Неустойчивость типа «Змейки» компенсированного по заряду неоднородного электронного пучка Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 537.333

НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ТИПА «ЗМЕЙКИ» КОМПЕНСИРОВАННОГО ПО ЗАРЯДУ НЕОДНОРОДНОГО ЭЛЕКТРОННОГО ПУЧКА

В.П. Григорьев, И.Л. Звигинцев, П.Е. Кузнецов

Томский политехнический университет E-mail: grig@am.tpu.ru

Исследуется крупномасштабная поперечная неустойчивость частично компенсированного по заряду электронного пучка, обусловленная резонансом связанных поперечных колебаний потока электронов и ионного канала. Определены инкременты неустойчивости в зависимости от длины волны. Показано, что стабилизация этой неустойчивости происходит на нелинейной стадии в результате зависимости поперечной силы возмущения от смещения пучка от равновесной траектории.

Ключевые слова:

Электронный пучок, зарядовая нейтрализация, поперечные колебания, неустойчивость типа «змейки».

Key words:

Electron beam, charge neutralization, transverse oscillations, «snake» instability.

Введение

Для повышения эффективности использования низкоэнергетических электронных пучков в нанотехнологиях наряду с вопросами их формирования необходимо рассмотреть вопросы устойчивости таких пучков относительно крупномасштабных возмущений, приводящих к потерям электронов пучка при его транспортировке к мишени. Наиболее опасными в этом плане являются возмущения, приводящие к поперечному смещению пучка как целого, в результате чего пучок выпадает на элементы тракта транспортировки.

Основными представителями таких возмущений являются шланговая неустойчивость (мода колебаний с азимутальным числом единица) и неустойчивость типа «змейки».

Шланговая неустойчивость возникает при прохождении пучка по плазменному каналу для возмущений с длиной волны намного большей длины волны бетатронных колебаний электронов пучка в собственном магнитном поле [1, 2]. При таких возмущениях пучок под действием центробежной силы в поперечном направлении смещается вместе с каналом и скорость развития неустойчивости и инкремент зависят от массы плазмы, захваченной поперечным движением.

Неустойчивость типа «змейки» в отличие от шланговой связана с возмущениями, обусловленными относительным смещением электронного пучка и ионного канала без изменения формы поперечного сечения пучка, и развивается на частоте близкой к частоте бетатронных колебаний электронов пучка. Скорость развития и инкремент этой неустойчивости не зависят от массы ионного канала и превышают соответствующие параметры шланговой неустойчивости, что выделяет ее как наиболее опасную с точки зрения потерь электронного пучка. В настоящее время неустойчивость типа «змейки» достаточно полно исследована для компенсированных релятивистских кольцевых электронных пучков [3-5].

Однако следует ожидать, что неустойчивость такого типа может возникать в электронных пучках, используемых в технологических целях, для которых характерны низкие энергии и достаточно длинные импульсы. Кроме того, транспортировка таких пучков осуществляется в плазме с низкой плотностью (давление газа порядка10-4 Тор.), что приводит к слабой токовой нейтрализации электронного пучка, и основные возмущения можно связать с полем пространственного заряда.

Ниже мы рассмотрим поперечную неустойчивость компенсированного по заряду электронного пучка, когда из-за относительного смещения пучка и ионного канала пучок совершает колебания в электрическом поле ионного канала, а на канал действует поле пучка. При этом рост поперечных колебаний в системе происходит в результате наличия резонансов связанных поперечных колебаний потоков.

Исследование неустойчивости проводится на модели жестких пучков на линейной и нелинейной стадиях для неоднородного по радиусу электронного пучка.

Основные уравнения

Рассмотрим поперечные колебания в системе, состоящей из ионного канала и распространяющегося по каналу вдоль оси ъ электронного пучка с током 1Ь и скоростью иЬ. При этом полагаем, что плотности электронов пучка и ионов неоднородны и распределены по гауссовскому закону пь,і=п<0)ехр(-г2/г2), где г - радиус в цилиндрической системе координат; гь - постоянная, характеризующая радиус пучка и плазменного канала; индексы Ь и і относятся к пучку и каналу соответственно. Для описания возмущений, связанных с относительным поперечным смещением электронного пучка и ионного канала введем вектор смещения пучка и ионного канала рЬі(і,г). Возникающие в результате таких возмущений поляризационные силы, действующие на электронный пучок со сто-

роны ионного канала и на ионный канал со стороны электронного пучка, запишутся в виде:

-$®1 pf + (8ть2 - s2т2 )pbs1) = 0. (10)

Из уравнений (9), (10) следует дисперсионное

Fb =-e Jnb (|r± - p‘ |)E (|r± - p |)dr, (l) уравнение в линейном приближении для s=l:

F‘ = e Jn‘(|r± - pb |)Eb (|r! -pb |)d?. (2)

Учитывая, что в отсутствии внешнего магнитного поля движение электронов в радиальном электрическом поле плоское, то, не теряя общности, можно считать возмущения одномерными Рь,11,г)=Рь,11,г)6х. При этом принимая во внимание связь цилиндрических и декартовых координат ^ ^ х „

Е = Е I 2 2 ех (3)

л/х2 + у2

и проводя интегрирование в (1) и (2) с учетом (3) [6], получим уравнения, описывающие колебания пучка и ионного канала

dt2

- = -2ne2nb0jLT p p

—^ = 2ne 2ni0 -Гьг p dt2 ‘0 p2

( p2 v 1 - exp I- ^

, ( p2 V

1 - exp I-2fJ

(4)

(5)

С д д

где — = —+ V,—, р=рь-д, Уь - скорость распро-

са дї дг

странения электронного пучка, с - скорость света, е - элементарный заряд.

При слабой нелинейности разложим экспоненту в ряд до членов второго порядка по р2/2гь2. В результате уравнения движения для электронного пучка и ионного канала запишутся в виде:

с2Рь _ „2„(л 1 Р2^

dt2

- = -ть pi 1-т^ I,

dp dt2

I ~4 r;)'

2 С 1 p2 V ^p1 - 4 ц).

(б)

(Т)

Здесь (ob=(c/rb)(pb/y)(Ib/IA0))1/2 - частота колебаний центра тяжести электронного пучка в поле ионного канала, IA0)=mc3/e=l7, kA - ток Альфвена,

8=тупЬ,)/Мп(,)<<1, а=8112аь.

Анализ уравнений движения

на линейной стадии неустойчивости

Решение начальной задачи для уравнений (6), (7) представим в виде нелинейной плоско поляризованной волны с медленно меняющимися амплитудами [7]

1 от

Ра = - 'Epas (A z)exp[z's( kzZ -rnt)] + k.c. (8)

2 s=1

Подставляя выражение (8) в уравнения (6), (7) и отбрасывая медленные производные от pbs и pls и нелинейные члены, получим уравнения, определяющие амплитуды первого приближения

К2 - s2 (а - kzz)2p - а2pPS1 = 0, (9)

[®2 - (а - кг2)2][5ог2 - я2ю2] -8ть4 = 0, (11)

а также соотношение амплитуд и относительный сдвиг по фазе 9 колебаний электронного пучка и ионного канала:

p® =

8ть—= apb(1) =

8т ь - я а = \а\в91 рЫ) = |а| в91Ф. (12)

Заметим, что из-за отсутствия связи гармоник в первом приближении рЦ)=рЦ)=0 при я^1. Уравнение (9) удобно переписать в виде

F (т) =-8“Ь

т

т

(т- kzvb )2

= 1,

(13)

которое совпадает с дисперсионным уравнением двухпучковой неустойчивости при замене плазменных частот пучка и ионов соответственно на ть и т. Уравнение (13) имеет неустойчивое решение при 0<k<(aЬ/vЬ)(1+S1/’>Y/2.

В области волновых чисел т<<^ь<юь (длинноволновая область) неустойчивое решение дисперсионного уравнения имеет вид

т= г---------ь—-, (14)

і т: . і

I ЇМ - 1)

V2

и в пределе к^2<<ю!2 неустойчивость развив-ется во времени с инкрементом £=1шш(&г)=Л0&ги|,. В этой области возмущений сдвиг по фазе колебаний электронного пучка Ь ионного канала отсутствует, амплитуды колебаний различаются незначительно р!1)«(1-йг2и(2/т2)р(!1)~рм. Это указывает на слабость поляризационных сил в данном диапазоне длин волн. Максимальный инкремент неустойчивости достигается за счет резонансного усиления неустойчивости на длинах волн, близких к длине волны бетатронных колебаний пучка в поле

ионного канала (kг2vb2=k;;vb2«mb2) и равен

= ^3 (8

Ят 2 12

1/3

т,

(15)

где дт и ют=ю(кт) - инкремент и частота в области резонанса. Что касается амплитуд колебаний, то в области резонанса амплитуда поперечных смещений пучка, как следует из выражений (12), (15), значительно превышает смещение ионного канала:

Р‘,7РЬ1) =а ' 81’ «1.

Анализ уравнений движения на нелинейной стадии неустойчивости

Во втором приближении, учитывая (11)-(15), из (6) и (7) вследствие кубической нелинейности,

обеспечивающей связь гармоник, получим рЬ2Р2)=0 для 8^1,3, а для 5=3 следующую оценку

Рь

Рп-

(48)1/3) 1,15 гь

10-3.

(16)

В условиях резонансной неустойчивости, пренебрегая высшими гармониками (16), во втором приближении для амплитуд с 8=1 получим следующие уравнения

К2 - К - -к2р2)

-2(ат - К^Ь )^ф = 0.

аГ

(17)

-8ть2рЬ2) + (К- 2ш^ = 0. (18)

дГ

Умножая уравнение (17) на (8а&2-тт), а (18) на ть2, в результате их сложения с учетом (11) получим уравнение для Ф в виде

дФ дФ

-Г + V"•« = 7- ”.Г, (19)

где и=(4а/4кг)}1г}1т~иь/3 - групповая скорость возмущений. Решение уравнения (19) при известном начальном условии Ф(г,1=0)=Ф(г) имеет вид Ф(г,1)=Фо(г^^) нелинейной стационарной волны, т. е. возмущения в данном приближении сносятся вдоль системы с групповой скоростью V?. При этом из уравнения (18) следует связь амплитуд колебаний электронного пучка и канала во втором приближении

.(1)

дФ

(2) (2)

р(1 -ору

2гата

8т;

К

дФ

(20)

В третьем приближении, учитывая (20), вторые производные по |, а также появление слабой явной зависимости от времени в амплитудах колебаний и соотношения (10)-(13), (17), получим следующее уравнение для Ф (£,|):

гю,

дФ . V; д<Ф_ ______

~д - г К 32^

1--^| \Ф\ Фв

2$т*

(21)

Член, пропорциональный д2Ф/д|2, в уравнении (21) описывает диффузионное расплывание волнового пакета и несуществен для начальных возмущений со слабо неоднородной амплитудой, дФ/д£«0. Представляя Ф в виде Ф=|Ф|е9 и отделяя в уравнении (19) действительную и мнимую части, получим уравнения для модуля огибающей |Ф| и ее фазы 9 в пренебрежении расплывания пакета

д9 К -|Ф|2 в2дтГ. (22)

дГ 32 г2

д9

дГ

а

32 г2

■|ф| 2 в25тГ.

(23)

Учитывая зависимость от времени полной амплитуды колебаний A(^,|)=|Ф(^,|)|exp(^m^), уравнение (22) перепишем в виде:

дА

дГ

СИ = —=7 IА

3 в^.

16Г

(24)

Решение уравнения (24) при А(£=0)=Ф(£=0)=Д(г) имеет вид

\А\ = А,(7)в?тГ[1 + А2(7)(в2дтГ - 1)/16Гь2]-1/2. (25)

Зависимость полной амплитуды колебаний от времени при различных начальных условиях приведена на рисунке.

Рисунок Зависимость амплитуды поперечных колебаний электронного пучка от времени (А0/4гь): 1) 0,001; 2) 0,005; 3) 0,02; 4) 0,1; 5) 0,25

Из рисунка следует, что для малых начальных возмущений (Д>/4гь)<0,03 амплитуда поперечных колебаний пучка медленно растет во времени. Насыщение роста амплитуды колебаний достигается за время, равное нескольким постоянным роста д-1, и амплитуда при насыщении равна Ла=4гь. Режиму насыщения, как следует из (23), соответствует изменение частоты колебаний Лю3=Юь/2. Полученное значение амплитуды насыщения выходит за рамки применимости уравнений (6), (7). Поэтому для оценки характера движения системы при больших амплитудах вернемся к уравнениям

(4), (5). При учете в разложении правой части (4),

(5) членов более высокого порядка амплитуда насыщения сходится к величине Л^3,5гь. Это доказывает, что нелинейность колебаний стабилизирует неустойчивость типа «змейки» на достаточно больших амплитудах.

В заключение приведем некоторые оценки развития этой неустойчивости в реальных системах [8, 9]. При транспортировке электронных пучков с энергией 30 кэВ, Гь=3 см и током 1ь=170 А неустойчивость на линейной стадии развивается с инкрементом 4=2,2-106 с-1и при начальном возмущении Л0=0,02гь стабилизируется за время Т8=2,710 6 с. При токе пучка 15...17 кА стабилизация неустойчивости происходит за время т8=(3...2,7)10"8 с.

Выводы

1. Резонансное усиление неустойчивости на длинах волн, близких к длине волны бетатронных колебаний нейтрализованного по заряду пучка, приводит при малом параметре 8 к значительному превышению инкремента неустойчивости

V

типа «змейки» над максимальным инкрементом шланговой неустойчивости gm>>^SлlvT1/гЬ) [1-5].

2. Нелинейная стабилизация неустойчивости типа «змейки» имеет место на достаточно больших амплитудах поперечных колебаний электронного пучка.

3. Эта неустойчивость может развиваться и при инжекции пучка в плазму, если

(гЬ^уе1/4с)(ІіЮ]/ 1Ь)2<<1, vef - частота столкновений электронов плазмы. В этом случае локальные зарядовые возмущения не будут компенсироваться плазменными электронами, т. к. они будут удерживаться собственным магнитным полем пучка и продвигаться вдоль его оси со скоростью дрейфа.

Работа выполнена при финансовой поддержке грантов РФФИ: № 12-08-00213-а, № 12-08-00251-а.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Иванов А.А., Рудаков Л.И. Мощный релятивистский пучок электронов в плазме // Журнал теоретической и экспериментальной физики. - 1970. - Т. 58. - № 4. - С. 1332-1341.

2. Михайловский А.Б. Теория плазменных неустойчивостей. Т. 1. - М.: Атомиздат, 1975. - 272 с.

3. Диденко А.Н., Григорьев В.П., Усов Ю.П. Мощные электронные пучки и их применение. - М.: Атомиздат, 1977. - 280 с.

4. Hofman I. Coherent oscillations of ring relativistic particles // Particle Accelerators. - 1979. - V. 8. - № 3. - P. 151-160.

5. Григорьев В.П., Диденко А.Н. Влияние нелинейных некогерентных колебаний частиц на поперечные размеры электронноионного кольца при развитии неустойчивости типа «змейки» // Известия вузов. Физика. - 1981. - Т. 60. - № 10. - С. 51-56.

6. Григорьев В.П., Захаров А.В. Неустойчивость типа «змейки» частично компенсированного по току электронного пучка //

Журнал технической физики. - 1990. - Т. 60. - № 4. -С. 67-71.

7. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. - М.: Наука, 1974. -504 с.

8. Koval N.N., Grigoryev S.V., Devyatkov V.N., Teresov A.D., Schanin P.M. Effect of Intensified Beam in a Plasma-Cathode Diode // IEEE Trans. PlasmaSci. - 2009. - V. 37. - № 10. -P. 1890-1896.

9. Назаров Д.С., Озур Г.Е., Проскуровский Д.И. Генерация низ-коэнергетичных сильноточных электронных пучков в пушке с плазменным анодом // Известия вузов. Физика. - 1994. -Т. 37. - №3. - С. 100-114.

Поступила 16.05.2013 г.

УДК 621.039.51

К РАСЧЕТУ ВОЗРАСТА НЕЙТРОНОВ В ГРАФИТЕ

А.В. Кузьмин

Томский политехнический университет E-mail: kuzminav@tpu.ru

Проведено сравнение результатов расчета возраста нейтронов деления по экспериментальным данным нейтронно-физических характеристик углерода из разных справочников. Приводятся алгоритмы расчета возраста замедляющихся нейтронов. Сравнение результатов расчета при замедлении нейтронов деления до энергии индиевого резонанса по методу групп показало хорошую сходимость с теоретическими и экспериментальными данными.

Ключевые слова:

Возраст нейтронов, сравнение справочных данных, алгоритмы расчета возраста, метод групп.

Key words:

Neutron age, comparison of the reference experimental data, solution algorithms, multigroup method.

В начале 40-х гг. прошлого века Энрико Ферми в поисках решения уравнения замедления, выраженного через поток замедления, учел функциональную связь между летаргией замедляющихся нейтронов и с возрастом т, т. е. «временем», прошедшим с момента испускания быстрого нейтрона до момента его детектирования. Он ввел новую переменную

, П( и)

ат =--------аи,

С2 х(и)

которая в интегральной форме в зависимости от летаргии

С П(и)

т(и) = ^777-аи (1)

О2 х ( и)

позволяла оценить возраст в заданном интервале энергии по имеющимся экспериментальным данным физических свойств среды.

В выражение (1) в замедляющую способность С28(и) входят: £(и) -среднелогарифмическая потеря энергии за одно соударение; 28(и) - эффективное макроскопическое поперечное сечение рассеяния среды, см-1. Коэффициент диффузии среды Б(и) (см) может быть определен через макроскопическое транспортное сечение рассеяния 2(г (и), см4: