распространения упругих волн в материале. Скорость продольной волны вдоль оси нагружения OZ в материале 2 больше, чем скорость продольной волны в том же направлении в материале 1 в 2.6 раза. Если у материала преграды минимальные упругие свойства вдоль оси нагружения, то упругая волна сжатия имеет наименьшую скорость распространения, и волны разгрузки, распространяющиеся с боковых поверхностей ударника и лицевой поверхности преграды, ее нейтрализуют. Если же, наоборот, у материала преграды максимальные упругие свойства вдоль оси OZ, как у материала 2, скорость распространения упругой волны вдоль оси OZ больше в 2.6 раза, чем в направлении ОХ, то волны разгрузки, имея меньшую скорость, не успевают ослабить ударную волну [3].
Кривые торможения ударников при столкновении с преградами из материалов 2 и 3 практически совпадают до достижения 10 мкс (разница в скоростях ударников составляет не более 10 м/с). По истечении 10 мкс кривые 2 и 3 расходятся, так как ортотропный материал 2 начинает разрушаться и скорость ударника становится равной скорости преграды. В изотропном материале 3 до t=10 мкс не происходит разрушения, поскольку изотропный материал во всех направлениях характеризуется равными прочностными свойствами и достигнутого уровня напряжений в преграде при скорости нагруже-
1, мкс
Рис. 2. Кривые торможения ударников при соударении с преградами из материалов 1-3. Начальная скорость ударника 200 (а), 600 м/с (б)
W
■
0.9 0
0.7
0.5
0.3
0.1
Рис. 3. Зоны разрушения в материале 1 при скорости нагружения 200 м/с в момент времени t = 15 мкс при сжатии (а) и растяжении (б)
@ _R с
Рис. 4. Зоны разрушения в материале 2 при скорости нагружения 200 м/с в момент времени t = 15 мкс при сжатии (а) и растяжении (б)
ния 200 м/с недостаточно для ее разрушения. Преграда из материала 3 деформируется только упруго, и ударник рикошетирует.
При повышении скорости нагружения до 600 м/с (рис. 2, б) разница между кривыми торможения 1 и 2 уменьшается. Как и при более низкой скорости соударения преграда из материала 1 оказывает наибольшее сопротивление движению ударника. Как видно из рис. 2, б, кривые 2 и 3 начинают расходиться уже после 1.5 мкс. При столкновении с преградой из изотропного материала 3 при начальной скорости 600 м/с скорость ударника значительно быстрее снижается, чем при соударении с ортотропными материалами 1 и 2. Для изотропного материала преграды при ? > 20 мкс скорость ударника меняет знак на противоположный, т.е. он испытывает рикошет, а для преград из материалов 1 и 2 скорости ударников имеют значения 200 и 175 м/с соответственно.
Рассмотрим теперь деформирование преград из материалов 1-3 при ударном нагружении.
На рис. 3-6 представлены массовые доли разрушенного материала в сечении преграды ZOX (Я^ — массовая доля материала, разрушенного при сжатии; Яс — массовая доля материала, разрушенного при растяжении).
На рис. 3 и 4 показаны массовые доли разрушенного материала в сечении ZOX преграды из материалов 1 и 2, образующиеся при сжатии и растяжении при скорости нагружения 200 м/с в момент времени ? = 15 мкс. В преграде из материала 1 область разрушенного материала достигает почти 2/3 глубины преграды (рис.3). Так как материал 1 имеет наименьшие вдоль оси OZ прочностные свойства, то критерий разрушения выполняется в основном при сжатии. В преграде из материала 2, как видно из рис. 4, разрушилась небольшая часть материала, расположенная под самим ударником, в основном при растяжении. Прочностные свойства материала 2 в направлении, перпендикулярном оси ударного нагруже-ния, в 2.6 раз меньше, чем в направлении нагружения, поэтому именно растягивающие напряжения приводят
0
Рис. 5. Зоны разрушения в материале 1 при скорости нагружения 600 м/с в момент времени t = 25 мкс при сжатии (а) и растяжении (б)
Рис. 6. Зоны разрушения в материале 2 при скорости нагружения 600 м/с в момент времени t = 25 мкс при сжатии (а) и растяжении (б)
к разрушению материала. Изотропный материал 3 имеет равные прочностные характеристики во всех направлениях, и он не разрушается, так как возникающих в материале напряжений не достаточно для этого. При соударении с преградой из изотропного материала 3 ударник рикошетирует, материал преграды деформируется только упруго. Это подтверждается положением кривой 3 на рис. 2, а, после 10 мкс скорость ударника меняет знак.
На рис. 5 и 6 показаны массовые доли разрушенного материала в сечении 20Хпреграды из материалов 1 и 2, образующиеся при сжатии и растяжении при скорости нагружения 600 м/с, £ = 25 мкс. В материале 1 зона разрушения распространяется в глубину преграды. Из рис. 5, б видно, что в материале 1 под углом 45° к лицевой поверхности преграды образуется узкая зона разрушения (трещина). Подобный эффект наблюдался и в работе [8]. Материал 2, имеющий наибольшие прочностные свойства вдоль оси 02, как и при скорости нагружения 200 м/с, разрушается непосредственно под ударником. Область разрушения в этом материале формируется в верхней части преграды. Наименьшие прочностные свойства материала 2 в направлении, перпендикулярном оси ударного нагружения, приводят к разрушению материала в этом направлении непосредственно под ударником. При численном моделировании ударного нагружения преграды из изотропного материала 3 (при скорости 600 м/с) при растяжении разрушение происходит в основном по границам кратера, образующегося на лицевой поверхности преграды, что не влияет на торможение ударника. При этом в преграде формируется локализованная область разрушения при сжатии, расположенная вдоль оси 02 посередине преграды. Так как разрушение происходит в основном при сжатии, то после разрушения в материале преграды напряжение определяется как гидростатическое давление. Этим объясняется рикошет ударника. Область разрушенного материала 3, по сравнению с областями разрушенных ортотропных материалов 1 и 2, мала, что подтверждает интегральная характеристика процесса ударного нагружения—торможение ударника (рис. 2, б, кривая 3).
Таким образом, в работе проанализирована возможность усреднения упругих и прочностных характеристик ортотропных материалов для моделирования напряженно-деформированного состояния анизотропных преград при ударном нагружении. Для материалов, имеющих высокую степень анизотропии, усреднение упругих
и прочностных характеристик при скоростях нагружения 200-600 м/с приводит к меньшему разрушению материала, чем в случае учета анизотропии его механических свойств. Усреднение механических характеристик материалов, имеющих высокую степень анизотропии, приводит к «упрочнению» материала, так как не учитываются минимальные характеристики.
5. Заключение
Усреднение упругих и прочностных свойств анизотропного композиционного материала при низких скоростях нагружения (200 м/с) может приводить к отсутствию разрушения при расчетах напряженного состояния материала. При более высоких скоростях нагруже-ния (600 м/с) усреднение упругих и прочностных свойств анизотропного композиционного материала приводит к уменьшению объема разрушенного материала при растяжении и сжатии по сравнению с объемами разрушения в случае учета анизотропии механических свойств материалов.
Работа выполнена по программам фундаментальных исследований СО РАН (проект 3.20.1.2), Президиума РАН (проект 12.4).
Литература
1. Хирт Дж., Лоте И. Теория дислокаций. - М.: Атомиздат, 1972. -
600 с.
2. Нъюнхем Р.Э. Свойства материалов. Анизотропия, симметрия, структура. - М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2007. - 652 с.
3. Радченко A.B., Кобенко C.B., Кривошеина М.Н. Моделирование ударного нагружения твердого топлива, скрепленного с ортотроп-ной оболочкой // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2000. - Т. 6. - № 3. - С. 343-358.
4. Кривошеина М.Н., Конышева И.Ю., Козлова М.А. Разрушение и упругопластическое деформирование анизотропных материалов при динамическом нагружении // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2006. - Т. 12. - № 4. - С. 502-512.
5. Кривошеина М.Н., Радченко A.B., Кобенко C.B. Разрушение орто-тропного и изотропного сферических тел под действием импульса всестороннего сжатия // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2001. - Т. 7. - № 1. - С. 95-102.
6. Радченко A.B. Моделирование поведения анизотропных материалов при ударе // Механика композиционных материалов и конструкций. - 1998. - Т. 4. - № 4. - С. 51-61.
7. Канелъ Г.И., Щербанъ B.B. Пластическая деформация и откольное
разрушение железа «Армко» в ударной волне // ФГВ. - 1980. -Т. 16. - № 14. - С. 93-103.
8. Радченко A.B. Поведение хрупких анизотропных материалов и конструкций из них при динамических нагрузках / Дис. ... докт. физ.-мат. наук. - Томск: ТГУ, 2002. - 242 с.
Поступила в редакцию 08.02.2010 г., после переработки 05.03.2010 г.
Сведения об авторах
Кривошеина Марина Николаевна, к.ф-м.н, снс ИФПМ СО РАН, тагта_пкг@таЦ.ги Кобенко Сергей Викторович, к.ф-м.н, доцент НГГУ, [email protected] Туч Елена Владимировна, асп. ИФПМ СО РАН, [email protected]
