CC BY
99Новые формулы в математике. Краткое доказательство Теоремы Ферма
Сапралиева Лейла Руслановна,
учитель математики, Гимназия №1 г. Назрань, sapralieva-lyapa@mail.ru
В статье предлагаются новые математические формулы, выведенные автором, одна из которых упрощает решение кубических уравнений. Если решать кубическое уравнение традиционными способами, то после подбора одного корня нам приходится раскладывать кубический четырёхчлен на множители, деля уголком, это занимает очень много времени. С помощью предложенной формулы можно сразу найти два других корня кубического уравнения после подбора первого корня. Другая формула выражает площадь правильной п - угольной звезды. С помощью этой формулы, зная только радиус звезды, можно быстро вычислить площадь любой правильной звезды: пятиугольной, шестиугольной и т. д. Также рассматриваются следствия, вытекающие из теоремы, которые позволяют найти периметры правильных звезд, площади фигур, которые получаются после удаления из круга правильных звезд. В статье рассматривается самое короткое доказательство теоремы Ферма. Все формулы принадлежат автору статьи. Ключевые слова: кубические уравнения; правильные п - угольные звезды; лейлаграмма, теорема Ферма.
Теорема: Если в кубическом уравнении ахз+вх2+сх+СС=0, где а *0, известен хотя бы один корень х1, то другие два корня х2 и хз можно найти по формуле:
х2,3 —
в
—ъ х1 а 1
Л
V
—ъ х1 а1
+ ■
а
ах
Доказательство Разложим ах3+вх2+сх+d на множители, получим а(х-х1)(х-х2)(х-хз)=0; или (х-х1)(х-х2)(х-хз)=0. Перемножим вторую и третью скобки, получим: (Х-Х1)(Х2-Х2Х-ХзХ+Х2Хз)=0 или (х-х1)(х2-(Х2+Хз)Х+Х2Хз)=0 (*)
Заменим
Х2 ~+ Х3 I ~+ х1
а
тогда уравнение (*) при-
Х2 Хз -
ах,
мет вид
(Х-Х1)
х2 +
—ъ х1 I х - -а
а
ах,
ное уравнение получим: х-х1=0 х=х1
— 0, решая дан-
2 ? 1 а п
х2+--Ъ х Iх--— 0 ^ х2,3=
а / ах1
—ъ х а
доказать
Г в 1
—ъ х1
а_
2
V
й
ъ--, что и требовалось
ах1
Приведем пример:
Пусть дано кубическое уравнение 3х3+7х2-18х+8=0, где х1=1, тогда, подставив х1в формулу, получим два другие корня х2 и хз.
2
2
в
2
в
2
со ^
0
сч
01
Х2,3= -
+1
< 7^
3
2
8
+- = -3
10-~6~
100 8 = ~36 3 =
14;
~~6
Х2= —; Х2= - 4
3
Вывод. Данная формула упрощает вычисления, поэтому рациональнее пользоваться этой формулой.
В школьном курсе геометрии мы рассматриваем только выпуклые фигуры. Великими математиками выведены формулы площадей плоских выпуклых фигур, но нигде нет формул площадей невыпуклых фигур. У меня постоянно возникал вопрос, а почему, наряду с такими замечательными фигурами, как: квадрат, прямоугольник, трапеция, ромб, параллелограмм, круг, нет самой совершенной фигуры, которая называется «правильная звезда», и разницы нет, какая она - пятиугольная, шестиугольная или п-угольная? Пролистав многие журналы, заглянув в Интернет, ничего, никакой теории о звезде. Поэтому я решила вывести такую формулу, чтобы она позволяла в считанные секунды, зная только радиус правильной п-угольной звезды, вычислить ее площадь. И мне удалось это сделать. Имея под рукой калькулятор (он имеется в каждой мобильной трубке) и зная радиус звезды, каждый сможет с помощью моей формулы (назвала я её формула Лейлы) найти площадь любой правильной п-угольной звезды. Думаю, что эта формула может упростить расчеты в нашей жизни.
Определение 1. Правильной звездой называется звезда, у которой все стороны равны и углы, лежащие на описанной около нее окружности, равны.
Определение 2. Радиусом звезды называется отрезок, соединяющий центр звезды с ее вершиной, лежащей на описанной около звезды окружности.
Определение 3. Лейлаграммой называется часть круга, полученная удалением правильной п-угольной звезды из круга.
А теперь хочу представить свои формулы в виде теоремы и следствий, вытекающих из нее.
Теорема Сапралиевой Лейлы
Теорема 1. Площадь правильной п-угольной
звезды, радиуса Р равна:
с „2 » 1№" ко" 5 = к ■ ■ £д--гам-
■и и
Доказательство:
Возьмем окружность радиуса R и впишем в нее правильную п-угольную звезду.
Площадь правильной п-угольной звезды будем находить, как разность между площадью вписанного в окружность правильного п-угольника и «п» площадями ДAFB.
(ДAFB = ДВЕС = ...
= ДDNA по третьему признаку равенства треугольников, а следовательно SДA FB = SДвEc ...= SДDNA).
Выразим площади правильного п-угольника и ДАРВ через радиус Р описанной окружности. Из-
вестно, что
Я =
радиус описанной окружно-
т = ■
сти, зФ^г радиус вписаннои окружности, где а - сторона правильного п-угольника, тогда площадь правильного п-угольника равна:
1 к о
и ■ а2
г - щж щш: щж
, 1во 1301 1 „ т
= НЯЖК--— == -кйяп—
к п 2 а я АЯ
Из ДАРВ имеем:йи(.]за--^} ^^ , тогда
АР =-^
™ ¡г1 г—. . «««с
Г,у - I-V- — - II [-&--V I*.(тг^ - V'' --4-I
¡4 як2— - 4 як2— ■ ем2— = -
\1 п 31 к .
Итак: 1
Г
-: я-т2^1
.....=
ТЧ-1-"'ИГ
'™■;■ МУ ' "
Тогда площадь правильной п-угольной звезды равна:
1 ■ ■ ■ ■ ч1п'—
Ь»_. 14 ■ _!■> и * с->т>_ ГШ_.
1 = -ийЯИ--П Ц--ЗИП-ЯП--{И--п ■ И
. „2, ИГ Ш
= ПК 21П--1--( = ПК ||--€03-
Что и требовалось доказать. Следствие 1 из теоремы: Площадь лей-
лаграммы равна ' -
Доказательство: Определение: Лейлаграммой называется часть круга, полученная удалением п-угольной звезды из круга. Тогда
п к V а п > 1
что требовалось доказать.
Следствие 2. Площадь пятиугольной звезды равна ЛR2, где Л=1,12 постоянная Лейлы.
Доказательство:
5 = а>&¥ = &■ 0,7265 ■ 0,- йг = 1Д2Яг =
, что требовалось доказать. Следствие 3. Периметр п-угольной звезды ра-
вен 2ий ?
Т.к.
Доказательство:
3
2
АР =
sin
3iC
n
=
asiniS..™^
Я it
и n*.
= лЧ' —
сле-
180
довательно ^ - я , что требовалось до-
казать.
Более 350 лет математики доказывали теорему Ферма. Наконец Эндрю Уайлс в 1994 году доказал ее. Предлагаю свое самое простое и самое короткое доказательство теоремы Ферма.
Докажем, что уравнение х п + у п = z п не имеет решений при х, у, z, п принадлежащих множеству натуральных чисел, причем п>2.
Пусть х = х, у = х + а, z = х + а + Ь, где а , Ь -натуральные числа, тогда уравнение примет вид: х п + (х + а) п = ((х + а) + Ь) п
С помощью бинома Ньютона разложим правую часть уравнения, получим:
п 1Щ-1)
хп + (х + а)п = (х + а)п + 1: (х + а)П"1 Ь + 21 (х + а)п"2 ■ Ь2 + пог-1)-оъ-2) + ЗЁ (х + + а)п3 Ь3+...+Ьп
Упростим, получим: К
хп = II (х + а) п"1ь + " пръ- 1)-дг-2)
■ (х + а) п-3 ■
Г&1-1)
2i ■ (х + а)п_2 ■ Ь2 +
3i • (x + a) n-3 -b3+...+ bn
Перенесем bn влево, получим: П
(x + a) n-2 • b2 +
хп-Ьп= II (х+ а) п1Ь + 21 тгрг -1) ■ дг - 2)
31 (х + а) п-3 Ь3+...
Полученное уравнение имеет решение только при х = - а и Ь = а в том случае, если п - четное и при х = - а, Ь = - а, если п - нечетное, но х, а, Ь принадлежат множеству натуральных чисел, значит данное уравнение не имеет решений в натуральных числах, что и требовалось доказать.
A new formula in math. A short proof of Fermat's
Sapralieva L.R.
Gymnasium №1 of the city of Nazran
The paper proposes new mathematical formulas derived by the author, one of which simplifies the solution of cubic equations. If we solve the cubic equation in traditional ways, then after the selection of one root, we have to decompose the cubic four-factor into multipliers, dividing the area, it takes a very long time. Using the proposed formula, you can immediately find the other two roots of the cubic equation after the selection of the first root. Another formula expresses the area of a regular n-carbon star. With the help of this formula, knowing only the radius of the star, you can quickly calculate the area of any proper star, pentagonal, hexagonal, etc. Also considers the implications of theorems that allow to find the correct perimeter of the square shapes, which are obtained after removal from the circle of the correct stars. The article considers the shortest proof of Fermat's theorem. All formulas belong to the author of the article.
Key words: cubic equation; the correct n - coal star; salagrama, Fermat's last theorem.
Заключение.
Полученные мною формулы, позволяют вычислять, в считанные секунды, площади и периметры любых п-угольных звезд. Думаю, что эти формулы упростят расчеты в строительстве, в производстве и в нашей обыденной жизни.
