НОВЫЙ КЛАСС ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА С УЧЕТОМ ВНУТРЕННЕГО ТЕПЛОВЫДЕЛЕНИЯ Текст научной статьи по специальности «Физика»

https://doi.org/10.15350/17270529.2022.1.7

УДК 532.51

Новый класс точных решений уравнений Навье-Стокса с учетом внутреннего тепловыделения

Л. С. Горулева, Е. Ю. Просвиряков

Институт машиноведения УрО РАН, Россия, 620049, Екатеринбург, ул. Комсомольская, д. 34

Аннотация. Представлены новые точные решения трехмерных уравнений Навье-Стокса, которые учитывает диссипацию энергии в уравнении переноса тепла в движущейся жидкости. Течения вязкой несжимаемой жидкости могут быть как установившимися, так и неустановившимися. Для построения точных решений за основу взят класс точных решений Линя-Сидорова-Аристова. Характерная особенность представления поля скоростей заключается в том, что оно описывается линейными формами относительно двух координат (горизонтальных или продольных). Коэффициенты линейных форм зависят от третьей координаты (вертикальной или поперечной) и от времени. Давление и температура жидкости являются квадратичными формами с аналогичной структурой для скорости. Данное семейство точных решений описывает течения вязкой несжимаемой жидкости с пространственным ускорением. Иными словами, учитываются нелинейные эффекты сил инерции, которые выражаются через конвективную производную вектора скорости и температуры в уравнениях Навье-Стокса и уравнении теплопроводности соответственно. Принимая во внимание рассеяние энергии в жидкости, конкурируют два квадратично нелинейных эффекта. Это обстоятельство существенно затрудняет исследование течений, поэтому в статье приводятся формулы, описывающие ползущее течение (приближение Стокса) и движение Озеена. Таким образом, показана возможность построения точных решений уравнений движения с диссипацией механической энергии в тепловую энергию для полных уравнений Навье-Стокса, а также для их линеаризованных аналогов в приближении Стокса и Озеена.

Ключевые слова: точное решение, уравнение Навье-Стокса, уравнение несжимаемости, уравнение переноса тепла, диссипативная функция Рэлея.

И Евгений Просвиряков, e-mail: evgen_pros@mail.ru

A New Class of Exact Solutions to the Navier-Stokes Equations with Allowance Made for Internal Heat Release

Larisa S. Goruleva, Evgenii Yu. Prosviryakov

Institute of Engineering Science UB RAS (34, Komsomolskaya St., Ekaterinburg, 620049, Russian Federation)

Summary. New exact solutions to the three-dimensional Navier-Stokes equations, where the heat transfer equation takes into account energy dissipation in a moving fluid, are discussed. The flows of viscous incompressible fluids can be in both steady- and unsteady-state. The construction of the exact solutions is based on the Lin-Sidorov-Aristov class of exact solutions. The characteristic feature of the velocity field representation is that it is described by linear forms with respect to two coordinates (horizontal or longitudinal). The coefficients of the linear forms depend on the third coordinate (vertical, or transverse) and time. The fluid pressure and temperature are quadratic forms with a similar structure for the velocity. This family of exact solutions describes the flows of viscous incompressible fluids with a spatial acceleration. In other words, nonlinear effects of inertia forces are taken into account, which are expressed through the convective derivative of the velocity and temperature vectors in the Navier-Stokes equations and the heat conduction equation, respectively. Since there is energy dissipation in fluids, two quadratically nonlinear effects compete. This significantly complicates the study of flows; therefore, the paper presents formulas describing a creeping flow (the Stokes approximation) and Oseen motion. Thus, the study shows the possibility of constructing exact solutions to the motion equations with mechanical energy dissipation into thermal energy for the full Navier-Stokes equations and for their linearized analogs in the Stokes and Oseen approximations.

Keywords: exact solution, Navier-Stokes equation, incompressibility equation, heat transfer equation, Rayleigh dissipative function.

И Evgenii Prosviryakov, e-mail: evgen_pros@mail.ru

ВВЕДЕНИЕ

При нахождении точных решений уравнений Навье-Стокса, описывающих течения несжимаемых жидкостей, как правило, игнорируется перенос тепла за счет диссипативных процессов [1 - 4]. В этом случае из-за отсутствия гравитационной и капиллярной конвекции без учета функции Рэлея предполагается постоянство температуры, что означает автоматическое выполнение уравнения теплопроводности. Иными словами, рассматривается только тривиальное решение уравнения переноса тепла.

Пренебрежение диссипацией кинетической энергией в тепловую энергию обосновывается несколькими причинами [5]. Укажем два фактора, которые наиболее часто используются в исследовании систем уравнений, моделирующих движение жидких сред.

С физической точки зрения при рассмотрении переноса тепла в уравнении теплопроводности содержится функция Рэлея. Коэффициент, стоящий перед суммой квадратов касательных напряжений, принимает значения для ньютоновский жидкостей в

диапазоне |^10~8;10~4^, поэтому во многих случаях формально полагают его равным нулю

для упрощения уравнений движения [5, 6].

Игнорирования влияния диссипативной функции Рэлея с математической точки зрения обусловлено усложнением исследования качественных и количественных свойств решений уравнений Навье-Стокса [7, 8]. Свойства системы уравнений движения существенно услож-ются из-за квадратичной нелинейности функции Рэлея. Таким образом, при аналитическом и численном моделировании начинают конкурировать конвективная производная уравнений Навье-Стокса и джоулевая диссипация в уравнении переноса тепла [7 - 10].

Для задач теории управления течениями ньютоновской вязкой несжимаемой жидкости целесообразно принимать во внимание диссипативную функцию Рэлея [9, 10]. Несмотря на близость уравнений движения жидкости с учетом локального тепловыделения к уравнениям естественной конвекции (уравнения Обербека-Буссинеска), к настоящему времени отсутствуют алгоритмы нахождения точных решений. Очевидно, что необходимо попытаться использовать известные семейства точных решений уравнений Навье-Стокса без введения в описание явлений переноса диссипативной функции.

Наиболее часто используемым классом точных решений для уравнений Навье-Стокса и близких к ним уравнений гидродинамического типа является класс Линя-Сидорова-Аристова [11 - 13]. Данное семейство точных решений описывает стратифицированные течения жидкости по горизонтальным координатам или по вертикальной переменной для скорости, давления, температуры, концентрации и других силовых факторов. Поле скоростей Линя-Сидорова-Аристова многократно исследовалось и обобщалось. Обзоры по данному классу точных решений уравнений гидродинамики содержатся в [1, 2]. Модификации данного семейства для изобарических, градиентных, конвективных и термодиффузионных течений отражены в статьях [14 - 23]. Основное наблюдение, которое сосредоточено в данных научных работах заключается в том, что линейным формам поля скоростей удовлетворяет квадратичная по части координат функция, описывающая перенос вещества, которая согласуется с полем давления. Квадратичная зависимость температуры позволяет положительно ответить на вопрос о существовании точных решений уравнений Навье-Стокса с учетом рассеяния механической (кинетической) энергии вязкой несжимаемой жидкости.

Целью данной статьи является распространение класса точных решений Линя-Сидорова-Аристова для течений жидкости с локальным выделением тепла. Показать существование таких решений и определить структуру уравнения для нахождения функций, определяющих структуру гидродинамических полей скорости, давления и температуры. В статье отмечается возможность линеаризации уравнений движения, которое осуществляется из-за аппроксимации конвективной производной в уравнении переноса импульса жидкости (в уравнении Навье-Стокса) или в уравнении переноса тепла (в уравнении теплопроводности).

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

Рассмотрим неустановившееся течение вязкой несжимаемой жидкости с учетом внутреннего (локального) тепловыделения, обусловленного внутренним трением слоев по закону Ньютона (ньютоновская жидкость), которое описывается системой уравнений [5, 6]:

ду

— + (у -V) у = -УР + уАУ ,

ы v '

ыт

— + (У-V) Т = ХАТ + Q,

V-V = 0. (1)

В системе уравнений в (1), состоящей из уравнения Навье-Стокса, уравнения Фурье и уравнения непрерывности, введены следующие обозначения: V(¿,х,у,7) = (У,У,у) -вектор скорости; Р - давление, деленное на постоянную плотность р ; V - кинематическая вязкость; х - коэффициент температуропроводности; V - оператор Гамильтона, А - оператор Лапласа.

Далее будем полагать, что трехмерное движение жидкости описывается в

прямоугольной декартовой системе координат. Таким образом, оператор Гамильтона записывается как

V-, . д . д . д

V = 1,--V и--V к —,

дх ду дг

где ^, 12, 13 - орты декартовой прямоугольной системы координат, а оператор Лапласа имеет следующий вид:

. 52 52 52 А = —- +—г + —т .

дх ду2 д72

В уравнении теплопроводности функция Q определяет диссипацию энергии жидкости (трансформацию механической энергии в тепловую) согласно формуле:

Q = ыу1

2

2с

+

дх,. дх V 1 1 J

-р 1=1 1=1

где с - удельная теплоемкость жидкости при постоянном давлении [5]. Преобразовав и просуммировав выражения в скобках для функции Рэлея Q, получим ее представление в следующем виде:

Q —

с

г ду ^

+

дУ3 дх1

2

V Г

Vдхl J

+ 2

+

J

дУ

V дхз J

гул2

V дХ2 J ( Я ТУ Л2

(

+ 2

дУ

Л2 (

V дхз J

+

дУ

2

V дХ2 J

(

+

дУ

2

Vдхl J

+

г еул

V дхз J

+

+

дУ

V дХ2 J

+ +2

'дУ^

V дХ2 J

дУ^

дхх

Л ( я ту я ТУ Л

+2

дУ

V дхз J

дУ3 дхх

+2

ыу

V дхз J

дУ

V дХ2 J

(2)

В скалярном виде уравнения (1) с учетом диссипативной функции (2) записываются следующим образом:

дУ „ дУ

дУ

дУ

+ у—1 + у—1 + У3—^ =--+ V

дР С д2у д2у д2у 1

дл

дх1

дх

дх.

дх1 ^ дх: дХ2

дх

3 J

у

У

- + V —- + ¥ —— + V 2

дг

дх

дх,,

дх^

дР дхп

■ + у

( д2¥ д V д2К )

кдх?

дх22

дхз2 у

+^ +V дй.+к дй.

дг

дР Г д 2К дV д V ^

дх1

дТ дТ дт дт

—+к —+У2 —+V, V = Х

дх2 дТ

дх3 дТ

дх.

дх2 дх2

дх

з у

( д2 Т д2 Т д2 Т ^

дг

V

+ —

дхх ( д^ Чдх1 у

дх

дх^

Чдх1

+ 2

д V

чдх2 у

+ 2

д¥

2

1

2

дх2

дхз3 у

Чдхз У

( ълг V (

+

д¥_х кдх2 у

2

Чдх2 у

дхх

2

+

д¥1 Удхз у

+

д К

дх:

Чдхз у

Чдх1 у

+ 2

гдy У д ^

Чдхз у

Чдх1 у

+ 2

Чдхз у

д К

{ д ¥л

чдх2 у

Чдх2 у

д V д V дИ л —1 + —2 + —1 = 0. дх дх дх

(3)

Для системы уравнений (3) далее будет найдено точное решение в классе скоростей, линейных относительно части координат, которое находит свое применение для решения задач гидродинамики [11 - 13, 1 - 4].

КЛАСС ТОЧНЫХ РЕШЕНИИ

Построим точное решение нелинейной системы уравнений в частных производных (3), используя семейство точных решений Линя-Сидорова-Аристова [11 - 13]. Поле скоростей представим следующим образом:

V = и (х3, г)+и (х, г) х+и2 (х, г) х2,

V = щ (х3, г) + Щ (х3, г) х + Щ (х3, г) х2,

V = ^ (хз, г). (4) Выражения (4) являются линейными формами относительно горизонтальных

(продольных) координат х и х2 с коэффициентами и, и , и, Щ, Щ , Щ и ^, зависящими от вертикальной (поперечной) координаты х и времени г . Поля давления и температуры описываются квадратичными формами:

2 2

Р = Ро (хз , г ) + Р (хз , г ) х1 + Р2 (хз , г ) х2 + Р11 (хз , г ) ^ + Р12 (хз , г ) хЛ + Р22 (*з , г ) ^ ,

2 2

Т = Т0 (хз . г) + Т1 (хз . г) х1 + Т2 (хз . г) х2 + Т11 (хз . г) у + Т12 (хз , г) х1х2 + Т22 (хз , г ) ^ . (5)

Для анализа и изучения свойств течений жидкости необходимо вычислить коэффициенты форм (4) и (5). Вычислим частные производные функций по пространственным координатам и времени, описывающих поле скоростей (4) и поля давления и температуры (5):

д¥ ди ди ди2

—1 =-+ —1 х +—2 х9;

дг дг дг 1 дг 2

дУ дУ

^ = и1; ^ = и2;

дх дх2

2

2

у

у

дV ди CU ди2

—1 =-+ —1 Xj + —2 x2 ;

дXз дXз дXз дXз

дP _

— = P + /1ixi + X2 ;

Cxl дP _

^ = P2 h P12 X1 h P22 X2 ; &2

2

дP CP дP CP2 CPU X CP12 CP22 x2

■ +-1X h-2X2 +-— — +-XjX2 +-

дXз дXз дXз дXз дXз 2 дXз дXз 2

22

й V = о; CV = 0;

дт2 ' Cx2

2 — 2 h ? X h - X 2 ;

дXз дXз дXз дXз

д1^2 дW дW CW2

—2 =-+ —1X +—2 x9 ;

дt дt дt 1 дt 2

дVз _ дVз _

—2 = W ; —2 = W2 ; Cx Cx2

CV2 дW CW CW2 —2 =-+ —1 Xj +—2 x2 ;

дxз дxз дxз дxз

cx2 ' ôxi ;

c2v2 _ cw CW CW •

? — ? h 9 X h X2 ;

dX2 dX2 dx3 dx3

dV _ dw _ CV _ dw _

Ct Ct ' Cx3 Cx3

CV CV CV3 = o ; CV3 = 0 ;

Cx Cx2 Cx2 ' Cx2 '

CV _ CV .

dx32 dx32

2

ct_ dT CT, ^CTiv . CTllX2 CT2w i dT22 X2

Ct Ct Ct Ct Ct 2 Ct Ct 2

— = Tl + Т^цД-! + T!2X2 ;

Cx

— = T2 + Т^зXl + T22X2 ;

CX2

CT _ CTo dT, CT2 CTn x! CT12 CT22 x2

■h--1 X h--2 X2 h--— —- h--12 XjX2 +■

Cx3 Cx3 Cx3 Cx3 Cx3 2 Cx3 Cx3 2

ддГ=т ■ C2L=t .

Cx2 11 ' Cxi 22 '

C2T C2T д2T C2T д2T, X2 C2T, dT x2

- - h--1X h--^ h--т1 — h--12 XX +- 22 2

^ 2 -л 2 ^ 2 1 ^ 2 2 ^ 2 12 2

Cx3 Cx3 Cx3 Cx3 Cx3 2 Cx3 Cx3 2

Подставим полученные выражения в систему уравнений (3), получим следующие уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости с учетом локального тепловыделения, влияющего на перенос импульса:

д и„

ди ди, - +

1 х + 2

дг дг 1 дг

(д и ди ди }

Х2 + (и + их + и2 х2) и1 + (Щ + ЩЛ + Щ х2) и2 +

+^

■ + ■

V дх3 дх3

х+■

дх

= "(Р1 + Р11 х1 + Р12х2 ) +

V

з у

д2и д2и

V дхз

■ + ■

дх

21

з

х +■

д2 и

Л

дх

22 зу

дЩ дЩ

дг дг

(

+^

-х+■

д Щ

дг

Х2 +(и + и,х2 + и2 х2 )Щ +(Щ + Щ1х + ЩЩ х2 )Щ +

,2т

дГ дЩ дЩ + —1 х +—2 х„

V дх3 дх3

дw дw

= -(Р2 + Р12х1 + Р22х2 ) + V

дг дх

з

дР х2 дР,

дхз у

(дР дР, дР2

+ —1 х +—2 х2 +■ V дх3 дхъ дхъ дхъ 2 дх3

дТ0 + дТ х +дТ2 х + дТ11 * + дТ12 хх + Т х! + дг дг дг дг 2 дг дг 2

(д2Щ д2Щ д2Щ ^ +-т1 х +-Г2 х

V дхз

дх

21

дх

22 зу

х1х2 +

дР х2 ^ дд + v—т

дх3 2 у дх3

+ (и + и^х + и2 х2) (Т + Тх + Т12 х2) + (Щ + ЩЛ + Щ х2) (Т + Т12 х1 + Т22 х2) + дТ дТ, х2 дР дТ, х2 ^

+^

Г

(д

+ х1 + х^ I I х^х^

V дх3 <5х3 <5х3 <5х3 2 <5х3 <5х3 2 у

X

„ „ д2Т0 д2Т1 д2Т2 д2Т11 х2 д2Т12 д2Т22 х22 ^

Т1 + Т22 +—£ + —1 х +—г х2 +—Ц — + —12 х1х2 +—

11 22 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2

V

дх3 дх3

дх2

дх3 2

дх2

дх3 2 у

V

+ —

с

2 (и2 + Щ2 ) + (и2 + Щ )2 + 2

^ дИ2

Vдxз у

+ -

V

(а и ди

ди

+ —^ х + _~ х0

V дх3 дх3

дх.

(

дЩ дЩ

дЩ

+ —— х + —— х.

V дх дх3

дх.

ТТ ТГГ ^

и + Щ +— = о.

дх,

(6)

В системе уравнений (6) раскрываем скобки, группируем выражения при одинаковых степенях горизонтальных координат х и х , далее применяем метод неопределенных коэффициентов и получаем систему уравнений для определения девятнадцати неизвестных функций из (4) и (5):

ди 2 ттпг ди1 _ д2и1

—1 + и + ЦУЩ + w—1 = -Рп + V—г1,

дг дх3 дх3

ди2 + ии + + w ди2 = - Р +Vд2U2 , дг 1 2 2 2 дх 12 дх

ди т ттт ТТТ1Г ди _ д2и

-+ ии + ЦУЩ + w-= -Р: + V—т,

дг дх дх.

дЩ дЩ д2Щ

+ иЩ + ЩЩ + w дЩ1 = -Р + vдW дг 112 1 дх 12 дх дг дх3 дх^

2

С

Р

_Ж2 ^ _Ж2 д2Ж2

+ + Ж.2 + = -Р22 ь^^з2

дЖ

дх3 дЖ

—+жи+Ж2Ж+м-

дХ дх.

= -Р + V

дх2 д2Ж дх2

дР дР дР дР дР

_ 1 = 0 _ 11 = 0 2 = 0 _ 22 = 0 _ 12 = 0

дх,

дх3 ' дх3

дх, ' дх,

дм дw

--V м —

дХ дх,

дР д2м

+ v—г,

дх, дх,

| = -(и+ Ж) ,

дТ

-1+ити+ит+ЖТ12 + Ж1Т2+= +—

_Т_ д2Т 2vfди ди дЖ дЖ-1

дХ

ЫТ11

_х

+ 2и1Тп + 2ЖгТи +Ю

ЫТи дх,

= х

дх3

дТ

дх,2

дх3 с^ ^дх3 дх3 дх3 дх3 J

V

р

ди

V дхз J

дЖ

V дхз J

дТ дТ _ Т

+ иТ12 + и2Тх + ЖТ22 + Ж2Т2 + м ^ = Х-Т- + —

дх

дх,

д2Т 2vГди д^ дЖ _Ж2Л

дх2

с

р ч з

дх дх дх дх

з

дТ

12

дх

+ и1Т12 + и2Ти + Ж1Т22 + Ж2Т12 + м

дТ

12

_ Т2 2v

= х—т + —

дх, дх2

р V

дх дх дх дх

3 у

%+1и2Т12+2Ж2Т22 + м _Т22 = х_Т2

_Х дх3 дх, с

3 'р 2'

ди

2

V дх3 J

дЖ

2

V дх3 J

_Т°+иТ+ЖТ2 + м _Т° = х(Ти+Т„ )+^_Т0

дХ дх3 дх2

Г

V

+ —

ср

2 (и2 + Ж22 ) + (и2 + Ж )2 + 2

Vдхз J

2

ди 2

V дх3 у

дЖ

2

V дх3 J

(7)

Система (7) состоит из тринадцати неоднородных уравнений в частных производных параболического типа (1 +1) с конвективным слагаемым и из шести уравнений градиентного

типа для определения неизвестных функций, входящих в точное решение (4) и (5). Таким образом, система (7) распадается на две слабосвязанные подсистемы. После нахождения функций, описывающих поле скоростей и давления, необходимо проинтегрировать оставшиеся уравнения для нахождения температуры (функции) распределения тепла.

НЕКОТОРЫЕ ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ

Для начала заметим, что часть уравнений, содержащихся в (7) интегрируется явно:

дР _Р- = 0, дх, дх

дР дР дР дР

11 = 0 2 = 0 _ 22 = 0 _ 12 = 0

дх дх

дх

Очевидно, что функции Р , Р2, Ри, Рп и Р22 зависят только от времени, следовательно, можно уточнить выражение (5) для давления:

Р = Р0 (х3,Х) + Р (Х)х + Р2 (Х)х2 + Р11 (Х)^ + Р2 (Х)хЛ + Р22 (Х)^ .

Отметим, что фоновое давление может быть получено посредством интегрирования уравнения

дw ^

--ъ w—

дг дх^

дх.

д2 w ~дх2

следующей квадратурой с точностью до аддитивной функции:

р=11

V-

д2 w

дх2 дг

дw дw ■-w

Л

дх.

йх3 + / (г).

-З ^ у

Уравнения движения (7) могут быть сравнительно проинтегрированы для классического однонаправленного установившегося течения Куэтта, но с учетом диссипативной функции Рэлея. В этом случае точное решение (4) и (5) трансформируется к виду

V = и (хз),

х1 х1

Т = 70 (хз ) + Тх (хз ) х! + Т2 (хз ) х2 + Т11 (хз ) у + Т12 (х3 ) х1х2 + Т22 (Х3 ) у .

Система (7) редуцируется к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, которая записывается следующим образом:

й и

дх1

= 0,

й 2Т

1 _

йх1

= 0.

2 _

йх1

= 0.

й 2Т

11 _

йх1

= 0.

й 2Т

12 _

йх1

= 0.

22 _

йх1

= 0.

X

йХ

йх1

2v

= иТ1 -х(Тп + Т22)--

^2

йх^

(8)

--3 к ^з у

Система обыкновенных дифференциальных уравнений четырнадцатого порядка может быть последовательно легко проинтегрирована. Выпишем решения обыкновенных дифференциальных уравнений только для тех функций, которые определяют закон изменения фоновой температуры Т0:

и=С2+С, Т = С2+С, Т1 = С2+С, Т22 = С2+С.

В последних формулах символами С, С, С3, С, С, С6, С и С8 обозначены постоянные интегрирования для уравнений (8). После подстановки полученных решений в стационарное уравнение переноса тепла и двукратного его интегрирования, получим формулу

Т = 1 X

г

V

ССз-+(С2Сз+СА)-+С2С4 — 1-(С5+С7) --(С6+С8)—--— С12 22,

которая иллюстрирует возможность управления тепловым полем при диссипации механической энергии даже для установившегося течения. Аналогично точное решение можно получить для однонаправленного течения Пуазейля и Куэтта-Пуазейля с учетом локального тепловыделения.

Система уравнений (7) описывает широкий класс течений. Заметим, что она может быть упрощена посредством линеаризации конвективной производной, содержащейся в уравнениях Навье-Стокса и в уравнении теплопроводности [1, 5, 6]. При использовании приближения Стокса (число Рейнольдса или Грасгофа мало) пренебрегают слагаемым (V -V) V в уравнении Навье-Стокса (1). При этом вклад конвективного перемешивания

(V -V) Т в уравнении переноса тепла может быть принят во внимание или проигнорирован

по аналогии с ползущими течениями. Аналогичное замечание справедливо для течения типа Озеена. Для этого вектор скорости V в конвективных производных (V-V)V и (V ^)Т

аппроксимируется постоянным вектором и = (А, В, С) . После этого повторяется процедура вывода уравнений (7), с которой можно ознакомиться в [1, 2, 19, 23].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В статье анонсированы новые точные решения уравнений гидродинамики, которые описывают влияние диссипативной функции Рэлея на перенос тепла в жидкости без учета конвективного движения. Показано, что широкий класс точных решений для течений жидкости с учетом переноса тепла совпадает с семейством Линя-Сидорова-Аристова, удовлетворяющего уравнениям естественной конвекции Обербека-Буссинеска для ньютоновской несжимаемой жидкости. Приведенные в статье точные решения помогут разработать алгоритмы управления нелинейностями с разными релаксационными временами и пространственными масштабами, обусловленными учетом конвективной производной и суммой квадратов касательных напряжений в уравнениях движения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ershkov S. V, Prosviryakov E. Yu, Burmasheva N. V, Christianto V. Towards understanding the algorithms for solving the Navier-Stokes equations // Fluid Dynamics Research, 2021, vol. 53, no. 4, p. 044501. https://doi.org/10.1088/1873-7005/ac10f0

2. Аристов С. Н., Князев Д. В., Полянин А. Д. Точные решения уравнений Навье-Стокса с линейной зависимостью компонент скорости от двух пространственных переменных // Теоретические основы химической технологии. 2009. Т. 43, № 5.

С. 547-566.

3. Drazin P. G., Riley N. The Navier-Stokes Equations: A classification of flows and exact solutions. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2006. 196 p. https://doi.org/10.1017/CB09780511526459

4. Пухначев В. В. Симметрии в уравнениях Навье-Стокса // Успехи механики. 2006. Т. 4, № 1. С. 6-76.

5. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. Теоретическая физика. Том VI. Изд. 4-е, стереотипное. М.: Наука, 1988. 736 с.

6. Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. 392 с.

7. Baranovskii E. S., Domnich A. A., Artemov M. A. Optimal boundary control of non-isothermal viscous fluid flow // Fluids, 2019, vol. 4, no. 3, Article ID 133(1-14). https://doi.org/10.3390/fluids4030133

8. Барановский Е. С., Домнич А. А. О модели протекания неравномерно нагретой вязкой жидкости через ограниченную область // Дифференциальные уравнения. 2020. Т. 56, № 3. С. 317-327. https://doi.org/10.1134/S0374064120030036

REFERENCES

1. Ershkov S. V, Prosviryakov E. Yu, Burmasheva N. V, Christianto V. Towards understanding the algorithms for solving the Navier-Stokes equations. Fluid Dynamics Research, 2021, vol. 53, no. 4, p. 044501. https://doi.org/10.1088/1873-7005/ac10f0

2. Aristov S. N., Knyazev D. V., Polyanin A. D. Exact solutions of the Navier-Stokes equations with the linear dependence of velocity components on two space variables. Theoretical Foundations of Chemical Engineering, 2009, vol. 43, no. 5, pp. 642-662. https://doi.org/10.1134/S0040579509050066

3. Drazin P. G., Riley N. The Navier-Stokes Equations: A classification of flows and exact solutions. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2006. 196 p. https://doi.org/10.1017/CB09780511526459

4. Pukhnachev V. V. Simmetrii v uravneniyakh Nav'e-Sroksa [Symmetries in Navier-Stokes equations]. Uspekhi mekhaniki [Achievements in Mechanics], 2006, vol. 4, no. 1, pp. 6-76. (In Russian).

5. Landau L. D., Lifshitz E. M. Fluid Mechanics: vol. 6 (Course of Theoretical Physics S), 2nd Edition. Butterworth-Heinemann, 1987. 560 p.

6. Gershuni G. Z., Zhukhovitskii E. M. Convective stability of incompressible fluids. Israel Program for Scientific Translations. Jerusalem: Keter Publishing House, 1976. 330 p.

7. Baranovskii E. S., Domnich A. A., Artemov M. A. Optimal boundary control of non-isothermal viscous fluid flow. Fluids, 2019, vol. 4, no. 3, Article ID 133(1-14). https://doi.org/10.3390/fluids4030133

8. Baranovskii E. S., Domnich A. A. Model of a nonuniformly heated viscous flow through a bounded domain. Differential Equations, 2020, vol. 6, no. 3,

pp. 304-314. https://doi.org/10.1134/S0012266120030039

9. Бетелин В. Б., Галкин В. А. Задачи управления параметрами несжимаемой жидкости при изменении во времени геометрии течения // Доклады Академии наук. 2015. Т. 463, № 2. С. 149-151. https://doi.org/10.7868/S0869565215200037

10. Алтоиз Б. А., Савин Н. В., Шатагина Е. А. Влияние тепловыделения в микропрослойке жидкости при измерении ее вязкости // Журнал технической физики. 2014. Т. 84, № 5. С. 21-27.

11. Lin C. C. Note on a class of exact solutions in magnetohydrodynamics // Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1957, vol. 1, pp. 391-395. https://doi.org/10.1007/BF00298016

12. Сидоров А. Ф. О двух классах решений уравнений механики жидкости и газа и их связи с теорией бегущих волн // Прикладная механика и техническая физика. 1989. № 2. С. 34-40.

13. Аристов С. Н. Вихревые течения в тонких слоях жидкости: Автореф. дис. докт. физ.-мат. наук. Владивосток, 1990.

14. Аристов С. Н., Просвиряков Е. Ю. Неоднородные течения Куэтта // Нелинейная динамика. 2014. Т. 10, вып. 2. C. 177-182. https://doi.org/10.20537/nd1402004

15. Аристов С. Н., Просвиряков Е. Ю. Крупномасштабные течения завихренной вязкой несжимаемой жидкости // Известия высших учебных заведений. Авиационная техника. 2015, № 4. С. 50-54.

16. Горулева Л. С., Просвиряков Е. Ю. Неоднородное сдвиговое течение Куэтта-Пуазейля при движении нижней границы горизонтального слоя // Химическая физика и мезоскопия. 2021. Т. 23, № 4. С. 403-411. https://doi.Org/10.15350/17270529.2021.4.36

17. Бурмашева Н. В., Просвиряков Е. Ю. Точное решение уравнений Навье-Стокса, описывающее пространственно неоднородные течения вращающейся жидкости // Труды Института математики и механики УрО РАН. 2020. Т. 26, № 2. С. 79-87. https://doi.org/10.21538/0134-4889-2020-26-2-79-87

18. Зубарев Н. М., Просвиряков Е.Ю. О точных решениях для слоистых трехмерных нестационарных изобарических течений вязкой несжимаемой жидкости // Прикладная механика и техническая физика. 2019. Т. 60, № 6 (358). С. 65-71. https://doi.org/10.15372/PMTF20190607

9. Betelin V. B., Galkin V. A. Control of incompressible fluid parameters in the case of time-varying flow geometry. DokladyMathematics, 2015, vol. 92, no. 1, pp. 511-513. https://doi.org/10.1134/S1064562415040067

10. Altoiz B. A., Savin N. V., Shatagina E. A. Effect of heat release in a microinterlayer of a liquid on the measurement of its viscosity. Technical Physics, 2014. vol. 59. no. 5. pp. 649-655. https://doi.org/10.1134/S1063784214050028

11. Lin C. C. Note on a class of exact solutions in magnetohydrodynamics. Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1957, vol. 1, pp. 391-395. https://doi.org/10.1007/BF00298016

12. Sidorov A. F. Two classes of solutions of the fluid and gas mechanics equations and their connection to traveling wave theory. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, 1989, vol. 30, no. 2, p. 197-203. https://doi.org/10.1007/BF00852164

13. Aristov S. N. Vikhrevye techeniya v tonkikh sloyakh zhidkosti [Eddy currents in thin liquidlayers]. Abstract dis. Dokt. Fiz.-Mat. nauk.Vladivostok, 1990. (In Russian).

14. Aristov S. N., Prosviryakov E. Yu. Neodnorodnye techeniya Kuetta [Inhomogeneous Couette flow]. Nelineynaya dinamika [Russian Journal of Nonlinear Dynamics], 2014, vol. 10, no. 2, pp. 177-182.

(In Russian). https://doi.org/10.20537/nd1402004

15. Aristov S. N., Prosviryakov E. Y. Large-scale flows of viscous incompressible vortical fluid. Russian Aeronautics, 2015, vol. 58, no. 4, pp. 413-418. https://doi.org/10.3103/S1068799815040091

16. Goruleva L. S., Prosviryakov E. Yu. Neodnorodnoe sdvigovoe techenie Kuetta-Puazejlya pri dvizhenii nizhnej granicy gorizontal'nogo sloya [The Couette Poiseuille Inhomogeneous Shear Flow with the Motion of the Lower Boundary of the Horizontal Layer]. Khimicheskaya fizika i mezoskopiya [Chemical Physics and Mesoscopy], 2021, vol. 23, no. 4, pp. 403-411. (In Russian). https://doi.org/10.15350/17270529.202L4.36

17. Burmasheva N. V, Prosviryakov E. Yu. Tochnoe reshenie uravneniy Nav'e-Stoksa, opisyvayushchee prostranstvenno neodnorodnye techeniya vrashchayushcheysya zhidkosti [Exact solution of Navier-Stokes equations describing spatially inhomogeneous flows of a rotating fluid]. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN [Proc. IMM UB RAS], 2020. vol. 26, no. 2,

pp. 79-87. (In Russian). https://doi.org/10.21538/0134-4889-2020-26-2-79-87

18. Zubarev N. M., Prosviryakov E. Yu. Exact Solutions for the Layered Three-Dimensional Nonstationary Isobaric Flows of Viscous Incompressible Fluid. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, 2019, vol. 60, no. 6, pp. 1031-1037. https://doi.org/10.1134/S0021894419060075

19. Просвиряков Е. Ю. Новый класс точных решений уравнений Навье-Стокса со степенной зависимостью скоростей от двух пространственных координат // Теоретические основы химической технологии. 2019. Т. 53, № 1. С. 112-120.

20. Просвиряков Е. Ю., Спевак Л. Ф. Пространственно неоднородные слоистые течения вязкой несжимаемой жидкости // Теоретические основы химической технологии. 2018. Т. 52, № 5. С. 483-488.

21. Просвиряков Е. Ю. Слоистые градиентные стационарные течения вертикально завихренной вязкой несжимаемой жидкости // Материалы 3 Рос. конф. "Математическое моделирование и информационные технологии", 2016, Т. 1825. С. 164172. http://ceur-ws.org/Vol-1825/p21.pdf

22. Алексеенко Е. А., Горшков А. В., Просвиряков Е. Ю. Слоистая конвекция Марангони при учете теплообмена по закону Ньютона-Рихмана. Сообщение 1. Исследование поля скоростей // Химическая физика и мезоскопия. 2018. Т. 20, № 1. С. 15-27.

23. Аристов С. Н., Просвиряков Е. Ю. Новый класс точных решений трехмерных уравнений термодиффузии // Теоретические основы химической технологии. 2016. Т. 50, № 3. С. 294-301. https://doi.org/10.7868/S0040357116030027

19. Prosviryakov E. Yu. New Class of Exact Solutions of Navier-Stokes Equations with Exponential Dependence of Velocity on Two Spatial Coordinates. Theoretical Foundations of Chemical Engineering, 2019, vol. 53, no. 1, pp. 107-114. https://doi.org/10.1134/S0040579518060088

20. Prosviryakov E. Yu., Spevak L. F. Layered Three-Dimensional Nonuniform Viscous Incompressible Flows. Theoretical Foundations of Chemical Engineering, 2018, vol. 52, no. 5, pp. 765-770. https://doi.org/10.1134/S0040579518050391

21. Prosviryakov E. Yu. Sloistye gradientnye statsionarnye techeniya vertikal'no zavikhrennoy vyazkoy neszhimaemoy zhidkosti [Layered gradient stationary flow vertically swirling viscous incompressible fluid]. CEUR Workshop Proceedings, 2016, vol. 1825, pp. 164172. (In Russian). http://ceur-ws.org/Vol-1825/p21 .pdf

22. Alekseenko E. A., Gorshkov A. V., Prosviryakov E. Yu. Sloistaya konvektsiya Marangoni pri uchete teploobmena po zakonu N'yutona-Rikhmana. Soobshchenie 1. Issledovanie polya skorostey [Layered Marangoni Convection during Heat Transfer According to the Newton's Law of Cooling. Part 1. Investigation of the Velocity Field]. Khimicheskaya fizika i mezoskopiya [Chemical Physics and Mesoscopy], 2018, vol. 20, no. 1, pp. 15-27. (In Russian).

23. Aristov S. N., Prosviryakov E. Y. A new class of exact solutions for three-dimensional thermal diffusion equations. Theoretical Foundations of Chemical Engineering, 2016, vol. 50, no. 3, p. 286-293. https://doi.org/10.1134/S0040579516030027

Поступила 14.03.2022; после доработки 06.04.2022; принята к опубликованию 11.04.2022 Received 14 March 2022; received in revised form 06 April 2022; accepted 11 April 2022

Информация об авторах

Горулева Лариса Сергеевна, научный сотрудник, ИМАШ УрО РАН, Екатеринбург, Российская Федерация

Просвиряков Евгений Юрьевич, доктор физико-математических наук, заведующий сектором, главный научный сотрудник, ИМАШ УрО РАН, Екатеринбург, Российская Федерация, e-mail: evgen_pros@mail. ru

Information about the authors

Larisa S. Goruleva, Researcher, Institute of Engineering Science UB RAS, Ekaterinburg, Russian Federation

Evgenii Yu. Prosviryakov, Dr. Sci. (Phys.-Math.), Head of Department, Chief Researcher, Institute of Engineering Science UB RAS, Ekaterinburg, Russian Federation, e-mail: evgen_pros@mail.ru