CC BY
95
НОВЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЛОЩАДИ И ОБЪЕМА
ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР 1 2 Солиев И.Х. , Махмутов Д.Я. Email: [email protected]
1Солиев Исомидин Хотамджонович - студент;
2Махмутов Дмитрий Яковлевич - студент, кафедра электрических станций, сетей и систем, Южно-Уральский государственный университет, г. Челябинск
Аннотация: в статье подробно рассмотрен традиционный способ нахождения площади круга, который имеет свои недостатки и сложности при расчетах на практике. Опираясь на теоремы площади круга и квадрата, был проведен сравнительный анализ площадей способом наложения, выведена новая методика расчета площадей и объёма геометрических фигур с помощью понятия процентного коэффициента Ид. На примере расчетов площадей круга, шара, кольца и объема цилиндра показана практическая применимость нового метода в сравнении с традиционным методом.
Ключевые слова: расчет, площадь круга, объем, площадь поверхности, шар, геометрические фигуры, радиус.
NEW METHOD OF CALCULATING AREA AND VOLUME OF GEOMETRIC FIGURES Soliev I.Kh.1, Mahmutov D^.2
1Soliev Isomidin Khotamjonovich - Student; 2Makhmutov Dmitry Yakovlevich - Student, DEPARTMENT OF ELECTRICAL STATIONS, NETWORKS AND SYSTEMS, SOUTH URAL STATE UNIVERSITY, CHELYABINSK
Abstract: the article details the traditional way of finding the area of the circle, which has its disadvantages and difficulties in calculating in practice. Based on the theorem of the area of the circle and square, a comparative analysis of the areas was carried out by the method of overlapping, and a new method of calculating the areas and volume of geometric figures using the concept of the percentage coefficient of the ID was derived. The calculation of the areas of the circle, ball, ring and cylinder volume shows the practical applicability of the new method compared to the traditional method.
Keywords: сalculation, circle area, volume, surface area, ball, geometry, radius.
УДК 514.12.01
Как найти площадь круга?
На этот вопрос нам ответил Архимед (287 до н. э. — 212 до н. э.) — древнегреческий математик, физик и инженер из Сиракуз. Сделал множество открытий в области геометрии. Заложил основы механики, гидростатики, был автором ряда важных изобретений. Архимед подарил нам константу п и формулу расчёта площади круга S=nr2, мы предлагаем новый метод, который поможет решать задачи намного проще.
Для доказательства нового метода мы воспользуемся теоремами площади круга и квадрата.
Площадь - это часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной или кривой линией.
Напомним, эталоном длины является отрезок длиной в 1мм, 1см, 1км и т. д. А что такое эталон площади? Это квадрат, сторона которого равна: 1 мм, 1 см, 1м и т. д. Такой эталон длины называется квадратным миллиметром, квадратным сантиметром, квадратным метром, квадратным километром. Обозначение: 1мм2, 1м2 и т. д.
Площадь S геометрической фигуры - это положительное число, которое показывает, во сколько раз эталон площади уместился в данной фигуре. Таким образом площадь S - это результат сравнения с эталоном площади. Предположим, что мы имеем квадрат со стороной а чему равна площадь такой геометрической фигуры? (См. Рис. 1.)
>о
Рис. 1. Квадрат со стороной а
Площадь такой геометрической фигуры равняется квадрату ее стороны: S = а2.
Такое свойство площади мы принимаем без доказательств. Однако поясним его. Пусть выбран эталон длины 1мм. Это означает, что на стороне квадрата укладывается а2 штук таких эталонов длины, при этом число а2 может быть любым положительным числом.
Свойство утверждает, что в квадрате со стороной а уложится а2 штук эталонов длины. В нашем случае эталон длины - мм2 по-иному, площадь квадрата равна а2. Интересно заметить, что если а - иррациональное число (например, а то площадь а =
(Л/2)2 = 2
= 2 - натуральное число.
Итак, мы знаем свойство площади, что площадь квадрата со стороной а равна а2.
[1]
Доказательство формулы площади квадрата.
Дано: квадрат со стороной а. Доказать: S = а2. Доказательство Число а2 может быть любым. Первый случай 1
Пусть а = , где п е N. Возьмем квадрат со стороной 1 - это эталон. Разобьем его на п2 равных квадратов и по свойству площадей имеем: 11 - это площадь эталона, с другой стороны, она равна п2 • s, где s - площадь искомого квадрата со стороной
^ (см. Рис. 2). Отсюда получаем искомую площадь s: s = (*) 2.
Рис. 2. Иллюстрация к доказательству теоремы о площади квадрата (первый случай)
Что и требовалось доказать [2].
Теорема о площади круга
Площадь S круга радиуса R выражается формулой S = nR2.
Доказательство
Рассмотрим правильный n-угольник AjA2... Ап, вписанный в окружность, ограничивающую круг.
Очевидно, площадь S данного круга больше площади Sn многоугольника A1A2... An, так как этот многоугольник целиком содержится в данном круге.
С другой стороны, площадь S п круга, вписанного в многоугольник, меньше Sn, так как этот круг целиком содержится в многоугольнике.
Итак, S'n <Sn <S.
Кроме того, rn= RcOS = где rn - радиус вписанной в многоугольник окружности.
ТТ 180° 1 Т>
При n—» да получим: cos SSSS—^1, поэтому rn— R.
Иными словами, при неограниченном увеличении числа сторон многоугольника вписанная в него окружность «стремиться» к описанной окружности, поэтому S n— S при n — да.
Площадь вписанного многоугольника Sn многоугольника A1A2. An.
Учитывая, что rn— R, Pn— 2nR, Sn— S при n— да, получаем
S= - 2nR-R=nR2.
2
Следствие
1. Площадь сектора, соответствующего центральному углу в а°. формулой Sa= ■ nR а
= -P r
2 n n'
где Pn- периметр
выражается
360
2. Площадь сегмента, соответствующего центральному углу в ao, выражается
7ГЙ2 а 1 2 . формулой S= - - R sin a.
360 2
Докажем первый пункт.
Так как площадь всего круга равна nR2, то площадь сектора, ограниченного дугой
1o 2 О w О 2
, равна , площадь Sa сектора, ограниченного дугой в a равна Sa= ■ • a.
360 360
Докажем второй пункт.
Площадь сегмента равна разности площади сектора и площади треугольника АОВ, таким образом S=Sа-S\tГlAoв=
7Tfíza 1 т,? • г л
---R? sin а. [4].
360 2 L J
Поставим задачу, опираясь на теоремы площадей круга и квадрата, вывести новую методику расчета площади круга через процентный коэффициент -константу Ид.
Задача 1: определить площадь круга новым методом.
Условие задачи: даны две геометрические фигуры круг с диаметром окружности 1 и квадрат со стороной а равный 1смотреть (рис. 3). Найти площадь круга и квадрата и рассчитать площадь круга новым методом.
Рассчитаем площадь круга при помощи выше рассмотренных теорем площадей квадрата и круга:
Экр. = п г2,
где п - константа 3,14;
г2 - радиус круга, г = d/2 = У 0,5.
8кр. = п г2 = 3,14 * 0,25 » 0,785398163...
Рассчитаем площадь квадрата при помощи выше рассмотренных теорем:
о = 2
где «2 -сторона квадрата
Экв. = «2 = 1 * 1 = 1
Пользуясь теоремами, рассчитали площадь квадрата и круга. Сделаем сравнения площадей способом наложения. Однако сравнивать площади фигур на глаз иногда трудно. В таком случае используют способ наложения.
Сравним площади круга и квадрата способом наложения (рис. 3).
а б
Рис. 3. Иллюстрация к задаче
Совместим фигуры так, чтобы одна фигура полностью поместилась на другую (рис. 4).
Рис. 4. Иллюстрация к задаче
Мы видим, что круг весь поместился внутри квадрата. Значит, площадь круга меньше, чем площадь квадрата, а площадь квадрата больше, чем площадь круга (рис. 5).
Рис. 5. Иллюстрация к задаче
Расчет площадь круга новым методом.
Рассчитаем новый процентный коэффициент (ИД) для расчета задачи новым методом. Для того чтобы предложить вам новый метод расчета нам употребятся не сложные расчеты, чтобы рассчитать свою неизменную константу (мы ее назвали процентный коэффициент (ИД)) для расчета площади круга. Мы предлагаем рассчитывать площадь круга через процент. Расчёт площади круга, вписанного в квадрат через процентный коэффициент.
Для расчета процентного коэффициента необходимо площадь квадрата принять за 100% и отнять отношение площадь круга к площади квадрата (Рис. 6).
Ид кр. = 1
экв
где 5кр — площадь круга ~ 0,785398163... (см. пункт 1 рис. 3);
5кв — площадь квадрата = 1 (см. пункт 2 рис. 3).
ИД кр. = 1 — 0 78 5з 98 1 6 « о ,2 14602 «О .2 1 5 «2 1 .5 %.
ИД кр. всегда будет равным 0,214602.
Рис. 6. Иллюстрация к задаче
Из этого следует, что Ид кр. - неизменная константа, процентное соотношение площади окружности любого диаметра к площади вписанного в квадрат стороны которого касаются это окружности (рис. 7). ИДкр. » 0,2 14602 «О .2 1 5 «2 1 .5 %.
Ид кр. ~ 2 1 . 5 % - процентный коэффициент для расчета S круга
Рис. 7. Иллюстрация к задаче
Так как величина ИД кр. процентного коэффициента площади круга нам известна при помощи буквенных обозначений преобразуем исходную формулу (Рис. 8):
Рис. 8. Иллюстрация к задаче
£>кр. = Ид кр^
где Sкр - площадь искомого круга по условию задачи;
d2- диаметр круга (рис. 3) возведенного в квадрат;
Идкр - процентный коэффициент равный ^ 21,5%.
Sкр. = d2- ИД кр. = 12 - 21,5% = 0,785398163...
Ответ: Sкр. » 0,785398163...; Sкв. = 1; Sкр. » 0,785398163... (новым методом).
Мы вывели исходную формулу для нового метода расчета площади круга.
^р. = d - ИД кр.
Эта формула на ряду с другими существующими методами расчета поможет нам решить задачи для нахождения площади круга любого диаметра, но в отличии от других методов метод процентного коэффициента проще при расчетах и требует меньшее количество математических преобразований. если нам понадобиться из площади круга преобразовать. Если нам необходимо найти площадь квадрата, в который вписана окружность при помощи неизменной константы через площадь круга определить площадь квадрата при помощи процентного коэффициента Ид кр. то ничего не получиться для данной задачи нам будет необходим другой коэффициент для расчетов процентным методом. Чтобы из вывести процентный коэффициент константу квадрата ИД кв. необходимо соотнести площадь квадрата к площади Sкв. / S
кр.
И 'кв.
Д кв. ,
' кр.
где Ид кв. - процентный коэффициент равный ~ 27, 3 %
$кв. - площадь квадрата = 1 (см. пункт 2 рис. 9).
Sкр. - площадь круга ~ 0,785398163... (см. пункт 1 рис. 9);
ИДкв ^--- ~ 1,27324... » 27, 3 %.
Д кв. кр
Ид кв.- процентный коэффициент - константа всегда будет равна 1,27324., т.е. к площади круга нужно прибавить еще 27,3% (Рис. 9).
Рис. 9. Иллюстрация к формуле процентного коэффициента квадрата
Альтернативный метод расчета площади и объема геометрических фигур с помощью понятия процент.
Рассчитаем площадь круга традиционным методом и новым проведём сравнительный анализ расчетов чтобы доказать работу нового метода расчета, выведенного нами.
Площадь круга традиционным методом.
Sкр= п г2,
где п- константа 3,14;
г2 - радиус круга;
Sкр= п г2 = 3,14*0,52 = 0,785398163
Площадь круга методом Исо и Дмитрия.
Для расчета площади новым методом надо разово высчитать процентный коэффициент-константу, (Ид кр.).
ИД кр. =1- (^кр. 1 8кв.),
где Sкр.- площадь круга;
$кв,- площадь квадрата.
Ид кр. =1- (Бкр. / Sкв.) = 1- (0,785398163 / 1) = 0,214601837 ~ 21,5%
Ид кр. - процентный коэффициент для дальнейших расчетов площади круга ~ 21,5%.
^кр d - Ид.кр,
где d - диаметр круга;
Ид кр.- процентный коэффициент- константа круга ~ 21,5%.
8кр= d2- ИД кр = 12 - 21,5% » 0,785398163.
Для доказательства метода сделаем расчет для радиуса круга от 1 до 10, результаты занесем в таблицу 1.
№ Исходные данные Площадь круга традиционным методом Площадь круга методом Исо и Димитрия
Процентный коэффициент для расчета площади круга, Кид.кр. Ид кр.=1- (8кр. / 8кв.) п d 8кв 8кр= п г2 8кр= d - Ид кр.
1 2 3 4 5 6
1 0,214601837 3,14 1 1 0,785398163 0,785398163
2 0,214601837 3,14 1 4 3,141592654 3,141592654
3 0,214601837 3,14 2 9 7,068583471 7,068583471
4 0,214601837 3,14 3 16 12,56637061 12,56637061
5 0,214601837 3,14 4 25 19,63495408 19,63495408
6 0,214601837 3,14 5 36 28,27433388 28,27433388
7 0,214601837 3,14 6 49 38,48451001 38,48451001
8 0,214601837 3,14 7 64 50,26548246 50,26548246
9 0,214601837 3,14 8 81 63,61725124 63,61725124
10 0,214601837 3,14 9 100 78,53981634 78,53981634
Таким образом, значения расчета площади круга традиционным методом и методом Исо и Дмитрия идентичны.
Пример решения практических задач традиционным и методом Исо и Дмитрия:
1. Дано: радиус окружности 2 см. Найдите площадь круга, ограниченного этой окружностью.
Традиционный метод: Метод Исо и Дмитрия:
$=хЯ2=3,14*(2)2=12,56 см2 Sкр=(R*2)2-Ид=(2*2)2-21,5%=12,56 см2
Ответ: 12,56 см2.
2. Дано: Диаметр окружности, D=2 см, найти площадь круга S. Традиционный метод: Метод Исо и Дмитрия:
£=ла№2=зд4/4*(2)2=зд4 см2 Sкр=D2-Ид=22-21,5%=3д4 см2
Ответ: 3,14 см2.
3. Определить площадь кольца, если известны радиусы (Рис. 10).
Рис. 10. Задача 3
Решение задачи традиционным методом:
Дано:
Радиус внешней окружности, R = 10 см Радиус внутреней окружности, г = 8 см Пояснение к рисунку: О- общий центр окружностей. Найти площадь кольца: S
3.1 Решение при помощи п:
Площадь кольца можно выразить как разницу между площадями внешнего круга и внутреннего. 5 = 5я- 5г
Формула площади внешнего круга. Бя — пЯ2
формула площади внутреннего круга 5 = пг2
После подстановки и преобразования, получаем следующие выражение для площади кольца.
5 = пЯ2- пг2— (Я2- г2) Вставим значения 5 я 3,14 • (102-82) Ответ: 113,04 см2
3.2 Решение задачи прополощи процентного коэффициента Ид:
Площадь кольца можно выразить как разницу между площадями внешнего круга и внутреннего. 5 — 5Я- 5г
Формула площади внешнего круга. БЯ—(Я2)2-ИД
формула площади внутреннего круга 5Г—(Г2)2-ИД
После подстановки и преобразования, получаем следующие выражение для площади кольца.
5 — Бвг Бг— 314 - 200,96—113,04 см2
Ответ: 113,04 см2 Рассчитать объем цилиндра
Прямой цилиндр - это геометрическое тело, полученное в результате вращения прямоугольника, вокруг его стороны. Цилиндр имеет два основания, верхнее и нижнее, которые одинаковы и имеют форму круга.
Высота цилиндра - это отрезок, соединяющий две любые точки оснований но обязательно расположенный перпендикулярно к ним обоим. [3].
4: Определить объем цилиндра (Рис. 11).
Рис. 11. Задача 4
4.1Формула для расчёта объема цилиндра традиционным методом (п -3,14 ). У= пг2^
4.2 Формула для расчёта объема цилиндра новым методом (Ид = 21,5 %). У= ((г^2)- 21,5%)^.
При помощи процентного коэффициента можно посчитать другие фигуры (Рис. 12).
Площадь поверхности шара, сферы свойства
г- радиус; d- диаметр; V- объём; S- площадь; Р- окружность
Рис. 12. Площадь поверхности шара
Расчет площади шара традиционным методом Б—4пг2, где п- константа 3,14; г2- радиус круга. Б—4пг2 — 4*3,14*0,52 — 3,14
Сделаем пример для диаметров от 1 до 10 (для примера), и округленные результаты занесем в таблицу 2.
П r Площадь шара
3,14 0,5 3,14
3,14 1 12,56
3,14 1,5 28,26
3,14 2 50,24
3,14 2,5 78,5
3,14 3 113,04
3,14 3,5 153,86
3,14 4 200,96
3,14 4,5 254,34
3,14 5 314
Расчет площади шара методом Исо и Дмитрия: S=(d2- Ид кр)*4, где £ - диаметр круга возведенный в квадрат; ИД кр.- процентный коэффициент- константа круга ~ 21,5%.. S= (¿- ИД кр)*4 = (12-21,5%) *4 =3,14
Сделаем пример для диаметров от 1 до 10 (для примера), и округленные результаты занесем в таблицу 3.
Таблица 3. Результаты решения задач методом Исо и Дмитрия
d Процентный коэффициент Площадь шара
1 21,50% 3,14
2 21,50% 12,56
3 21,50% 28,26
4 21,50% 50,24
5 21,50% 78,5
6 21,50% 113,04
7 21,50% 153,86
8 21,50% 200,96
9 21,50% 254,34
10 21,50% 314
Таким образом, опираясь на теоремы площади круга и квадрата, был проведен сравнительный анализ площадей способом наложения, выведена новая методика расчета площадей и объёма геометрических фигур с помощью понятия процентного коэффициента ИД.
При помощи нового метода расчета преобразовали формулы для расчета площадей и объёма геометрических фигур.
Полученные в ходе работы формулы, наряду с другими существующими, позволяют решать различные задачи нахождения площади и объёма геометрических фигур намного проще при расчетах даже в уме и требуют меньшее количество математических преобразований.
Необходимо дальнейшее исследование новой методики расчета для различных геометрических фигур и практическое их внедрение.
Список литературы /References
1. Геометрия. 7-9 классы. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г.,
Юдина И.И. 15-е изд. М.: Просвещение, 2016.
2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия. 8 класс. М.: Просвещение, 2015.
3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия. 8 класс. М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2017.
4. Длина окружности. Площадь круга. [Электронный ресурс], 2017. Режим доступа: http://wiki.sch239.net/math-public/dlina-okruzhnosti-ploshchad-kruga/ (дата обращения: 28.12.2019).
