CC BY
28УДК 330.42+519.83
НОВЫЕ АВТОРСКИЕ КОМПЬЮТЕРНЫЕ МОДЕЛИ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ОДНОРОДНОЙ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАННОЙ ДУОПОЛИИ
В.А. Коршунов
Аннотация. В статье дан краткий обзор преимуществ разработки программ Duopoly2 и Duopoly3 (компьютерных моделей дуопольных рынков двух типов) средствами Visual Basic Application в среде электронных таблиц EXCEL, разъясняемый формулировками математических моделей и примерами основных визуальных отображений, генерируемых программами.
Ключевые слова: однородная дуополия, дифференцированная дуополия, биматричная игра с четырьмя чистыми стратегиями, динамика игры.
MORE NEW COMPUTER MODELS FOR STUDIES OF HOMOGENEOUS AND DIFFERENTIATED DUOPOLY
V.A. Korshunov
Abstract. The article gives a brief overview of the advantages of developing software Duopoly2 and Duopoly3 (computer models of two types of duopoly markets) using Visual Basic Application in the EXCEL spreadsheet environment, explained by the formulations of mathematical models and examples of the main visual displays generated by programs.
Key words: Homogeneous duopoly, differentiated duopoly, bimatrix game with four pure strategies, game dynamics.
На пересечении исследований математической экономики и теории игр находится предметная область продуктовых рынков нескольких, прежде всего, - двух, продавцов, представленная различными математическими моделями дуополии. В предлагаемой статье указаны как общие установки, так и основные методические различия в компьютерных моделях, созданных автором ранее, в 1995-2002 гг. («Дуополия с выбором выпуска или цены», Duopoly), и в настоящее время (2016-2017 гг.): «Дуополия с управлением выпусками», (Duopoly2) и «Дуополия с управлением ценами», (Duo-poly3). Предметная область действия программ Duopoly, Duopoly2 и Duopoly3, охватывающая два из трех типов моделей дуополии, указана в табл. 1.
Таблица 1
Предметная область применения авторских программ Duopoly, Duopoly2 и Duopoly3 (в ячейках 1.1 и 2.2) и ее экономико-математическое окружение
Типы дуопольных рынков и математических моделей Количественная дуополия (управление выпусками) Ценовая дуополия (управление ценами)
Однородная дуополия (товары-заменители у обеих фирм) 1.1. Базовая математическая модель - дуополия Курно (с одинаковой ценой на оба товара) (Duopoly и Duopoly2) [1] - [12] 1.2. Базовая математическая модель «ценовой войны» -классическая дуополия Бертрана [1], [9], [12]
Неоднородная дуополия (по одному несовпадающему товару у каждой фирмы) - 2.2. Базовая математическая модель - модифицированная дуополия Бертрана (Duopoly и Duopoly3) [1] -[3], [8] - [11]
Структура управления параметрами моделей остается двухуровневой:
1. На верхнем уровне разыгрывается динамическая (до восьми ходов) биматричная игра с четырьмя чистыми стратегиями, то есть для каждого хода имеется возможность формирования конкретной смешанной стратегии (или сохранения стратегии, сформированной на предыдущем ходе).
2. На нижнем уровне реализуется покоординатное дискретное (по одному полуходу) движение модели дуопольной системы:
- сходимость к любой из 16-ти точек равновесия;
- расходимость;
- различные циклы.
В 2003 г. отставание от непрерывного роста возможностей аппаратной базы персональных компьютеров и выпуска все новых версий операционной системы Windows не позволило автору и дальше поддерживать работоспособность программы «Дуополия с выбором выпуска или цены» (Duopoly) [6]. Однако полученные математические формулы сходимости к различным точкам равновесия, проверенные при работе компьютерной модели, позволили
ему вернуться к их компьютерному моделированию уже в принципиально другой среде программирования, чем Borland Pascal, а именно
- в среде процессора электронных таблиц (EXCEL).
Известно, что процессоры электронных таблиц обеспечивают разработчикам контролируемость («прозрачность») вычислений. Поэтому автору, при выполнении в 2016-2017 гг. программы работ по воссозданию компьютерной модели однородной и дифференцированной дуополии, удалось разбить ее на следующие основные этапы:
- доработка математической модели: формул как 16-ти равновесных статических решений биматричной игры двух фирм, так и оптимальных динамических стратегий сходимости к этим точкам равновесия;
- перевод математической модели с языка математических формул на язык формул (не специальных встроенных функций) электронных таблиц (EXCEL), легко поддающихся проверке, и построение графиков динамики игры как на плоскости выпусков, так и на плоскости прибылей обеих фирм;
- программирование на языке Visual Basic Application (VBA) в среде электронных таблиц (EXCEL), обеспечивающее реализацию динамической игры двух лиц (в качестве руководителей фирм) либо аналитический прогноз развития одной фирмы с учетом возможных действий фирмы-конкурента.
Принципиально новым в этой разбивке работ по стадиям является наличие второго этапа. Вместо хранения числовых данных в многочисленных, никак не связанных между собой (вне работы программы Duopoly) текстовых файлах, как это было ранее, при использовании автором в 1995-2002 гг. среды программирования Borland Pascal, при реализации нового подхода числовые данные не только хранятся, но и частично обрабатываются (при построении графиков функций), в рабочих листах того же EXCEL-файла, где хранятся и программные модули VBA, и тексты для обработки диалоговых окон (VBA-форм, разработанных автором). Основные различия в авторских программах для персональных ЭВМ ([6] - [8]) приведены в табл. 2.
Общую постановку задачи дуополии с управлением выпусками можно кратко сформулировать следующим образом [1] - [5], [7], [9] - [12]. Отрасль состоит из двух фирм, которым известна обратная функция спроса
Таб.тща 2
Основные различия в авторских программах для персональных ЭВМ [6; 8]
Показатели программы для ЭВМ Программа для ЭВМ «Дуополия с выбором выпуска или цены» (Duopoly), 1999-2002 [2], [5] - [6] Программы для ЭВМ «Дуополия с управлением выпусками» (Duopoly2) и «Дуополия с управлением ценами» (Duopoly3) [7—8]
Операционная система (ОС) MS DOS (Windous 3.1) Windous 7.0
Основное различие ОС, используемое авто-ром Однооконная Многооконная
Язык программирования (ЯПр) Borland Pascal Visual Basic Application на базе MS EXCEL 2013.
Основное различие ЯПр, используемое автором He является языком ООП Язык объектного ориентированного программирования (ООП)
Способ хранения данных В многочисленных, не связанных друг с другом вне программы, текстовых файлах В рабочих листах того же самого EXCEL-файла, где хранятся и программные модули, и тексты обработки диалоговых окон
Поддержка дуополии как биматричной игры с правом 1-го хода у 2-го игрока Отсутствует [2] Реализована; по уровню детализации полностью аналогична игре с правом 1-го хода у 1-го игрока
Размещение плоскости прибылей обеих фирм На одном и том же экране, что и плоскость выпусков фирм [2], [6] В отдельном экранном окне
Две прямые линии реакции фирмы, применяющей стратегию ценового лидерства по Штакельбергу в ответ на кооперативную стратегию другой фирмы Отсутствуют на плоскости цен за товары обеих фирм [2], [5], [6] Эти две прямые линии реакции фирмы показаны на плоскости цен и на плоскости выпусков обеих фирм (пунктирными прямыми зеленого цвета)
Максимальное число точек, выводимых программой на плоскости прибылей фирм 6 (шесть) [2], [5], [6] 16 (шестнадцать) в соответствии с четырьмя чистыми стратегиями у руководства каждой фирмы
Траектория перемещения точки текущих значений прибыли обеих фирм на каждом ходе игры Траектория отсутствует. Изображено маркером лишь последнее текущее положение этой точки Траектория реализована в форме пунктирной линии черного цвета со стрелкой на конце
Возможность смены значений параметров игровой модели на любом ходе игры, наряду со сменой стратегий фирмами Эта возможность обеспечена явно, что затрудняет восприятие и применение программы, нарушая принцип «семь плюс-минус два» Только в начале очередной игры. Преемственность игры достигнута тем, что дана возможность стартовать из той точки на плоскости выпусков, где была завершена прежняя игра
Р = а - Ь (д, + д) (1)
Затраты каждой фирмы - линейно-квадратичные функции вида
Ог = ог q. + С- q2 + dг (2)
где с. и е(х - ставки переменных затрат, d г - постоянные затраты, г = 1,2.
Вывести формулы для управляемых параметров (выпусков) д() и д() из условия некооперативной максимизации прибыли П .((;д являющейся непрерывной функцией выпусков и, одновременно, дискретной функцией времени. Система, полученная из необходимых условий оптимальности выпусков однородного товара, продаваемого фирмами по одинаковой цене, имеет вид:
q,
ci bq2
, , r „ ,
+ co,
(3)
b x [2 + W} + ^ b X [2 + W} + ^
C2 bq,
2 dq dq,
b x [2 + + cm b x [2 + ■—] + cm
L dq2 r 02 r dq2 02
Ранее, при разработке компьютерной программы Duopoly (1995-2002), автор ошибочно предположил количество предположительных вариаций равным числу чистых стратегий фирм, что соответствовало и графикам в учебной литературе [11]. Например, для значений параметров игры {а = 18,0; b = 1,0; с, = с2 = 1,0; d1 = d2 = 1,0; с01 = 0,50; с02 = 0,40; е = 0,05} и начальных данных {q,(0) = 0,0; q2(0) = 0,4} учебная компьютерная программа Duopoly пошагово выдавала (при выборе кооперативных стратегий) к пятому ходу игры визуальное отображение, представленное на рис. 1. На рис. 1 видно, что на плоскости выпусков изображены восемь (четыре пары - по числу чистых стратегий, которыми располагают руководители фирмы).
При разработке программ Duopoly2 и Duopoly3 эта ошибка устранена: добавлена пятая пара прямых реакции фирм (рис. 2), так как значения предположительных вариаций как выпусков, так
Рисунок 1. График программы Duopoly при с01 ф 0, с02 ф 0 [2]
Рисунок 2. График программы Duopoly2 при с01 ф 0, с02 ф 0 [7]
Диаграмма прибылей фирм при прав« 1-го хода 1-й фирмы
Геометрическаяфорыа матрицы прибылей фирм (право 1-го хода у 1-го игрока) ■ равновесие Курно О Штакельберга. 2Ф - стратеги* Курно
68,9, s\ ♦ 1Ф - стратегия Курно, 2Ф - Ш'акельбе рта
♦ равновесие Итакельберга
* А Няпитпеги= по Ьяумгпу
■ 13)- upaitiии 6dYNUid. 2<t - Lipcieiли Курю
о 1Ф стратегия Кураю, 2Ф стратегия Боуыола
Н- д 1Ф- Ьа/мопа. 2Ф - Шгакегьзерга А 1Ф-LUidf.aibGepia. 2Ф-Еа/иша ♦ Кооперативно« разное «сие К 'Ф - стратегия Курно. 2Ф - кооперации
2 О. >>
9 ч ч
'5
1 1Ф-стратегия кооперации. 2Ф-Курно
"А '(Ь - Шта<»льберга, 2Ф - кооперации ♦ '1Ф - коогерашм. 2Ф- ЛЛакэпьбергз '
к а. <
4 ~k > * д 1Ф-Баумога, 2Ф - кооперации
ч 1 A 1D- кооперации, 2Ф - Баумэлэ
< я ч V
«Линия реакции Курю прлбьли 1-й фирмы -Линия реакции Курю прибьли 2-я фирмы ——' -Пиния рйЧПртП П1 Ьяумгпу 1-й фирмы
Ь _ _ - - е
-Лшил кооиер. рса<ции грнбшюн 1 й фирмы —* -Линия коопер. рса<ции грлЬылеи 2-й фирмы —Лииаиан |инии динамики и ры
----В 9 и .9 н Приб .9 31 л ЛЬ 1-й .9 зирмь «9- Я .9 —Й .9"
Для показа диаграммы в окне кликните на нём II-■ 11 на пустом месте формы г—-----
(С) Коршунов В.А., 2016 г. 1-й нолутод - лнння динамики игры синим, 2-й - красным | Закрыть диаграмму
Рисунок 3. Восемь ходов (черным пунктиром и маркерами для координат текущего хода) динамической игры на плоскости прибылей: «зигзагообразная» сходимость к точке совместного применения обеими фирмами кооперативных стратегий [7]
и цен на товары, фирмы, применяющей стратегию Штакельберга, различны в ответ на кооперативную либо на одну из трех чистых некооперативных стратегий другой фирмы (см. 8-ю строку табл. 2).
На рис. 2 видно, что на плоскости выпусков имеется пять пар прямых линий реакции, а кроме того, ломаная линия динамики игры при смене фирмами кооперативных стратегий на стратегии Штакельберга дважды оканчивает один из полуходов на соответствующих прямых.
Новым преимуществом программ Duopoly2 и Duopoly3, основанном на использовании свойства многооконности операционной системы Windows 7.0, является реализация возможности вывода всех 16-ти точек прибылей фирм (при розыгрыше чистых стратегий) в отдельном экранном окне (рис. 3).
При анализе рис. 3 видно, что динамика игры на плоскости прибылей, на которой также отмечены некоторые линии реакции прибылей фирм, полностью соответствует динамике игры на плоскости выпусков.
При разработке программы Duopoly3 автор реализовал те же принципиальные методические подходы, что изложены выше, но уже на основе другой математической модели (см. ячейку 2.2 в табл. 1).
В сжатой форме общую постановку задачи дуополии с управлением ценами можно сформулировать следующим образом [1] - [3], [8], [9] - [11].
1. Спрос на продукцию каждой фирмы - линейная функция вида
Я1 = к1 - / х Р1 + §1 х Р2 (4.а)
Ч2 = К + §2 х Р1 + /2 х Р2 (46
2. Функции затрат обеих фирм - линейные
01 = с. х д. + d. (5)
где с. - ставки переменных затрат, d . - постоянные затраты, 1 = 1,2.
Вывести формулы для управляемых параметров (цен) Р и Р/0 из условия некооперативной максимизации прибыли П.{(;Р являющейся непрерывной функцией цен и, одновременно, дискретной функцией времени. Система, полученная из необходимых условий оптимальности цен на товары фирм, имеет следующий вид:
Р1 = ■
дР2
Ь1 + [/1 - §1 л-- ] С дР
дР2
2 /1 - 81 -Р-,
дР1
Н2 + [/2 - §2 —I С2
Р 2 = ^
дР
дР1 2 /2 - §2 -д-Р-1
+
+
§2 Р2
дР2 2 /1 - §1 -—р
(6)
§2 Р,
дР1 2 /2 - §2 -д-Р-1
Возможность вывода траектории перемещения точки текущих значений прибыли обеих фирм на каждом ходе игры на фоне постоянных (то есть не зависимых от выбора фирмами стратегий) 16-ти
Рисунок 4. График сходимости цен к точке ценового лидерства по Штакельбергу [2]
Рисунок 5. Первый полуход четвертого хода динамической игры на плоскости цен [8]
Рисунок 6. Первый полуход четвертого хода динамической игры на плоскости выпусков [8]
Рисунок 7. Четыре хода (черным пунктиром и маркерами для координат текущего хода) динамической игры на плоскости прибылей: сходимость к точке кооперации фирм [8]
точек прибылей фирм (при розыгрыше чистых стратегий) в отдельном экранном окне проявляется для модели дифференцированной дуополии с управлением ценами особенно ярко.
Например, для данных {f =f2 = 2,0; g1 = g2 = 1,0; h1 = h2 = 12,0; с1 = 1,0; с2 = 0,5; d1 = d2 = 20,0; P(0) = 8, 5; P2(0) = 9,5} ранее, в диалоге с программой Duopoly, автором было получено изображение, показанное на рис. 4.
Для почти тех же значений начальных данных {f = 2,04; f2 = 1,93; g = 1,02; g2 = 0,97; h1 = 12,12; h2 = 11,92; с = 0,94; с2 = 1,08; d1 = 20,20; d2 = 19,09; P (0) = 2,25; P2(0) = 2,50} в диалоге с программой Duopoly3, автор получил визуальные отображения, показанные на рис. 5-7. На рис. 5 видно, что на плоскости цен имеется пять пар прямых линий реакции вместо ранее ошибочно отображаемых четырех.
Дополнительной новизной для компьютерной модели, описываемой формулами (4)-(6), реализуемой программы Duopoly3, является вычисление и геометрическое отображение промежуточных значений - выпусков - на одноименной плоскости, показанной на рис. 6.
В учебном процессе возможны формулировки специальных заданий с учетом дополнительных ограничений на производственные мощности или платежеспособный спрос.
Библиографический список
1. Гальперин В.М., Игнатьев С.М., Моргунов В.И. Микроэкономика: в 2 т. Т. 2. / Общ. ред. В.М. Гальперина. СПб., 1997.
2. Горшков А.Ф., Евтеев Б.В., Коршунов В.А. Титов В.А., Фролов Е.Б. Компьютерное моделирование менеджмента: учебное пособие / под ред. Н.П. Тихомирова. М., 2004. (Глава 1. Моделирование товарных рынков [Коршунов В.А.]).
3. Гребенников П.И., Леусский А.И., Тарасевич Л.С. Микроэкономика / общ. ред. Л.С. Тарасевича. СПб., 1996.
4. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. М., 1975.
5. Коршунов В.А. Математические модели Курно и Штакельберга для компьютерной деловой игры «Дуополия с назначением выпуска» // Экономика и технология: межвузовский сборник научных трудов. Ч. 2. М., 1997.
МОСКОВСКИЙ ФИНАНСОВО-ЮРИДИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МФЮА
6. КоршуновВ.А. Дуополия с выбором выпуска или цены (Duopoly), версия 2.0: реферат программы для ЭВМ // Официальный бюллетень Роспатента «Программы для ЭВМ. Базы данных. Топологии интегральных микросхем». 2002. № 3 (40) Ч. 1.
7. Коршунов В.А. Дуополия с управлением выпусками (Duopoly2): реферат программы для ЭВМ // Официальный бюллетень Роспатента «Программы для ЭВМ. Базы данных. Топологии интегральных микросхем».
2016. № 10. Свидетельство о регистрации № 2016661150 от 03.10.2016. URL: http://www1.fips.ru/Archive/EVM/ (дата публикации: 20.10.2016).
8. Коршунов В.А. Дуополия с управлением ценами» (Duopoly3): реферат программы для ЭВМ // Официальный бюллетень Роспатента «Программы для ЭВМ. Базы данных. Топологии интегральных микросхем».
2017. № 5. Свидетельство о регистрации № 2017615645 от 19.05.2017. URL: http://www1.fips.ru/Archive/EVM/ (дата публикации: 20.05.2017).
9. Методы оптимальных решений в экономике и финансах. Практикум: учебное пособие / под ред. В.М. Гончаренко, В.Ю. Попова. М., 2016.
10. Пиндайк Р., Рубинфельд Д. Микроэкономика / научн. ред. В.Т. Борисович, В.М. Полтерович, В.И. Данилов. М., 1992.
11. Хэй Д., Моррис Д. Теория организации промышленности: в 2 т. Т. 1. СПб, 1999.
12. Челноков А.Ю. Теория игр: учебник и практикум для бакалавриата и магистратуры. М., 2016.
В.А. Коршунов
кандидат технических наук, доцент доцент кафедры общематематических и естественнонаучных дисциплин
Московского финансово-юридического университета МФЮА E-mail: vak_mfua@mail.ru
