Независимость системы аксиом логики суждений Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

НЕЗАВИСИМОСТЬ СИСТЕМЫ АКСИОМ ЛОГИКИ СУЖДЕНИЙ

В.А. ШАЧНЕВ, проф. каф. высшей математики МГУЛ, д-р. физ.-мат. наук,

А.С. ШОЙКО, асп. каф. высшей математики МГУЛ,

Е.Н. ШОМОВА, асп. каф. высшей математики МГУЛ

В курсе лекций для физико-математических лицеев (Шачнев В.А. Логика, 2007) построена полная система аксиом с двумя законами силлогизма, импликативным и конъюнктивным, соответственно для общих и частных суждений

1. 1) X^(Y^X), 2) (X^(X^Y))^(X^Y), 3) (X^Y) ^ ((Y^Z)^(X^Z)),

2. 1) --Х^Х, 2) (Х^-Y) ^ (Y^-Х),

3. 1) X^XaX, 2) XaY^X,

3) XaY^((Y^Z)^ZaX).

В дипломной работе Шойко А. доказывалась независимость этой системы. Независимость аксиом первых двух групп была ранее доказана для двух независимых операций, импликации и отрицания. Рассмотрим здесь третью группу, определяющую конъюнкцию как третью независимую операцию. Докажем сначала независимости аксиомы 3.3), для чего определим конъюнкцию следующим образом

X 0 0 1 1 Y 0 1 0 1 XaY 0 0 1 1

XaY^X 1 1 1 1, 0^0a0 =

= 0^0 = 1, 1^1a1 = 1^1 = 1._ и две аксиомы, 3.1) и 3.2) выполняются. Аксиома 3.3) не выполняется: 1а0^((0^0)^ 0a 1) = 1^(1^0) = 1^0 = 0, и независимость аксиомы 3.3) доказана.

Докажем независимость аксиомы 3.2). Определим конъюнкцию следующим образом X 0 0 1 1 Y 0 1 0 1 XaY 0 1 1 1

XaY^X 1 0 1 1, 0^0a0 =

= 0^0 = 1, 1^1a1 = 1^1 = 1.

Здесь выполняется аксиома 3.1) и не выполняется аксиома 3.2).

При этом аксиома 3.3) выполняется: XaY^((Y^Z)^ZaX) = 1.

Докажем независимость аксиомы 3.1) Во-первых, необходимо 1^1 а1 = 0, откуда следует, что 1а1 = 0.

Во-вторых, из 0aY ^0 = 1 следует, что 0а0 = 0, 0а 1= 0. Если теперь определить 1а0 = 1, то не будет выполняться аксиома 3.3) для (X,Y,Z) = (1,0,1):

1а0^((0^1)^1а1) =

= 1^(1^0) = 1^0 = 0.

Следовательно, 1а0 = 0, и XaY=0. В этом случае аксиома 3.3) выполняется очевидно.

Вместе с тем докажем независимость аксиомы 3.1) в рамках трехзначной логики, определив импликацию как импликацию Лукашевича

X 0 0 0 1 1 1 2 2 2

Y 0 1 2 0 1 2 0 1 2 X^Y 2 2 2 1 2 2 0 1 2

Здесь конъюнкцию зададим в виде

X 0 0 0 1 1 1 2 2 2

Y 0 1 2 0 1 2 0 1 2 XaY 0 0 0 0 0 1 0 1 2

XaY^X 2 2 2 2 2 2 2 2 2 т.е. выполняется аксиома 3.2), но не выполняется аксиома 3.1),так как 1^1а1 = 1^0 = 1. Выполняется и аксиома 3.3):

XaY^((Y^Z)^ZaX) = 2, и независимость аксиомы 3.1) доказана.

Рассмотрим теперь другую систему аксиом логики суждений, полнота которой рассматривалась в дипломной работе Е. Шо-мовой:

1. 1) X^(Y^X), 2) (X^(X^Y))^(X^Y),

3) (X^Y) ^ ((Y^Z)^(X^Z)),

2. 1) --Х^Х, 2) (Х^-Y) ^ (Y^-Х),

3. 1) X^XaX, 2) XaY^X, 3) XaY^Y,

4) XaY^((Y^Z)^XaZ).

Для доказательства аксиомы 3.1) введем следующую конъюнк-цию

Х 0 0 0 1 1 1 2 2 2

Y 0 1 2 0 1 2 0 1 2 XaY 0 0 0 0 0 1 0 1 2

Для этой конъюнкции выполняются аксиомы 3.2), 3.3), 3.4). Однако аксиома 3.1) не выполняется: 1^1 а1 = 1^0 = 1, и независимость этой аксиомы доказана.

112

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2008