CC BY
20УДК 330.42+519.83
ВКЛЮЧЕНИЕ ЗАВИСИМОСТИ ОТ СТРАТЕГИИ КООПЕРАЦИИ ИЛИ МАКСИМИЗАЦИИ ВЫРУЧКИ В МОДЕЛЬ НЕОДНОРОДНОЙ ЛК-ДУОПОЛИИ С УПРАВЛЕНИЕМ ЦЕНАМИ
В.А. Коршунов
Аннотация. На основе математического моделирования ценовой дуополии с линейно-квадратичной функцией затрат, в диалоге с авторской компьютерной программой LQ-Duopoly3 исследована геометрия прямых линий реакции на плоскости цен при выборе одной из фирм стратегии кооперации или Баумола (максимизации выручки), а другой фирмой - стратегии ценового лидерства по Штакельбергу. В процессе исследования установлена разреженная форма биматриц: предположительных вариаций цен, цен и выпусков товаров, прибылей фирм.
Ключевые слова: линейно-квадратичная модель дуополии, разреженная биматрица предположительных вариаций цен, линии реакции, точки равновесия.
INCLUSION OF DEPENDENCE ON THE STRATEGY OF COOPERATION OR MAXIMIZATION REVENUES TO THE MODEL OF A DIFFERENTIAL LQ-DUOPOLY WITH PRICE CONTROL
V.A. Korshunov
Abstract. On the basis of mathematical modeling of the price duopoly with a linear-quadratic cost function, in the dialogue with the author's computer program LQ-Duopoly3, the geometry of direct reaction lines on the price plane one of the firms of the strategy of cooperation or Baumol (revenue maximization), and the other firm - the price leadership strategy for Stackelberg. In the process of research, a sparse form of bimatrix is established: presumed variations in prices, prices and releases of goods, profits of firms.
Keywords: linear-quadratic model of the duopoly, sparse bimatrix of presumed variations in prices, reaction lines, equilibrium points.
Среди различных классов экономико-математических моделей важное методологическое значение исследователи отводят моделям олигополии с управлением ценами [4], [10], [13]-[14], [20]-[21], в частности, моделям ценовой дуополии [1], [5], [7]-[9], [11], [14]-[15], ([21], с. 16-25), ([22], т. 1, с. 166-167), [26].
Предметная область применения авторских компьютерных реализациях биматричных моделей дуополии: 1) в 1995-2002 гг.
cjb
МОСКОВСКИЙ ФИНАНСОВО-ЮРИДИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МФЮА
программы учебного назначения «Дуополия с выбором выпуска или цены», Duopoly [10; 11] - (на языке Borland Pascal), и 2) в 2016-2017 гг. аналогичных программ: а) «Дуополия с управлением выпусками», (Duopoly2) ([11], с. 234-236) и б) «Дуополия с управлением ценами», (Duopoly3) ([11], с. 237-240) - на языке Visual Basic Application (VBA) в среде электронных таблиц EXCEL [19] - охватывающая два из четырёх типов дуополии, указана в таблице 1.
Таблица 1
Предметная область использования авторских программ Duopoly, Duopoly2, Duopoly3 и LQ-Duopoly3 (в ячейках 1.1 и 2.2) и её экономическое окружение
Типы дуопольных рынков и математических моделей Количественная дуополия (управление выпусками) Ценовая дуополия (управление ценами)
Однородная дуополия (один товар или товары-заменители у обеих фирм) 1.1. Базовая математическая модель -дуополия Курно (с одинаковой ценой на оба товара) (Duopoly и Duopoly2) [3], [5]-[6], [11]-[12], ([21], с. 10-15), [26] 1.2. Базовая математическая модель «ценовой войны» - классическая дуополия Бертрана [1], [5], [8]-[9], [14], [21, с. 16]
Неоднородная дуополия (по одному несовпадающему товару у каждой фирмы) 2.1. Базовая математическая модель - дуополия Курно (с различной ценой на каждый из двух товаров) [2, с. 53-62, 68-72] 2.2. Базовая математическая модель - модифицированная дуополия Бертрана (Duopoly; Duopoly3 и LQ-Duopoly3) [5], [7], [11], [14], [15], ([16], с. 354-356), ([21], с. 24-25), ([22], т. 1, с. 166-167)
План моделирования (прежде всего, - на промежуточном этапе перевода математической модели на язык формул электронных таблиц (EXCEL) и построения графиков динамики игры как на плоскости цен, так и на плоскости прибылей обеих фирм) был основан, в том числе, на цепочке «обратных рассуждений»: 1) для изображения на каждой из плоскостей (цен товаров; выпусков; прибылей фирм) в форме EXCEL-диаграммы,
<jb
МФЮА МОСКОВСКИЙ ФИНАНСОВО-ЮРИДИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
необходимо заполнить данными, вычисленными по формулам модели, на отдельных рабочих листах EXCEL (двух для программы Duopoly2 и трёх для программ Duopoly3 и LQ-Duopoly3) пары двумерных массивов, соответствующих разделению биматрицы игры двух фирм на две матрицы, размерности 4 на 4 каждая: 1.А) две матрицы равновесных прибылей фирм, в каждой из которых вычислены 16 значений координат точек равновесия, откладываемых на EXCEL-диаграмме по горизонтальной оси, а в другой - по вертикальной оси; 1.Б) предварительно вычислить - для программ Duopoly3 и LQ-Duopoly3 - значения двух матриц равновесных выпусков, зависимых, согласно формуле (1), от равновесных цен на эти товары; 1.В) предварительно вычислить значения двух матриц равновесных цен на товары обеих фирм;
2) для обеспечения пункта «1» плана удобно предварительно использовать - в качестве наглядной карты - биматрицу предположительных вариаций (выпусков либо цен), впервые предъявленную автором в статье [12] (для расширенной дуополии Курно);
3) к моменту составления биматрицы предположительных вариаций цен вывести (из попарно совместных необходимых условий оптимальности цен) формальные выражения для ненулевых вариаций.
Реализация изложенного плана моделирования привела автора к переосмыслению понятия «стратегия Штакельберга», частично отображённому в [11; 12].
Первоначально, в 1995-2003 гг., следуя установкам доступной ему в то время литературы, автор этой статьи разделял представление о том, что объём понятия «стратегия Штакельберга» совпадает с понятием «стратегия максимизации прибыли г-й фирмы» на основе (безразлично принуждения или прогноза) применения к-й фирмой-конкурентом стратегии Курно (для дуополии выпусков) или Бертрана (для неоднородной дуополии цен) [3; 5, 10; 11; 21].
На нижнем структурном ровне постановку задачи дуополии с управлением непрерывными функциями P1(i), P2(0 цен в дискретном
МОСКОВСКИМ ФИНАНСОВО-ЮРИДИЧЕСКИИ УНИВЕРСИТЕТ
времени = 0, 1, 2, ..., Т} можно сформулировать таким образом [3; 7, 10; 11; 21, с. 31 - 37].
1. Спрос на продукцию каждой фирмы - линейная функция вид
(1а) (1.Ь)
2. Общие затраты i-й фирмы - линейно-квадратичные функции от выпуска
с, (Ч,■;/) = [у]х Ч1, (/? А;/) + С,.хд, (/>;Р2;г) + 4
(2)
где с. - линейные ставки переменных затрат /-й фирмы; и сд. - квадратичные ставки переменных затрат /-й фирмы; d - постоянные затраты /-й фирмы; / = 1,2.
Выручка (оборот, продажи) /-й фирмы - линейная функция от её выпуска и цены на товар /-й фирмы:
Прибыль П(^; /-й фирмы есть разница между выручкой и затратами
Найти формулы для управляемых параметров Р1(^)>0, Р2(0>0 из необходимых условий как для некооперативной, так и кооперативной максимизации прибыли.
Метод решения задачи - нахождения формул для: а) пары координат прямых линий реакции /-й фирмы на функционирование к-й фирмы, б) точек равновесия (сходимости) для всякой пары заявленных стратегий, в) динамической траектории цен, отображающей пару смешанных стратегий от нулевого до текущего хода игры, состоящей из отрезков, параллельных осям координат плоскости цен, - основан на составлении и решении пар дифференциальных уравнений первого порядка. Если, например, /-я фирма выбирает стратегию Баумола (максимизации выручки) [24], [6], а к-я фирма - стратегию кооперации, то для выполнения совместных условий оптимальности цен, пара дифференциальных уравнений примет вид:
<jb
МФЮА МОСКОВСКИЙ ФИНАНСОВО-ЮРИДИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Система, полученная, из необходимых условий оптимальности цен на товары фирм в процессе решения (1)-(4), имеет - для некооперативных стратегий - вид:
р, =
Р =
' др2~ } 1 (Cl+Voi)
/i+(1 + /A.i)x
- Á Sudp^ C01 P.
fi+(l + Ácoi)x f,
к +
_ щ
J2 8пдк
(с2 + й2с02 )
+ -
^21 + - /2 Snd^ c02 Pl
/2+(l + /2c02)x fl g21dP2,
(6)
где предположительные вариации |р- - формализуют зависимости
изменений цен на товар i-й фирмы от динамики цен на товар k-й фирмы; i = 1,2; k = 3 - i.
Формальная разница между четырьмя различными по экономическому смыслу стратегиями (Бертрана, Баумола [24], кооперации, Штакельберга) одной и той же фирмы зависит не только от 1) типа пары оптимизируемых функций (прибыли фирм либо выручки фирм, либо суммы прибылей фирм), но и от 2) значений предположительных вариаций цен на товары фирм, показанных в таблице 2.
дР
Равенство = 0 , повторенное в девяти ячейках таблицы 2,
означает независимость изменения цены на товар i-й фирмы от влияния изменения цены на товар k-й фирмы, что характеризует взаимодействие между стратегиями Бертрана, Баумола и кооперации.
Между тем, ещё в научных статьях Т. Басара (Т. Basar) и др. [23], и его последователей [25] стратегия Штакельберга подробна исследована в более общей ситуации, чем количественная или ценовая дуополия. В указанных статьях:
а) исследована дискретная динамическая система в матричной форме с двумя оптимальными регуляторами [27], каждый из которых управляем своим игроком;
МОСКОВСКИМ ФИНАНСОВО-ЮРИДИЧЕСКИМ УНИВЕРСИТЕТ
б) «обобщённая» стратегия Штакельберга в матричной форме интерпретирована как ответ игрока-лидера, при формулировании своей оптимальной стратегии заранее учитывающего формулу стратегии игрока-ведомого.
Из научных статей [23], [25] и [27] следует, что обобщённых стратегий Штакельберга может быть несколько, в зависимости от тех стратегий, которые применяет игрок-ведомый.
Ниже изложено специфическое применение сформулированного методического подхода (главное отличие в том, что решения являются не численными, а - алгебраическими) к неоднородной ценовой дуополии. Авторские подход основан на принципе: «различным формулам для предположительных вариаций должны соответствовать различные чистые стратегии в игре двух фирм на товарном рынке».
Таблица 2
Бпматрпца предположительных вариаций цен на товары обеих фирм
Стратегии 2-й фирмы | ^ = ?
Стратегии 1-й фирмы
Стратегия Бертрана
Гап,_=0
дрх
Штакельберга (в ответ на стратегию Бертрана) Стратегия
Баумола ^
дРх
Штакельберга (в ответ на стратегию Баумола) Стратегия кооперации
а(ц+п2)_0
Штакельберга (в ответ на стратегию кооперации)
Стратегия Бертрана Штакельберга (в ответ на стратегию Бертрана) Стратегия Баумола ЙН Штакельберга (в ответ на стратегию Баумола) Стратегия кооперации [а(ц+п2) 1 1 а?. Штакельберга (в ответ на стратегию кооперации)
<0;0} 1 'Л(2+А,)| {0;0} {0;0}
Ы1+/А). „1 1/2(2+/А)' \ Я^ВП]
{0;0} {0;0} М {0;0}
{«И («21 .^Д [2/2'2/1
{0;0} {0;0} {0;0} Э12[Со1]
БЩСо2] Э^Со]
<4Ь
МФЮА МОСКОВСКИМ ФИНАНСОВО-ЮРИДИЧЕСКИИ УНИВЕРСИТЕТ
В таблице 2 использованы следующие сокращения для вариаций цен.
Использование в таблице 2 не 16-ти, а 18-ти значений предположительных вариаций, то есть половины из 36-ти возможных сочетаний перечисленных стратегий матричной схемы (из шести строк и шести столбцов) отражает авторское расширение понятия «стратегия Штакельберга» (применительно и к однородной количественной, и к неоднородной ценовой дуополии), а именно:
1) метод планируемой зависимости стратегии Штакельберга может и должен быть применён не только к стратегии Бертрана (Кур-но), но и ко всякой стратегии с нулевыми предположительными вариациями (в рассматриваемых моделях - стратегии Баумола и стратегии кооперации), смешение которой с другой независимой стратегией не противоречит технико-экономическому смыслу постановки задачи;
2) поэтому вместо одного понятия «стратегия Штакельберга» введены три уточняемых понятия: а) «стратегия Штакельберга в ответ на стратегию Бертрана», б) «стратегия Штакельберга в ответ на стратегию Баумола», в) «стратегия Штакельберга в ответ на стратегию кооперации»;
3) ячейки таблицы 2, заполненные координатами с двумя нулями обозначают нулевые предположительные вариации, то есть
= ~ = одновременно;
4) пустые ячейки таблицы 2 обозначают запрет на сочетания различных стратегий Штакельберга между собой и в ответ на другие независимые стратегии;
cjb
МОСКОВСКИЙ ФИНАНСОВО-ЮРИДИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МФЮА
5) количество пар прямых линий реакции множества допустимых цен на товар i-й фирмы от множества допустимых цен на товар k-й фирмы (i = 1,2; k = 3 - i) в точности равно числу диагональных ячеек матричной схемы, предъявленной в таблице 2, то есть шести, а не четырём (как это было в математических и компьютерных моделях, разработанных автором в 1995-2002 гг.);
6) количество точек равновесия в точности равно числу непустых ячеек матричной схемы, изображённой в таблице 2, то есть 18-ти, а не 16-ти, как это было в ранних авторских математико-и компьютерных моделях 1995-2002 гг.
Из общего вида таблицы 2 можно сделать вывод, что расширенная интерпретация понятия «стратегия Штакельберга» применительно к неоднородной ценовой дуополии по аналогии с интерпретацией «обобщённой стратегии Штакельберга» приводит к преобразованию биматрицы предположительных вариаций цен из традиционной для теоретико-игровых матриц формы [18] в разреженную [17].
Так как от формы биматрицы предположительных вариаций цен зависят формы пар матриц (или биматрицы): а) цен на оба товара, б) зависимых от цен объёмов продаж (выпуска) этих товаров фирмами и в) прибылей фирм, то все три пары указанных матриц также являются теперь разреженными [17]. Порождаемые по аналогичной схеме для однородной количественной дуополии, основанной на стратегии Курно, (в изменении к [12, с. 124-125]) биматрица предположительных вариаций выпусков и пары матриц: а) значений выпусков (продаж) одного и того же товара фирмами, б) прибылей фирм, также являются разреженными.
Зависимость конфигурации прямых линий реакции на плоскости цен и на плоскости выпусков, конфигурации точек равновесия на плоскости прибылей фирм от выраженных через параметры математической модели значений предположительных вариаций цен на товары фирм, показанных в таблице 2, приведена для их конкретных значений {f1 = f2 = 2,0; g1 = g2 = 1,0; h1 = h2 = 12,0; с1 = 1,5; с2 = 1,5; d1 = 5,0; d2 = 5,0; с01 = 0,1; с02 = 0,1; P1(0) = 11,0; P2(0) = 11,0}, обобщающих значения примера из ([16] с. 354-355) ниже, на рисунках с 1-го по 5-й. Приведены прямые динамики игры, когда первые три хода игроки разыгрывают одинаковые «стратегии Штакельберга в ответ на стратегию кооперации», а на 4-м и 5-м ходах фирмы выбирают одинаковые «стратегии Штакельберга в ответ на стратегию Баумола».
<4Ь
МФЮА МОСКОВСКИЙ ФИНАНСОВО-ЮРИДИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Диаграмма цен на товары фирм при праве 1-го хода у 1-й фирмы
1 1 и> /
# 1 /
1 $ // / /
1 1 / / /
1
# 1 и- . >•
____ —
* —
1
1 1 1 /
1 11 п
V—
4,00 6,00 8,00
Цена товара 1-й фирмы
—*—Линия реакции по Штакельбергу 1-й фирмы
—»— Линия реакции по Штакельбергу 2-й фирмы
—» • Линия реакции кооперации 1-й фирмы
—• Линия реакции кооперации 2-й фирмы
- Линия реакции Баумола 1-й фирмы
-•е- Линия реакции Баумола 2-й фирмы
—- Линия реакции: 1Ф - штакельберга; 2ф -кооперации
Ломаная линия динамики игры
—*■ • Линия реакции: 1Ф-кооперации: 2Ф-
Штэкельберга —»• - 1Ф - Штак-га. реатор. На 2ф - Баумола
—2Ф - Штак-га. реагир. На 1Ф - Баумола
Для показа диаграммы в окне кликните на нём или на пустом месте формы и---------- .. -------------------1
(С) Коршунов В .А., 2016 - 2018 г.г. 1Й П0Л>"10Д"лнння Динамики игры синим, 2-й - красным Р Закрыть диаграмму])
Рисунок 1. Изображение линий реакции фирм на плоскости цен и параллельной осям линии динамики цен (после 1-го хода игры)
Диаграмма выпусков при ц
новой дуополии и праве 1-го хода у 1-й фирмы
Плоскость выпусков товаров фирм при праве 1-го хода у 1-го игрока (1-й фирмы)
■ Линия реакции Бертрана 2-й фирмы —*—Линия реакции по Штакельбергу 1-й фирь —»—Линия реакции по Штакельбергу 2-й фирь —Линия реакции кооперации 1-й фирмы —»- Линия реакции кооперации 2-й фирмы
— Линия реакции Баумола 1-й фирмы — Линия реакции Баумола 2-й фирмы о Точка Бертрана-Штакельберга о Точка Бертрана-Баумола О Точка Бертрана-кооперации о Точка Штакельберга-Бертрана о Точка Штакельберга-кооперации о Точка Штакельберга-Баумола о Точка Баумола-Бертрана о Точка Баумола-Штакельберга о Точка Баумола-кооперации о Точка кооперации-Бертрана о Точка кооперации-Штакепьберга о точка кооперации-Баумола Ломаная линия динамики игры —Линия реакции: 1Ф - Штакельберга: 2Ф -
кооперации —Линия реакции: 1Ф - кооперации: 2ф -Штакельберга_____
в-12,00 *
\ А
\ т «
А 1 1 %
*
\ 1
— ) * \
V
V г Л Д
у г5
\ % *
\ »
1 >
\ »
2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00 16,00
Для показа диаграммы в окне кликните на нём пли на пустом месте формы (С) Коршунов В .А., 2016 - 2018 г.г. 1-й полуход - лпния динамики пгры синим, 2-й -
| Закрыть диаграмму]
Рисунок 2. Изображение линий реакции фирм на плоскости выпусков и ломаной линии динамики выпусков (после 1-го хода игры)
<4Ь
МОСКОВСКИЙ ФИНАНСОВО-ЮРИДИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МФЮА
Рисунок 3. Изображение линий реакции фирм на плоскости цен и ломаной линии динамики цен (после 5-го хода) в увеличенном масштабе
Диаграмма выпусков при ценовой дуополии и праве 1-го хода у 1-й фирмы
плоскость выпусков товаров фирм и праве 1-го хода у 1-го игрока (1-й фирмы)
■ Линия реакции Бертрана 2-й фирмы —*—Линия реакции по Штакельбергу 1-й фирь —♦—Линия реакции по Штакельбергу 2-й фир* —Линия реакции кооперации 1-й фирмы —«• Линия реакции кооперации 2-й фирмы
- - - Линия реакции Баумола 1-й фирмы
— Линия реакции Баумола 2-й фирмы о Точка Бертрана-Штакельберга
о Точка Бертрана-Баумола О Точка Бертрана-кооперации о Точка Штакельберга-Бертрана о Точка Штакельберга-кооперации о Точка Штакельберга-Баумола о Точка Баумола-Бертрана о Точка Баумола-Штакельберга о Точка Баумола-кооперации о Точка кооперации-Бертрана о Точка кооперации-Штакепьберга о точка кооперации-Баумопа о^ Ломаная линия динамики игры —»■ Линия реакции: 1Ф - Штакельберга: 2Ф -кооперации
Линия реакции: 1Ф - кооперации: 2ф -Штакельберга______
• \|\ \ »
-4. и % » % % » «
1 \ \ \ V \ \\ """•«о.. » * % \
1 * * \ \ V \ л * % \ \
_____ 1
Ч < г Л-* \ \ —к_Л__ — — % % 1 * ....
Для показа диаграммы в окне кликните на нём нлн на тегом месте формы (С) Коршунов В.А., 2016 - 2018 г.г. 1-й полуход - линия дннамнкн игры синим, 2-й
Рисунок 4. Изображение линий реакции фирм на плоскости выпусков и ломаной линии динамики выпусков (после 5-го хода) в увеличенном масштабе
<4Ь
МФЮА МОСКОВСКИЙ ФИНАНСОВО-ЮРИДИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Диаграмма прибылей фирм при ценовой дуополии и праве 1-го хода у 1-й фирмы. )
( пр. 5 ВС >1 га хс аг У 1- о щ ЮР И) ♦ равновесие Штакельберга ♦ 1Ф-Штакельберга. 2Ф- Бертрана ♦ кооперативное равновесие ■ 1Ф - Бертрана. 2Ф - кооперации 1Ф - кооперации, 2Ф - Бертрана А равновесие по Баумолу ■ 1Ф - Баумола. 2Ф - Бертрана ■ 1Ф - Бертрана. 2Ф - Баумола А 1Ф-Штакельберга; 2Ф-Баумола а 1Ф - Баумола: 2Ф - Штакельберга ▲ 1Ф - Баумола; 2Ф - кооперации 1Ф - кооперация: 2Ф - Баумола
ч
У.
/
г
/
1
А
(С) Коршунов В.А., 2016 - 2018 г.г. 1-й полуход - линия динамики игры синим, 2-1 | Закрыть диаграмму !
- красным
Рисунок 5. Изображение точек равновесия на плоскости прибылей и ломаной линии динамики прибылей фирм (после 4-го хода игры)
Результаты и выводы, полученные в процессе исследования, могут быть использованы в учебных дисциплинах: 1) «Теория игр», 2) «Основы системного анализа», 3) «Математические методы исследования операций».
Библиографический список
1. Бельских Ю.А., Жуковский В.И., Самсонов С.П. Альтруистическое равновесие (по Бержу) в модели дуополии Бертрана // Вестник Удмуртского университета. Сер. Матем. Мех. Компьют. науки. 2016. Т. 26. Вып. 1. С. 27-45.
2. Варшавский Л.Е. Методологические основы моделирования развития олигополистических рынков продукции с длительным жизненным циклом (на примере рынка гражданской авиационной техники) // Прикладная эконометрика. 2010. № 4 (20). С. 53-74.
3. Васин Л.А., Нечаев Ю.В. Анализ моделей дуополии при неравных издержках участников. // Известия Тульского государственного университета. Сер. «Экономические и юридические науки». 2011. № 1-2. С. 109-116.
4. Гасратов М.Г. Математическая модель управления материальными запасами в случае ценовой конкуренции // Вестник СПбГУ Сер. 10. 2007. Вып. 3. С. 9-17.
cjb
МОСКОВСКИЙ ФИНАНСОВО-ЮРИДИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МФЮА
5. Гриценко Д.В. Динамическая эффективность равновесий Курно и Бертрана в дифференцированной дуополии в условиях конкуренции в области инновационных разработок. // Экономические науки. 2009. № 5 (54). С. 312-318.
6. ГришановаА.Д., Колычёв С.А., КлентакЛ.С. Выбор по критерию максимизации объёма продаж конкурентных по уровню качества стратегий в условиях дуополии // Вестник Самарского гос. аэрокосмического университета им. акад. С.П. Королёва. 2012. № 6 (37). С. 13-18.
7. Евтеев Б.В. Условия сходимости и оценка скорости сходимости динамической модели дуополии Бертрана с различной структурой затрат к равновесному состоянию // Экономика и технология: сборник научных трудов. Вып. 27 / РЭУ им. Г.В. Плеханова. М., 2012. С. 91-94.
8. Исаков А.Б., Исаков М.Б. Равновесие в безопасных стратегиях в ценовой дуополии Бертрана-Эджворта // Математическая теория игр и её приложения. 2014. Т. 6. № 2. 2014. С. 42-59.
9. Каверина И.А., Каверин С.В. Стратегии оптимального ценообразования в условиях олигополии с лидером // Вестник Волжского университета им. В.Н. Татищева. 2013. № 1 (27). С. 196-200.
10. Коршунов В.А. Оптимизация конкурентных стратегий на рынке ценовой олигополии: сборник научных работ. Вып. 3. По материалам 3-й научной конференции профессоров и преподавателей Института экономики и предпринимательства, 31 марта 2000 г. М., 2000. С. 86-99.
11. Коршунов В.А. Новые авторские компьютерные модели для исследования однородной и дифференцированной дуополии // Вестник Московского финансово-юридического университета МФЮА. 2017. № 2. С. 230-241.
12. Коршунов В.А. Многоуровневость и влияние параметров на конфигурацию линий реакции и точек равновесия в однородной ЛКМ-дуополии // Вестник Московского финансово-юридического университета МФЮА. 2018. № 1. С. 122-137.
13. Левина Е.А., Покатович Е.В. Конкуренция по Курно и по Бертрану: выбор стратегической переменной на примере автомобильного рынка России // Современная конкуренция. 2015. Т. 9. № 6 (54). С. 52-62.
14. Мансурова А.А., Стабулит И.С., Шунайлова С.А. Об одном гарантированном равновесии в модели Бертрана при неопределённости // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Сер. «Математическое моделирование и программирование». 2013. Т. 6. № 4. С. 48-54.
15. Нечаев В.И., Нечаева Е.С. Выбор ценовой стратегии организации в условиях дифференцированной дуополии // Известия Тульского государственного университета. Сер. «Экономические и юридические науки». 2011. № 1-2. С. 116-120.
<jb
МФЮА МОСКОВСКИЙ ФИНАНСОВО-ЮРИДИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
16. Пиндайк Р., Рубинфельд Д. Микроэкономика. М., 1992.
17. Писсанецки С. Технология разреженных матриц. М., 1988.
18. Суздаль В.Г. Теория игр для флота. М., 1976.
19. Уокенбах Дж. Excel 2010: профессиональное программирование на VBA. М., 2012.
20. ФилатовА.Ю. Модель ценовой олигополии с несовершенной эластичностью спроса // Теория и методы согласования решений. Новосибирск, 2009. С. 130-145.
21. ФилатовА.Ю., АйзенбергН.И. Математические модели несовершенной конкуренции. Иркутск, 2012.
22. Хэй Д., Моррис Д. Теория организации промышленности: в 2 т. Т. 1. СПб., 1999.
23. Basar T., Selbuz H. Closed-loop Stackelberg strategies with application in the optimal control of multilevel systems // IEEE Transactions on automatic control. 1979. Vol. AC-24. № 2. Р. 166-179.
24. Baumol W.J. Business Behavior, Value and Growth. New York, 1959.
25. Ishida T. Incentive schemes using the followers strategies in differential games // International journal of control. Japan. 1985. V. 42. № 4. Р. 839-854.
26. Simaan M., Takayama T. The application of theory games to the problems of a dynamic duopoly with restrictions on production // Automatica. 1978.
V 14. Р. 161-166.
27. Tolwinski B. Closed-loop Stackelberg solution to a multistage linear-quadratic game // Journal of optimization theory and applications. 1981.
V 34. P. 485-501.
В.А. Коршунов
кандидат технических наук, доцент
доцент Московского финансово-юридического университета МФЮА E-mail: vak_mfua@mail.ru
