CC BY
335
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Докажем независимость аксиомы 3.2). Зададимся следующей конъюнкцией X 0 0 0 1 1 1 2 2 2
Y 0 1 2 0 1 2 0 1 2 XaY 0 0 0 0 1 2 0 1 2
XaY^X 2 2 2 2 2 1 2 2 2 для которой аксиома 3.2) не выполняется. Остальные аксиомы, 3.1), 3.3), 3.4) выполняются, и независимость аксиомы 3.2) доказана.
Докажем независимость аксиомы 3.3). Введем конъюнкцию
X 0 0 0 1 1 1 2 2 2
Y 0 1 2 0 1 2 0 1 2 XaY 0 0 0 0 1 1 0 2 2
XaY^ Y 2 2 2 2 2 2 2 1 2 для которой аксиома 3.3) не выполняется. Остальные аксиомы, 3.1), 3.2), 3.4) вы-
полняются, и независимость аксиомы 3.3) доказана.
Докажем, наконец, независимость аксиомы 3.4). Здесь конъюнкция X 0 0 0 1 1 1 2 2 2 Y 0 1 2 0 1 2 0 1 2 XaY 0 0 0 0 1 0 0 0 2
так что аксиомы 3.1), 3.2) и 3.3) выполняются
Невыполняется аксиома 3.4), например, для (X,Y,Z) = (1,1,2):
1a1^((1^2)^1a2) = 1^(2^0) = 1^0 = 1, или для
(X,Y,Z) = (2,2,1): 2a2^((2^1)^2a1) =
= 2^Q^0) = 2^1 = 1.
Независимость последней аксиомы доказана.
О НЕЙРОСЕТЕВОМ ПОДХОДЕ К РЕШЕНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ
В.Б. НЕТЫКШО, доц. каф. высшей математикиМГУЛ, канд. техн. наук
Исследование систем, описывающих функционирование узлов дискретной аппаратуры булевых уравнений (СБУ)
f (x)= a, i = 1, *, (1)
связанное с нахождением представлений нелинейных булевых уравнений из системы (1) в базисе арифметических операций в поле действительных чисел, является актуальным направлением в дискретной математике [6]. Его развитие обусловливается как задачами анализа СБУ, так и задачами синтеза булевых функций и различных устройств обработки дискретной информации.
К анализу СБУ относятся псевдобу-левые методы, сводящие решение СБУ к решению систем псевдобулевых уравнений или неравенств (метод разделяющей поверхности, метод замены булева равенства на линейное псевдобулево равенство с неоднозначно определенной правой частью, метод, использующий экстраполяцию булевых уравнений выпуклыми функционалами и другие). В большинстве случаев предлагаются способы построения таких систем уравнений или неравенств, что задача решения СБУ сводится к отысканию булевого вектора, минимизирую-
щего некоторую функцию и удовлетворяющего построенным ограничениям. Ограничения и функцию удобно выбирать линейными, что позволяет использовать для решения получаемой задачи хорошо разработанный аппарат линейного программирования. Значительная часть исследований, проводимых в этой области ранее, была связана с методом разделяющих плоскостей (МРП) [1, 5], основанном на сведении нелинейных булевых уравнений к равносильным системам линейных псевдобулевых неравенств, и решении последних методами линейного программирования. Линейные неравенства, лежащие в основе этих идей, могут возникать естественно, как следствие работы того или иного узла, но могут быть введены и искусственно, путем специального преобразования исходной задачи.
Вопросы решения систем линейных неравенств представляют большой практический интерес. В настоящее время не существует универсальных аналитических методов, позволяющих за приемлемое время решить произвольную действительную систему относительно дискретных неизвестных либо ответить на вопрос, совместна она или нет.
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2008
113
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Целью статьи является расширение возможностей решения систем линейных неравенств.
Рассмотрим задачу решения систем линейных неравенств (СЛН)
Li (x)§г С, (2)
где
n /-л
Lt = Z a?) Xs
s=1 ___
- линейные формы, as(i) e R, s = 1, n, д. - один из знаков «>», «>», «<», «<», c. e R, i = 1, T. Описать все решения рассматриваемой системы в общем случае является чрезвычайно трудоемкой задачей. Осуществим попытку нахождения хотя бы одного решения системы (2). Необходимо отметить, что на практике существует широкий класс задач, имеющих единственное решение. К ним относятся, в частности, многие задачи решения СБУ
Произведем преобразования (*) неравенств системы (2) следующего вида.
1. Если д.- знак «>» или «<» - умножим i-е неравенство на 1 / |с |;
2. если д - знак «>» или «<» - умножим i-е неравенство на (- (1 / |c.|)).
В результате получим новую СЛН
L( X )е,- С, (4)
где
n ...
L = Z b?n x,
s=1
- линейная форма, b,(J) = ± (as® / |c.|) e R, «±»
- в зависимости от знака неравенства (в соответствии с преобразованиями (*)), s = 1, n, s,
- один из знаков «>», «<», c' e {-1;1}, i = 1, T. Система (4) равносильна системе (2).
Систему (4) можно рассматривать как реализацию некоторой функции f, заданной как отображение
f: Rn+1 ^ {0;1}
по следующему правилу
f (У )=
0, еслп Z у, - 2Уп+1 <1,
,=1
n
1, еми Z к,у, - 2Уп+1 >1
s=1
(5)
гдеyn+1 e {0;1}. В формуле (5) коэффициенты ks e R, s = 1, n, и (-2) определяют по существу двузначную пороговую функцию от n + 1 действительных переменных. В новых обозначениях систему (4) можем записать в виде
_ f (bm) = d,, (6)
где b 0) = (b1(i).b,1;1,bn +) известны, d e {0;1}
и принимают значения в зависимости от s. и c' в системе (4), i = 1, T. Система (6) равносильна системе (4). Неизвестными в ней являются весовые коэффициенты ks e R, s = 1, n .
Таким образом, задача решения СЛН (2) сведена к задаче восстановления семейства пороговых двухзначных функций вида (5), удовлетворяющих системе (6). Некоторые из таких функций могут быть найдены с использованием аппарата нейросетевой математики [2-4]. Покажем такую принципиальную возможность.
В качестве парадигмы нейросети [2-4] рассмотрим один нейрон g( у ) с произвольно заданными весовыми коэффициентами l, удовлетворяющий соотношениям
g (У )=
0 если Z lsys - 2Уn+1
s=1
1, если Z lsys - 2Уп
s=1
< 1, > 1.
Применим к нему алгоритм Back Propagation ([4]). Согласно теореме Розенб-латта ([4]) такую нейросеть можно обучить тому, что она может реализовать. То есть при подаче на вход векторов b(г) = (b1(i),..., b(), b^ ) нейросеть должна принимать значения d. e {0;1}, i = 1, T. Поскольку система (2) заведомо имеет решение, то определенная согласно (5) пороговая функция, удовлетворяющая системе (6), существует. Следовательно, нейрон g'( у ), получившийся в результате настройки нейросети, задает одну из искомых пороговых функций. Его весовые коэффициенты являются одновременно решением СЛН (2). Равенство
g'( у ) = А у )_ _ ___
справедливо для всех у = b(i), i = 1, T. Для остальных действительных n-мерных векторов может иметь место неравенство g'( у ) *f у ).
Задавая иные «начальные» весовые коэффициенты, мы можем получить, вообще говоря, новые решения СЛН (2).
В статье показана принципиальная возможность использования настройки нейросети, состоящей из одного нейрона, для нахождения решений СЛН.
114
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2008
