Нормализация уравнений вращения твердого тела Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 534.1+531.38

Н.Н. Макеев

НОРМАЛИЗАЦИЯ УРАВНЕНИЙ ВРАЩЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Рассматриваются пространственные колебания кинетически несимметричного абсолютно твердого тела относительно неподвижной точки закрепления О около положения устойчивого равновесия в однородном параллельном поле силы тяжести. Получен алгоритм приведения линейной части системы уравнений Эйлера-Пуассона к диагональному виду и к нормальной форме по А.М. Ляпунову [1].

N.N. Makeyev NORMALIZATION OF EQUATIONS OF A ROTATION OF A SOLID BODY

Oscillations of a kineticlly unsymmetrical absolutely solid body relatively to the fixed point near the position of the stable equilibrium in the homogeneous field of gravitation is described here. Algorithm of the reduction of the line part of the system Euler’s-Poisson’s equations to the diagonal form and to the normal form of Liapunov is given in this work.

Введение

Задача приведения уравнений движения неизменяемой механической системы, вращающейся вокруг неподвижного полюса, к специальному виду (условно названная нормализацией), относится к актуальным задачам динамики твердого тела. Она сводится к представлению системы уравнений движения в нормальных (в определенном смысле) переменных к форме, предпочтительной по сравнению с другими возможными формами для более эффективного решения динамических задач. К таким задачам, в частности, относятся задачи исследования устойчивости прямым методом Ляпунова [1], а также задачи стабилизации движения, орбитальной устойчивости и ряд других.

Результаты исследований такого рода находят применение не только в динамике твердого тела, но и в теории нелинейных колебаний, квантовой механике и теоретической физике.

1. Основные предпосылки

Абсолютно твердое тело, закрепленное в идеальном (без трения) сферическом шарнире (полюсе О), колеблется около нижнего положения равновесия в гравитационном поле постоянной напряженности. Предполагается, что центр тяжести тела расположен в одной из главных плоскостей его эллипсоида инерции, отнесенного к полюсу О.

Введем правые координатные ортореперы с общим началом в полюсе О: неподвижный Го, одну ось которого направим вертикально вниз, и подвижный Г(Dz1 z2z3), оси которого направлены по главным в точке О направлениям тензора инерции тела.

Обозначим: Aj (j = 1,2,3) - собственные значения оператора инерции тела относительно

осей репера Г; ш(ю1, Ю2, Ю3) - мгновенная угловая скорость тела, заданная её проекциями на оси

репера Г; Р = М g,т1,т2,т3 - вес тела и координаты его центра тяжести, заданные в осях репера Г; 5 (^ s2, s3) - направляющий орт силового поля, направленный вертикально вниз.

вид [2]

2. Уравнения движения твердого тела

Система уравнений Эйлера-Пуассона в осях репера Г при данных предпосылках имеет

А1(Ъ1 +(А3 - А2 )ю2 ю3 = Р(т253 - т352) , (1)

51 =ю352 -ю253 (1,2,3)

В системе (1) и всюду далее (1,2,3) - символ циклической перестановки величин с данными индексами.

Динамическая система (ДС) (1) аналитически замкнута относительно

(ю ■, )(j = 1,2,3) и при известных ограничениях [2] вполне интегрируема в смысле Бура-

Лиувилля [3]. Это обусловлено существованием при данных условиях системы трех независимых первых алгебраических интегралов, находящихся в инволюции. Совокупность всех интегрируемых в указанном смысле случаев для ДС (1) образует в шестимерном пространстве параметров А■, г■ (j = 1,2,3) многообразия одинаковой коразмерности к=3.

Обозначим

1 — Ш3 т1 — 1

а1 =-, а2 = т3 — т1, а3 =-------------- ,

т т3

Ь1 = —, Ь3 = —, г2 = г12 + г22 + г32 Ф 0

т3 т1

и введем характерный параметр - частоту маятниковых колебаний тела относительно оси Оц

П = (а2—1Рг}'2 . (2)

В соответствии с принятыми условиями положим (п1, п3 )> 0, п2 = 0(г2 = о) и в силу (2) перейдем к безразмерным переменным

Р. =^—1 ю.(. = 1,2,3),т = ^г . (3)

Тогда уравнения ДС (1) в параметрах (2), (3) в канонической форме Коши примут вид

Р[= а1 Р2 Р3 — Ь3^2 ,

Р2 = а2Р3Р1 + п3¿1 —п^3 , (4)

Рз = а3 Р1Р2 + Ь^2 ,

= Р3 ¿2 — Р2 ¿3 (1,2,3) ,

где штрих обозначает дифференцирование по т.

Состояние устойчивого статического равновесия тела достигается в нижнем относительно полюса О положении Б0 (¿10,0, ¿3), в котором

0 0 г\ 0 I 0-| /г\

п351 —п1$3 = 0, п151 + п^3 = 1 , (5)

причем

2.2 1 п1 + п3 = 1 .

В силу соотношений (5) имеем 5 0 = п^ (_/ = 1,3).

Для рассмотрения колебаний тела относительно положения 5 = 50 введем вектор отклонения q ^, q2, q3) так, чтобы в окрестности этого положения выполнялось равенство

5* = 50 + q . Тогда в силу тождеств (5) ДС (4) в отклонениях примет вид

р1 = а1 Р2 Рз - ^2 ,

Р2 = а2РзРі + ПзЧї - піЧз ,

Рз = аз Рі Р2 + ^

41 = РзЧ - Р2 (пз + Чз ) ,

42 = Рі (пз + Чз)-Рз (п1 + Чі )

43 = Р2 (пі + Чі )-РіЧ-2 *

(6)

3. Диагонализация динамической системы

Под диагонализацией полной нелинейной ДС (6) здесь понимается алгоритм приведения матрицы её линейной подсистемы (ЛП) к диагональной канонической форме* Алгоритм такого рода известен [4]*

Выделим в ДС (6) ЛП и получим собственные значения её матрицы: (0,0,—і, і,—¡8, і5) * Здесь і - мнимая единица,

Ґ ,„2

5:

,2 Л

і/2

V тз

т

> о

(7)

- характерный параметр; нулевому собственному значению соответствуют простые элементарные делители.

Введем матрицу Р, составленную из соответственно размещенных собственных векторов матрицы ЛП, содержащейся в ДС (6). Она является невырожденной и имеет следующую блочную структуру

Р

Рі р2 Рз

Рі* Р4 Р2

Здесь Р■ (] = і,***,4) - блочные матрицы

Рі =

"0 пі "0 0"

0 0 , Р2 = і і

0 пз _ 0 0

—і

т

о

п,

та

п1_

т

о

п

та

Р

причем матрица р* получается из матрицы Р1 посредством перестановки в ней столбцов.

з

пз пз

Для обратной матрицы имеем

—і

Р5 2(Рі*)Т

Р2Т (Р4*)Т

5—і( Р4*)Т (Р2*)

Р5 = 25

—2

0 0 0

_п_ 0

т

т

где верхние индексы , Т - символы перестановки столбцов и транспонирования, соответственно* Матрица ЛП, содержащейся в нелинейной системе ДС (6), имеет блочную структуру

й

0 йі й2 0

где йі,й2 - блочные матрицы

" 0 — Ьз 0 " " 0 — пз 0 "

йі = пз 0 —пі , й2 = пз 0 —пі

0 ьі 0 0 пі 0

Введем вектор состояния ДС (6) Н = (Рі, р2, Рз, Чі, ч2, чз ), вектор диагональных переменных у = (уі,***, у6) и в этих вектор-функциях представим ДС (6)

н + Р (н). (8)

Здесь Р (н) - вектор-функция, компонентами которой являются суммы соответствующих нелинейных членов ДС (6)*

Линейное преобразование Н = Ру приводит ДС (8) к виду

у' = Бу + Р"1Р (Ру) , (9)

где Б = Р~1йР - диагональная матрица вида Б = diag (0,0,—і, і,—¡5, ¡5), где 5 определяется равенством (7)* Следовательно, ДС (9) является результатом диагонализации исходной ДС Эйлера-Пуассона*

Представим ДС (9) в проекциях на оси координатного репера Г* Обозначим

о 2 2,2 і

С0 = тітз5 = тіпі + тзпз , сі =-а2піпз ,

2с0

(і0)

= - (52 — і)

а.

2

2

V т т)

т 2 тз о

, С4 = — пі +----------------------пз

тз

т

и введем характерные функции

Ф(у) =і [у4 — уз2 + 5(у52 — у6 )і уі + [сіу2 + іС25—і (у5 — у6)у2(уз + у4 )

М у ) = 2 і (у4 +5у62 )— Сі [С0 у2 + (і — 5) у 5 +(і +5) у6 — 2 у5 у6]'

(іі)

+

+

і

у61 у5— 2 у61+

—2 і5уі+с(і—5) уз+с(і+5)у

уі ^уз + 2 у4 ^ + (С — і)у2 у5 — (сз + 2)у2 у6 і — 5 + ^'] уз + і(с4 — і)у

і

+---і

у 4 +

у 2 у6 + к( У) *

(і2)

С

Сз =

2

5

0

Здесь Я(у) - произвольная функция компонент у■ (} = 1,...,б) (присоединенная функция) дифференцируемая по у4, у6, и такая, что

дЯ

-= -г| 1 +-=- |у2 + с,(1 + д)1 2

ду 4

] у 2+Сі(і+5) ^2 у 6— у 5 ]

у6

(із)

дЯ

ду6

2і (сз + і)у2 — 2сіу5 + 2сі (і + 5)у6

у 4 *

С учетом соотношений (і0)-(із) ДС (9) можно представить в виде

" дф ( 10) ' ду ( ^

ут=—(Г = і,2) , у5 (^ = 4,6) *

(і4)

дух ду5

Уравнения, содержащие уз,у5, в ДС (і4) явно не представлены, поскольку переменные уз, у5 комплексно сопряжены величинам у4, у6 соответственно: уз = у4, у5 = у6 * Поэтому не представленные уравнения без затруднений могут быть восстановлены по заданным уравнениям ДС (і4)*

Таким образом, система соотношений (і0)-(і4) является ДС уравнений пространственных колебаний твердого тела относительно неподвижного полюса, выраженной в отклонениях, ЛП которой приведена к диагональной канонической форме*

4. Приведение динамической системы к форме Ляпунова

Введем матрицы

Г1 0" і Гі — і"

Л = Е + 2 N *

Е = "і 0" , N = і і — і

0 і 2 і і

Проведение вычислений показывает, что Л - матрица линейного преобразования, приводящая ДС (14) к ляпуновской кососимметрической форме [1]. Тогда матрица Ь результирующего преобразования ДС (8) в систему ляпуновской формы является неособой и имеет вид Ь=РЛ, где матрица Р представлена выше.

Матрица преобразования Ляпунова Ь для ДС (8) и её блочные матрицы Ьт(г = 1,2,3)

имеют следующую структуру

Ь

Рі Ьі Ь2

Рі* Ьз Ьі

А

0 0 і 0 00

Рп

00 і і 00

ь2 =-

2 5

0 пз-

т 0 0

0 п_

т

Ьз =

— I

Выполняя линейное преобразование Н = Ьх , где х = (хі***,х6) - вектор переменных Ляпунова, приведём ДС (8) к ляпуновскому виду*

Обозначим с5 =5 с4 — 5 и введем характерные функции

иі (х ) = (— хз х4 +5х5 х6) хі +1 сі х2 + і

(і5)

з

с2Х6 I Х2Хз

и2 (х) = (-х4 - 2с0+ 2с1 х62 + с3х2х6) х3 +

+ (х3 - х1 х3 - х2 х5 + 28с1 х5 х6) х4 + W2 (х),

и3(х) = [8(-1 - х1 + 2с1 х4) х6 + х2х4] х5 +

+ (8х5 + с5х2х3 -с1 х3х6)х6 + W3(х) .

Здесь W2(х), W3(х) - присоединенные функции, дифференцируемые по х3,х4 и х5,х6, соответ-

ственно, и такие, что

ЭW7 , ЭW7 ЭW3

—— = (х1 -1) х4, -— = х3, -— = -8х6 , (16)

Эх3 Эх4 Эх5

ЭЖ

Эх6

3 - 8 (1 + х1 - 2с1 х4) х5.

С учетом соотношений (15), (16) ДС (8) представима в ляпуновской форме

ди 1 ( 1 2 , Эи

—(р = 1,2Х х = —

Эх Эх

х'р = ^(р = 1,2), х; =^(г = 3,4) , (17)

р

,; =Эи1( р = 1,2), х =Эи 2

х'; =ЭГ3 (* = 5,6),

где функции и] (/=1,2,3) могут быть истолкованы как некоторые квазипотенциалы.

5. Комментарий

Преобразования диагонализации и нормализации, применяемые к автономным ДС, способствуют более эффективному построению интегрального многообразия этих систем в рамках поставленных интегрируемых задач динамики твердого тела.

Приведённым выше результатам можно придать определённое истолкование. Если отвлечься от конкретных физических размерностей величин у/, х/ (/=1,...,6) и соответствующих им характерных функций, то, введя в шестимерном евклидовом пространстве-времени (Я6, т) обобщенные координаты д/, такие, что /у/ или, соответственно, д; = х/ (] = 1,...,6), можно утверждать следующее.

В ДС (14), (17) величины у,; , х; являются обобщенными ускорениями по т, а функции Ф, ^, ип (п=1,2,3) - некоторыми гипотетическими аналогами кинетических потенциалов («потенциальных» функций, зависящих от обобщенных скоростей).

Таким образом, ДС (14), (17) имеют структуру, формально идентичную структуре системы динамических уравнений плоского движения материальной точки единичной массы в плоском потенциальном силовом поле ([5, с.364]). При этом данное сравнительное истолкование относится к каждой паре отдельно взятых уравнений данных систем.

Как известно [3], конфигурационным многообразием твердого тела с неподвижным полюсом является группа вращений БО (3) трехмерного евклидова пространства Я , а состояние тела (его ориентация и скорость) определяется точкой шестимерного многообразия Т БО (3) - касательного расслоения конфигурационного многообразия БО (3). Этим и определяется принятый подход к рассмотренной здесь задаче.

Система уравнений колебаний твердого тела, представленная в переменных Ляпунова, имеет предпочтение перед другими представлениями и потому, что функция Ляпунова V,

составленная в виде связки первых алгебраических интегралов ДС (17) по Четаеву [6], имеет наипростейший (канонический) вид

V(х) = |\х\\2 + (с0 -1) х22 .

Эта функция является положительно определенной квадратичной формой всех переменных при любых допустимых значениях структурно-динамических параметров твердого тела.

Рассмотрим некоторые частные случаи, следующие из полученных результатов. В

случае осевой кинетической симметрии тела вида Ах=А3 имеем а2=0, а3=-а\, т\=ш3,

8=(тх)-1/2, с0=т\, сх=с3=0, с4=1,что упрощает соответствующие выражения. В частности,

ЭЯ 1. ЭЯ 1.

Ч-=о ^у2 у6 , ^ = о ^у2 у4 . (18)

Эу 4 2 Эу6 2

При центральной кинетической симметрии тела Ах=А2=А3 имеем а■ = 0, т] = 1(] = 1,2,3), Ьг = пг (г = 1,3), 8 = 1, с0 = с4 = 1, ср = 0(р = 1,2,3,5), и упрощенные выражения принимают вид

Ф(у ) = I (- у3 + у4 + у5 - у6 ) ,

МУ ) = 2 i\ У4 + Уб2 - у1 У б ^У5 - | Уб j + у1 ^Уз + 2 У4 j - У2 У5 - 2У2 У б

У4 + У2УзУб f + ^(У) ,

U1 (x) = (- x3 x4 + x5 хб) x1 U2(x) = -(x4 + 2x22) x3 + (x3 - x1 x3 - x2 x5) x4 + W2(x)

U3 (x) = (x2x4 - x1 хб) x5 + W3 (x)

При этом в данном случае сохраняются выражения (18), а между матрицами имеют место зависимости P3 = P4, Q1 = Q2, L2 = L3.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. М.: Гостехиздат, 1950.

472 с.

2. Голубев В.В. Лекции по интегрированию уравнений движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки. М.: Гостехиздат, 1953. 288 с.

3. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1974.

432 с.

4. Смирнов В.И. Курс высшей математики: В 5 т. М.: Наука, Т.3, ч.1. 19б7. 324 с.; ч.2. 19б9. б72 с.

5. Уиттекер Е.Т. Аналитическая динамика. М.; Л.: Гостехиздат, 1937. 500 с.

6. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: Наука, 19б5. 207 с.

Макеев Николай Николаевич -

доктор физико-математических наук,

профессор, главный научный сотрудник

Института проблем точной механики и управления РАН