CC BY
65
ство и безопасность табачных изделий». Чтобы не нарушать требования этого стандарта и Закона РФ «О защите прав потребителей», на наш взгляд, информацию на упаковке о содержании в дыме сигарет смолы и никотина следует дополнить ссылкой на ГОСТ Р 51976-2002 [4], в соответствии с которым были получены декларируемые значения показателей безопасности.
ЛИТЕРАТУРА
1. В.П. Писклов. Содержание смолы и никотина в дыме сигарет в условиях естественного курения // Тобакко Ревю. - Сентябрь, 2004.
2. ГОСТ Р 51974-2002 (ИСО 10315-2000). Сигареты. Оп -ределение содержания никотина в конденсате дыма. Метод газовой хроматографии. - М., 2003.
3. ГОСТ 30569-98 (ИСО 3401-98). Сигареты. Определе -ние удерживания алкалоидов фильтрами. Спектрометрический ме -тод. - М., 1999.
4. ГОСТ Р 51976-2002 (ИСО 4387-2000). Сигареты. Определение содержания влажного и не содержащего никотин сухого конденсата (смолы) в дыме сигарет с помощью лабораторной курительной машины. - М., 2003.
5. ГОСТ Р 51087-97. Табачные изделия. Информация для потребителя. - М., 1997.
Кафедра технологии сахаристых продуктов, чая, кофе, табака
Поступила 26.09.05 г.
62-404.2
НОВЫЙ МЕТОД ОБРАБОТКИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ КРИВОЙ ТЕЧЕНИЯ ПСЕВДОПЛАСТИЧНОЙ СРЕДЫ
А.А. ТАТАРНИКОВ, Л. В. БУРТЕЛОВ, Д.Б. ГОРБУНОВ
Томский политехнический университет
Известен графоаналитический метод обработки кривых вязкости псевдопластичных сред с целью получения реологического уравнения [1]. Этот метод применим только к кривым вязкости и имеет следующие недостатки:
требуется предварительное знание значения коэффициента вязкости Ньютона Пн;
необходимо провести касательную к экспериментальной кривой течения для значения скорости сдвига, равной бесконечности, что не представляется возможным, поэтому ее обычно проводят для больших значений скоростей сдвига порядка 1000 1/с и более; точное проведение касательной к экспериментальной кривой представляет большие трудности, это сказывается на значениях коэффициентов в реологическом уравнении.
Ниже приводится новый аналитический метод обработки кривых течения и кривых вязкости псевдопластичных сред, который лишен отмеченных недостатков.
Будем считать, что экспериментальные данные, полученные при снятии кривой течения на вискозиметре, предварительно сглажены; после чего проводится обработка кривой течения для двух возможных случаев: при известном и неизвестном ^н.
В настоящей работе рассматривается методика обработки кривых течения псевдопластичных сред с целью вычисления коэффициентов в укороченном реологическом уравнении вида
х = -
Пн У
1+с2|т|2
(1)
Уравнение (1) описывает кривую течения в большом диапазоне изменения скорости сдвига, начиная от нуля.
Полное уравнение отличается от укороченного тем, что в знаменатель (1) добавляется член С^01.
Величина у в уравнении (1) при использовании капиллярного вискозиметра при построении консистентной кривой течения равна эффективной скорости сдвига уэф , а для ротационного вискозиметра она равна истинной скорости сдвига у
Рассмотрим обработку кривых течения для первого случая.
Исходная экспериментальная кривая - кривая течения. Для определения двух неизвестных параметров а и С2 необходимо составить систему из двух уравнений. Для этого на выбранном расчетном участке консистентной кривой течения берем две крайние точки, предполагая, что они находятся на кривой, описываемой реологическим уравнением (1). Для них составляем систему уравнений при условии, что уэф > 0
Пн Уэф 1
а
2 у эф 1
X 2 =
1 + ^2у2< ПнУэф 2
1! С2 тЭ.
а эф 2
(2)
где т - напряжение сдвига; у — скорость сдвига; С2, а - параметры в реологическом уравнении (1).
Система уравнений (2) нелинейная. Ее можно решить одним из известных итерационных методов и в результате определить числовые значения искомых параметров а и С2. Однако для системы (2) можно найти аналитическое решение в явном виде, используя метод последовательного исключения неизвестных а и
С2.
В результате получим
|д
а = 0,5-
ь П. — 1 — ^ Пн — 1
Х 2 ) Х1
|д(1 2) - |д (Т1)
С 2
П н
ъ
х 2
.11 X1
С2 =
С
Пн
■1Г
Пн.
(3 а)
(3 б)
(3 б)
Уравнение (3 а) применимо для вычисления значе-
1
ния а при выполнении условия—Пн — 1 > 0. Оно озна-
X
чает, что экспериментальная точка кривой течения с координатами (1, X 1) (точка В, рис. 1) должна находиться правее кривой течения с заданными ньютоновскими реологическими свойствами. Если она находит-
1
ся левее (точка А, рис. 1), то в этом случае — Пн — 1 < 0,
Х1
что физически невозможно. Экспериментальные точки, лежащие левее прямой 3 (рис. 1), являются некорректными.
На рис. 1: 1 - кривая течения псевдопластичных сред; 2 - представляет некорректную кривую течения псевдопластичных сред; 3 - прямая строится при условии, что Пн равен тангенсу угла наклона касательной, проведенной из точки у = 0.
Нужно отметить, что значение а, вычисляемое по уравнению (3 а), равно его предельному значению, т. е. значению при скорости сдвига, равной бесконечности.
Если экспериментальная кривая течения точно описывается уравнением (1), то для любых двух точек, взятых на любом г-м расчетном участке экспериментальной кривой течения, значения аг и С2,г, вычисленные по уравнениям (3 а), (3 в), очевидно должны быть равны.
В том случае, когда экспериментальная кривая течения не точно описывается уравнением (1), то для любых расчетных участков, взятых на экспериментальной кривой течения, значения а и С2, вычисленные по уравнениям (3 а), (3 в), не будут равны. В этом случае за расчетные значения ар и С2,р можно принять, например, среднее из аг и С2,г, определенных на каждом из г-х расчетных участков. По различию значений аг и С2 г, вычисленных на каждом из расчетных участков, можно судить о точности описания данной экспериментальной кривой течения реологическим уравнением (1).
Исходная экспериментальная кривая - кривая вязкости. Уравнение кривой вязкости для укороченного реологического уравнения записывается в виде
Пк =-
Пн
1 + С2 N
(4)
Рис. 1
крайним точкам, взятым на расчетном участке кривой вязкости, запишется как
Пк, 1 =
Пк, 2 =
Пн
2а
1! С2 1 эф1
Пн
.+ С212фа1
(5)
Аналитическое решение нелинейной системы (5) имеет вид
|д
а = 05-
Пн — 1 — 1д Пн — 1
1 Пк, 2 к, 1
С
Пн
С2 =
|д(12)—|д(11)
1________1_
_ Пк, 2 Пк, 1 .
" у2 а — •а ’ С
Пн
Пн.
(5 а)
(5 б) (5 в)
где Пк - коэффициент кажущейся вязкости [2].
В этом случае исходная нелинейная система уравнений для определения коэффициентов а и С2 по двум
Решение (5 а), (5 б) и (5 в) нелинейной системы (5) не требует проведения касательной к экспериментальной кривой вязкости. Так, для получения значения а с точностью до единицы третьего знака после запятой по методике [1] требуется ее проведение при скорости сдвига равной 1000 1/с и более с ошибкой, не превышающей 0,06 градуса. Проведение касательной к экспериментальной кривой течения с такой точностью практически невозможно. Для экспериментов, проведенных при малых скоростях сдвига, построение такой касательной для вычисления величин а и С2 не имеет смысла. Таким образом, методику обработки кривой течения, приведенную в [1], в этом случае применить нельзя.
Для проверки точности аппроксимации реологиче -скими уравнениями (1) и (4) экспериментальной кривой течения или кривой вязкости после определения коэффициентов а и С2 по уравнениям (1) и (4) необходимо построить графики. Для малых значений скоростей сдвига - в координатах 1 — х или 1 — Пк, а для большого диапазона изменения скоростей сдвига - в двойных логарифмических координатах 1д1 — 1дх или 1д1 — 1д Пк.
2 а
Рис. 2
При использовании в расчетах степенного реологического уравнения значение индекса течения п при заданном значении скорости сдвига 1 вычисляется по формуле
п =
2 С2 а|узф |
1+ С2 |Узф |
(6)
Значение индекса течения, вычисленное по (6), будет больше 1. Значение коэффициента консистенции т для консистентной кривой течения в зависимости от скорости сдвига 1эф вычисляется по уравнению
П н IV эф I 1, ,. ,
|д 72а— -'д |1эф1
. (7)
0, зф
= 10
кости соответственно запишутся в двойных логарифмических координатах в виде
ідх = 1д
1! А2 | Хн |
1
1! А2 1 Хн 1
|д-^=1д
Пн
где Iх н | = Пн |Уэф | ; А2 = ^.
1н
Рассмотрим обработку кривых течения при неизвестном значении Пн.
Исходная экспериментальная кривая - кривая тече -ния. В этом случае также будем предполагать, что она описывается реологическим уравнением
X = -
1! С2 | Узф |
(8)
Используя формулу (6), можно экспериментальную консистентную кривую течения, полученную на капиллярном вискозиметре, перестроить в истинную, используя для этого формулу Рабиновича
. 3+п .
1 = —1эф .
Для определения коэффициентов в реологическом уравнении, описывающем истинную кривую течения, необходимо две точки аппроксимирующей консистентной кривой течения пересчитать по уравнению Рабиновича. Затем в решении (3 а), (3 б), (3 в) поменять значения 1эф на 1 и определить коэффициенты Ои и С2и для реологического уравнения, описывающего истинную кривую течения. Значение Пн оставить тем же самым.
График зависимости индекса течения п от логарифма скорости сдвига 1д 1 эф строится по уравнению (6) в полулогарифмических координатах для консистентной кривой течения и скоростей сдвига 1эф , а для истинной кривой течения и истинных скоростей сдвига 1
График зависимости коэффициента консистенции т от логарифма скорости сдвига 1д 1эф строится по уравнению (7) также в полулогарифмических координатах. На рис. 2 изображен характерный вид графиков п (1д 1 эф ) и т 0 (1д 1 эф) (кривые 1 и 2 соответственно).
Такой же вид будут иметь эти графики и для истинной кривой течения.
Уравнения для температурно-инвариантной кривой течения и температурно-инвариантной кривой вяз-
где Пэ - расчетное (неизвестное) значение коэффициента вязкости Ньютона.
В уравнении (8) три неизвестных коэффициента: а, Пр и С2. Поэтому для их определения необходимо иметь систему из трех уравнений. Для этого необходимо взять три точки на расчетном участке кривой течения (две на концах расчетного участка и одну между ними). Тогда нелинейная система уравнений запишется при условии, что узф > 0, в виде
__ П р У зф, 1
1+ С2Узф,1
_ П р Узф, 2
"1+ С2У2ф, 2
П р У зф, 3
1+ С2У
зф, 3
(9)
Значение 1эф 2 определим следующим образом. Аппроксимируем методом наименьших квадратов рас-
четный участок кривой течения полиномом не выше
гзф + с(ідузф і2+
третьей степени ^х = а + Ь 1д1эф + с(|д1эф)
+ d 01д1эф 1 , если изменение скорости сдвига равно
трем и более порядкам. Для меньшего диапазона изменения скоростей сдвига можно использовать аппроксимирующий полином второй степени. Дифференцируя полученное уравнение по 1д 1эф , получим уравнение для вычисления 1 эф, 2
т = Ь + 2сідУзф, 2 + 3сУ(ідузф, 2).
(10)
В этом уравнении неизвестно значение т. Для его определения соединим две крайние расчетного участка кривой течения хордой. Тангенс угла наклона этой хорды будет равен т. Тогда значение т вычисляется по формуле
2 а
2 а
2а
10 15
Рис. 3
20
25
7эф
т = -
Ідт з - 1дх1
ІдУзф, з - ^у
(11)
зф, 1
Решая нелинейную систему уравнений (9), в конечном счете получим уравнение для вычисления методом простых итераций значения коэффициента а
а = а - Ь
У зф, 3 зф,
3 а ф, 2з • - У2 а зф, 1 Х 3 Х1
2 а ф, 2з • - У2ф, 1 2 £ У зф, 1
Х 2 Х1 )
. (12)
уравнением (8), то значение Пр = Пн- В противном случае значение Пр дает только оценку Пн тем точнее, чем точнее описывается экспериментальная кривая уравнением (8).
В качестве примера были обработаны исходные экспериментальные кривые течения для эмалевого шликера и сметаны без коррекции скоростей сдвига, приведенные в [3]. Значение Пн неизвестно, поэтому для обработки экспериментальной кривой течения использовалась вторая методика. Вычисления проводили в системе МаШСАБ.
Значения напряжений сдвига для шликера и сметаны, а также значения скоростей сдвига были определены из [3]. В таблице приведены результаты расчетов параметров в уравнении (8) для аппроксимации кривых течения эмалевого шликера и сметаны.
Таблица
Материал
Пр, Па • с
а
С2
Эмалевый шликер Сметана
7,108
23,175
0,43
0,291
0,586
2,85
По уравнению (8) с использованием данных таблицы построены аппроксимирующие кривые течения эмалевого шликера и сметаны (рис. 3: кривые 1 и 2 соответственно). Графики свидетельствуют, что уравнение (8) хорошо аппроксимирует экспериментальные данные.
Коэффициент Ь определяет условие сходимости процесса итераций. Полученное значение а соответствует значению скорости сдвига, равной бесконечности. После определения а вычисляется
Уэф, 3 У зф, 1
У2фа, 3
У 2фа 1
Затем находим Пр по формуле
У эф, 1 Уэф, 3
X., X 3
П р =
С,
У 2 а Узф, 1 У2 а Узф, 3 У зф, 3 У зф, 1
Х1 х 3
После чего вычисляется С2 по формуле
с
С2 =
П р
(13)
(14)
(15)
Если три точки, взятые на расчетном участке кривой течения, точно лежат на кривой, описываемой
ВЫВОД
Разработанная методика обработки кривых тече -ния псевдопластичных сред позволяет:
проводить их обработку без проведения касательной к экспериментальной кривой течения;
оценить значение коэффициента вязкости Ньютона;
провести оценку возможности аппроксимации экспериментальных данных при снятии кривой течения реологическим уравнением (8).
ЛИТЕРАТУРА
1. Калинчев Э.Л., Соковцева М.Б. Свойства и переработка термопластов. - Л.: Химия, 1983. - 288 с.
2. Татарников А.А., Буртелов Л.В. Эффективная и кажущееся вязкости. Коэффициент консистенции и индекс течения. Связь между ними / Томский политехн ун-т. - Деп. в ВИНИТИ 15.02.01. - № 403 В 2001.
3. Пирогов А.Н. Течение вязкопластичных жидкостей при малых скоростях деформации // Изв. вузов. Пищевая техноло -гия. - 2001. - № 4. - С. 59-61.
Кафедра автоматизации теплоэнергетических процессов
Поступила 20.08.04 г.
X
X
2
3
