CC BY
50Автор выражает благодарность научному руководителю В. А. Скворцову за постоянное внимание к работе и плодотворное обсуждение результатов работы.
Работа поддержана РФФИ (грант № 08-01-00669) и программой "Ведущие научные школы" (грант НШ-2787.2008.1).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Жеребьева Т.А. Об одном классе множеств единственности для двойных рядов Уолша // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2007. № 5. 13-18.
2. Тетунашвили Ш.Т. О некоторых кратных функциональных рядах и решение проблемы единственности кратных тригонометрических рядов для сходимости по Прингсхейму // Матем. сб. 1991. 182, № 8. 1158-1176.
3. Rinne D. Rectangular and iterated convergence of multiple trigonometric series // Real Analysis Exchange. 1993/94. 19(2). 644-650.
4. Скворцов В.А. О коэффициентах сходящихся кратных рядов Хаара и Уолша // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1973. № 6. 77-79.
5. Мовсисян Х.О. О единственности двойных рядов по системам Хаара и Уолша // Изв. АН АрмССР. Матем. 1974. 9, № 1. 40-61.
6. Лукомский С.Ф. О некоторых классах множеств единственности кратных рядов Уолша // Матем. сб. 1989. 180, № 7. 937-945.
7. Холщевникова Н.Н. Объединение множеств единственности кратных рядов — Уолша и тригонометрических // Матем. сб. 2002. 193, № 4. 135-159.
8. Голубов Б.И., Ефимов А.В., Скворцов В.А. Ряды и преобразования Уолша. М.: Наука, 1987.
9. Жеребьева Т.А. Об одном классе множеств единственности для двойных тригонометрических рядов // Матем. заметки. 2009.
10. Жеребьева Т.А. Теорема единственности для двойных рядов по мультипликативной системе функций // Мат-лы Воронежской зимней математической школы "Современные методы теории функций и смежные проблемы". Воронеж, 2007. 79-80.
11. Скворцов В.А. Некоторые обобщения теоремы единственности для рядов по системе Уолша // Матем. заметки. 1973. 13, № 3. 367-372.
12. Привалов И.И. Обобщение теоремы Paul-du-Boys-Reymond'a // Матем. сб. 1923. 31, № 2. 229-231.
Поступила в редакцию 05.03.2008
УДК 519.176
НЕВОЗМОЖНОСТЬ СУЩЕСТВОВАНИЯ РАЗЛИЧНЫХ СОНАПРАВЛЕННЫХ ЛОКАЛЬНО-МИНИМАЛЬНЫХ ДЕРЕВЬЕВ
НА ПЛОСКОСТИ
К. И. Облаков1
Рассматриваются локально-минимальные графы на плоскости. Дается более простое доказательство единственности затягивающего глобально минимального дерева в общем случае на плоскости. Приведенное доказательство, использующее лишь локальную минимальность деревьев, представляет самостоятельный интерес.
Ключевые слова: локально-минимальная сеть.
Locally minimal graphs on a plane are considered. A simpler proof is given for the uniqueness of a globally minimal spanning tree on a plane in the general case. The proof presented here uses only local minimality of trees and is of independent interest.
Key words: locally minimal tree.
1 Облаков Константин Игоревич — студ. каф. общей топологии и геометрии мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
11 ВМУ, математика, механика, №2
Введение. На протяжении нескольких веков внимание ученых привлекала так называемая проблема Штейнера — задача нахождения минимальной по длине сети (одномерного связного континуума), затягивающей данное конечное множество точек на плоскости [1, 2]. Эта задача имеет широкое практическое применение: транспортная задача, разводка микросхем, построение филогенетических деревьев. Оказалось, что удобно рассматривать не только кратчайшие (т.е. глобально минимальные), но и локально-минимальные сети. Локально-минимальная сеть состоит из отрезков прямых (ребер), угол между любыми двумя смежными ребрами не менее 120° [3]. Локально-минимальных сетей для данного набора точек может быть несколько. Возможно даже существование нескольких глобально минимальных деревьев. Если они не сонаправлены в граничных вершинах, то малым шевелением граничных вершин можно добиться того, что только одно из деревьев останется глобально минимальным. А.О. Иванов и А.А. Тужилин доказали [4], что множество таких расположений точек, для которых не существует двух глобально минимальных деревьев, открыто и всюду плотно в множестве всех расположений. Они опирались на утверждение, что не существует двух глобально минимальных деревьев, сонаправленных в вершинах. Их доказательство этого утверждения оказалось чрезвычайно громоздким. В данной работе дается простое доказательство более сильного утверждения: не существует двух локально-минимальных деревьев, сонаправленных в вершинах.
Основные определения (см. [5]). Будем называть сетью (несвязной сетью) непрерывное отображение Г связного (произвольного) графа G в плоскость. Граф G в таком случае назовем параметризующим графом сети. Границей графа G называется произвольное фиксированное подмножество dG его вершин. Ограничения отображения Г на ребра (вершины, границу) параметризующего графа назовем соответственно ребрами (вершинами, границей) сети. Будем говорить, что сеть затягивает множество M, если множество M совпадает с образом границы сети. Сеть называется кусочно-гладкой, если отображение Г кусочно-гладкое. Каждая связная компонента прообраза вершины сети Г называется приведенной компонентой.
Локальным графом точки Р графа G называется наделенное естественной структурой графа замыкание такой окрестности Up точки Р £ G, что Up не содержит вершин графа G, за исключением вершин, входящих в содержащую P приведенную компоненту. Локальной сетью называется ограничение Г на некоторый локальный граф.
Длиной кусочно-гладкой сети называется сумма длин ребер Г как кусочно-гладких кривых. Сеть, затягивающая множество M, называется кратчайшей, если ее длина не превосходит длины любой другой сети, затягивающей M.
Сеть Г называется локально-минимальной, если каждая ее точка содержится в некоторой кратчайшей локальной сети (по отношению к канонической границе этой локальной сети).
Постановка и решение задачи. Цель работы — доказательство следующей теоремы.
Теорема 1. Не существует двух локально-минимальных деревьев с одним и тем же граничным множеством и сонаправленных в граничных вершинах.
Докажем более общий факт.
Теорема 2. Не существует двух локально-минимальных сетей без циклов, но возможно не связных, с одним и тем же граничным множеством, сонаправленных в граничных вершинах.
Доказательство. От противного. Допустим, что такие сети существуют. Назовем одну из них красным графом, другую — синим. Все отрезки ребер, которые являются красными и синими одновременно, выкинем. На рисунках синие ребра будем обозначать сплошными линиями, красные — пунктир' ными. Выделим G — максимальный подграф объединения красного и синего графов, у которого угол между любыми двумя ребрами кратен 60°.
Вершины графа G могут возникнуть только там, где была вершина красного или синего графа (при этом у другого графа там тоже может быть вершина или ребро) либо точка пересечения разноцветных ребер. Несложная комбинаторная проверка показывает, что на рис. 1 изображены все возможные типы вершин графа G.
Первые два типа могут быть локально заменены на остальные четыре так, чтобы и при этом одноцветные циклы не возникали (рис. 2), поэтому мы будем считать, что вершин первых двух типов не было.
Расположим граф на плоскости так, что хотя бы одно ребро сонаправлено оси OX. Пусть l(yo) — прямая y = yo. Если она не содержит ребер графа, то существуют 4 различных способа пересечения ребра графа этой прямой (рис. 3). Каждой такой прямой l(yo) можно сопоставить слово w(yo) в алфавите A, B, а, b, характеризующее пересечения прямой ребрами графа слева направо. Каждому слову w(yo) = С1С2...cn,
Рис. 3
Таблица 1
Сг 3
а А Ь в
а -1 -1 1 1
А 0 -1 0 1
Ь 1 1 -1 -1
В 0 1 0 -1
сг е {А, В, а, Ь}, сопоставим число f (ад(уо)) = ^ к(сгс^), где к опи-
1^ ^ п
сывается табл. 1 (первая буква пары СгС^ соответствует строке таблицы, вторая — столбцу).
Отметим следующие важные свойства функции f.
Утверждение 1. При замене красного цвета в графе С на синий и синего на красный значение функции f не меняется.
Доказательство. При замене красного цвета на синий и синего на красный в слове и> буква А поменяется местами с В, буква а — с Ь. Из определения коэффициентов к ясно, что эти замены на них не влияют, а значит, и функция f не изменит значения.
Утверждение 2. Если в любое место слова 'ш(уо) добавить или из любого места убрать одну или несколько пар разноименных букв одного регистра (в любом порядке)7 то значение f уо)) изменится лишь на те коэффициенты к(вгС^), для которых либо оба аргумента — измененные буквы, либо один аргумент — измененная буква, а другой — буква, лежащая между измененными.
Доказательство. Непосредственная проверка для различных х доказывает, что для любого х е {А, а, В, Ь} верно следущее равенство: к(ха)+к(хЬ) = к(ах) + к(Ьх) = к(хА) + к(хВ) = к (Ах) + к(Вх) = 0, откуда вытекает, что
f (с\... сгэтх ... wsMl... йт) = ^ к(сАс^) + ^ к(сА^) + ^ к(йг^) + ^(к(сга) + к(сгЪ))+ + ^ к(сгWj) + ^(к(айг) + к(Ъйг)) + ^ к) + f ... wsb) = = к(сгс^) + к(сгйз) + ^2 к(йгйэ) + £ Н^д + Е )+
+f ... wsb) = f (awl... wsb) + f (с1... сWl ... wsdl... йт) - ^ k(wiwj) =
= f (сЛ ... сь Wl... wsdl ...йт) + ^2 к^О + ^2 к^Ъ + к(аЪ).
Для любой другой пары доказывается аналогично.
Далее цикловым индексом будем называть разность числа компонент связности и числа циклов графа (он также равен разности количества вершин и ребер графа).
Лемма. Пусть С1(уо) — та часть синей составляющей С, которая лежит ниже прямой 1(уо), С2(уо) — часть красной составляющей С, лежащая ниже 1(уо)- В таком случае значение f уо)) равняется сумме цикловых индексов С1(уо) и С2(уо)-
Доказательство. Существует конечный набор всех чисел у1 <у2 < ... < ук, таких, что прямая 1(уг) содержит ребро графа С.
Если уо < у1, то 1(уо) не пересекает С — граф лежит выше этой прямой. Отсюда следует, что и!(уо) — пустое слово, f уо)) = 0; С1(уо) и С2(уо) — пустые графы, а значит, цикловой индекс каждого равен нулю. Для доказательства достаточно показать, что если утверждение было верно для уо < у г, то оно остается верным и при у г < у о < уг+1 для любого г.
В случае, когда прямая 1(уг) содержит несколько ребер графа, будем формально считать, что сначала она пересекла крайнее слева ребро, затем второе слева — и так далее. Если после каждого такого пересечения каждого горизонтального ребра прямой утверждение остается верным, значит, оно верно и
¿1
)--<
h V
L
ц
r
после прохождения уровня 1(уг) как целого. Итак, рассматриваем случай, когда прямая содержит одно ребро графа.
Согласно утверждению 1, мы можем без ограничения общности считать, что 1(уг) содержит синее ребро. Действительно, если ребро красное, поменяем цвета местами и значение функции не изменится. Обозначим это ребро Е.
Левый конец ребра Е имеет один из четырех типов Ь\,Ь2,Ь3,Ь4, а правый конец — один из типов (рис. 4). Табл. 2 показывает, как меняются буквы, соответствующие ребрам, инцидентным Е, при переходе через уровень уо. Во всех этих случаях добавляются или исчезают пары аЬ или АВ в различном порядке либо просто меняются местами имеющиеся буквы. По утверждению 2, чтобы найти изменение слова f (и!(уо)), достаточно найти его изменение на буквах, соответствующих ребрам, инцидентным Е. Для каждого вида левого и правого концов ребра Е докажем, что после перехода через уровень у г утверждение останется верным. Буквы, соответствующие пересечению 1(уо) с ребрами, неинцидентными Е, будем обозначать точками.
sJr2
r4
Рис. 4
Таблица 2
Правый конец отрезка Левый конец отрезка
и и L3 и
Ri Аа —>■ аА а а ВА Aba ->■ А Ъа ->■ В А
R2 А аЪА ----> аВЬА АЬ —ЬА Ъ ->■ ВЪА
R3 АВа —>■ а В а —>■ а В АЬВа ->■ ... ЬВа ->■ В
R4 АВ ->■ аЪ В ->■ аВЬ АЪВ ->■ Ъ ЪВ ->■ ВЪ
1) Ребро вида L\R\. Найдем изменение функции f: f (... aA ...) — f (... Aa ...) = k(aA) — k(Aa) = —1. При переходе через такое ребро либо образовался синий цикл, либо две синие компоненты слились в одну, сумма цикловых индексов цветных графов также уменьшилась на единицу.
2) Ребро вида L1R2. Имеем f (... abA...) — f (...A...) = k(ab) + k(aA) + k(bA) = 1. При переходе через такое ребро число синих компонент и циклов не изменилось и появилась новая красная компонента связности. Сумма цикловых индексов цветных графов также увеличилась на единицу.
3) Ребро вида L1R3. Тогда f (...a...) — f (... ABa...) = —k(AB) — k(Aa) — k(Ba) = —1. При переходе через такое ребро либо образовался синий цикл, либо две синие компоненты слились в одну, сумма цикловых индексов цветных графов также уменьшилась на единицу.
4) Ребро вида L1R4. Значит, f (. ..ab...) — f (... AB ...) = k(ab) — k(AB) = 0. Число синих и красных компонент и циклов не изменилось. Сумма цикловых индексов цветных графов также осталась прежней.
5) Ребро вида L2R1. Получаем f (... aBA...) — f (...a...) = k(aB) + k(aA) + k(BA) = 1. Число синих компонент и циклов не изменилось, и появилась новая красная компонента связности. Сумма цикловых индексов цветных графов также увеличилась на единицу.
6) Ребро вида L2R2. Имеем f (... aBbA.. .) — f (......) = k(aB)+k(ab)+k(aA)+k(Bb)+k(BA)+k(bA) =
3. Появились одна новая синяя компонента и две красные. Сумма цикловых индексов цветных графов также увеличилась на три.
7) Ребро вида L2 R3. Тогда f (... aB ...) — f (... Ba ...) = k(aB) — k(Ba) = 1. Число синих компонент и циклов не изменилось, и появилась новая красная компонента связности. Сумма цикловых индексов цветных графов также увеличилась на единицу.
8) Ребро вида L2R4. Значит, f (... aBb...) — f (...B ...) = k(aB) + k(ab) + k(Bb) = 2. Появилась одна новая синяя компонента и одна красная. Сумма цикловых индексов цветных графов также возросла на два.
9) Ребро вида L3R1. Получаем f(...A...) — f(...Aba...) = —k(Ab) — k(Aa) — k(ba) = —1. При переходе через такое ребро либо образовался синий цикл, либо две синие компоненты слились в одну, сумма цикловых индексов цветных графов также уменьшилась на единицу.
10) Ребро вида L3R2. Имеем f(...bA...) — f(...Ab...) = —k(Ab) — k(Aa) — k(ba) = 1. Число синих компонент и циклов не изменилось, и появилась новая красная компонента связности. Сумма цикловых индексов цветных графов также увеличилась на единицу.
11) Ребро вида L3R3. Тогда f (......) — f (... AbBa...) = —k(Ab) — k(AB) — k(Aa) — k(bB) — k(ba) —
k(Ba) = —1. При переходе через такое ребро либо образовался синий цикл, либо две синие компоненты слились в одну, сумма цикловых индексов цветных графов также уменьшилась на единицу.
12) Ребро вида L3R4. Значит, f (...b...) — f (... AbB ...) = —k(Ab) — k(AB) — k(bB) = 0. Число синих и
красных компонент и циклов не изменилось. Сумма цикловых индексов цветных графов также осталась прежней.
13) Ребро вида L4R1. Получаем f (... BA...) — f (.. .ba...) = k(BA) — k(ba) = 0. При переходе через такое ребро число синих и красных компонент и циклов не изменилось. Сумма цикловых индексов цветных графов также осталась прежней.
14) Ребро вида L4R2. Имеем f (... BbA ...) — f (...b...) = k(Bb) + k(BA) + k(bA) = 2. Появилась одна новая синяя компонента и одна красная. Сумма цикловых индексов цветных графов также увеличилась на два.
15) Ребро вида L4R3. Тогда f (...B...) — f (... bBa...) = —k(bB) — k(ba) — k(Ba) = 0. Число синих и красных компонент и циклов не изменилось. Сумма цикловых индексов цветных графов также осталась прежней.
16) Ребро вида L4R4. Получаем f (... Bb...) — f (... bB ...) = k(Bb) — k(bB) = 1. При переходе через такое ребро добавилась одна синяя компонента связности. Сумма цикловых индексов цветных графов также возросла на единицу.
Все случаи рассмотрены. Лемма доказана.
В случае yo > yk G\(yo) — вся синяя часть графа G, а G2(yo) — красная. При этом w(yo) — пустое слово, т.е. f (w(yo)) = 0. По условию доказываемой теоремы графы Gi(yo) и G2(yo) не содержат циклов. Это означает, что графы пусты, что противоречит условию теоремы. Полученное противоречие доказывает теорему.
Автор приносит благодарность А. О. Иванову и А. А. Тужилину за постановку задачи, научному руководителю С. А. Богатому за ценные консультации, Т. А. Облаковой за помощь в подготовке работы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Cieslik D. The Steiner Ratio of Metric Spaces. Preprint Inst. of Math. and CS, Ernst-Moritz-Arndt Univ., Greifswald, Germany.
2. Cieslik D. Steiner Minimal Trees. London: Kluwer Academic Publishers, 1998.
3. Ivanov A.O., Tuzhilin A.A. Minimal Networks. The Steiner Problem and Its Generalisation. N.W., Boca Raton, Florida: CRC Press, 1994.
4. Иванов А.О., Тужилин А.А. Единственность минимального дерева Штейнера для границы общего положения // Матем. сб. 2006. 197, № 10, 55-90.
5. Дискретная математика и ее приложения: Сб. лекций / Под ред. О.Б. Лупанова. Изд-во Центра прикладных исследований при механико-математическом факультете МГУ, 2001. 3-25.
Поступила в редакцию 23.05.2008
