CC BY
444
Safarov To'lqin Nazarovich,
Termiz davlat universiteti "Algebra va geometriya" kafedrasi o'qituvchisi
Ismoilov Davron Ilhomjon o'g'li,
Termiz davlat universiteti "Algebra va geometriya" kafedrasi o'qituvchisi
NOYEVKLID GEOMETRIYASIDA AYLANMA SIRTLARNI O'RGANISH METODIKASI
UDK: 371:38.014 DOI: 10.34920/SO/VOL_2022_ISSUE_9_6
SAFAROV T.N., ISMOILOV D.I-U. NOYEVKLID GEOMETRIYASIDA AYLANMA SIRTLARNI ORGANISH METODIKASI
Ushbu ishda Galiley fazosidagi aylanma sirtlar o'rganilgan bo'lib, Yevklid fazosidagi aylanma sirtlar bilan solishtirilgan. Unda Galiley fazosidagi sirtning vektor ko'rinishdagi tenglamasi, sirtning birinchi va ikkinchi kvadratik formalari, to'la egriliklari keltirilib chiqarilgan. Yevklid va Galiley fazolarida aylanma sirtlar oilasi yetarlicha yoritilgan. Oliy ta'lim muassalarida matematika fanlari ixtisosligi bo'yicha tahsil olayotgan talabalarning geometrik bilimlarini rivojlantirish uchun Yevklid va Galiley fazolarida aylanma sirtlarni farqlash hamda ularning umumiy jihatlariga ochib berilgan.
Tayanch so'z va tushunchalar: Yevklid fazosi, Galiley fazosi, noyevklid geometriyasi, aylanma sirtlar,sirt tenglamalari, kvadratik formalar, to'la egrilik.
САФАРОВ Т.Н., ИСМОИЛОВ Д.И-У. МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ ВРАЩАЮЩИХСЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ В НЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ
В данной статье изучаются поверхности, вращающиеся в пространстве Галилеи и сравниваются с в евклидовом пространством. В ней были выведены уравнение поверхности векторной форме для первого и второго порядка, полной кривизны в пространстве Галилея. Достаточно полно раскрыт вопрос семейства поверхностей, вращающихся в евклидовом и галиле-евом пространствах. В целях развития и повышения геометрических знаний в высших учебных заведений у студентов математического направления раскрываются общие аспекты вращающихся поверхностей между евклидовом и галилеевым пространствами.
Ключевые слова и понятия: Евклидово пространство, пространство Галилея, неевклидова геометрия, вращения поверхности, уравнения поверхностей, квадратичные формы, полная кривизна.
SAFAROV T.N., ISMOILOV D.I-U, METHOD FOR STUDYING ROTATING SURFACES IN NON-EUCLIDEAN GEOMETRY
In this paper, surfaces rotating in Galilean space are studied and compared with those in Euclidean space. In it, the surface equation was derived in vector form for the first and second order, full curvature in Galilean space. The family of surfaces rotating in Euclidean and Galilean space is sufficiently disclosed. In order to develop and improve geometric knowledge in higher educational institutions, students of the mathematical direction reveal the general aspects of rotating surfaces between the Euclidean and Galilean spaces.
Key words and concepts: Euclidean space, Galilean space, non-Euclidean geometry, surface rotations, surface equations, quadratic forms, total curvature.
Kirish.
Dunyoda matematika fanining o'sish ten-dentsiyalari ko'rsatishicha, ta'limning ilg'or va zamonaviy shakllari va texnologiyalari rivojlangan davlatlar bilan bir qatorda o'rta osiyoda xususan mamlakatimizda ham rivo-jlanib bormoqda. Muhtaram Prezidentimiz Sh.M.Mirziyoyevning «Hozirgi zamonda hamma jabhalarda ilm, bilim va salohiyat suv bilan havoday zarurligi, har qaysi davlat faqatgina shu asosda taraqqiyotga erishishi, sodda qilib aytganda, inson bilak kuchidan ko'ra ilm kuchi bilan ko'proq daromad va obro'-e'tibor topi-shi mumkinligini hammamiz yaxshi anglaymiz»1 degan so'zlariga e'tibor beradigan bo'lsak, oliy ta'lim muassasalarida matematika fanlarini o'qitish iqtidorli yoshlarni fanga qiziqtirib kela-jakda fan ustida ilmlarini rivojlantirib sohaga o'z xissalarini qo'shish uchun ularda fanga bo'lgan qobiliyatlarini rivojlantirib borish kerak bo'ladi. Bu o'rinda oliy ta'lim muassasalarida geometriyani o'qitishda fazoviy tasavvurlarini rivojlantirishga alohida e'tibor berish katta aha-miyat kasb etadi.
Mavzuning dolzarbligi.
"Noyevklid geometriya" atamasi o'tgan asrning boshlarida paydo bo'lib hozirgi kunga qadar rivojlanib bormoqda. Bu atamaning paydo bo'lishi oliy ta'lim muassasalarida va maktablarda o'qitilayotgan geometriya fanini "Yevklid geometriyasi" deb atalishiga sabab bo'lgan2.
Bugungi kunga kelib oliy ta'lim tizimida o'qitiladigan geometriya fanlarida va tanlov fanlarida noyevklid geometriyasini o'qitish tala-balarning Yevklid geometriyasidagi ma'lumotlar bazasini kengaytirish, farqlash, tatbiq qilish haqidagi tushunchalarini boyitishga xizmat qiladi.
Maqsad.
Noyevklid geometriyasida aylanma sirtlarni o'rganishdan maqsad bo'lajak matematika fani o'qituvchilariga aylanma sirtlar mavzusini to'la tasavvur qila olish imkonini yaratishga yor-dam beradi. Ushbu ishda biz oliy o'quv yurt-
1 Sh.M.Mirziyoyev. Yangi O'zbekiston taraqqiyoti strategiyasi. - Toshkent: "O'zbekiston" nashriyoti, 2022 y. 416 b.
2 Artikbayev A., Xatamov I. Tekislikda to'qqiz geometriya. Toshkent- 2021.154 bet.
laridagi matematika ta'lim yo'nalishlarida ta'lim olayotgan talabalarda geometrik tasavvurlarini yanada oshirish, chuqur bilimni egallash maqsadlarini ko'zda tutib noyevklid geometri-yasidagi aylanma sirtlarning evklid va galiley fazolardagi geometriyasining o'ziga xos jihat-lari, xususan tenglamalari va geometrik xossal-ariga qaraymiz.
Mavzu bo'yicha boshqa olimlar ilmiy asarlari qisqacha tahlili.
Ma'lumki ,, to'la geometriya " geometri-yadagi ko'plab klassik masalalar o'z yechimlarini o'tgan asrning 50-70-yillarda A.V.Pogorelov3, I.Ya.Bakelman, A.L.Verner, B.Y.Kontor, H.F. Yefi-mov, E.G. Poznyak4, E.V.Shikin ishlarida tamo-mila o'z ifodasini topdi.
Bu natijalar uch o'lchovli Yevklid fazosida va umumlashgan -o'lchovli Yevklid fazosida hal qilingan. Oxirgi yillarda psevdoyevklid, yarimy-evklid va Galiley fazolarida geometriya intensiv o'rganilyapti.
B.A. Rozenfeldning noyevklid geometriyasiga bag'ishlangan ishlarida5 noyevklid geometriyasining rivoji va muammolari yetarlicha keltirilib o'tilgan 1960-yillarda noyevklid geometriyasi tushunchasi yetuk geometrik olimlarning ilmiy ishlarida va oliy ta'lim tizimida ishlatilgan.
Noyevklid geometriyasining muhim fazolari-dan bo'lgan Galiley fazosi geometriyasi fanga A.Artiqboyev tomonidan kiritilgan6, bundan tashqari Galiley fazosidagi geometriyasiga oid ilmiy ishlar esa. A.Kurudirek7, Хачатурян, I.A. Dalgarev, E.K. Kurbonov, va boshqalarning ish-larida o'z aksini topgan.
3 Погорелов А.В. Внешняя геометрия выпуклых поверхностей.. Издательство «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1969 г. 760 с.
4 Позняк Э.Г., Шикин Е.В. Дифференциалная геометрия // издательство Московского университета 390 с. 1990г .
5 Розенфельд Б.А. Многомерные пространства. // М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 648 с.1966 г.
6 Артикбаев А., Соколов Д.Д. Геометрия в целом в пространстве-время. - Ташкент: издательство "Наука". 179 с .1991 г.
7 Kurudirek A. Methods of using non-Euclidean geometry concepts in the educational process. Bull. Inst. Math., 2022, Vol.5 pp/1-5.
замонавий таълим / современное образование 2022, 9 (118)
Maqolaning ilmiy mohiyati.
Matematika ixtisosligi bo'yicha ta'lim olayo-tgan talabalarning geometriya fanidagi bilimlar bazasini kengaytirish maqsadida ushbu ishda noeyevklid geometriyasining ba'zi masalalarini ko'rsatib bermoqchimiz. Ya'ni ushbu maqolada noyevklid geometriyasining muhim fazolari-dan bo'lgan Galiley fazosida aylanma sirtlarni o'rganishga bag'ishlangan.
Tadqiqotning obyekti Avvalo bu ishda Galiley fazosining asosiy tushunchalarini keltirib o'tamiz.
Galiley fazosida sirtlar nazariyasi.
Bizga A3 affin fazo berilgan bo'lsin.
Ta'rif-1. Ikki vektorning skalyar ko'paytmasi QCY\=XIX2, (*Г)=0 bo'lsa (XY\= yj2+ shaklda aniqlangan Aj affin fazoga uch o'lchovli Galiley fazosi deyiladi.
Misol-1.
1. a(l,3,4); b{- 1,2,6) skalyar ko'paytmani birinchi koordinatalar yordamida hisoblanadi: (ab)= 14(- 1)= - 1.
2. ¿(0,3,1); 6(- 4,2,3) birinchi koordinatalar ko'paytmasi nol bo'lganligi uchun ikkinchi koordinatalar orqali skalyar ko'paytma hisoblanadi: (a~b)= 342+143= 9
Ta'rif-2.Vektorning normasi deb shu vektor-
larning o'z-o'ziga skalyar ko'
(a a)
bo'ladi. Bu esa xia - ± r.Huddi shunday fazoda bu tenglama sferani aniqlaydi.(1- rasm)
1-rasm. Galiley fazosidagi sferaning tasviri.
paytmasini ildizdan
chiqarilganiga aytiladi. \ a\
Misol-.2
Quyidagi vektorlarning uzunliklarini toping?
1. o(4,3,6) vektor uzunligi ta'rifga ko'ra \a \= 4 bo'ladi.
2. a(0,- 3,4) vektorning birinchi koordina-tasi nol bo'lganligi uchun \a\= 5 bo'ladi.
A(xvyx)-, B(x2,y2) ikkita nuqta orasidagi masofa deb ikkita nuqta tutashtiruvchi vektorning uzunligiga aytiladi: AB = \AB\ bu yerda \AB\=\x2- jcj |; agar \AB\=0 bo'lsa, u holda \AB\=\y2- Уу I bo'ladi
Ta'rif-3.Berilgan nuqtadan teng uzoqlashgan nuqtalarning geometrik o'rni aylana deyiladi. Evklid fazosidagi bu ta'rifni galiley fazosidagi metrika bilan qarasak unda bu fazosida aylana quyidagi ko'rinishda bo'ladi.
Markazi koordinatalr boshi radiusi \OA\= r bo'lsa ta'rif-3 ga ko'ra quyidagilarga egamiz: \OA\2= r2 bundan (x- x0f = r2 bo'lsa, x2 = r2
Galiley fazosida burchak tushunchasi quy-idagicha kiritiladi: фс,,^); b(x2,y2) vektor berilgan bo'lsa ular orasidagi burchak
(3-rasm) yangi vektorlar hosil qilib olamiz.
y • y
а{\,— ); 6(1,—) so'ngra ular orasidagi burchakni
Xl X2
topamiz: ащЬ= Щ
n o'lchovli Galiley fazosi ham shunday usulda kiritiladi.
Galiley fazosida sirtning vektor ko'rinishidagi tenglamasi quyidagi ko'rinishda berilgan bo'lib
_ _ г г r
r= r{u,v)= ui+ y(u,v)j+ z{u,v)k (1)
Bu yerda sirtni Oyz tekislik bilan kesganda u= const chiziq hosil bo'ladi. chiziq esa ixtiyoriy v= const chiziq bilan to'r tashkil qiluvchi chiziq. bo'ladi.
Tadqiqotda qo'llanilgan usullar.
Endi Yevklid fazoda (1) tenglama bilan berilgan sirtni Galiley fazosidagi sirt bilan solishti-ramiz. Bu yerda biz birinchi va ikkinchi kvadratik formalarini va ularning koeffisiyentlarini, to'la egriliklarining formulalarini keltiramiz (1-jadval).
Bu formulalar orqali berilgan sirt tenglamala-rining kvadratik formalari to'la egriliklarini hiso-blash mumkin. Bu sirtlardan ba'zilariga misollar keltiramiz. (2-a,b jadvallar).
To'g'ri gelekoid r= r(u,v)= ui+ vcosuj+ + v sin uk
замонавий таълим / современное образование 2022, 9 (118)
1-jadval. Sirtlar nazariyasining asosiy formulalalari
Yevklid fazosi Galiley fazosi
_ _ г г г Sirt г= г(и,у) = ш'+ у(и,уУ + г(и,у)к tenglama bilan berilganda;
Hususiy hosilalari г = у 1+ г к г = V ¡+ г к г = у ¡ + г к г = у / + г к г = у ¡ + г к и 1ии ' V ✓ уЛ V / ии Уии^ ии г «V ыу / уу Ут^ т
Birinchi kvadratik ^гта koeffisentlari
Е=\+уш2+2и1 Р= УиУу+Ы в= у2 + ^=1 у/ + г/
Birinchi kvadatik ^гта
(к2 = I = ЕсЬл1 + 2 Рскик+ <к1= 1г = с/и1 адаг ^ = 0 bo'lsa £&2 = /2 = е(у)<А>2
Birlik погта1 vektor
® Уи 2и , ® е- гуе2+ у„е3 _ ® ® ®_±у2- Л«,
ikkinchi kvadratik forma ikkala fazoda Ьшт bir hil bo'lib faqat koeffisentlari bilan farqlanadi. II = Ь<1и2 + 2М(1исЫ + АУу2
ее - у г + г у Т — (г И^— •'"» У «Ч' У (г-я) ®® - у г + г у М~ (г п)~ -'»у у «у-^у ® ® У 2 - 2 У ® ® у г - г у М- О и^- ■'«у у «у-'у
"" ®® - у 2 + г у л10(и,у) (Г-Я) ® ® у 2 - г у ^(ы.у)
То'1а egrilik.
1Ж=ш-м12 Ев- ^ ¿ЛГ- М2 1) - 1) е(«,у)
2-а jadval. To'g'ri gelekoidning kvadratik formalari va to'la egriligi
Yevklid fazosi Galiley fazosi
Hususiy hosilalari ги = г- увши/Н- усо&ик, гу = соби/Н- вшмА:, гш = - усов«/- увтмА:, »;„,= - вши/Н- сошк, гш = 0
Birinchi kvadratik forma va uning koeffisentlari
¿й2= (1+ У2)£/М2+ Л2 £ = 1+ у2, ^=0, 6=1 (к11 = с!и2 адаг ^ = 0 bo'lsa <к2г = <Ъ2 Е= 1, ^=0, в=1
Birlik погта1 vektor
® л = - V/- втм/Ч- совмА ® и = эти/'- со%ик
ikkinchi kvadratik forma va uning koeffisentlari
11= 2с1ис1у Ь= 0, М= 1, ЛГ= 0 11=-2(1ис1у Ь=0, М=- 1, ЛГ=0
То'1а egrilik.
1+у2 £ = - 1
ТАЪЛИМ ТЕХНОЛОГИЯЛАРИ / ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ТЕХНОЛОГИИ
45
2-b jadval. Elliptik parabaloidning kvadratik formalari va to'la egriligi
Yevklid fazosi
Galiley fazosi
Hususiy hosilalari ru = i+ auk , rv = j + vk гш= ak, r= 0, r = к
Birinchi kvadratik forma va uning koeffisentlari
ds2 = (1+ a2u2)du2 + 2 auvdudv+ (1+ v2)dv2 E=\+a2u2, F=auv, G= 1+v2
ds2l = du2 agar dsl = 0 bo'lsa ds22 = (1+ v2)dv2 E= 1, F= 0 G= 1+v2
Birlik normal vektor
V1+ a2v2+ v2
(- etui- vj+ к)
лД+ V
:(vj- к)
ikkinchi kvadratik forma va uning koeffisentlari
11 =
Vi+ aV+ v2
du +
1
aV+v2
rfv2
Z =
л/1+ eV+ V2
M = 0, iV =
>/l+ a2v2 + v2
II=^=du2 +
>/l+ V2 л/Г
a
J^dv2
L =
■sj 1+ a2v2 + v2
+ v
M = 0,
To'la egrilik.
(1+ aV+ v2)2
(1+ v2)2
2-rasm. Gelikoid tasviri.
Elliptik paroboloid r= r(w,v) = ui+ vj+ + + v2)£
3-rasm. Elliptik parabaloid.
Natijalar va amaliy misollar.
Aylanma sirtlar.
Ma'lumki, evklid fazosida istalgan profil chiziqni biror o'q atrofida aylantirishdan hosil bo'lgan sirtga aylanma sirt deyiladi1 Galiley fazosida esa profil chiziqni maxsus tekislikda yotmagan to'g'ri chiziq atrofida aylantirishdan hosil bo'lgan sirtga aytiladi. Yuqorida keltiril-gan fikrlardan aylanma sirt tenglamasining vektor ko'rinishidagi tenglamalarini quyidagicha ko'rsatamiz.
Evklid fazosida aylanma sirtlar: Berilgan x= /(«), z= p(u) profil chiziqni Oz o'q atrofida aylantirishdan hosil bo'lgan sirt aylanma sirt deyiladi. Bu yerda f(u)> 0 shart bo'lishini talab etamiz. Aks holda kesishish nuqtasi sirtning maxsus nuqtasi bo'ladi2.
Egri chiziqli koordinatalar sifatida v burchakni va profil chiziqning u parametrini olamiz. Chiziq ustidagi har bir nuqta markazi Oz o'qda yot-gan va radiusi x= f{u), teng bo'lgan aylanani chizqdi. Shunda sirtning vektor ko'rinishdagi tenglamasi quyidagicha bo'ladi.(4-rasm)
r = r(u,v)= f(u)cosvi+ /(m)sH1V/ + r(u)k (1)
1 Artikbayev A., Safarov T.N. Properties of saddle surfaces of Galilean space. Physical and mathematical Sciences. 2020, No 3.
2 Artikbayev A., Safarov T.N., Sobirov J.A.. Features of the Galilean Space Geometry. Jour of Adv Research in Dynamical & Control Systems, Vol. 12, No. 5, 2020.
замонавий таълим / современное образование 2022, 9 (118)
с-
46
v_
4-rasm. Aylanma sirtning umumiy korinishi.
Sirtning vektor tenglamasi: r= r(u,v)= ui+j (m)cosv/+j (w)sinv&
5-rasm. Galiley fazosidagi aylanma sirt.
(2)
Quyidagi sxemada aylanma sirtning umumiy tenglamasini Evklid va Galiley fazosida birinchi va ikkinchi kvadratik formalari, to'la egriliklari hisoblangani ko'rsatilgan (1-sxema).
Yuqorida berilgan ma'lumotlardan (2) tenglama bilan berilgan sirtning Evklid va Galiley fazolarida tenglamalarning biri ikkinchisidan farq qilishini ko'rish mumkin.
Ammo bu ikki fazoda aylanma sirt tengla-malari ustidagi asimptotik chiziq tenglamalari o'zgarmaydi. Chunki normal kesim egriligi nolga tengligidan foydalansak
- iu21 j(u)
ii
Galiley fazosida aylanma sirtlar: Galiley fazosidagi aylanma sirt profil chiziqni o'q atrofida aylantirish orqali hosil qilganimizda yevklid fazosidagi aylanma sirtlardan farq qilmaydi, biroq galiley fazosida egri chiziqli koordina-talar sifatidagi burchak faqat maxsus tekislikda aniqlangandir. Galiley fazosidagi aylanma sirt-larning tenglamasini quyidagicha aniqlaymiz. Ya'ni x= и, z = j (w) chiziqni Ox o'qi atrofida aylantiramiz va bu yerda ham j (u)> 0 shartni qo'yamiz.
Egri chiziqli koordinatalar sifatida < ZOP= v burchakni va profil chiziqning u parametrini olamiz. Chiziq ustidagi har L{u) nuqta markazi Ox o'qda yotgan va radiusi z = j {u) ga teng bo'lgan aylanma chiziq AM= OP = j (и). (5-rasm)
Vl+J ,2(") л/l+J »
dv va
II = j "(u)du2- j (u)dv2
har ikki tenglamada ham o'ng tomondagi ifo-dalar nolga teng bo'ladi.
Bundan esa
/ "0u)du2 - j (u)dv2 = 0
(3)
tenglamaning yechimi asimptotik chiziqlar bo'lishini ko'rish mumkin.
Ana endi Galiley fazosidagi aylanma sirtlar ustida egriligi o'zgarmas bo'lgan sirtlarga qaray-miz. Ma'lumki Yevklid fazosida egriligi o'zgarmas sirtlar haqida yetarlicha ma'lumot mavjud. Misol uchun Sfera, psevdosfera kabi sirtlarning har bir nuqtasida to'la egriligi o'zgarmas son ya'ni: sfera
uchun K= Др va psevdosfera uchun K=— R R
bo'ladi. Xuddi shu kabi Galiley fazosida ham aylanma sirtlar ichidan egriligi o'zgarmas sirtlar tushunchasi keltirilgandir1.
Quyidagi sxemada Galiley fazosida egriligi o'zgarmas bo'lgan egarsimon va qavariq sirtlarning tenglamalarini va egriligi o'zgarmas bo'lgan egarsimon va qavariq sirtlarning formu-lalarini keltiramiz.
2-sxemada berilgan aylanma sirtlarning to'la egriligi sirtning har bir nuqtasida o'zgarmas songa teng bo'ladi. Biz bu yerda K= 0 bo'lgan xolni qaramadik ya'ni yoyiluvchi sirtlarning to'la egriligi har doim nol bo'lishi ravshan.
1 Artikbayev A., Safarov.T.N. Properties of saddle surfaces of Galilean space. Physical and mathematical Sciences. 2020 No 3.
замонавий таълим / современное образование 2022, 9 (118)
1^хета. Galiley fazosidagi ау1апта sirtning umumiy formulalari.
Dars mashg'ulotlarida ау1апта sirtlar т^-zusini o'qitishning о^да xos jihatlari.
Sirtlar nazariyasini o'rganishda talaba bilish кегак Ьо'1дап sirt haqidagi bilim, ko'nikma va та!ака1агт shakllantirish uchun ularda а^а1о mavzuga so'ngra fanga qiziqshini orttirish talab e'tiladi.
Ви jarayonning ta'sirida talabaning aqliy kamolotini, bilish qobiliyatini, o'qishga,
mehnatga bo'lgan munosabatini rivojlantirish va yangi род'опада ko'tarish asosiy т^аЫа^ап biridir. Aynan ta'limning rivojlantiruvchi xususi-yatini ikki darajaga ajratib tahlil qilish mumkin1.
(2-sxema)
1 ^Итихате^у R., Аbduqоdirоv А.,Pаrdаеv А. Tа'limdа innоvаsiоn tехnоlо-giyalаr. // То$Икеп1. «Ые^» 2008. 24-Ь.
2-sxema. Egriligi o'zgarmas aylanma sirtlarning tasnifi.
Yuqoridagi fikrlarga tayanib "Aylanma sirt-lar" mavzusini rivojlantirishni quyidagicha tahlil qilamiz.
1-rivojlanish (zaruriy). Ushbu mavzudagi tus-hunchalar bo'yicha ya'ni talabaning bugungi o'quv jarayonigacha bo'lgan tayyorgarlik daraja-sidir. Bunda talaba sirt haqida umumiy tushun-chaga ega bo'lishi, sirtning berilish usullarini va galiley fazosidagi metrika va galiley fazosidagi sirtlarning berilish usullari haqida bilish kerak bo'ladi.
2-rivojlanish (yuqori darajadagi ). Boshqacha qilib aytganda, shu dars davomida ko'tarilish kerak bo'lgan darajadir. Masalan, talaba hozircha qila olmaydigan, lekin ko'mak vositasida eplay oladigan ishdir. Misol uchun unga qo'yiladigan topshiriq "Evklid fazosidagi psevdosferani galiley fazosidagi tenglamalarini topish" kabi masalalar berilishi mumkin. Ma'lumki psevdos-fera aylanma sirtdir. Uning Yevklid fazosidagi tenglamasini qanday qilib Galiley fazosidagi
tenglamasiga aylantirish mumkin bo'ladi? kabi quyiladigan masalalarni yechishga qaratish.Tal-aba ana shu o'zi uchun yangi bo'lgan va bajar-ishga kuchi yetadigan vazifani bajarish davomida ikkinchi darajaga ko'tariladi. Lekin bu vazifa talabaning taraqqiyot zonasida joylashgan bo'lishi shart, aks holda rivojlanishga erishish qiyin.
Yaqinlashib qolgan taraqqiyot zonasiga kir-gan har narsa ta'lim jarayonida zarur rivojlanish darajasiga o'tadi. Bu bilan talaba sirtlar mavzu-sidagi bilimlarini kengaytirib tasavvur dunyosini boyitib borishga xizmat qiladi.
Mavzuning ana shu yuqorida sanab o'tilgan xususiyatlarini hisobga olgan holda talabaning bunga amal qilish qoidalarini hisobga olib dars mashg'ulotlarini o'tish shubhasiz ta'lim samara-dorligini oshirishga xizmat qiladi.
Xulosa.
Galiley fazosida aylanma sirtlarni o'rganishda quyidagi xulosalarga erishildi:
замонавий таълим / современное образование 2022, 9 (118)
1) Evklid fazosidagi aylanma sirtlarning Gal-iley fazosidagi aylanma sirtlarning tenglamalar-ining farqi
2) Ikkita fazodagi aylanma sirtlarning umu-miy jihatlari
3) Galiley fazosida profil chiziqni faqat Ox o'qi atrofida aylantirish mumkinligi;
4) Aylanma egarsimon va aylanma qavariq sirtlarning ikkita fazodagi geometriyasi;
5) Galiley fazosidagi egriligi o'zgarmas sirt-larining Yevklid fazosidagi egriligi o'zgarmas sirtlardan farqli ekanligi
6) Galiley fazosidagi aylanma sirtlarning geometrik xossalarinng tavsifini o'rganish meto-dikasida analogiyadan foydalanish.
"Aylanma sirtlar" mavzusini o'qitish jaray-onida belgilangan maqsadga erishish uchun bir qator vazifalarni bajarish uchun takliflar:
1. Talabalarda "Aylanma sirtlar" haqida bilim, ko'nikma va malakalarni hosil qilish.
2. Talabalarda "Aylanma sirt" tenglamalarin-ing ikkita fazodagi ifodalanishini bilish, farqlash, "Aylanma sirt" tenglamalarining xususiy hollarini keltirib chiqarish.
3. Talabalarda "Aylanma sirt" tenglamalaridan ularning birinchi va ikkinchi kvadratik formalar-ini, to'la va o'rta egriliklarini, asimptotik chiziqla-rini va boshqa geometrik xossalarini o'rganish.
4. Talabalarning Noyevklid geometriyaga mos ichki imkoniyatlarini, qobiliyatlarini va iste'dodlarini ochish hamda o'stirish.
Foydalanilgan adabiyotlar ro'yhati:
1. Sh.M. Mirziyoyev. Yangi O'zbekiston taraqqiyoti strategiyasi. - Toshkent: "O'zbekiston nashriyoti" 2022 y. 416 b.
2. Artikbayev A., Xatamov I. Tekislikda to'qqiz geometriya. - Toshkent: 2021.154 bet
3. Погорелов А.В. Внешняя геометрия выпуклых поверхностей. - М.: Издательство «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1969. 760 с.
4. Позняк Э.Г., Шикин Е.В. Дифференциалная геометрия. - М.: издательство Московского университета, 1990. 390 с.
5. Розенфельд Б.А. Многомерные пространства. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1966. 648 с.
6. Артикбаев А., Соколов Д.Д. Геометрия в целом в пространстве-время. - Ташкент: издательство "Наука". 1991. 179 с.
7. Kurudirek A. Methods of using non-Euclidean geometry concepts in the educational process. Bull. Inst. Math., 2022, Vol.5 pp/1-5.
8. Artikbayev A., Safarov.T.N. Properties of saddle surfaces of Galilean space. Physical and mathematical Sciences. 2020 No 3.
9. Artikbayev A., Safarov T.N., Sobirov J.A.. Features of the Galilean Space Geometry. Jour of Adv Research in Dynamical & Control Systems, Vol. 12, No. 5, 2020.
10. Яглом И.М. Принцип относительности галилеевой и неевклидовой геометрии.// Наука, Москва, 394 с. 1969 г
11. Ishmuхаmеdоv R., Аbduqоdirоv А.,Pаrdаеv А. Tа'limdа innоvаsiоn tехnоlоgiyalаr. -Toshkent: «^^d» 2008. 24-b.
