Нижние оценки размерности линейных кодов для технологии сотовой связи CDMA Текст научной статьи по специальности «Математика»

Дискретные функции 45

Теорема 3. Пусть 1 ^ j < i ^ 2n — 1, 1 ^ k ^ 2n — 1, а — примитивный элемент поля F2n. Если n — составное число, то существует взаимно однозначная функция f : F2n ^ F2n вида f (x) = akxi + xj.

Опираясь на результаты [2], доказана

n

Теорема 4. Если 2n — 1 имеет делитель d < —-—— — 1, то существует взаимно

2log2(n)

однозначная функция f : F2n ^ F2n вида f (y) = ауг + yj для некоторого a G F2n, 0 < j < i < 2n — 1.

Остался не исследованным вопрос существования взаимно однозначной векторной

булевой функции при простом числе n и составном числе 2n — 1, если у него нет n

делителя d < —-—— — 1.

2 log2 (n)

С использованием полученных результатов найдены все взаимно однозначные функции данного вида для всех n ^ 8. При этих же значениях n найдены все взаимно однозначные биномиальные дифференциально 4-равномерные векторные булевы функции. Посчитано количество взаимно однозначных биномиальных функций с максимальной компонентной алгебраической иммунностью при n = 4, 6. При n = 4 таких функций 10, а при n = 6 — 319 [3].

ЛИТЕРАТУРА

1. Shallue C. J. Permutation Polynomials of Finite Fields. Honours Thesis. Monash University, 2012.

2. Masuda A. M. and Zieve M. E. Permutation binomials over finite Ffeld // Trans. AMS. 2009. V.361. No. 8. P. 4169-4180.

3. Милосердое А. В. Комбинаторные свойства полиномиального представления булевой функции. Выпускная квалификационная работа бакалавра. Новосибирск: НГУ, 2017.

УДК 519.7 DOI 10.17223/2226308X/10/19

НИЖНИЕ ОЦЕНКИ РАЗМЕРНОСТИ ЛИНЕЙНЫХ КОДОВ ДЛЯ ТЕХНОЛОГИИ СОТОВОЙ СВЯЗИ CDMA1

Н. С. Одиноких

Линейный код называется кодом, сохраняющим свойство бент (SPB-кодом) для функции f, если сдвиг на любой элемент кода оставляет функцию f в классе бент-функций. В работе построены линейные SPB-коды для функций из класса Мэйорана — МакФарланда, получены нижние оценки максимальной размерности SPB-кодов для произвольной бент-функции.

Ключевые слова: линейные коды, бент-функции, коды постоянной амплитуды.

Code Division Multiple Access (CDMA) —это технология мобильной связи, основанная на кодовом разделении канала. Для оценки качества сигнала в CDMA вводится понятие коэффициента отношения пиковой и средней мощностей сигнала (Peak-to-Average Power Ratio). Многие задачи, связанные с CDMA, направлены на снижение коэффициента PAPR, так как высокие значения коэффициента ведут к необходимости использования дорогих усилителей. Векторами, на которых достигается минимальное

1 Работа поддержана грантом РФФИ, проект №17-41-543364.

46

Прикладная дискретная математика. Приложение

значение PAPR, являются векторы значений бент-функций. В связи с этим возникает задача поиска кодов, состоящих из векторов значений бент-функций. Одним из способов построения таких кодов является построение линейного кода для некоторой бент-функции f, такого, что сдвиг на любую функцию из кода оставляет функцию f в классе бент-функций. Код длины 2п называется кодом постоянной амплитуды, если все элементы кода являются векторами значений бент-функций. Линейный код длины 2п называется кодом, сохраняющим свойство бент (SPB-кодом) для функции f, если сдвиг на любой элемент кода оставляет функцию f в классе бент-функций [1]. Если C — SPB-код, то его аффинный сдвиг f ф C является кодом постоянной амплитуды. Это свойство позволяет конструировать коды постоянной амплитуды из линейных кодов.

В работе исследуются свойства бент-функций, лежащих в классе Мэйорана — Мак-Фарланда [2]. Получена нижняя оценка максимальной размерности SPB-кода для произвольной бент-функции.

Теорема 1. Пусть f — бент-функция из класса Мэйорана — МакФарланда от 2n переменных. Тогда для функции f существует SPB-код размерности 2n+1 — 1.

В [3] В. В. Ященко ввёл понятие индекса линейности для произвольной булевой функции. Любую булеву функцию можно представить в виде f (x, y) = x1^1(y) + ... + + xt^t(y) + Ф(у), x E F2, y E Fn-t. Среди всех таких представлений есть представление с максимальным t, которое является аффинным инвариантом и называется индексом линейности булевой функции.

Теорема 2. Пусть f — бент-функция, индекс линейности которой равен k. Тогда для функции f существует SPB-код размерности 2fc+1 — 1.

ЛИТЕРАТУРА

1. Павлов А. В. Бент-функции и линейные коды в CDMA // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2010. №3. С. 95-97.

2. McFarland R. L. A family of difference sets in non-cyclic groups //J. Combin. Theory. Ser. A.

1973. V. 15. No. 1. P. 1-10.

3. Ященко В. В. О критерии распространения для булевых функций и о бент-функциях //

Пробл. передачи информ. 1997. Т. 33. Вып. 1. С. 75-86.

УДК 519.212.2, 519.214 DOI 10.17223/2226308X/10/20

УТОЧНЁННЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ ЧИСЛА (n, m, к)-УСТОЙЧИВЫХ ДВОИЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

К. Н. Панков

Уточнена локальная предельная теорема для распределения части вектора спектральных коэффициентов линейных комбинаций координатных функций случайного двоичного отображения. С помощью этой теоремы получена асимптотическая формула для |R (m, n, k)| — числа (n, m, к)-устойчивых двоичных отображе-

n (1 — с)

ний в случае n ^ œ, m E {1,2,3,4} и k ^ --- для произвольного

5 + 2 log2 n

0 <с< 1, k = 0( А) :

vln n/